2020-2021学年八年级数学人教版下册《第18章平行四边形》单元综合能力达标测评（word版含解析）

2021年度人教版八年级数学下册《第18章平行四边形》单元综合能力达标测评（附答案）
1．如图，在?ABCD中，AD＝2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论中：①∠DCF＝∠BCD；②EF＝CF；③S△BEC＜2S△CEF；④∠DFE＝4∠AEF．一定成立的有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，连接AD，分别以点A，C为圆心，AD的长为半径在△ABC外画弧，两弧交于点E，连接AE，CE，过点D作DF⊥CE于点F．若AB＝6，AC＝8，则DF的长为（　　）
A． B．4 C． D．5
3．如图，矩形ABCD中，DE平分∠ADC，交BC于点E，将一块三角板的直角顶点放在点E处，并使它的一条直角边过点A，另一条直角边交CD于M点，若DM＝2CM，BC＝8，则BE的长为（　　）
A．2 B． C． D．3
4．如图，在四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝23°，则∠PFE的度数为（　　）
A．23° B．25° C．30° D．46°
5．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB，F是BC的中点，作AE⊥CD于点E，连接EF、AF，下列结论：①2∠BAF＝∠BAD；②EF＝AF；③S△ABF＝S△AEF；④∠BFE＝3∠CEF．其中一定成立的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．在?ABCD中，AB⊥AC，∠B＝60°，AC＝2cm，则?ABCD的周长是（　　）
A．10cm B．11cm C．12cm D．13cm
7．如图，已知：PA＝，PB＝4，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧．当∠APB＝45°时，则PD的长为　 　．
8．如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA，下列四种说法：①四边形AEDF是平行四边形；②如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是菱形；⑧如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；
④如果AB＝AC，那么四边形AEDF是菱形．其中，正确的有　 　．（只填写序号）
9．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC，斜边AB为边向外作等边三角形△ACD和△ABE，F为AB的中点，连接DF，EF，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，正确的是　 .（多选）
A．AC⊥DF B．四边形BCDF为平行四边形 C．DA+DF＝BE D.＝
10．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB、BC的中点，连接EC、DF，点G、H分别是EC、DF的中点，连接GH，则GH的长度为　 　．
11．如图，?ABCD的对角线AC，BD交于点O，CE平分∠BCD交AB于点E，交BD于点F，且∠ABC＝60°，AB＝2BC，连接OE，则AC：BD＝　 　．
12．如图，已知正方形ABCD中，两动点M和N分别从顶点B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD向终点C、D运动，连接AM、BN，交于点P，再连接PC，若AB＝4，则PC长的最小值为　 　．
13．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，以AC、BD的交点，O为圆心，OC为半径作弧交BC于点E，再分别以点E、C为圆心，大于EC的长为半径作弧交于点F（作图痕迹如图所示），作射线OF交BC于点M，若OM＝3，则AC的长是　 　．
14．矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知B（2，2），点A在x轴上，点C在y轴上，P是对角线OB上一动点（不与原点重合），连接PC，过点P作PD⊥PC，交x轴于点D．则下列结论正确的是　 　.（写出所有正确结论的序号）
①OA＝BC＝2；
②当点D运动到OA的中点处时，PC2+PD2＝7；
③当OD＝PD时，点D的坐标为（，0）；
④在运动过程中，∠CDP是一个定值．
15．已知矩形ABCD，AB＝4，AD＝6，点E为AB边的中点，点F为BC边上的动点，点B和点B'关于EF对称，则B'D的最小值是　 　．
16．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝12cm，BC＝15cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，直线PQ截原四边形为两个新四边形．则当P，Q同时出发　 　秒后其中一个新四边形为平行四边形．
17．如图，以△ABC的边AB、AC为边往外作正方形ABEF与正方形ACGD，连接BD、CF、DF，若AB＝2，AC＝4，则BC2+DF2的值为　 　．
18．如图，在?ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F在BD上，且BE＝DF，连接AE并延长，交BC于点G，连接CF并延长，交AD于点H．
（1）求证：AE＝CF；
（2）若AC平分∠HAG，判断四边形AGCH的形状，并证明你的结论．
