选修4-4 极坐标与参数方程

2.直线的极坐标方程
学习目标：1.会求直线的极坐标方程
2.理解直线极坐标方程的各种形式
学习重难点：会求给定条件的直线的极坐标方程
学习过程：
复习回顾：
极坐标中，曲线和方程的关系？
极坐标方程的一般求法？
新课学习
探究1：如图：直线L经过极点，从极轴到直线L的角是，求直线L的极坐标方程
问：以上直线还有其他表示形式吗？为什么？
探究2：求过极点A（a,0）（a>0），且垂直于极轴的直线L的极坐标方程
探究3：求过点A（）（），且平行于极轴的直线L的极坐标方程
探究4;设点P的极坐标为（），直线L过点P且与极轴所成的角，求直线L的极坐标方程
说明：以上为直线极坐标方程的四种形式
当堂练习：求适合下列条件的极坐标方程：
（1）.过点A(3，π)并和极轴垂直的直线；1.2.1极坐标系 第一课时
学习目标：1.理解极坐标系和点的极坐标，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置
2..体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别
3.了解在极坐标系中，点与极坐标间的关系
学习重难点：极坐标概念的认识
学习过程：
一﹑引入
1.在解决本节开头问题时，如何描述了巨响的位置？从几方面刻画巨响的位置？
2.思考：如图是某校园的平面示意图.假设某同学在教学楼处，请回答下列问题：
1、他向东偏北600方向走120m后到达什么位置？该位置惟一确定吗？
2.如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？
3.你能利用与A的距离，与AB方向逆时针所成的角来刻画B,C,D,E的位置吗？位置唯一确定吗？
二、极坐标的建立：
1、极点：_________________________；极轴_______________________________；
再选定 、 就建立了一个极坐标系。
2.极坐标系内一点的极坐标的规定： 建系：
极径： 记：
极角： 记：
极坐标：
一般地，不做特殊说明是，认为
课本：例1，例2
3、极坐标系与平面直角坐标系的区别：
平面直角坐标系 极坐标
定位方式 横坐标、纵坐标
点与坐标 点与坐标一一对应
外在形式 原点，x，y轴
本质 两线相交定点
4.点与极坐标间的关系
1.：
2.在极坐标系中，表示的点有什么关系？
3.在极坐标系中,表示同一点的极坐标有什么特点？
4.直角坐标系中，点与它的坐标一一对应，在极坐标系中，点与它的极坐标是否一一对应？若规定呢？极点坐标如何表示？
三、课堂训练：
1．写出下图中各点的极坐标()
2.在极坐标中于点关于极点对称的点是
3.在极坐标系中，已知点，则下列各点中于点P重合的是1.平面直角坐标系
学习目标：1.回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法
2.体会坐标系的作用
教学重点：体会直角坐标系的作用
教学难点：能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题
学习过程：
复习引入：
如何建立平面直角坐标系？
2.平面直角坐标系的作用及点与坐标的关系
二、新课学习:
例1.声响定位问题
某信息中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到一声巨响，正东观测点听到巨响的时间比其他两个观测点晚4s，已知各观测点到中心的距离都是1020m，试确定该巨响的位置。（假定当时声音传播的速度为340m/s，各相关点均在同一平面上）
解决此类应用题的一般步骤：
1、
2、
3、
4、
5、
例2.已知△ABC的三边a,b,c满足,BE,CF分别为边AC,CF上的中线，建立适当的平面直角坐标系探究BE与CF的位置关系。
建系时，根据几何特点选择适当的直角坐标系。
（1）如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点；
（2）如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴；
（3）使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。
练习：
1．一炮弹在某处爆炸,在A处听到爆炸的时间比在B处晚2s,已知A、B两地相距800米，并且此时的声速为340m/s,求曲线的方程
2．在面积为1的中，，建立适当的坐标系，求以M，N为焦点并过点P的椭圆方程2.1 参数方程的概念
一、【学习目标】
了解抛物运动轨迹的参数方程及参数的意义，理解参数方程的概念。
二、【创设情境】
1．探究：
（1）平抛运动：
练习：斜抛运动：
三、【新知探究】
参数方程的概念：（见教科书第22页）
说明：（1）一般来说，参数的变化范围是有限制的。
（2）参数是联系变量x，y的桥梁，可以有实际意义，也可无实际意义。
例1．（教科书第22页例1）已知曲线C的参数方程是 (t为参数)
（1）判断点M1(0,1),M2(5,4)与曲线C的位置关系；
（2）已知点M3(6,a)在曲线C上，求a的值。
A、一个定点 B、一个椭圆
C、一条抛物线 D、一条直线
圆的参数方程：
说明：（1）随着选取的参数不同，参数方程形式也有不同，但表示的曲线是相同的。（2）在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。
例2．（教科书第24页例2）
思考：你能回答教科书第25页的思考吗？
四、【随堂练习】
1．与普通方程xy=1表示相同曲线的参数方程（t为参数）是（ ）
A． B． C． D．
2．下列哪个点在曲线上（ ）
A．(2,7) B． C． D．(1,0)
3．曲线的轨迹是（ ）
A．一条直线 B．一条射线 C．一个圆 D．一条线段
2.2圆的参数方程及应用
一、【学习目标】
利用圆的几何性质求最值（数形结合）
能选取适当的参数，求圆的参数方程
二、【例题精讲】
（一）、最值问题
1.已知P（x,y）圆C：x2+y2－6x－4y+12=0上的点。
（1）求 的最小值与最大值
（2）求x－y的最大值与最小值
2.圆x2+y2=1上的点到直线3x+4y-25=0的距离最小值是　　　　　；
3圆(x-1)2+(y+2)2=4上的点到直线2x-y+1=0的最短距离是_______；
4 过点(2,1)的直线中,被圆x2+y2-2x+4y=0截得的弦：
　为最长的直线方程是_________；为最短的直线方程是__________；
5若实数x,y满足x2+y2-2x+4y=0，则x-2y的最大值为 　　　　　　；
（二）、参数法求轨迹
　　1)一动点在圆x2＋y2=1上移动,求它与定点(3,0)连线的中点的轨迹方程
2)已知点A(2,0),P是x2+y2=1上任一点,的平分线交PA于Q点,求Q点的轨迹.
