余弦定理

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1.1.2 余弦定理
温故知新
正弦定理：
正弦定理可以解决哪两类有关三角形的问题
（1）已知两角和任一边；
（2）已知两边和一边的对角.
变型：
已知一个三角形的两条边及其夹角（SAS型）或者是三条边（SSS型），根据三角形全等的定理，该三角形大小形状完全确定，那么如何解出这个三角形呢？
思考： 前面我们利用正弦定理已经解决了两角一边（AAS、ASA型）和两边一角（SSA型）的解三角形问题，那么在知三求一的类型中还有哪些种可能？
例 已知b=4，a=3， C=60°，求边c的长.
A
B
C
D
猜想：c =a +b －2ab·cos C对任意三角形是否成立？
解: 过A作BC边上的高AD，则
AD=4sin 60°，CD=4cos 60°，
BD=3－4cos 60°，
所以 c2=AD2+BD2=(4sin 60°)2+(3－
4 cos60°)2
=42+32－2×3×4cos 60°.
所以 c= .
c
a
b
证法探究1：向量法
A
B
C
a
b
c
证法探究2：坐标法
A
B
C
c
b
a
x
y
余弦定理与解三角形
余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.
形式一
形式二
知三求一型：
已知两边和夹角
知三求一型：
已知三边，求角
解三角形问题
3.在△ABC中，a=8，b=7，B＝600,求c边。
是选择正弦定理还是余弦定理？
整理得：c2-8c+15=0
解得：c1=3, c2=5
归纳类型
对解三角形中的“知三求其它”型的求值问题，分为四个类型：
①已知两角和任一边，求其他两边和一角，用 定理；
③已知两边和它的夹角，求第三边和其它两角，用 定理；
②已知三边求三角，用 定理；
④已知两边和一边的对角，求其它角时，用 定理。
已知两边和一边的对角，求第三边时，用 定理。
正弦
正弦
余弦
余弦
余弦
例：在三角形ABC中，已知a=7,b=8,cosC= ,求最大角的余弦值.
分析：求最大角的余弦值，最主要的是判断哪个角是最大角。由大边对大角，已知两边可求出第三边,找到最大角。
解：
则有：b是最大边，那么B 是最大角
余弦定理与勾股定理的关系：
巩固提高
小结·提升
（2）由余弦定理可知 ：判断三角形的形状
（1）余弦定理的作用：（知三求一，方程思想）
（3）能否把式子 转化为角的关系式？