19．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，求证：
（1）EF＝CF；
（2）∠DFE＝3∠AEF．
20．如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AC上一点，连接EB、ED．
（1）试说明△BEC≌△DEC；
（2）延长BE，交AD于F，∠BED＝120°时，求∠EFD的度数．
21．在正方形ABCD中，点E为CD中点，连接AE并延长交BC延长线于点G，点F在BC上，∠FAE＝∠DAE，连接FE并延长交AD延长线于H，连接HG．
（1）求证：四边形AFGH为菱形：
（2）若DH＝1．求四边形AFGH的面积．
22．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠BCD＝90°，AB＝DC＝4，AD＝BC＝8．延长BC到E，使CE＝3，连接DE，由直角三角形的性质可知DE＝5．动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P运动的时间为t秒．（t＞0）
（1）当t＝3时，BP＝　 　；
（2）当t＝　 　时，点P运动到∠B的角平分线上；
（3）请用含t的代数式表示△ABP的面积S；
（4）当0＜t＜6时，直接写出点P到四边形ABED相邻两边距离相等时t的值．
23．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝3，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
24．在边长为5的正方形ABCD中，点E在边CD所在直线上，连接BE，以BE为边，在BE的下方作正方形BEFG，并连接AG．
（1）如图1，当点E与点D重合时，AG＝　 　；
（2）如图2，当点E在线段CD上时，DE＝2，求AG的长；
（3）若AG＝，请直接写出此时DE的长．
25．如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝6cm．点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．
（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形；
（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形；
（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．
26．如图，已知点D是△ABC的边BC的中点，直线AE∥BC，过点D作直线DE∥AB，分别交AE、AC于点E、F．
（1）求证：四边形ADCE是平行四边形；
（2）如果四边形ADCE是矩形，△ABC应满足什么条件？并说明理由；
（3）如果四边形ADCE是菱形，直接写出△ABC应满足的条件是　 　．
27．如图△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．
（1）求证：OE＝OF；
（2）若CE＝4，CF＝3，求OC的长；
（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
28．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．
（1）E与F是AC上两点且不与O点重合，AE＝CF，四边形DEBF是平行四边形吗？说明理由；
（2）若E，F是AC上两动点，分别从A，C两点以相同的速度向C、A运动，其速度为1cm/s．若BD＝12cm，AC＝16cm，当运动时间t为何值时，以D、E、B、F为顶点的四边形是矩形？说明理由．
29．已知P是正方形ABCD边BC上一点，连接AP，作PE⊥AP，且∠DCE＝45°．若PE和CE交于E点，连接AE交CD于F．
（1）求证：EP＝AP；
（2）若正方形的边长为4，CF＝3，求CE的长．
30．如图，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB⊥AC，AB＝3cm，BC＝5cm．点P从A点出发沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s，连接PO并延长交BC于点Q．设运动时间为t（s）（0＜t＜5）
（1）当t为何值时，四边形ABQP是平行四边形？
（2）设四边形OQCD的面积为y（cm2），当t＝4时，求y的值．
31．如图，以△ABC的各边，在边BC的同侧分别作三个正方形ABDI，BCFE，ACHG．
（1）求证：△BDE≌△BAC；
（2）求证：四边形ADEG是平行四边形．
（3）直接回答下面两个问题，不必证明：
①当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是矩形？
②当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是正方形？
32．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝8，DC＝6，AD＝10．动点P从点D出发，沿线段DA的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点P运动到点A时，点Q随之停止运动．设运动的时间为t（秒）．
（1）若四边形ABQP为平行四边形，求运动时间t．
（2）当t为何值时，三角形BPQ是以BQ或BP为底边的等腰三角形？
33．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，BC＝10cm，AD＝8cm，E点F点分别为AB，AC的中点．
（1）求证：四边形AEDF是菱形；