解题思想：将要求点的坐标x,y分别用同一个参数来表示
例题：1)点P(m,n)在圆x2+y2=1上运动,求点Q(m+n,2mn)的轨迹方程
2)方程x2+y2-2(m+3)x+2(1-4m2)y+16m4+9=0.若该方
程表示一个圆,求m的取值范围和圆心的轨迹方程。
三【课堂小结】
小结：本节学习内容要求掌握
1．用圆的参数方程求最值；
2．用参数法求轨迹方程，消参。
2.3圆锥曲线的参数方程
一、【学习目标】
了解圆锥曲线的参数方程及参数的意义
能选取适当的参数，求简单曲线的参数方程
二、【复习引入】
1．写出圆方程的标准式和对应的参数方程。
2．写出椭圆、双曲线和抛物线的标准方程。
3．能模仿圆参数方程的推导，写出圆锥曲线的参数方程吗？
三、【新知探究】
1.椭圆的推导：椭圆参数方程：
2.双曲线的参数方程：双曲线参数方程：
3.抛物线的参数方程：抛物线参数方程：
关于参数几点说明：
参数方程中参数可以是有物理意义，几何意义，也可以没有明显意义。
同一曲线选取的参数不同，曲线的参数方程形式也不一样
在实际问题中要确定参数的取值范围
参数方程的意义：
参数方程是曲线点的位置的另一种表示形式，它借助于中间变量把曲线上的动点的两个坐标间接地联系起来，参数方程与变通方程同等地描述，了解曲线，参数方程实际上是一个方程组，其中，分别为曲线上点M的横坐标和纵坐标。
参数方程求法
关于参数方程中参数的选取
四、【例题精讲】
例1．设炮弹发射角为，发射速度为，
（1）求子弹弹道曲线的参数方程（不计空气阻力）
（2）若，，当炮弹发出2秒时，
求炮弹高度
求出炮弹的射程
例2．求椭圆的参数方程（见教材P.40）
椭圆参数方程 （为参数）
变式训练1. 已知椭圆 (为参数)
求 （1）时对应的点P的坐标
（2）直线OP的倾斜角
变式训练2 A点椭圆长轴一个端点，若椭圆上存在一点P，使∠OPA=90°，其中O为椭圆中心，求椭圆离心率的取值范围。
例3．把圆化为参数方程
用圆上任一点过原点的弦和轴正半轴夹角为参数
用圆中过原点的弦长为参数
2.4圆锥曲线参数方程的应用
一、【学习目标】
利用圆锥曲线的参数方程来确定最值，解决有关点的轨迹问题
选择适当的参数方程求最值。
二、【复习引入】
通过参数简明地表示曲线上任一点坐标将解析几何中以计算问题化为三角问题，从而运用三角性质及变换公式帮助求解诸如最值，参数取值范围等问题。
三、【新知探究】
例1．求椭圆的内接矩形面积的最大值
变式训练1
椭圆 （）与轴正向交于点A，若这个椭圆上存在点P，使OP⊥AP，（O为原点），求离心率的范围。
例2．AB为过椭圆中心的弦，， 为焦点，求△ABF1面积的最大值。
例3．抛物线的内接三角形的一个顶点在原点，其重心恰是抛物线的焦点，求内接三角形的周长。
、过P（0，1）到双曲线最小距离
变式训练2：
设P为等轴双曲线上的一点，，为两个焦点，证明
例5，在抛物线的顶点，引两互相垂直的两条弦OA，OB，求顶点O在AB上射影H的轨迹方程。
三、巩固与练习
四、小 结：本节课学习了以下内容：
适当使用参数表示已知曲线上的点用以求最值问题
五、课后作业：
2.5直线的参数方程
一、【学习目标】
了解直线参数方程的条件及参数的意义
能根据直线的几何条件,写出直线的参数方程及参数的意义
二、【复习引入】
1．写出圆方程的标准式和对应的参数方程。
2．写出椭圆参数方程.
3．复习方向向量的概念.提出问题:已知直线的一个点和倾斜角,如何表示直线的参数方程
三、【新知探究】
教师引导学生推导直线的参数方程：
过定点倾斜角为的直线的参数方程
辨析直线的参数方程：
T的几何意义是指它表示点P0P的长,带符号.
直线的参数方程应用：课本例题,此略.
四、【课堂小结】
（1）直线参数方程求法
（2）直线参数方程的特点
（3）根据已知条件和图形的几何性质，注意参数的意义
五、作业：课本P39习题2.3
2.6参数方程与普通方程互化
一、【学习目标】
掌握参数方程化为普通方程几种基本方法
选取适当的参数化普通方程为参数方程
二、【复习引入】
（1）圆的参数方程
（2）椭圆的参数方程
三、【新知探究】
1、参数方程化为普通方程的过程就是消参过程常见方法有三种：
代入法：利用解方程的技巧求出参数t，然后代入消去参数
三角法：利用三角恒等式消去参数
整体消元法：根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去。
化参数方程为普通方程为：在消参过程中注意变量、取值范围的一致性，必须根据参数的取值范围，确定和值域得、的取值范围。
2、常见曲线的参数方程
四、【例题精讲】
将下列参数方程化为普通方程
（1） （2）
（3） （4） （5）
变式训练1
（1）方程 表示的曲线
A、一条直线 B、两条射线 C、一条线段 D、抛物线的一部分
（2）下列方程中，当方程表示同一曲线的点
A、 B、 C、 D、
例2化下列曲线的参数方程为普通方程，并指出它是什么曲线。
（1） （t是参数） （2） （是参数）
（3） （t是参数）
变式训练2：P是双曲线 （t是参数）上任一点，，是该焦点，求△F1F2的重心G的轨迹的普通方程。
例3、已知圆O半径为1，P是圆上动点，Q（4，0）是轴上的定点，M是PQ的中点，当点P绕O作匀速圆周运动时，求点M的轨迹的参数方程。
变式训练3：
已知为圆上任意一点，求的最大值和最小值。
五、课后作业：见教材53页 2.3.4.5
2.7圆的渐开线与摆线
一、【学习目标】
了解圆的渐开线的参数方程, 了解摆线的生成过程及它的参数方程.
学习用向量知识推导运动轨迹曲线的方法和步骤
二、【复习引入】
1 复习：圆的参数方程
四、【新知探究】
1、以基圆圆心O为原点，直线OA为x轴，建立平面直角坐标系，可得圆渐开线的参数方程为
2、在研究平摆线的参数方程中，取定直线为轴，定点M滚动时落在直线上的一个位置为原点，建立直角坐标系，设圆的半径为r，可得摆线的参数方程为。
例1 求半径为4的圆的渐开线参数方程
变式训练1 当，时，求圆渐开线 上对应点A、B坐标并求出A、B间的距离。
变式训练2 求圆的渐开线上当对应的点的直角坐标。
例2 求半径为2的圆的摆线的参数方程
变式训练3
求摆线 与直线的交点的直角坐标
例3、设圆的半径为8，沿轴正向滚动，开始时圆与轴相切于原点O，记圆上动点为M它随圆的滚动而改变位置，写出圆滚动一周时M点的轨迹方程，画出相应曲线，求此曲线上纵坐标的最大值，说明该曲线的对称轴。
三、巩固与练习
四、小 结：．
五、课后作业：见教材P.57/16
x
y
500
O
A
v=100m/s
x
y
O
v=v0
x
y
O
r
M
M0
x
12.平面直角坐标系中的伸缩变换
学习目标：1、理解并掌握理解平面直角坐标系中的伸缩变换；
2、学会应用平面直角坐标系的伸缩变换解决一些简单问题；
学习重点难点：伸缩变换在解题中的应用
学习过程：
一、复习回顾：
1、在三角函数中，什么是振幅变换、周期变换、相位变换？
2、你会把函数y=sinx变为y=3sin(2x+)吗？
二、学习新课：
问题1、怎样由正弦曲线y=sinx得到y=sin2x的图像？
以上问题的实质是什么？
设P（x,y）是平面直角坐标系中的任意一点，保持纵坐标y不变，横坐标缩为原来的，得到新点(),那么，你能写出这两个点坐标间的关系吗？
上式叫做平面直角坐标系中的一个___________________.
问题2：怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sinx
以上问题的实质是什么？
设P（x,y）是平面直角坐标系中的任意一点，保持横坐标x不变，纵坐标伸长为原来的3倍，得到新点(),那么，你能写出这两个点坐标间的关系吗？
上式叫做平面直角坐标系中的一个___________________.
问题3：怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sin2x的图像？
设平面直角坐标系中的任意一点P(x,y)经过上述变换后变为新点()，它们坐标间的关系又如何？
以上式子叫平面直角坐标系中的____________________
定义：设点P（x,y）是平面直角坐标系中的任意一点，在变换：____________________的作用下，点P(x,y)对应到新点()，称为________________________________,简称________________.
