2020-2021学年八年级数学人教版下册《第18章平行四边形》章末综合优生提升训练（word版含解析）
文档属性
| 名称 | 2020-2021学年八年级数学人教版下册《第18章平行四边形》章末综合优生提升训练（word版含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 299.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-05-03 19:45:13 | ||
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文档简介
2021年度人教版八年级数学下册《第18章平行四边形》章末综合优生提升训练（附答案）
1．如图，已知△ABC，直线PQ垂直平分AC，与边AB交于点E，连接CE，过点C作CF∥BA交PQ于点F，连接AF．
（1）求证：△AED≌△CFD；
（2）求证：四边形AECF是菱形．
（3）若ED＝6，AE＝10，则菱形AECF的面积是多少？
2．如图，△ABC中，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E、F，M为BC的中点．
（1）求证：ME＝MF；
（2）若∠A＝50°，求∠FME的度数．
3．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝12cm，BC＝15cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，点P，Q同时出发，设运动时间为t（s）．
（1）用含t的代数式表示：
AP＝ ；DP＝ ；BQ＝ ；CQ＝ ．
（2）当t为何值时，四边形APQB是平行四边形？
（3）当t为何值时，四边形PDCQ是平行四边形？
4．如图，矩形ABCD中，点P是线段AD上的一个动点，O为BD的中点，PO的延长线交BC于Q．
（1）求证：OP＝OQ；
（2）若AD＝8cm，AB＝6cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动（不与D重合）．设点P运动的时间为t秒，请用t表示PD的长；并求出t为何值时，四边形PBQD是菱形？
5．如图，△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE＝OD，连接AE、BE，求证：四边形AEBD是矩形．
6．已知：如图，在平行四边形ABCD中，点M在边AD上，且AM＝DM．CM、BA的延长线相交于点E．求证：
（1）AE＝AB；
（2）如果BM平分∠ABC，求证：BM⊥CE．
7．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD交AB于E．
（1）求证：四边形AECD是菱形；
（2）若点E是AB的中点，试判断△ABC的形状，并说明理由．
8．一块矩形纸片，利用割补的办法可以拼成一块与它面积相等的平行四边形（如图1所示）：
请你根据图1作法的提示，利用图2画出一个平行四边形，使该平行四边形的面积等于所给的矩形面积．
要求：（1）画出的平行四边形有且只有一个顶点与B点重合；
（2）写出画图步骤；
（3）写出所画的平行四边形的名称．
9．已知：如图，点E、F在线段BD上，AB＝CD，∠B＝∠D，BF＝DE．
求证：（1）AE＝CF；（2）AF∥CE．
10．如图，正方形ABCD的边长为1，AB，AD上各有一点P，Q，如果△APQ的周长为2，求∠PCQ的度数．
11．如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别在AB、BC上，且AE＝BF．
（1）试探索线段AF、DE的数量关系，写出你的结论并说明理由；
（2）连接EF、DF，分别取AE、EF、FD、DA的中点H、I、J、K，则四边形HIJK是什么特殊平行四边形？请在图②中补全图形，并说明理由．
12．如图，△ABC中，MN∥BD交AC于P，∠ACB、∠ACD的平分线分别交MN于E、F．
（1）求证：PE＝PF；
（2）当MN与AC的交点P在什么位置时，四边形AECF是矩形，说明理由；
（3）在（2）条件中，当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形．（不需要证明）
13．如图，已知菱形ABCD中，对角线ACBD相交于点O，过点C作CE∥BD，过点D作DE∥AC，CE与DE相交于点E．
（1）求证：四边形CODE是矩形．
（2）若AB＝5，AC＝6，求四边形CODE的周长．
14．如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．
（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形；
（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形；
（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．
15．如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线AC上的两点，∠1＝∠2．