（2）求菱形AEDF的面积；
（3）若H从F点出发，在线段FE上以每秒2cm的速度向E点运动，点P从B点出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向C点运动，问当t为何值时，四边形BPHE是平行四边形？当t取何值时，四边形PCFH是平行四边形？
34．如图，在矩形ABCD中，E，F分别为边AD，BC上的点，AE＝CF，对角线AC平分∠ECF．
（1）求证：四边形AECF为菱形．
（2）已知AB＝4，BC＝8，求菱形AECF的面积．
35．如图，已知正方形ABCD，从顶点A引两条射线分别交BC，CD于点E，F，且∠EAF＝45°，求证：BE+DF＝EF．
36．如图，菱形ABCD的边长为2，BD＝2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE+CF＝2．
（1）求证：△BDE≌△BCF；
（2）判断△BEF的形状，并说明理由．
37．在四边形ABCD中，AD∥BC，BC⊥CD，AD＝6cm，BC＝10cm，点E从A出发以1cm/s的速度向D运动，点F从点B出发，以2cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t，
（1）t取何值时，四边形EFCD为矩形？
（2）M是BC上一点，且BM＝4，t取何值时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形？
38．如图，△ABC中，点O为AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的外角平分线CF于点F，交∠ACB内角平分线CE于E．
（1）试说明EO＝FO；
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形并证明你的结论；
（3）若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，猜想△ABC的形状并证明你的结论．
39．已知正方形ABCD，点F是射线DC上一动点（不与C、D重合）．连接AF并延长交直线BC于点E，交BD于H，连接CH，过点C作CG⊥HC交AE于点G．
（1）若点F在边CD上，如图1
①证明：∠DAH＝∠DCH
②猜想△GFC的形状并说明理由．
（2）取DF中点M，MG．若MG＝2.5，正方形边长为4，求BE的长．
40．【感知】如图①，四边形ABCD、CEFG均为正方形．可知BE＝DG．
【拓展】如图②，四边形ABCD、CEFG均为菱形，且∠A＝∠F．求证：BE＝DG．
【应用】如图③，四边形ABCD、CEFG均为菱形，点E在边AD上，点G在AD延长线上．若AE＝2ED，∠A＝∠F，△EBC的面积为8，则菱形CEFG的面积为　 　．
参考答案
1．解：①∵F是AD的中点，
∴AF＝FD，
在?ABCD中，AD＝2AB，
∴AF＝FD＝CD，
∴∠DFC＝∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠DFC＝∠FCB，
∴∠DCF＝∠BCF，
∴∠DCF∠BCD，故①正确；
②延长EF，交CD延长线于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD
∴∠A＝∠MDF，
∵F为AD中点，
∴AF＝FD，
在△AEF和△DFM中，
，
∴△AEF≌△DMF（ASA），
∴FE＝MF，∠AEF＝∠M，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC＝90°，
∴∠AEC＝∠ECD＝90°，
∵FM＝EF，
∴CF＝EF，故②正确；
③∵EF＝FM，
∴S△EFC＝S△CFM，
∵MC＞BE，
∴S△BEC＜2S△EFC，
故③正确；
④设∠FEC＝x，
∵CE⊥AB，AB∥CD，
∴∠ECD＝∠BEC＝90°，
∵F 是EG的中点，
∴FC＝FE，
∴∠FCE＝x，
∴∠DCF＝∠DFC＝90°﹣x，
∴∠EFC＝180°﹣2x，
∴∠EFD＝90°﹣x+180°﹣2x＝270°﹣3x，
∵∠AEF＝90°﹣x，
∴∠DFE＝3∠AEF，故④错误．
故选：C．
2．解：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，
∴AD＝CD
AE＝EC＝AD，AE＝EC＝AD＝CD，
∴四边形ADCE是菱形，
如图，过点A作AH⊥BC于点H，
∵AB＝6，AC＝8，
∴BC＝10，
∴AH＝．
故选：C．
3．解：在矩形ABCD中，∠ADC＝∠C＝∠B＝90°，AB＝DC，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE＝45°，
∴∠DEC＝45°，
∴DC＝EC，
∴AB＝DC＝CE，
∵DM＝2CM，
∵∠AEM＝90°，
∴∠AEB+∠CEM＝90°，
∵∠CEM+∠EMC＝90°，
∴∠AEB＝∠EMC，
在△AEB和△EMC中，
，
∴△AEB≌△EMC（AAS），
∴BE＝CM，
∵BC＝BE+EC＝CM+DC＝CM+3CM＝4CM＝8，
∴CM＝2，
∴BE＝2．
故选：A．
4．解：在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，
∴FP，PE分别是△CDB与△DAB的中位线，
∴PF＝BC，PE＝AD，
∵AD＝BC，
∴PF＝PE，
故△EPF是等腰三角形．
∵∠PEF＝23°，
∴∠PEF＝∠PFE＝23°．
故选：A．
5．解：①∵F是BC的中点，
∴BF＝FC，
在?ABCD中，AD＝2AB，
∴BC＝2AB＝2CD，
∴BF＝FC＝AB，
∴∠AFB＝∠BAF，
∵AD∥BC，
∴∠AFB＝∠DAF，
∴∠BAF＝∠FAB，