三、典型例题
例1、在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换
的图形。
思考：在以上伸缩变换下，椭圆是否可以变为圆？抛物线、双曲线变成什么曲线？
例2、求将椭圆变换为单位圆的坐标变换公式
四、当堂检测：
抛物线__________________
把圆
曲线对应的方程为________。
在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换曲线C变为曲线椭圆的参数方程
学习目标：
1.建立椭圆的参数方程，正确理解参数的几何意义
2.利用参数方程解决一些简单的问题
学习重难点：利用参数方程解决一些简单的问题
学习过程：
一、复习引入
1、回忆圆的参数方程，并指出其中参数的几何意义。
2、令推导椭圆的参数方程是？
二、新课学习
1、椭圆参数方程的构建
问题：以坐标原点O为圆心，分别以a、b为半径作两个圆（a>b>0）。点A是大圆上任意一点，点B是大圆半径与小圆的交点，过点A作AN⊥x轴于点N，再过点B作BM⊥AN于点M。求当半径OA绕点O旋转时，点M的轨迹的参数方程。
通常规定参数的范围为
2、参数的几何意义
思考：
1.椭圆 与圆 中参数的意义类似吗？
2.∠xOA与∠xOM有相等的可能吗？若可能，共有多少次？
3. 参数的几何意义是
注意：参数是椭圆的离心角，而不是旋转角。
3、p28中的探究：求点M的轨迹的参数方程
4、思考： (为参数)（a>b>0）表示什么曲线？
四、典例分析
例1：在椭圆上求一点M，使点M到直线的距离最小，并求出最小距离。
五、当堂练习
1：把下列普通方程化为参数方程.
1. 2.
2.把下列参数方程化为普通方程
1、(为参数) 2、 (为参数)
3、在平面直角坐标系中，设是椭圆上的一个动点，求的最大值。
4、已知椭圆,求椭圆内接矩形面积的最大值抛物线的参数方程
学习目标：
1.掌握抛物线的参数方程及参数的意义；
2.掌握抛物线的参数方程的应用
学习重难点：参数方程的应用
学习过程：
一、复习回顾:
写出双曲线的普通方程及参数方程及参数的意义？
二、新课学习：
1. 抛物线参数方程的建立
抛物线（表示焦点到准线的距离）的参数方程是
推导过程:
2.参数t 的意义
3.用同样的方法可求出抛物线：的参数方程：
思考：怎样根据抛物线的定义选取参数，建立抛物线的参数方程？
答：设点M(x,y)是抛物线上任意一点，点M到准线的距离为t，
则有：
由于|MF|=t
所以，抛物线的参数方程为：
（t为参数） 或 （t为参数）
三、典例分析：
例1.O是直角坐标原点，A，B是抛物线上异于顶点的两动点，且并与AB相交与点M,求点M的轨迹方程。
探究：点A，B在什么位置时，△AOB的面积最小？最小值最小？
当堂练习：
方程（t为参数）表示的曲线是
A.抛物线 B直线 C抛物线的一部分 D线段
2.方程（为参数，是正常数）表示
A焦点在x轴上的抛物线 B焦点在y轴上的抛物线 C直线 D线段
3.已知某曲线C参数方程为（为参数）过点M(5,4)，①求常数a;②求曲线C的普通方程。
4.设M为抛物线上的动点，给定点,点P为线段的中点，求点P的轨迹方程。直线的参数方程
学习目标：1.直线的参数方程及推导过程
2.体会直线的参数方程解题中的应用
学习重难点：参数方程的应用
学习过程：
一、复习回顾：
过一点，倾斜角为可否唯一确定一条直线？若可以，写出其方程。
若A(a,b), B(c,d)，则=
二、新课学习：
直线的参数方程的建立
1.已知如图，给出单位向量,过点作出下列向量：
探究：
1.点M的共同特征是
2.若点M满足，点M的轨迹是
t>0时，的方向____；t=0时, 的方向_____；t<0时, 的方向
3.利用倾斜角写出直线的单位向量=
4.如何用和的坐标表示直线上任一点M的坐标:
因此，过点，倾斜角为的直线的参数方程为
思考：
1.参数t的几何意义是
2.当时， 0，所以，直线的单位方向向量的方向总是 。此时，
若则 ；若则 ；若则
3.直线的参数方程中哪些是变量，哪些是常数？
4.参数的取值范围是
5.该参数方程形式上有什么特点？
三、典例分析：
例1、 已知直线与抛物线交与A,B两点，求线段AB的长和点M（-1,2）到A,B两点的距离之积。
探究：
直线（t为参数）与曲线交与两点，对应的参数分别为。
曲线的弦的长是多少？
线段的中点M对应的参数t的值是多少？
你还能提出和解决哪些问题？
四、当堂练习：
求过点(6,7),倾斜角的余弦值是的直线的标准参数方程.
直线的方程：（t为参数），那么直线的倾斜角( )
A 65° B 25° C 155° D 115°
直线（t为参数）的斜率是
4、直线的方程： （t为参数）A、B是直线上的两个点，分别对应参数值t1、t2，那么|AB|等于( )
A ∣t 1－t 2∣ B ∣t 1－t 2∣ C D ∣t 1∣+∣t 2∣
5、已知直线： (t为参数)与直线m：交于P点，求点M(1,－5)到点P的距离.参数方程的概念
学习目标: 1、理解并掌握参数方程的概念；
2、学会应用参数方程解决一些简单问题；
学习重难点：建立参数方程
学习过程：
探究：一架飞机在离灾区地面500m的高处以100m/s的速度做水平直线飞行，为使投放的救援物资准确落于灾区指定的地面（不记空气阻力），飞行员应如何确定投放的时机呢？（g=9.8m/s）
定义：
在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数____的函数，即_________________，并且对于____的每个允许值，由该方程组所确定的点都在这条曲线上，那么这个方程叫做这条曲线的___________，联系变数的变数____叫做_____,
简称参数。相对于参数方程而言，_________________________________叫做普通方程。
说明：（1）一般来说，参数的变化范围是有限制的。
（2）参数是联系变量x，y的桥梁，可以有实际意义，也可无实际意义。
变式：已知一物体自原点出发，沿轴正方向的速度运动，沿轴正方向以的速度运动，则该物体运动的位移与时间的关系是________________。
典型例题:
例1、已知曲线C的参数方程
（1）、判断点
（2）、已知点在曲线C上，求的值
例2、已知等腰直角，B为直角顶点，且在x轴的正方向运动，A在y轴正方向运动，求点C轨迹的参数方程。
课堂检测：
1、已知点M(1,a)在曲线 （ ）
A 1 B -0.5 C 2 D 0.5
2、已知曲线C的参数方程是则不在曲线上的点是（ ）
A (1,-4) B (4,5) C ( 1,2) D (2,5)
3、已知曲线C满足方程则曲线C上点的横坐标的取值范围是 （ ）
A R B C D
4、动点M做匀速直线运动，它在x轴y轴方向的分速度分别为，直角坐标系的长度单位是1米，点M的起点位置在点则点M的轨迹的参数方程为多少？
5、一架救援飞机以的速度作水平直线飞行，在离灾区指定目标的水平距离还有1000米时投放救灾物资（不计空气阻力，重力加速度），问此时飞机的飞行高度约是多少？
x
y
500
O
A
v=100m/s圆的参数方程
学习目标： 1、理解并掌握圆的参数方程的概念；
2、学会应用圆的参数方程解决一些简单问题；
教学重点难点：圆的参数方程的建立与应用
学习过程：
复习回顾：
参数方程的概念：
求参数方程的关键： 3、圆的普通方程：
学习新课：
探究1;如图，求圆心在原点，半径为2的圆的参数方程。
探究2：如图，求圆心在（-1,2），半径为3的圆的参数方程。
归纳：圆的参数方程的一般表示：
圆心在原点,半径为r： 2、圆心在（a,b）,半径为r：
三、典型例题
例1、如图，圆O的半径为2，P是圆上的动点，Q（6，0）是x轴上的定点，M是PQ的中点，当点P绕O作匀速圆周运动时，求点M的轨迹的参数方程。