（1）求证：AE＝CF．
（2）求证：四边形EBFD是平行四边形．
16．如图，在?ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过点A作AG∥DB交CB的延长线于点．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）若∠G＝90°，求证：四边形DEBF是菱形．
17．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B的平分线交于点D，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F．求证：四边形CFDE是正方形．
18．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC+∠ADC＝180°．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若∠ADF：∠FDC＝3：2，DF⊥AC，求∠BDF的度数．
19．如图，在矩形ABCD中，E，F分别为边AD，BC上的点，AE＝CF，对角线AC平分∠ECF．
（1）求证：四边形AECF为菱形．
（2）已知AB＝4，BC＝8，求菱形AECF的面积．
20．已知：如图∠ABC＝∠ADC＝90°，M，N分别是AC、BD的中点．求证：MN⊥BD．
21．如图，AD是△ABC的中线，点E是AD中点，过A作AF∥BC交BE的延长线于F，连CF．
（1）求证：四边形ADCF是平行四边形；
（2）若AB⊥AC，请直接写出与线段AD相等的线段．
22．如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线BD上的点，∠1＝∠2，求证：
（1）BE＝DF；
（2）AF∥CE．
23．如图长方形OABC的位置如图所示，点B的坐标为（8，4），点P从点C出发向点O移动，速度为每秒1个单位；点Q同时从点O出发向点A移动，速度为每秒2个单位，设运动时间为t（0≤t≤4）
（1）填空：点A的坐标为 ，点C的坐标为 ，点P的坐标为 ．（用含t的代数式表示）
（2）当t为何值时，P、Q两点与原点距离相等？
（3）在点P、Q移动过程中，四边形OPBQ的面积是否变化？说明理由．
24．在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E为AC边的中点，过点A作AF∥BC，交DE的延长线于点F，连接CF．
（1）如图1，求证：四边形ADCF是矩形；
（2）如图2，当AB＝AC时，取AB的中点G，连接DG、EG，在不添加任何辅助线和字母的条件下，请直接写出图中所有的平行四边形（不包括矩形ADCF）．
25．如图，等边△ABC的边长是4，D，E分别为AB，AC的中点，延长BC至点F，使CF＝BC，连接CD和EF．
（1）求证：DE＝CF；
（2）求EF的长；
（3）求四边形DEFC的面积．
26．如图，在△ABC中，点F是BC的中点，点E是线段AB的延长线上的一动点，连接EF，过点C作AB的平行线CD，与线段EF的延长线交于点D，连接CE、BD．
（1）求证：四边形DBEC是平行四边形．
（2）若∠ABC＝120°，AB＝BC＝4，则在点E的运动过程中：
①当BE＝ 时，四边形BECD是矩形，试说明理由；
②当BE＝ 时，四边形BECD是菱形．
27．如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，AC＝6，BD＝8，∠AOD＝65°，点E在BO上，AF∥CE交BD于点F．
（1）求证：四边形AFCE是平行四边形．
（2）当点E在边BO上移动时，平行四边形AFCE能否为矩形？若能，此时BE的长为等于多少（直接写出结果）？若不能，请说明理由．
（3）当点E在边BO上移动时，平行四边形AFCE能否为菱形？若能，此BE的长为等于多少（直接写出结果）？若不能，请说明理由．
参考答案
1．（1）证明：∵PQ为线段AC的垂直平分线，
，∴AE＝CE，AD＝CD，
∵CF∥AB，
∴∠EAC＝∠FCA，∠CFD＝∠AED，
在△AED与△CFD中，
∴△AED≌△CFD（AAS）；
（2）证明：∵△AED≌△CFD，
∴AE＝CF，
∵EF为线段AC的垂直平分线，
∴EC＝EA，FC＝FA，
∴EC＝EA＝FC＝FA，
∴四边形AECF为菱形；
（3）解：∵四边形AECF是菱形，
∴AC⊥EF，
∵ED＝6，AE＝10，
∴EF＝2ED＝12，AD＝＝8．
∴AC＝2AD＝16，
∴菱形AECF的面积＝AC?EF＝×16×12＝96．
2．（1）证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB，M为BC的中点，
∴ME＝BC，MF＝BC，
∴ME＝MF；
（2）解：∵∠A＝50°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣50°＝130°，
∵MF＝MB，ME＝MC，
∴∠MFB＝∠ABC，∠MEC＝∠ACB，
∴∠BMF+∠CME＝360°﹣130°×2＝100°，
∴∠FME＝180°﹣100°＝80°．
3．解：（1）t，12﹣t，15﹣2t，2t