∴2∠BAF＝∠BAD，故①正确；
②延长EF，交AB延长线于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠MBF＝∠C，
∵F为BC中点，
∴BF＝CF，
在△MBF和△ECF中，
，
∴△MBF≌△ECF（ASA），
∴FE＝MF，∠CEF＝∠M，
∵CE⊥AE，
∴∠AEC＝90°，
∴∠AEC＝∠BAE＝90°，
∵FM＝EF，
∴EF＝AF，故②正确；
③∵EF＝FM，
∴S△AEF＝S△AFM，
∵E与C不重合，
∴S△ABF＜S△AEF，故③错误；
④设∠FEA＝x，则∠FAE＝x，
∴∠BAF＝∠AFB＝90°﹣x，
∴∠EFA＝180°﹣2x，
∴∠EFB＝90°﹣x+180°﹣2x＝270°﹣3x，
∵∠CEF＝90°﹣x，
∴∠BFE＝3∠CEF，故④正确，
故选：C．
6．解：∵AB⊥AC，∠B＝60°，
∴∠ACB＝30°，
∴BC＝2AB，
设AB＝x，则BC＝2x，
由勾股定理得：x2+（2）2＝（2x）2，
解得：x＝±2（负值舍去），
∴AB＝2，BC＝4，
C?ABCD＝2（AB+BC）＝2×6＝12（cm），
故选：C．
7．解：∵AD＝AB，∠DAB＝90°，
∴把△APD绕点A顺时针旋转90°得到△AFB，AD与AB重合，PA旋转到AF的位置，如图，
∴AP＝AF，∠PAF＝90°，PD＝FB，
∴△APF为等腰直角三角形，
∴∠APF＝45°，PF＝AP＝2，
∴∠BPF＝∠APB+∠APF＝45°+45°＝90°，
在Rt△FBP中，PB＝4，PF＝2，
∴由勾股定理得FB＝2，
∴PD＝2，
故答案为：2．
8．解：∵DE∥CA，DF∥BA，∴四边形AEDF是平行四边形，故①正确；
∵∠BAC＝90°，四边形AEDF是平行四边形，
∴四边形AEDF是矩形，故②错误；
∵AD平分∠BAC，四边形AEDF是平行四边形，
∴四边形AEDF是菱形，故③正确；
∵AB＝AC，四边形AEDF是平行四边形，
不能得出AE＝AF，故四边形AEDF不一定是菱形，故④错误；
故答案为：①③．
9．解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，
∴∠BAC＝60°，AC＝AB，
∵△ACD是等边三角形，
∴∠ACD＝60°，
∴∠ACD＝∠BAC，
∴CD∥AB，
∵F为AB的中点，
∴BF＝AB，
∴BF∥AB，CD＝BF，
∴四边形BCDF为平行四边形，故B正确；
∵四边形BCDF为平行四边形，
∴DF∥BC，
又∵∠ACB＝90°，
∴AC⊥DF，故A正确；
∵DA＝CA，DF＝BC，AB＝BE，BC+AC＞AB，
∴DA+DF＞BE，故C错误；
设AC＝x，则AB＝2x，
∴S△ACD＝x2，S△ACB＝x2，S△ABE＝x2，
∴＝＝，故D错误；
故答案为：A、B．
10．解：连接CH并延长交AD于P，连接PE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝90°，AD∥BC，AB＝AD＝BC＝4，
∵E，F分别是边AB，BC的中点，
∴AE＝CF＝＝2，
∵AD∥BC，
∴∠DPH＝∠FCH，
在△PDH与△CFH中，
，
∴△PDH≌△CFH（AAS），
∴PD＝CF＝2，
∴AP＝AD﹣PD＝2，
∴PE＝＝＝4，
∵点G，H分别是EC，FD的中点，
∴GH＝EP＝2．
11．解：在?ABCD中，
∵AB∥CD，
∴∠DDCE＝∠CEB，
∵CE平分∠BCD，
∴∠DCE＝∠BCE，
∴∠CEB＝∠BCE，
∵∠ABC＝60°，
∴△BCE是等边三角形，
∴BC＝BE＝CE＝a，
则AB＝2BC＝2a，
∴AE＝BE＝CE，
∴∠ACB＝90°，
∴AC＝＝a，
∴OD＝OB＝＝＝a，
∴BD＝2OB＝a，
∴AC：BD＝a：a＝：7．
故答案为：：7．
12．解：由题意得：BM＝CN，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABM＝∠BCN＝90°，AB＝BC＝4，
在△ABM和△BCN中，
，
∴△ABM≌△BCN（SAS），
∴∠BAM＝∠CBN，
∵∠ABP+∠CBN＝90°，
∴∠ABP+∠BAM＝90°，
∴∠APB＝90°，
∴点P在以AB为直径的圆上运动，设圆心为O，运动路径一条弧，是这个圆的，如图所示：
连接OC交圆O于P，此时PC最小，
∵AB＝4，
∴OP＝OB＝2，
由勾股定理得：OC＝＝2，
∴PC＝OC﹣OP＝2﹣2；
故答案为：2﹣2．
13．解：由题意可得OM⊥BC，
∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，
∴AC⊥BD，AO＝CO，∠ABC＝60°，∠DBC＝∠ABD＝30°，
∴BO＝2OM＝6，BO＝CO，
∴CO＝2，
∴AC＝2OC＝4，
故答案为4．
14．解：①∵四边形OABC是矩形，B（2，2），
∴OA＝BC＝2；故①正确；
②∵点D为OA的中点，
∴OD＝OA＝，
∵PD⊥PC，
∴∠CPD＝90°，
∴PC2+PD2＝CD2＝OC2+OD2＝22+（）2＝7，故②正确；
③∵B（2，2），四边形OABC是矩形，
∴OA＝2，AB＝2，
∴∠AOB＝30°，
当OD＝PD时，
∴∠DOP＝∠DPO＝30°，
∴∠ODP＝120°，
∴∠ODC＝60°，
∴OD＝OC＝，
∴D（，0）；
即点D的坐标为（，0）．故③错误，
④如图，过点P作PF⊥OA于F，FP的延长线交BC于E，
∴PE⊥BC，四边形OFEC是矩形，
∴EF＝OC＝2，
设PE＝a，则PF＝EF﹣PE＝2﹣a，
∴BE＝PE＝a，
∴CE＝BC﹣BE＝2﹣a＝（2﹣a），
∵PD⊥PC，
∴∠CPE+∠FPD＝90°，
∵∠CPE+∠PCE＝90°，
∴∠FPD＝∠ECP，
∵∠CEP＝∠PFD＝90°，