思考：你能判断以上轨迹表示什么曲线吗？如果定点Q在圆O上，轨迹是什么？如果定点Q在圆O内，轨迹又是什么？
例2、平面上两点在圆上取一点P，求使取得最小值时点P的坐标。
四、课堂检测
1、下列参数方程中，表示圆的方程是 （ ）
A B
C D
2、当方程 （ ）
A 线段 B 圆 C 半圆 D 四分之一圆周
3、直线（ ）
A 相交 B 相切 C 相离 D 相交且过圆心
4、两圆的位置关系是_______
5、点P（）是圆上任意一点，求的最大值。
6、设点的轨迹。1.圆的极坐标方程
学习目标：
1、认识曲线的极坐标方程的条件
2、掌握各种圆的极坐标方程，能根据圆的极坐标方程画出其对应的图形
学习重难点：
1.总结怎样求极坐标方程的方法与步骤
2.圆的极坐标方程的各种形式
学习过程：
复习回顾：
1.极坐标与直角坐标的互化公式：
2.直角坐标系中，曲线的一般表示及曲线的方程与方程的曲线满足的条件：
3、求曲线方程的一般步骤：
学习新课:
思考1：类比平面直角坐标系中曲线与方程的关系，你能得到极坐标系中，曲线的一般表示吗？
思考2：结合极坐标中，点与坐标的关系，回答在极坐标中，曲线与方程的关系？
圆的极坐标方程：
圆心在极轴的圆的极坐标方程：
如图：半径为a的圆的圆心坐标为C（a,0）(a>0),求此圆的极坐标方程，即圆上任意一点的极坐标（）满足的条件。
归纳：求极坐标中曲线方程的一般步骤：
2.圆心在极点的圆的极坐标方程：
已知：如图，圆O的半径为r，圆心在极点，求圆的极坐标方程
三、当堂练习
1.求下列圆的极坐标方程
(１)中心在极点，半径为2
(２)中心在Ｃ(a,0)，半径为a；
(３)中心在(a,/2)，半径为a；
说明下面极坐标方程表示什么曲线，并画图
（1）、 （2）、2.极坐标和直角坐标的互化
学习目标 ：1、直角坐标的互化关系式
2、极坐标和直角坐标之间的互化。
教学重点：对极坐标和直角坐标的互化关系式的理解
教学难点：互化关系式的掌握
学习过程：
复习引入：
极坐标系的建立及表示
极坐标与平面内点的关系？什么情况下为一一对应？极点的坐标
二、新课学习
引入：在实际应用中，极坐标与直角坐标各有优势，例如，在确定方位时，极坐标的表示比较好，而如果是点的平移的话，直角坐标系就好一些，所以我们有必要学习极坐标和直角坐标的互化。
新课：
把直角坐标系的原点O为极点，轴的正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位。平面内任意一点P的指教坐标与极坐标分别为和，则由三角函数的定义可以一下式子：
上面式子还可变型为：
说明：上述公式即为极坐标与直角坐标的互化公式
互化公式的三个前提条件：
1. 极点与直角坐标系的原点重合;
2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合;
3. 两种坐标系的单位长度相同.
例题分析：
例1、（1）把点M 的极坐标化成直角坐标
（2）把点P的直角坐标化成极坐标
●极坐标系中两点间的距离：
例2：已知两点的极坐标，则|AB|=______,⊿AOB的面积为________.
探究：在极坐标系中，已知 ，则AB的距离为
⊿AOB的面积为
三、当堂练习：
1.已知A的极坐标求它的直角坐标,
2.点B和点C的直角坐标为，求它们的极坐标.＞0,0≤＜2)
3.在极坐标系中,已知两点.求A,B中点的极坐标.
4.极坐标系中,已知三点.判断三点是否在一
条直线上.
5.极坐标系中，已知两点P（5，），Q，求线段PQ的长度；双曲线的参数方程
学习目标:
1.建立椭圆双曲线的参数方程，正确理解参数的几何意义
2.利用参数方程解决一些简单的问题
学习重难点：参数方程的应用
学习过程：
一、复习回顾：
椭圆和的参数方程是？参数的意义
二、新课学习：
1、双曲线参数方程的构建
说明：1.通常规定参数的范围为
2.
2、参数的几何意义：_________________________________
思考：
1.椭圆 与双曲线 中参数的意义类似吗？
2.∠xOA与∠xOM有相等的可能吗？若可能，共有多少次？
3. 参数的几何意义是
注意：参数是双曲线的离心角，而不是旋转角。
思考： (为参数)表示什么曲线？
三、典例分析
例1：求过（0,1）到曲线的最小距离
例2 设M为双曲线上任意一点，O为原点，过电M作双曲线两渐近线的平行线，分别与两渐近线交与A,B两点，探求平行四边形MAOB的面积，由此可发现什么结论？
四、当堂练习
1：把下列普通方程化为参数方程.
1. 2.
2.把下列参数方程化为普通方程
1、(为参数) 2、 (为参数)
O
B
M
A
x
y3.1直线的参数方程（第一课时）
教学目标：
通过探究直线参数方程的过程，使学生体会直线单位方向向量的含义，及参数的含义。
通过练习使学生加深对直线参数方程的理解。
教学重点：参数的含义，直线单位方向向量的含义。
教学难点：如何引入参数，理解和写直线单位方向向量
教学方法：学案，问题教学
教学环节：
一、复习引入
在平面直角坐标系中，确定一条直线的几何条件有哪些？如果直线L过定点，
倾斜角为， ，当时，上面直线L的普通方程是 。
那么怎样建立这条直线的参数方程呢？
【设计意图】复习范围（为后面讨论的范围做基础），引入课题“建立这条直线的参数方程”
二、直线的参数方程
（一）直线的参数方程的推导
【设计意图】从点到向量，到最后的单位方向向量，通过从特殊到一般的过渡，使学生理解直线的单位方向向量的含义。从研究与的关系到∥再到
，最后设出,学生通过逐步解决这些问题具体理解及的含义。
1.直线L过O（0，0），倾斜角为，
（1）在L上，， 写出的坐标与的关系
【预设问题】点与的关系通过什么知识建立练习？（三角函数定义）
(2) 在L上，，写出的坐标与的关系
【预设问题】与有什么关系？如何列式表达与的坐标的关系？
【学生回答】与在直线L上，且∥，所以
（3）在L上，确定适当的参数，写出坐标与参数的关系。
【预设问题】可以利用（2）问中的吗？与有共线关系吗？如何设参数？
【学生回答】可以，，以为参数。
【预设反问】参数的含义？
【学生回答】不能明确表示出对的分析。
2. 直线L过O（0，0），倾斜角为，求L的参数方程。
【预设问题】如何利用写出类似于那样的向量？
【学生回答】类似1题直线L上取点，
接下来学生仿1题（3），按照求参数方程的步骤推导L的参数方程，最后一步检验参数方程表示直线时，继续从分析的位置。
【预设反问】的意义
【学生回答】,能反映出直线L的倾斜程度。
3. 直线L过，倾斜角为，求L的参数方程。
【预设问题】如何用倾斜角表示直线L的单位方向向量？
师：这条直线与前面直线有什么不同？生：这条直线不过原点。
师：L的单位方向向量体现倾斜程度，能否在过原点的直线中找一条与L倾斜程度一样的直线L’？生：可以，过原点做L’平行于L，L’的倾斜角为。
师：可以通过L’做直线L的单位方向向量？生：L’上取，使，设。
【预设问题】如何用的坐标、坐标表示的坐标？
【学生回答】能设出，然后再按照求参数方程的步骤推导L的参数方程，最终求出这条直线的参数方程：（为参数）。
（二）巩固提高
1.直线的参数方程 ，
【设计意图】强调求直线参数方程步骤，①取点②③写方程。
直线的参数方程 ，
【设计意图】通过这个练习，教给学生学会，知道斜率，倾斜角不是特殊角如何求。
三、小结
直线的参数方程的推导中：
① = ，表示 ；
②的范围如何？ 表示 ；
四、作业：书p39：1题。
五、思考：直线的参数方程（t为参数），直线的倾斜角与的关系。参数方程与普通方程的互化
学习目标:
1．能通过消去参数将参数方程化为普通方程，由普通方程识别曲线的类型
2．能选择适当的参数将普通方程化成参数方程
学习重难点:参数方程与普通方程相互转化。
学习过程:
一、复习回顾：
1、圆心在原点，半径为r的圆的参数方程及普通方程
2、圆心在（a,b），半径为r的圆的参数方程及普通方程
二、新课学习：