（2）根据题意有AP＝t，CQ＝2t，PD＝12﹣t，BQ＝15﹣2t．
∵AD∥BC，∴当AP＝BQ时，四边形APQB是平行四边形．
∴t＝15﹣2t，解得t＝5．
∴t＝5s时四边形APQB是平行四边形；
（3）由AP＝tcm，CQ＝2tcm，
∵AD＝12cm，BC＝15cm，
∴PD＝AD﹣AP＝12﹣t，
如图1，∵AD∥BC，∴当PD＝QC时，四边形PDCQ是平行四边形．
即：12﹣t＝2t，
解得t＝4s，
∴当t＝4s时，四边形PDCQ是平行四边形．
4．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠PDO＝∠QBO，
∵O为BD的中点，
∴DO＝BO，
在△PDO和△QBO中，
，
∴△PDO≌△QBO（ASA），
∴OP＝OQ；
（2）由题意知：AD＝8cm，AP＝tcm，
∴PD＝8﹣t，
∵PB＝PD，
∴PB2＝PD2，
即AB2+AP2＝PD2，
∴62+t2＝（8﹣t）2，
解得 t＝，
∴当t＝时，PB＝PD．
5．证明：∵点O为AB的中点，
∴OA＝OB，
∵OE＝OD，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴四边形AEBD是矩形．
6．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠E＝∠DCM，
在△AEM和△DCM中，
，
∴△AEM≌△DCM（AAS），
∴AE＝CD，
∴AE＝AB；
（2）∵BM平分∠ABC，
∴∠ABM＝∠CBM，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠CBM＝∠AMB，
∴∠ABM＝∠AMB，
∴AB＝AM，
∵AB＝AE，AM＝DM，
∴点M是AD的中点，
∴BC＝2AM，
∴BC＝BE，
∴△BCE是等腰三角形．
∵BM平分∠ABC，
∴BM⊥CE．
7．解：（1）∵AB∥CD，CE∥AD，
∴四边形AECD为平行四边形，∠2＝∠3，
又∵AC平分∠BAD，
∴∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴AD＝DC，
∴四边形AECD是菱形；
（2）直角三角形．
理由：∵AE＝EC
∴∠2＝∠4，
∵AE＝EB，
∴EB＝EC，
∴∠5＝∠B，
又因为三角形内角和为180°，
∴∠2+∠4+∠5+∠B＝180°，
∴∠ACB＝∠4+∠5＝90°，
∴△ACB为直角三角形．
8．解：作图：如图所示
（1）过点C作射线CE（不过A、D点）；
（2）过点B作射线BF∥CE，且交DA的延长线于点F；
（3）在CE上任取一点G，连接BG；
（4）过点F作FE∥BG，交射线CE于点E，
则四边形BGEF为所画的平行四边形．
9．证明：（1）∵BF＝DE，
∴BE＝DF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴AE＝CF；
（2）∵△ABE≌△CDF，
∴∠AEB＝∠CFD，
∴AE∥CF，
∵AE＝CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF∥CE．
10．解：如图所示，
△APQ的周长为2，即AP+AQ+PQ＝2①，
正方形ABCD的边长是1，即AQ+QD＝1，AP+PB＝1，
∴AP+AQ+QD+PB＝2②，
①﹣②得，PQ﹣QD﹣PB＝0，
∴PQ＝PB+QD．
延长AB至M，使BM＝DQ．连接CM，△CBM≌△CDQ（SAS），
∴∠BCM＝∠DCQ，CM＝CQ，
∵∠DCQ+∠QCB＝90°，
∴∠BCM+∠QCB＝90°，即∠QCM＝90°，
PM＝PB+BM＝PB+DQ＝PQ．
在△CPQ与△CPM中，
CP＝CP，PQ＝PM，CQ＝CM，
∴△CPQ≌△CPM（SSS），
∴∠PCQ＝∠PCM＝∠QCM＝45°．
11．解：（1）AF＝DE．
∵ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠DAB＝∠ABC＝90°，
∵AE＝BF，
∴△DAE≌△ABF，
∴AF＝DE．
（2）四边形HIJK是正方形．
如下图，H、I、J、K分别是AE、EF、FD、DA的中点，
∴HI＝KJ＝AF，HK＝IJ＝ED，
∵AF＝DE，
∴HI＝KJ＝HK＝IJ，
∴四边形HIJK是菱形，
∵△DAE≌△ABF，
∴∠ADE＝∠BAF，
∵∠ADE+∠AED＝90°，
∴∠BAF+∠AED＝90°，
∴∠AOE＝90°
∴∠KHI＝90°，
∴四边形HIJK是正方形．
12．证明：（1）∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE＝∠BCE．
∵MN∥BC，
∴∠PEC＝∠BCE．
∴∠ACE＝∠PEC，PE＝PC．
同理：PF＝PC．
∴PE＝PF．
（2）当P是AC中点时四边形AECF是矩形，
∵PA＝PC，PF＝PE，
∴四边形AECF是平行四边形．
∵PE＝PC，
∴AC＝EF，四边形AECF是矩形．
（3）当∠ACB＝90°时，四边形AECF是正方形．
13．（1）证明：
∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形CODE为平行四边形，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠COD＝90°，
∴平行四边形CODE是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AO＝OC＝AC＝×6＝3，OD＝OB，∠AOB＝90°，
在Rt△AOB中，由勾股定理得BO2＝AB2﹣AO2，
∴BO＝＝4，
∴DO＝BO＝4，
∴四边形CODE的周长＝2×（3+4）＝14．
14．解：（1）∵在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，
∴BC＝AD＝16cm，AB＝CD＝8cm，
由已知可得，BQ＝DP＝tcm，AP＝CQ＝（16﹣t）cm，
在矩形ABCD中，∠B＝90°，AD∥BC，
当BQ＝AP时，四边形ABQP为矩形，
∴t＝16﹣t，得t＝8，
故当t＝8s时，四边形ABQP为矩形；
（2）∵AP＝CQ，AP∥CQ，
∴四边形AQCP为平行四边形，
∴当AQ＝CQ时，四边形AQCP为菱形
即＝16﹣t时，四边形AQCP为菱形，解得t＝6，
故当t＝6s时，四边形AQCP为菱形；
（3）当t＝6s时，AQ＝CQ＝CP＝AP＝16﹣6＝10cm，
则周长为4×10cm＝40cm；
面积为10cm×8cm＝80cm2．
15．（1）证明：如图：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，∠3＝∠4，
∵∠1＝∠3+∠5，∠2＝∠4+∠6，∠1＝∠2
∴∠5＝∠6
∵在△ADE与△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（ASA），
∴AE＝CF；
（2）证明：∵∠1＝∠2，
∴DE∥BF．
又∵由（1）知△ADE≌△CBF，
∴DE＝BF，
∴四边形EBFD是平行四边形．
16．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，∠DAE＝∠C，
∵点E、F分别是AB、CD的中点，
∴AE＝AB，CF＝CD，
∴AE＝CF，
在△ADE和△CBF中，
∵，
∴△ADE≌△CBF（SAS）；
（2）∵∠G＝90°，AG∥BD，AD∥BG，
∴四边形AGBD是矩形，
∴∠ADB＝90°，
∵DF∥BE，DF＝BE，
∴四边形DEBF是平行四边形，
在Rt△ADB中，
∵E为AB的中点，
∴BE＝DE，
∴四边形DEBF是菱形．
17．证明：如图，过点D作DN⊥AB于点N，
∵∠C＝90°，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，
∴∠C＝∠DEC＝∠DFC＝90°，
∴四边形CFDE是矩形，
∵∠A、∠B的平分线交于点D，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，DN⊥AB于点N，
∴DE＝DN，DN＝DF，
∴DF＝DE，
∴矩形CFDE是正方形．
18．（1）证明：∵AO＝CO，BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC，
∵∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）解：∵∠ADC＝90°，∠ADF：∠FDC＝3：2，
∴∠FDC＝36°，
∵DF⊥AC，
∴∠DCO＝90°﹣36°＝54°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CO＝OD，
∴∠ODC＝∠DCO＝54°，
∴∠BDF＝∠ODC﹣∠FDC＝18°．
19．证明：（1）∵四边形ABCD是矩形
∴AE∥CF
∵AE＝CF
∴四边形AECF是平行四边形
∵AC平分∠ECF
∴∠ACF＝∠ACE
∵AE∥CF
∴∠ACF＝∠EAC
∴∠EAC＝∠ACE
∴AE＝CE
∴四边形AECF是菱形
（2）设BF＝x，则FC＝8﹣x
∴AF＝FC＝8﹣x
在Rt△ABF中 AB2+BF2＝AF2
∴（8﹣x）2＝x2+42
解得：x＝3
∴FC＝8﹣3＝5
∴S菱形AECF＝FC?AB＝5×4＝20
20．证明：如图，连接BM、DM，
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，M是AC的中点，
∴BM＝DM＝AC，
∵点N是BD的中点，
∴MN⊥BD．
21．解：（1）证明：
∵点E是AD中点，
∴AE＝DE，
∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠EBD．
在△AEF和△DEB中
∵，
∴△AEF≌△DEB（AAS）．
∴AF＝BD．
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝DC，
∴AF＝DC．
又∵AF∥BC，
∴四边形ADCF为平行四边形；
（2）和AD相等的线段有BD、CD、AF、CF，理由如下：
∵AC⊥AB，AD是斜边BC的中线，
∴AD＝BC＝DC，
∵四边形ADCF是平行四边形，