∴∠CDP＝60°，故④正确；
故答案为：①②④．
15．解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝4，AD＝6，点E为AB边的中点，点B和点B'关于EF对称，
∴AE＝BE＝B'E＝2，∠A＝90°，
∴DE＝＝2，
∴当点B'在线段DE上时，B'D取得最小值，此时B'D＝2﹣2，
故答案为：2﹣2．
16．解：根据题意有AP＝t，CQ＝2t，PD＝12﹣t，BQ＝15﹣2t．
①∵AD∥BC，
∴当AP＝BQ时，四边形APQB是平行四边形．
∴t＝15﹣2t，
解得t＝5．
∴t＝5s时四边形APQB是平行四边形；
②AP＝tcm，CQ＝2tcm，
∵AD＝12cm，BC＝15cm，
∴PD＝AD﹣AP＝12﹣t，
∵AD∥BC，
∴当PD＝QC时，四边形PDCQ是平行四边形．
即：12﹣t＝2t，
解得t＝4s，
∴当t＝4s时，四边形PDCQ是平行四边形．
综上所述，当P，Q同时出发4或5秒后其中一个新四边形为平行四边形．
故答案是：4或5．
17．解：如图所示，连接BF，CD，
∵四边形ABEF，四边形ACGD都是正方形，
∴AB＝AF，AC＝AD，∠BAF＝∠CAD＝90°，
∴∠BAD＝∠FAC，
∴△BAD≌△FAC（SAS），
∴∠ACF＝∠ADB，
又∵∠AHC＝∠OHD，
∴∠CAH＝∠DOH＝90°，
∴CF⊥BD，
∴BC2＝OB2+OC2，DF2＝OD2+OF2，BF2＝OB2+OF2，DC2＝OD2+OC2，
∴BC2+DF2＝OD2+OF2+OB2+OC2，
BF2+DC2＝OD2+OF2+OB2+OC2，
即BC2+DF2＝BF2+DC2，
又∵△ABF和△ACD都是等腰直角三角形，且AB＝2，AC＝4，
∴BF2+DC2＝8+32＝40，
∴BC2+DF2＝40，
故答案为：40．
18．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵BE＝DF，
∴OB﹣BE＝OD﹣DF，
即OE＝OF，
又∵∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF（SAS），
∴AE＝CF．
（2）四边形AGCH是菱形．理由如下：
∵△AOE≌△COF，
∴∠EAO＝∠FCO，
∴AG∥CH，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴四边形AGCH是平行四边形，
∵AD∥BC，
∴∠HAC＝∠ACB，
∵AC平分∠HAG，
∴∠HAC＝∠GAC，
∵∠GAC＝∠ACB，
∴GA＝GC，
∴平行四边形AGCH是菱形．
19．解：（1）证明：延长CF交BA的延长线于G，延长EF交CD的延长线于R．如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∵F是AD的中点，
∴CF＝GF，EF＝ER，
∴四边形EGRC是平行四边形，
∵CE⊥AB，
∴∠CEG＝90°，
∴四边形EGRC是矩形，
∴CG＝ER，
∴EF＝CG＝CF＝GF，
即EF＝CF；
（2）∵EF＝GF，
∴∠G＝∠FEG，
∵AD∥BC，CF＝GF，
∴AG＝AB，
∴AF＝AG，
∴∠G＝∠AFG＝∠DFC，
∵∠CFE＝∠G+∠AEF，
∴∠DFE＝∠CFE+∠DFC＝3∠AEF．
20．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴CB＝CD，∠ECB＝∠ECD＝45°，
在△ECB和△ECD中，
，
∴△BEC≌DEC．
（2）∵△BEC≌DEC，
∴∠CEB＝∠CED，∵∠BED＝120°，
∴∠CEB＝60°，
∴∠EBC＝180°﹣∠ECB﹣∠BEC＝75°，
∵DF∥BC，
∴∠DFE+∠EBC＝180°，
∴∠DFE＝105°．
21．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠FGA，
∵∠FAE＝∠DAE，
∴∠FGA＝∠FAE，
∴FA＝FG，
∵点E为CD中点，
∴DE＝CE，
∵∠ADE＝∠GCE＝90°，
在△ADE和△GCE中，
，
∴△ADE≌△GCE（AAS），
∴AD＝CG，
同理：△DEH△CEF（AAS），
∴DH＝CF，
∵AH＝AD+DH，GF＝CG+CF，
∴AH∥FG，
∴四边形AFGH为平行四边形，
∵FA＝FG，
∴四边形AFGH为菱形；
（2）解：FC＝DH＝1，
设AB＝AD＝x，
由（1）知FC＝DH＝1，
∴AF＝AH＝AD+DH＝x+1，
BF＝BC﹣FC＝x﹣1，
在Rt△ABF中，根据勾股定理，得
AF2＝AB2+BF2，
∴（x+1）2＝x2+（x﹣1）2，
解得x＝4，x＝0（舍去），
∴AF＝FG＝x+1＝5，
∴菱形AFGH的面积为：FG?DC＝5×4＝20．
22．解：（1）BP＝2t＝2×3＝6，
故答案为：6；
（2）作∠B的角平分线交AD于F，
∴∠ABF＝∠FBC，
∵∠A＝∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∵AD∥BC，
∴∠AFB＝∠FBC，
∴∠ABF＝∠AFB，
∴AF＝AB＝4，
∴DF＝AD﹣AF＝8﹣4＝4，
∴BC+CD+DF＝8+4+4＝16，
∴2t＝16，解得t＝8．
∴当t＝8时，点P运动到∠ABC的角平分线上；
故答案为：8；
（3）根据题意分3种情况讨论：
①当点P在BC上运动时，
S△ABP＝×BP×AB＝×2t×4＝4t；（0＜t＜4）；
②当点P在CD上运动时，
S△ABP＝×AB×BC＝×4×8＝16；（4≤t≤6）；
③当点P在AD上运动时，
S△ABP＝×AB×AP＝×4×（20﹣2t）＝﹣4t+40；（6＜t≤10）；
（4）当0＜t＜6时，点P在BC、CD边上运动，
根据题意分情况讨论：