例1、将下列参数方程化为普通方程（以下t和为参数）
（1） （2） （3）
（4） （5） （6）
归纳：参数方程化为普通方程的过程就是消参过程常见方法：
（1）代入法：利用解方程的技巧求出参数t，然后代入消去参数
（2）三角法：利用三角恒等式消去参数
（3）整体消元法：根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去。
注意：化参数方程为普通方程时，在消参过程中注意变量、取值范围的一致性，必须根据参数的取值范围，确定和值域得、的取值范围。
例2.求椭圆的参数方程：
（1）设x=3cos,其中为参数。 （2）设y=2t,其中t为参数。
说明：普通方程化为参数方程时，一般要指定参数，或者是特殊曲线的参数方程。
三、当堂练习
1、化下列曲线的参数方程为普通方程，并指出它是什么曲线（以下t和为参数）
（1） （2） （3）
（4） （5） （6）
根据所给条件，把曲线的普通方程化为参数方程。
（1）
（2）
（3）设
- 1 -编写时间＿＿年＿＿月＿＿日　　　执行时间＿＿年＿＿月＿日　　教案总序号＿＿＿
课题：直角坐标系
教学目的：
知识目标：回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法
能力目标：体会坐标系的作用
德育目标：
教学重点：体会直角坐标系的作用
教学难点：能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题
授课类型：新授课
教学模式：启发、诱导发现教学.
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
情境1：为了确保宇宙飞船在预定的轨道上运行，并在按计划完成科学考察任务后，安全、准确的返回地球，从火箭升空的时刻开始，需要随时测定飞船在空中的位置机器运动的轨迹。
情境2：运动会的开幕式上常常有大型团体操的表演，其中不断变化的背景图案是由看台上座位排列整齐的人群不断翻动手中的一本画布构成的。要出现正确的背景图案，需要缺点不同的画布所在的位置。
问题1：如何刻画一个几何图形的位置？
问题2：如何创建坐标系？
二、学生活动
学生回顾
刻画一个几何图形的位置，需要设定一个参照系
1、数轴 它使直线上任一点P都可以由惟一的实数x确定
2、平面直角坐标系
在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。它使平面上任一点P都可以由惟一的实数对（x,y）确定
3、空间直角坐标系
在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。它使空间上任一点P都可以由惟一的实数对（x,y,z）确定
二、讲解新课：
建立坐标系是为了确定点的位置，因此，在所建的坐标系中应满足：
任意一点都有确定的坐标与其对应；反之，依据一个点的坐标就能确定这个点的位置
确定点的位置就是求出这个点在设定的坐标系中的坐标
四、数学运用
例1 选择适当的平面直角坐标系，表示边长为1的正六边形的顶点。
变式训练
如何通过它们到点O的距离以及它们相对于点O的方位来刻画,即用”距离和方向”确定点的位置
例2 已知B村位于A村的正西方1公里处,原计划经过B村沿着北偏东60的方向设一条地下管线m.但在A村的西北方向400米出,发现一古代文物遗址W.根据初步勘探的结果,文物管理部门将遗址W周围100米范围划为禁区.试问:埋设地下管线m的计划需要修改吗
变式训练
1一炮弹在某处爆炸,在A处听到爆炸的时间比在B处晚2s,已知A、B两地相距800米，并且此时的声速为340m/s,求曲线的方程
2在面积为1的中，，建立适当的坐标系，求以M，N为焦点并过点P的椭圆方程
例3 已知Q（a,b）,分别按下列条件求出P 的坐标
（1）P是点Q 关于点M（m,n）的对称点
（2）P是点Q 关于直线l:x-y+4=0的对称点（Q不在直线1上）
变式训练
用两种以上的方法证明：三角形的三条高线交于一点。
思考
通过平面变换可以把曲线变为中心在原点的单位圆，请求出该复合变换？
三、巩固与练习
四、小 结：本节课学习了以下内容：
1．
2．
3．
五、课后作业：课本P14页 1，2，3，
课题：平面直角坐标系中的伸缩变换
使用说明：1、利用15分钟自学课本4-8页，完成问题导学；
2、独立完成例题，并总结规律、方法；
3、完成配餐作业，加强落实整理。
一、学习目标：
1、理解并掌握理解平面直角坐标系中的伸缩变换；
2、学会应用平面直角坐标系的伸缩变换解决一些简单问题；
3、培养学生分析、归纳、推理等能力。
二、教学重点难点：伸缩变换在解题中的应用
三、问题导学
1、由___________________
_________________________(2)____________________________________________.
2、设点P（x,y）是平面直角坐标系中的任意一点，在变换_______________的作用下，点P(x,y)对应到点______,
简称伸缩变换。
3、回顾以前学习过的三角函数：变换成
变换成。
4、怎样由;
怎样由_，
怎样由
四、典型例题
例1、在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换
的吐图形。
五、课堂检测
在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换
六、课堂小结：
（1）知识方法：
（2）数学思想：
配餐作业（40分钟）
抛物线__________________
把圆
将椭圆
在同一直角坐标系中将直线的伸缩变换为___________
曲线对应的方程为______________
在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换曲线C变为曲线
在同一平面直角坐标系中，求满足下列图形变换的伸缩变换
直线
曲线
课题：柱坐标系
使用说明：1、利用15分钟自学课本16，17页，完成问题导学；
2、独立完成例题，并总结规律、方法；
3、完成配餐作业，加强落实整理。
一、学习目标：
1、理解并掌握柱坐标系的概念；
2、学会应用柱坐标系解决一些简单问题；
3、培养学生分析、归纳、推理等能力。
二、教学重点难点：柱坐标系的应用，柱坐标与极坐标的联系
三、问题导学
1、建立空间直角坐标系，设P使空间任意一点，它在平面上的射影为Q，用______________表示点Q在平面上 的极坐标，这是点P的位置可用有序数组之间的一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做_________，有序数组叫做点P的___________，记做P，其中__________________.
2、空间点P的直角坐标与柱坐标之间的变换公式为____________.
四、典型例题
例1、给定一个底面半径为，高位的圆柱，建立柱坐标系，利用柱坐标系描述圆柱上、下底面中心的位置，以及侧面上点的位置。
例2、在柱坐标系中，长方体的两个顶点坐标为则此长方体外接球的体积为多少？
五、课堂检测
1、设点M的直角坐标为（1，1，1），则它在柱坐标系中的坐标为______
2、设点M的柱坐标为则它的直角坐标为________
3、已知空间两点A,B的柱坐标分别为则AB的中点C的直角坐标为___________
直角坐标对应的柱坐标为_______________
柱坐标（）对应的直角坐标为__________
空间两点的柱坐标分别为
在直三棱柱中，棱,M是
的中点，在如图所示坐标系内求出点M的空间直角坐标、柱坐标
课题：极坐标系
教学目的：
知识目标：理解极坐标的概念
能力目标：能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别.
德育目标：
教学重点：理解极坐标的意义
教学难点：能够在极坐标系中用极坐标确定点位置
授课类型：新授课
教学模式：启发、诱导发现教学.
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
情境1：军舰巡逻在海面上，发现前方有一群水雷，如何确定它们的位置以便将它们引爆？
情境2：如图为某校园的平面示意图，假设某同学在教学楼处。
（1）他向东偏60°方向走120M后到达什么位置？该位置惟一确
定吗？
（2）如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？
问题1：为了简便地表示上述问题中点的位置，应创建怎样的坐标系呢？
问题2：如何刻画这些点的位置？
这一思考，能让学生结合自己熟悉的背景，体会在某些情况下用距离与角度来刻画点的位置的方便性，为引入极坐标提供思维基础．
二、讲解新课：
从情镜2中探索出：在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想。
1、极坐标系的建立：
在平面上取一个定点O，自点O引一条射线OX，同时确定一个单位长度和计算角度的正方向（通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系。
（其中O称为极点，射线OX称为极轴。）
2、极坐标系内一点的极坐标的规定
对于平面上任意一点M，用 表示线段OM的长度，用 表示从OX到OM 的角度， 叫做点M的极径， 叫做点M的极角，有序数对（，）就叫做M的极坐标。
特别强调：由极径的意义可知≥0;当极角的取值范围是[0,2)时,平面上的点(除去极点)就与极坐标（，）建立一一对应的关系 .们约定,极点的极坐标是极径=0,极角是任意角.
3、负极径的规定
在极坐标系中，极径允许取负值，极角也可以去任意的正角或负角
当＜0时，点M （，）位于极角终边的反向延长线上，且OM=。
M （，）也可以表示为
4、数学应用
例1 写出下图中各点的极坐标（见教材14页）
A（4，0）B（2 ）C（ ）
D（ ）E（ ）F（ ）
G（ ）
平面上一点的极坐标是否唯一？
若不唯一，那有多少种表示方法？
③坐标不唯一是由谁引起的？
不同的极坐标是否可以写出统一表达式
约定：极点的极坐标是=0，可以取任意角。
变式训练
在极坐标系里描出下列各点
A（3，0） B（6，2）C（3，）D（5，）E（3，）F（4，）G（6，
点的极坐标的表达式的研究
例2 在极坐标系中，
已知两点P（5，），Q，求线段PQ的长度；
已知M的极坐标为（，）且=，，说明满足上述条件的点M 的位置。
变式训练
1、若的的三个顶点为
2、若A、B两点的极坐标为求AB的长以及的面积。（O为极点）
例3 已知Q（，），分别按下列条件求出点P 的极坐标。
P是点Q关于极点O的对称点；
P是点Q关于直线的对称点；
P是点Q关于极轴的对称点。
变式训练
1.在极坐标系中,与点关于极点对称的点的一个坐标是 ( )
2在极坐标系中，如果等边的两个顶点是求第三个顶点C的坐标。
三、巩固与练习
四、小 结：本节课学习了以下内容：
1．
2．
3．
五、课后作业：教材P14-15页5，8，9，10，11
课题：极坐标与直角坐标的互化
教学目的：
知识目标：掌握极坐标和直角坐标的互化关系式
能力目标：会实现极坐标和直角坐标之间的互化
德育目标：
教学重点：对极坐标和直角坐标的互化关系式的理解
教学难点：互化关系式的掌握
授课类型：新授课
教学模式：启发、诱导发现教学.
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
情境1：若点作平移变动时，则点的位置采用直角坐标系描述比较方便;
情境2：若点作旋转变动时，则点的位置采用极坐标系描述比较方便
问题1：如何进行极坐标与直角坐标的互化？
问题2：平面内的一个点的直角坐标是，这个点如何用极坐标表示？
学生回顾
理解极坐标的建立及极径和极角的几何意义
正确画出点的位置，标出极径和极角，借助几何意义归结到三角形中求解
二、讲解新课：
直角坐标系的原点O为极点，轴的正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位。平面内任意一点P的指教坐标与极坐标分别为和，则由三角函数的定义可以得到如下两组公式：
{ {
说明1上述公式即为极坐标与直角坐标的互化公式
2通常情况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取≥0，≤≤。
3互化公式的三个前提条件
1. 极点与直角坐标系的原点重合;
2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合;
3. 两种坐标系的单位长度相同.
四、数学应用
例4．（1）把点M 的极坐标化成直角坐标
（2）把点P的直角坐标化成极坐标
变式训练
在极坐标系中,已知求A,B两点的距离
例5.若以极点为原点,极轴为轴正半轴,建立直角坐标系.
已知A的极坐标求它的直角坐标,
已知点B和点C的直角坐标为
求它们的极坐标.＞0,0≤＜2)
变式训练
把下列个点的直角坐标化为极坐标(限定＞0,0≤＜)
例6.在极坐标系中,已知两点.
求A,B中点的极坐标.
变式训练
在极坐标系中,已知三点.
判断三点是否在一条直线上.
三、巩固与练习
四、小 结：本节课学习了以下内容：
1．
2．
3．
五、课后作业：教材P15页12，13
课题：简单曲线的极坐标方程
教学目标:
一、知识与技能：
知道在极坐标系中刻画点的位置的方法；掌握简单图形（过极点的直线、圆心在极点的圆、圆心有极轴，过极点的圆以及阿基米德螺线）的极坐标方程
二、方法与过程
借助生活中的实例引入极坐标的概念；研究简单图形的极坐标方程的特点；比较简单图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程。
三、情感、态度与价值观
体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别；体会在用方程刻画平面图形时选择适当坐标系的意义；通过阿基米德螺线，感受数学的文化价值。
教学重点:几类简单图形（过极点的直线、圆心在极点的圆、圆心有极轴，过极点的圆以及阿基米德螺线）的极坐标方程
教学难点：几类简单图形的极坐标方程的推导
教学过程
一、新课引入：
1、在平面内取定一点O，O点叫作极点：从O起引一条射线O，这条从极点起的射线O叫作极轴；选定长度单位，再选定角度的下方向（逆时针转角为正向），这种取定了极点、极轴、长度单位与角度正向的坐标系叫作极坐标系。建立极坐标系的要素是：极点、极径、长度单位、角度单位和它的正方向
2、对于平面上的一个点M，连接极点O与M，线段OM之长叫作M点的极径（或矢径、或向径），极轴O为始边按逆时针转到OM的角叫作M点的极角，有序数对（，）叫作M点的极坐标。当在建立了极坐标系的平面内给定一个点时，这个点的极坐标却不上唯一确定的，它可以有无数多种表示。
3、一般说来，由点求极坐标时，一般先按点与极点的距离求出极径的数值，并给出正号，然后按照它所在的直线的位置求出极角。
二、讲解新课：
在平面直角坐标系中，许多曲线的方程变得十分简洁，而且几何形象也表达得十分明确。所谓曲线L的极坐标方程是指L上的动点的极坐标的极径与极角满足的方程或
1、过极点直线的极坐标方程
在平面直角坐标系中，过原点O的直线方程形如：，其中是实数，叫作斜率， ，是此直线与O轴的夹角，这个角是多大，一般从上不易看出来，需要计算。但在极坐标中，我们取O的正方向为极轴，则过极点O的射线方程写成）
如果我们充许极径取负值，约定M （，）关于极点对称点N的极坐标写成N（），于是过原点与轴夹角为的直线的极坐标方程为
如与轴夹角为过原点的直线的极坐标方程为=
2、圆心在极点的圆的极坐标方程 =
方程=的含义是动点的极径恒为，是个常数；而方程=无极角，表示可以任意变化，当极径是常数，极角任意时，即动保持与O点等距地转动，这正是圆规在画圆。
3、圆心在极轴，过极点的圆的极坐标方程
如图中画的是过极点，其中心在极轴的圆，设其半径为