①当点P在BC上，点P到四边形ABED相邻两边距离相等，
∴点P到AD边的距离为4，
∴点P到AB边的距离也为4，
即BP＝4，
∴2t＝4，解得t＝2s；
②当点P在BC上，点P到AD边的距离为4，
∴点P到DE边的距离也为4，
∴PE＝DE＝5，
∴PC＝PE﹣CE＝2，
∴8﹣2t＝2，解得t＝3s；
③当点P在CD上，如图，过点P作PH⊥DE于点H，
点P到DE、BE边的距离相等，
即PC＝PH，
∵PC＝2t﹣8，
∵S△DCE＝S△DPE+S△PCE,
∴3×4＝5×PH+3×PC,
∴12＝8PH,
∴12＝8(2t﹣8),
解得t＝．
综上所述：t＝2或t＝3或t＝时，点P到四边形ABED相邻两边距离相等．
23．解：（1）如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，
∴∠MEN＝90°，
∵点E是正方形ABCD对角线上的点，
∴EM＝EN，
∵∠DEF＝90°，
∴∠DEN＝∠MEF，
∵∠DNE＝∠FME＝90°，
在△DEN和△FEM中，
，
∴△DEN≌△FEM（ASA），
∴EF＝DE，
∵四边形DEFG是矩形，
∴矩形DEFG是正方形；
（2）CE+CG的值是定值，定值为6，理由如下：
∵正方形DEFG和正方形ABCD，
∴DE＝DG，AD＝DC，
∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°，
∴∠CDG＝∠ADE，
在∴△ADE和△CDG中，，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE＝CG，
∴CE+CG＝CE+AE＝AC＝AB＝×3＝6是定值．
24．解：（1）如图1，连接CG，
∵四边形ABCD和四边形EBGF是正方形，
∴∠CDB＝∠CBD＝45°，∠DBG＝90°，BD＝BG，
∴∠CBG＝45°，
∴∠CBG＝∠CBD，
∵BC＝BC，
∴△CBD≌△CBG（SAS），
∴∠DCB＝∠BCG＝90°，DC＝CG＝5，
∴G，C，D三点共线，
∴AG＝＝＝5；
故答案为：5；
（2）如图2，过点G作GK⊥AB，交AB的延长线于K，
∵DE＝2，DC＝5，
∴CE＝3，
∵∠EBG＝∠EBC+∠CBG＝90°，∠CBG+∠GBK＝90°，
∴∠EBC＝∠GBK，
∵BE＝BG，∠K＝∠BCE＝90°，
∴△BCE≌△BKG（AAS），
∴CE＝KG＝3，BC＝BK＝5，
∴AK＝10，
由勾股定理得：AG＝＝；
（3）分三种情况：
①当点E在CD的延长线上时，如图3，同理知△BCE≌△BKG（AAS），
∴BC＝BK＝5，
∵AG＝，
由勾股定理得：KG＝＝，
∴CE＝KG＝，此种情况不成立；
②当点E在边CD上时，如图4，
同理得：DE＝；
③当点E在DC的延长线上时，如图5，
同理得CE＝GK＝，
∴DE＝5+＝，
综上，DE的长是或．
25．解：（1）由已知可得，BQ＝DP＝t，AP＝CQ＝6﹣t
在矩形ABCD中，∠B＝90°，AD∥BC，
当BQ＝AP时，四边形ABQP为矩形，
∴t＝6﹣t，得t＝3
故当t＝3s时，四边形ABQP为矩形．
（2）由（1）可知，四边形AQCP为平行四边形
∴当AQ＝CQ时，四边形AQCP为菱形
即时，四边形AQCP为菱形，解得t＝，
故当t＝s时，四边形AQCP为菱形．
（3）当t＝时，AQ＝，CQ＝，
则周长为：4AQ＝4×＝15cm
面积为：（cm2）．
26．（1）证明：∵AE∥BC，DE∥AB，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AE＝BD，
∵点D是△ABC的边BC的中点，
∴BD＝CD，
∴AE＝CD，
∴四边形ADCE是平行四边形．
（2）解：如果四边形ADCE是矩形，△ABC是等腰三角形；理由如下：
∵四边形ADCE是矩形，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，
∵点D是△ABC的边BC的中点，
∴AB＝AC，
即△ABC是等腰三角形．
（3）如果四边形ADCE是菱形，△ABC是直角三角形；理由如下：
∵四边形ADCE是菱形，
∴AC⊥DE，AF＝FC，AD＝DC，
∵BD＝DC，
∴DE∥AB，
∴∠BAC＝DFC＝90°，
即△ABC是直角三角形．
故答案为：△ABC是直角三角形．
27．（1）证明：∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，
∴∠2＝∠5，∠4＝∠6，
∵MN∥BC，
∴∠1＝∠5，∠3＝∠6，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴EO＝CO，FO＝CO，
∴OE＝OF；
（2）解：∵∠2＝∠5，∠4＝∠6，
∴∠2+∠4＝∠5+∠6＝90°，
∵CE＝4，CF＝3，
∴EF＝＝5，
∴OC＝EF＝；
（3）当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．
证明：当O为AC的中点时，AO＝CO，
∵EO＝FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠ECF＝90°，
∴平行四边形AECF是矩形．
28．解：（1）当E与F不重合时，四边形DEBF是平行四边形
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD；
∵AE＝CF；
∴OE＝OF；
∴BD、EF互相平分；
∴四边形DEBF是平行四边形；
（2）∵四边形DEBF是平行四边形，当BD＝EF时，四边形DEBF是矩形；
∵BD＝12cm，
∴EF＝12cm；
∴OE＝OF＝6cm；
∵AC＝16cm；
∴OA＝OC＝8cm；
∴AE＝2cm或AE＝14cm；
由于动点的速度都是1cm/s，