设此圆上任取一点M的极坐标为（，），由于OA是直径，所以∠OMA=，于是，即从而得与满足的方程为：=2
4、阿基米德螺线
一个动点M随时间的增加绕定点O逆（或顺）时针匀速绕动，同时离O点越来越远，它远离O点的直线距离也是匀速增长的，如果把O点定为极坐标的极点，M与O点的直线距离就是向径，转角就是极角，由于与的增加所用的时间是一致的，设开始时，动点在极点，则时间为（）
一般地，将该式写成
表示的曲线叫作阿基米德螺线，由于它向径的扩张与转角的变化皆为等速的，所以也称其为等速螺线。
三、范例讲解
例1、（1）求过点A（2，）且平行于极轴的直线的极坐标方程；
（2）过点A（3，）且和极轴成角的直线的极坐标方程
思路点拔：在已给极坐标系中，要想求直线的极坐标方程，就必须先寻找到几何等式。按照常规思路需构造关键三角形，利用关键三角形的边角关系引出几何意义。
解法一：如图，在直线上任取一点M（，）
在△OAM中 |OA|=2 |OM|=
∠OAM=（或） ∠OMA=（或）
在△OAM中由正弦定理得：
∴
解法二：如图在直线上任取一点M（，）过M作MH⊥极轴于H点，
|MH|=2=
在RT△OHM，|HM|=|OM| 即
（2）∠MBx=，∠OAB==
∴∠OMA=
在△MOA中，根据正弦定理
∴化简得直线的极坐标方程为：
本题利用三角形法求出了直线方程，三角形法的步骤是：先根据题意作出（寻找）关键三角形，利用解三角形的知识列出几何等式，再将几何等式坐标化，化简、整理即得所求直线的极坐标方程。
例2、在极坐标系中，求以Q（，）为圆心，以为半径的极坐标方程
解：由已知条件可知，此圆过极点。设点M（，）为圆上任意一点，连结OQ交圆于点N，则ON为圆的直径，连结MN，则△OMN为直角三角形。
∠NOM= |ON|=2
∴|OM|=|OM| 即=2
这就是所求的圆的极坐标方程。
四、巩固练习：
1、设极点O到直线的距离为，由点O向直线作垂线OA，
由极轴到垂线OA的角度为（如图所示）求已知直线的极坐标方程
2、判断两圆和的位置关系
五、小结
几类特殊曲线的极坐标方程
1、过极点直线的极坐标方程
2、过已知点A（，）且平行于极轴的直线的极坐标方程：
3、过已知点A（，）且垂直于极轴的直线的极坐标方程：
4、过点A（，）且和极轴成角的直线的极坐标方程：
5、极点O到直线的距离为，由点O向直线作垂线OA，由极轴到垂线OA的角度为的直线的极坐标方程：
6、圆心在极点的圆的极坐标方程：=
7、圆心在极轴，过极点的圆的极坐标方程=2
8、以（，）为圆心，以为半径的圆（即圆过极点）极坐标方程=2
六、课后作业：
课本24页 习题3，4，5，6
教学反思：
课题：参数方程的概念
使用说明：1、利用15分钟自学课本21-23页，完成问题导学；
2、独立完成例题，并总结规律、方法；
3、完成配餐作业，加强落实整理。
一、学习目标：
1、理解并掌握参数方程的概念；
2、学会应用参数方程解决一些简单问题；
3、培养学生分析、归纳、推理等能力。
二、教学重点难点：建立参数方程
三、问题导学
1、在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标都是______________
_________________，并且的每个允许值，由该方程组所确定的点都在这条曲线上，那么这个方程叫做这条曲线的参数方程，联系变数的变数叫做
_________，简称参数。相对于参数方程而言，_________________________________
叫做普通方程。
2、已知一物体自原点出发，沿轴正方向的速度运动，沿轴正方向以的速度运动，则该物体运动的位移与时间的关系是________________。
四、典型例题
例1、已知曲线C的参数方程
判断点
（2）已知点在曲线C上，求的值
例2、已知等腰直角，B为直角顶点，且在x轴的正方向运动，A在y轴正方向运动，求点C轨迹的参数方程。
五、课堂检测
1、直线的参数方程为程又可以写成__________________
2、参数方程 （ ）
A (2,5) B (5,8) C (3,8) D (8,5)
六、课堂小结：
（1）知识方法：
（2）数学思想：
配餐作业（40分钟）
1、已知点M(1,a)在曲线 （ ）
A 1 B -0.5 C 2 D 0.5
2、已知曲线C的参数方程是则不在曲线上的点是（ ）
A (1,-4) B (4,5) C ( 1,2) D (2,5)
3、已知曲线C满足方程则曲线C上点的横坐标的取值范围是 （ ）
A R B C D
4、已知点M（a,1）在曲线C （ ）
A 1 B -0.5 C 2 D 0.5
5、动点M做匀速直线运动，它在x轴y轴方向的分速度分别为，直角坐标系的长度单位是1米，点M的起点位置在点则点M的轨迹的参数方程为多少？
6、一架救援飞机以的速度作水平直线飞行，在离灾区指定目标的水平距离还有1000米时投放救灾物资（不计空气阻力，重力加速度），问此时飞机的飞行高度约是多少？
课题：圆的参数方程
使用说明：1、利用15分钟自学课本23、24页，完成问题导学；
2、独立完成例题，并总结规律、方法；
3、完成配餐作业，加强落实整理。
一、学习目标：
1、理解并掌握圆的参数方程的概念；
2、学会应用圆的参数方程解决一些简单问题；
3、培养学生分析、归纳、推理等能力。
二、教学重点难点：圆的参数方程的建立与应用
三、问题导学
1、圆的参数方程
_______________________________________________________________________.
2、参数方程
四、典型例题
例1、如图，圆O的半径为2，P是圆上的动点，Q（6，0）是x轴上的定点，M是PQ的中点，当点P绕O作匀速圆周运动时，求点M的轨迹的参数方程。
例2、平面上两点在圆上取一点P，求使取得最小值时点P的坐标。
五、课堂检测
1、下列参数方程中，表示圆的方程是 （ ）
A B
C D
2、直线的位置关系为 （ ）
A 相交 B 相切 C 相离 D 相交且过圆心
六、课堂小结：
（1）知识方法：
（2）数学思想：
配餐作业（40分钟）
当方程（ ）
A 线段 B 圆 C 半圆 D 四分之一圆周
2、直线（ ）
A 相交 B 相切 C 相离 D 相交且过圆心
3、两圆的位置关系是_______________
4点P（）是圆上任意一点，求的最大值。
5设点的轨迹。
6、已知点M是正三角形ABC的外接圆上的任意一点，求证：
7、已知，求的最大值与最小值
课题：参数方程和普通方程的转换
使用说明：1、利用15分钟自学课本24-26页，完成问题导学；
2、独立完成例题，并总结规律、方法；
3、完成配餐作业，加强落实整理。
一、学习目标：
1、理解并掌握参数方程和普通方程的转换关系；
2、学会应用这些转换关系解决一些简单的几何问题；
3、培养学生分析、归纳、推理等能力。
二、教学重点难点：参数方程的建立和方程之间的转换。
三、问题导学
1、可以通过______________而从参数方程得到普通方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使_______________________________________保持一致。
2、方程表示的曲线是___________________________。
四、典型例题
例1、把下列参数方程化为普通方程，说明它们各表示什么曲线：
（1） （2）
例2、求椭圆的参数方程：
（1）设 （2）设
五、课堂检测
把下列参数方程与普通方程互化
（1） （2）
六、课堂小结：
（1）知识方法：
（2）数学思想：
配餐作业（40分钟）
方程表示的曲线是_______________
已知曲线C的方程为，（2，-3），（1，1），（），（）这些点___________________在曲线C上。
把下列参数方程化为普通方程，并说明他们各表示什么曲线
（1） （2）
（3） （4）
根据所给条件，把曲线的普通方程化为参数方程。
（1）
（2）
设
课题：直线的参数方程
教学目的：
知识目标：掌握直线的参数方程和应用
能力目标：会用直线的参数方程解决简单的问题
德育目标：
教学重点：掌握直线的参数方程和应用
教学难点：直线的参数方程的应用
授课类型：新授课
教学模式：启发、诱导发现教学.
教 具：多媒体、实物投影仪
一、课题引入
在平面直角坐标系中,确定一条直线的几何条件是什么
根据直线的几何条件,你认为用哪个几何条件来建立参数方程比较好？
一个定点和倾斜角可惟一确定一条直线
根据直线的这个几何条件,你认为应当怎样选择参数
二、新课讲授
三、例题讲解
四、课堂小结
五、练习：
六、作业：p39 2.3.4
课题：椭圆的参数方程
教学目的
1.建立椭圆的参数方程
2.正确理解离心角的意义
3.正确运用离心角解题
教学重点
椭圆的参数方程及其应用
教学难点
正确理解椭圆离心角的几何意义
辅教工具
自制课件、多媒体计算机、投影仪、大屏幕
教学过程
一、创设情境
问题1、回忆圆的参数方程，并指出其中参数的几何意义。
问题2、类比圆的参数方程，你能说出椭圆的参数方程吗？
练习1：把下列普通方程化为参数方程.
二、椭圆参数方程的构建
问题：以坐标原点O为圆心，分别以a、b为半径作两个圆。点A是大圆上任意一点，点B是大圆半径与小圆的交点，过点A作AN⊥x轴于点N，再过点B作BM⊥AN于点M。求当半径OA绕点O旋转时，点M的轨迹的参数方程。
首先，师生共同阅读、正确理解题意，同时运用《几何画板》制作出合符题意的图形。
其次，引导学生选择恰当的参数，构建椭圆的参数方程。
①提问学生选取什么作为参数？
②再问学生选择该参数的理由；
(因为点A是主动点，点M是从动点，所以选择∠xOA为参数)
③构建椭圆的参数方程：
如图，设∠xOA＝θ，点M的坐标为(x,y)。
则x＝ON＝|OA|cosθ＝acosθ，
y＝NM＝|OB|sinθ＝bsinθ。
即　　(θ为参数)。
这就是点M轨迹的参数方程。
最后，提问学生点M的轨迹是一条什么曲线？为什么？并引出离心角的概念。
①直接消去参数θ，化参数方程为普通方程可知点M的轨迹是椭圆；
②利用《几何画板》对点M进行“跟踪”，发现点M的轨迹确实是椭圆；
三、正确理解椭圆离心角θ的几何意义
1.给出离心角与旋转角的概念
如图，我们称∠xOA为椭圆的离心角，而把∠xOM叫做椭圆的旋转角。
2.初步认识椭圆的离心角θ
①由图可知∠xOA≠∠xOM；
②提问：∠xOA与∠xOM有相等的可能吗？一共有多少次？
(缓慢拖动点A，引导学生进行观察)
3.通过下面的练习加深对离心角的认识
练习2：把下列参数方程化为普通方程
练习3：已知椭圆的参数方程为 (是参数) ，则此椭圆的长轴长为（ ），短轴长为（ ），焦点坐标是（ ），离心率是（ ）。
四、利用椭圆的参数方程解题：
例1： （2008江苏）在平面直角坐标系中，设是椭圆上的一个动点，求的最大值
分析：可利用椭圆参数方程.
解：设椭圆参数方程为：
(θ为参数)
∵在椭圆上
∴
∴
∴的最大值为2。
例2.求椭圆上的点到直线l:x-y+4=0的距离的最小值和最大值。
分析：可利用椭圆参数方程.
解：设椭圆参数方程为：
(θ为参数)
设是椭圆上的一个动点，则，到直线l距离为：
其中，
∴，
因此椭圆上的点到直线l:x-y+4=0的距离的最小值和最大值分别为，。
五、本课小结
①椭圆的参数方程：　　(θ为参数)。
②参数θ是椭圆的离心角，它不同于椭圆的旋转角。
关于这一点我们应当予以足够的重视。
六、课后作业：
1、已知椭圆,求椭圆内接矩形面积的最大值
2、在平面直角坐标系中，设是椭圆上的一个动点，求的最大值。
七、课后反思：
本节课通过计算机多媒体创设情境辅助教学，效果很好。在这节课中，主要学习椭圆的参数方程，了解它的建立过程，了解它与普通方程的相互联系，并能相互转化，能力要求是一方面在推导参数过程中进一步巩固坐标法，另一方面对椭圆有一个系统的综合理解。由于从两个圆中演变出椭圆，比较抽象，不易理解。所以，我利用几何画板软件制作了椭圆的生成轨迹图形，把抽象的内容以生动的，形象的，易于接受的形式展现给学生，不失时机的发挥多媒体作用，恰倒好处的克服难点，提高了学生的兴趣，开阔了知识视野，启发了思维，从而使学生牢固的掌握知识，同时形成能力。数学教学活动必需建立在学生的认识发展水平和已有的知识经验基础之上。学生已有的认识结构是学生知识的生长点，也是教师开展教学活动的起点，在对椭圆参数方程的教学中，我感到：1.教学设计要紧扣课程标准的要求，结合学生已有的知识经验出发，通过知识间的内在联系，不断暴露对问题解决的思维过程，让学生能充分体验数学的“再发现”，从中体会其中蕴涵的数学思想方法，才能使学生深化对知识本质的认识。2.在教学中要让学生经历典型问题的探究过程，使学生弄清问题由何而来，从何而去，体会数学的应用价值，激发学生学习数学和应用数学的兴趣，使学生能学、会学、善学。
课题：
教学目的：
知识目标：掌握双曲线的参数方程和应用
能力目标：掌握双曲线的参数方程应用
德育目标：
教学重点：掌握双曲线的参数方程和应用
教学难点：掌握双曲线的参数方程应用
授课类型：新授课
教学模式：启发、诱导发现教学.
教 具：多媒体、实物投影
一、新授
双曲线的参数方程
三、
四、小结：
1、双曲线参数方程的形式
2、双曲线参数方程中参数的意义
五、作业：p34 3
课题：抛物线的参数方程
教学目的：
知识目标：掌握抛物线的参数方程和应用
能力目标：掌握抛物线的参数方程和应用
德育目标：
教学重点：：掌握抛物线的参数方程和应用
教学难点：：掌握抛物线的参数方程和应用
授课类型：新授课
教学模式：启发、诱导发现教学.
教 具：多媒体、实物投影仪
一、新课引入
思考： 怎样根据抛物线的定义选取参数，建立抛物线x2=2py(p>0)的
参数方程？
二、例题讲评：
三、
四、课外作业：p34 4 5
O
A
M
H
O
A
M
x
B
O
M
N
O
A
M
x
e
t
M
M
R
t



0
，使得
存在惟一实数
①
②
③

b
a
o
x
)
M
B
A
例1、
O
B
M
A
x
y
⑩
⑩
⑨
⑧
汝城一中高二数学教案 第 1 页 （共 34页）