所以t＝2（s）或t＝14（s）；
故当运动时间t＝2s或14s时，以D、E、B、F为顶点的四边形是矩形．
29．（1）证明：连接AC，过P点作PG⊥BC交AC于G点，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB＝45°，∠BCD＝90°，
∵PG⊥BC，
∴∠GPC＝90°，
∴∠PGC＝45°，
∴PG＝PC，
∵∠DCE＝45°，
∴∠AGP＝∠ECP＝90°+45°＝135°，
∵AP⊥PE，
∴∠APE＝∠GPC＝90°，
∴∠APG＝∠EPC＝90°﹣∠GPE，
在△PAG和△PEC中
∴△PAG≌△PEC（ASA），
∴PE＝PA；
（2）解：延长CB到Q，使BQ＝DF，过E作EH⊥BC，EH交BC延长线于H，连接AQ，PF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D＝∠DAB＝∠ABC＝90°，AD＝AB，
∴∠ABQ＝∠D＝90°，
在△ABQ和△ADF中
∴△ABQ≌△ADF（SAS），
∴AQ＝AF，∠DAF＝∠QAB，
∵∠APE＝90°，AP＝PE，
∴∠PAE＝∠AEP＝45°，
∴∠AQP＝∠QAB+∠BAP＝∠DAF+∠BAP＝∠DAB﹣∠PAE＝90°﹣45°＝45°＝∠PAE，
在△QAP和△FAP中
∴△QAP≌△FAP（SAS），
∴QP＝PE，
∵EH⊥BC，∠ABP＝90°，∠APE＝90°，
∴∠ABP＝∠H＝90°，∠APB＝∠PEH＝90°﹣∠EPH，
在△PEH和△APB中
∴△PEH≌△APB（AAS），
∴BP＝EH，
∵∠H＝90°，∠DCE＝45°，
∴∠ECH＝45°＝∠CEH，
∴CH＝EH＝BP，
设EH＝CH＝BP＝x，
∴PC＝4﹣x，PF＝BQ+BP＝DF+BP＝4﹣3+x＝1+x，
在Rt△PCF中，由勾股定理得：（1+x）2＝（4﹣x）2+32，
解之得：x＝，
即CH＝EH＝，
∴在Rt△CHE中，由勾股定理得：CE＝CH＝．
30．解：（1）当t＝2.5s时，四边形ABQP是平行四边形，
理由是：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD＝3cm，AD＝BC＝5cm，AO＝CO，BO＝OD，
∴∠PAO＝∠QCO，
在△APO和△CQO中
∴△APO≌△CQO（ASA），
∴AP＝CQ＝2.5cm，
∵BC＝5cm，
∴BQ＝5cm﹣2.5cm＝2.5cm＝AP，
即AP＝BQ，AP∥BQ，
∴四边形ABQP是平行四边形，
即当t＝2.5s时，四边形ABQP是平行四边形；
（2）过A作AM⊥BC于M，过O作ON⊥BC于N
∵AB⊥AC，AB＝3cm，BC＝5cm，
∴在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝4cm，
∵由三角形的面积公式得：S△BAC＝＝，
∴3×4＝5×AM，
∴AM＝2.4（cm），
∵ON⊥BC，AM⊥BC，
∴AM∥ON，
∵AO＝OC，
∴MN＝CN，
∴ON＝AM＝1.2cm，
∵在△BAC和△DCA中
∴△BAC≌△DCA（SSS），
∴S△DCA＝S△BAC＝＝6cm2，
∵AO＝OC，
∴△DOC的面积＝S△DCA＝3cm2，
当t＝4s时，AP＝CQ＝4cm，
∴△OQC的面积为1.2cm×4cm＝2.4cm2，
∴y＝3cm2+2.4cm2＝5.4cm2．
31．（1）证明：∵四边形ABDI、四边形BCFE、四边形ACHG都是正方形，
∴AC＝AG，AB＝BD，BC＝BE，∠GAC＝∠EBC＝∠DBA＝90°．
∴∠ABC＝∠EBD（同为∠EBA的余角）．
在△BDE和△BAC中，
，
∴△BDE≌△BAC（SAS），
（2）∵△BDE≌△BAC，
∴DE＝AC＝AG，∠BAC＝∠BDE．
∵AD是正方形ABDI的对角线，
∴∠BDA＝∠BAD＝45°．
∵∠EDA＝∠BDE﹣∠BDA＝∠BDE﹣45°，
∠DAG＝360°﹣∠GAC﹣∠BAC﹣∠BAD
＝360°﹣90°﹣∠BAC﹣45°＝225°﹣∠BAC
∴∠EDA+∠DAG＝∠BDE﹣45°+225°﹣∠BAC＝180°
∴DE∥AG，
∴四边形ADEG是平行四边形（一组对边平行且相等）．
（3）①当四边形ADEG是矩形时，∠DAG＝90°．
则∠BAC＝360°﹣∠BAD﹣∠DAG﹣∠GAC＝360°﹣45°﹣90°﹣90°＝135°，
即当∠BAC＝135°时，平行四边形ADEG是矩形；
②当四边形ADEG是正方形时，∠DAG＝90°，且AG＝AD．
由①知，当∠DAG＝90°时，∠BAC＝135°．
∵四边形ABDI是正方形，
∴AD＝AB．
又∵四边形ACHG是正方形，
∴AC＝AG，
∴AC＝AB．
∴当∠BAC＝135°且AC＝AB时，四边形ADEG是正方形．
32．解：（1）∵四边形ABQP为平行四边形，
∴AP＝BQ，
又∵AP＝AD﹣PD＝10﹣2t，
BQ＝BC﹣CQ＝8﹣t，
∴10﹣2t＝8﹣t，
解得t＝2；
（2）如图，过P作PE⊥BC于E，
当∠BQP为顶角时，QB＝QP，BQ＝8﹣t，PE＝CD＝6，EQ＝CE﹣CQ＝2t﹣t，
依据BQ2＝PQ2有：（8﹣t）2＝62+（2t﹣t）2，
解得 t＝；
当∠BPQ为顶角时，PB＝PQ，
由BQ＝2EQ有：8﹣t＝2（2t﹣t），
解得t＝，
综上，t＝或t＝时，符合题意．
33．（1）证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴D为BC的中点．
∵E、F分别为AB、AC的中点，
∴DE和DF是△ABC的中位线，
∴DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形．
∵E，F分别为AB，AC的中点，AB＝AC，
∴AE＝AF，
∴四边形AEDF是菱形，
（2）解：∵EF为△ABC的中位线，
∴EF＝BC＝5．
∵AD＝8，AD⊥EF，
∴S菱形AEDF＝AD?EF＝×8×5＝20．
（3）解：∵EF∥BC，
∴EH∥BP．
若四边形BPHE为平行四边形，则须EH＝BP，
∴5﹣2t＝3t，
解得：t＝1，
∴当t＝1秒时，四边形BPHE为平行四边形．
∵EF∥BC，
∴FH∥PC．
若四边形PCFH为平行四边形，则须FH＝PC，
∴2t＝10﹣3t，
解得：t＝2，
∴当t＝2秒时，四边形PCFH为平行四边形．
34．证明：（1）∵四边形ABCD是矩形
∴AE∥CF
∵AE＝CF
∴四边形AECF是平行四边形
∵AC平分∠ECF
∴∠ACF＝∠ACE
∵AE∥CF
∴∠ACF＝∠EAC
∴∠EAC＝∠ACE
∴AE＝CE
∴四边形AECF是菱形
（2）设BF＝x，则FC＝8﹣x
∴AF＝FC＝8﹣x
在Rt△ABF中 AB2+BF2＝AF2
∴（8﹣x）2＝x2+42
解得：x＝3
∴FC＝8﹣3＝5
∴S菱形AECF＝FC?AB＝5×4＝20
35．证明：如图，延长CD到G，使DG＝BE，
在正方形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，
∴∠ADG＝∠B，
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AG＝AE，∠DAG＝∠BAE，
∵∠EAF＝45°，
∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝90°﹣45°＝45°，
∴∠EAF＝∠GAF，
在△AEF和△AGF中，
，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF＝GF，
∵GF＝DG+DF＝BE+DF，
∴BE+DF＝EF．
36．（1）证明：∵菱形ABCD的边长为2，BD＝2，
∴BC＝BD＝CD＝AD＝2，
∴∠C＝∠CDB＝60°，
∵∠BDE＝∠BDC，
∴∠BDE＝∠C，
∵AE+DE＝AD＝2，AE+CF＝2，
∴DE＝CF，
在△BDE和△BCF中，
，
∴△BDE≌△BCF（SAS）；
（2）解：等边三角形．
理由：∵△BDE≌△BCF，
∴BE＝BF，∠CBF＝∠DBE，
∵∠CBF+∠DBF＝60°，
∴∠EBF＝∠EBD+∠DBF＝∠CBF+∠DBF＝60°，
∴△BEF是等边三角形．
37．解：（1）当DE＝CF时，四边形EFCD为矩形，
则有6﹣t＝10﹣2t，解得t＝4，
答：t＝4s时，四边形EFCD为矩形．
（2）①当点F在线段BM上，AE＝FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
则有t＝4﹣2t，解得t＝，
②当F在线段CM上，AE＝FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
则有t＝2t﹣4，解得t＝4，
综上所述，t＝4或s时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形．
38．解：（1）∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE＝∠BCE，
∵MN∥BC，
∴∠OEC＝∠ECB，
∴∠OEC＝∠OCE，
∴OE＝OC，
同理OC＝OF，
∴OE＝OF．
（2）当点O运动到AC中点处时，四边形AECF是矩形．
如图AO＝CO，EO＝FO，
∴四边形AECF为平行四边形，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE＝∠ACB，
同理，∠ACF＝∠ACG，
∴∠ECF＝∠ACE+∠ACF＝（∠ACB+∠ACG）＝×180°＝90°，
∴四边形AECF是矩形．
（3）△ABC是直角三角形
∵四边形AECF是正方形，
∴AC⊥EN，故∠AOM＝90°，
∵MN∥BC，
∴∠BCA＝∠AOM，
∴∠BCA＝90°，
∴△ABC是直角三角形．
39．（1）①证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADB＝∠CDB＝45°，DA＝DC，
在△DAH和△DCH中，
，
∴△DAH≌△DCH，
∴∠DAH＝∠DCH；
②解：结论：△GFC是等腰三角形，
理由：∵△DAH≌△DCH，
∴∠DAF＝∠DCH，
∵CG⊥HC，
∴∠FCG+∠DCH＝90°，
∴∠FCG+∠DAF＝90°，
∵∠DFA+∠DAF＝90°，∠DFA＝∠CFG，
∴∠CFG＝∠FCG，
∴GF＝GC，
∴△GFC是等腰三角形．
（2）①如图当点F在线段CD上时，连接DE．
∵∠GFC＝∠GCF，∠GEC+∠GFC＝90°，∠GCF+∠GCE＝90°，
∴∠GCE＝∠GEC，
∴EG＝GC＝FG，
∵FG＝GE，FM＝MD，
∴DE＝2MG＝5，
在Rt△DCE中，CE＝＝＝3，
∴BE＝BC+CE＝4+3＝7．
②当点F在线段DC的延长线上时，连接DE．
同法可证GM是△DEF的中位线，
∴DE＝2GM＝5，
在Rt△DCE中，CE＝＝＝3，
∴BE＝BC﹣CE＝4﹣3＝1．
综上所述，BE的长为7或1．
40．解：拓展：∵四边形ABCD、四边形CEFG均为菱形，
∴BC＝CD，CE＝CG，∠BCD＝∠A，∠ECG＝∠F．
∵∠A＝∠F，
∴∠BCD＝∠ECG．
∴∠BCD﹣∠ECD＝∠ECG﹣∠ECD，
即∠BCE＝∠DCG．
在△BCE和△DCG中，
，
∴△BCE≌△DCG（SAS），
∴BE＝DG．
应用：∵四边形ABCD为菱形，
∴AD∥BC，
∵BE＝DG，
∴S△ABE+S△CDE＝S△BEC＝S△CDG＝8，
∵AE＝2ED，
∴S△CDE＝×8＝，
∴S△ECG＝S△CDE+S△CDG＝，
∴S菱形CEFG＝2S△ECG＝．
故答案为：．