∴平行四边形ADCF是菱形，
∴AD＝BD＝AF＝CF＝CD．
22．证明：
（1）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，且AB＝CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵∠1＝∠2，
∴∠AEB＝∠CFD，
在△ABE和CDF中
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴BE＝DF；
（2）由（1）可知△ABE≌△CDF，
∴AE＝CF，
∵∠1＝∠2，
∴AE∥CF，
∴四边形AECF为平行四边形，
∴AF∥CE．
23．解：（1）由题意可知点A的坐标为 （8，0），点C的坐标为 （0，4），点P的坐标为 （0，4﹣t）．（用含t的代数式表示），
故答案分别为（8，0），（0，4），（0，4﹣t）．
（2）依题意可知：OP＝4﹣t，OQ＝2t，若OP＝OQ，则有：4﹣t＝2t
解之得，t＝．
∴当t＝时，点P和点Q到原点的距离相等．
（3）四边形OPBQ的面积不变．理由如下：
∵S四边形OPBQ＝S矩形OABC﹣S△PCB﹣S△ABQ
＝32﹣?8?t﹣?4?（8﹣2t）＝32﹣4t﹣16+4t＝16．
∴四边形OPBQ的面积不变．
24．（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠EDC，
∵E是AC中点，
∴AE＝EC，
在△AEF和△CED中，
，
∴△AEF≌△CED，
∴EF＝DE，∵AE＝EC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴四边形ADCF是矩形．
（2）∵线段DG、线段GE、线段DE都是△ABC的中位线，又AF∥BC，
∴AB∥DE，DG∥AC，EG∥BC，
∴四边形ABDF、四边形AGEF、四边形GBDE、四边形AGDE、四边形GDCE都是平行四边形．
25．解：（1）在△ABC中，
∵D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE＝BC，
∵CF＝BC，
∴DE＝CF．
（2）∵AC＝BC，AD＝BD，
∴CD⊥AB，
∵BC＝4，BD＝2，
∴CD＝＝2，
∵DE∥CF，DE＝CF，
∴四边形DEFC是平行四边形，
∴EF＝CD＝2．
（3）过点D作DH⊥BC于H．
∵∠DHC＝90°，∠DCB＝30°，
∴DH＝DC＝，
∵DE＝CF＝2，
∴S四边形DEFC＝CF?DH＝2×＝2．
26．（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠CDF＝∠FEB，∠DCF＝∠EBF，
∵点F是BC的中点，
∴BF＝CF，
在△DCF和△EBF中，
，
∴△EBF≌△DCF（AAS），
∴DC＝BE，
∴四边形BECD是平行四边形；
（2）解：①BE＝2；
∵当四边形BECD是矩形时，∠CEB＝90°，
∵∠ABC＝120°，
∴∠CBE＝60°；
∴∠ECB＝30°，
∴BE＝BC＝2，
故答案为：2；
②BE＝4，
∵四边形BECD是菱形时，BE＝EC，
∵∠ABC＝120°，
∴∠CBE＝60°，
∴△CBE是等边三角形，
∴BE＝BC＝4．
故答案为：4．
27．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵AF∥CE，
∴∠OAF＝∠OCE，
在△AOF和△COE中，
，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴OE＝OF，
∴四边形AFCE是平行四边形；
（2）平行四边形AFCE能为矩形．
理由：∵四边形AFCE是平行四边形，
∴当EF＝AC＝6时，平行四边形AFCE为矩形，
∵OE＝OF，OB＝OD，
∴BE＝CF，
∴2BE+EF＝BD，
即2BE+6＝8，
解得：BE＝1，
∴当BE＝1时，平行四边形AFCE为矩形；
（3）平行四边形AFCE不能为菱形．
理由：∵四边形AFCE是平行四边形，且∠AOD＝65°，
即AC与BD不垂直，
∴平行四边形AFCE不能为菱形
1．如图，已知△ABC，直线PQ垂直平分AC，与边AB交于点E，连接CE，过点C作CF∥BA交PQ于点F，连接AF．
（1）求证：△AED≌△CFD；
（2）求证：四边形AECF是菱形．
（3）若ED＝6，AE＝10，则菱形AECF的面积是多少？
2．如图，△ABC中，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E、F，M为BC的中点．
（1）求证：ME＝MF；
（2）若∠A＝50°，求∠FME的度数．
3．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝12cm，BC＝15cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，点P，Q同时出发，设运动时间为t（s）．
（1）用含t的代数式表示：
AP＝ ；DP＝ ；BQ＝ ；CQ＝ ．
（2）当t为何值时，四边形APQB是平行四边形？
（3）当t为何值时，四边形PDCQ是平行四边形？
4．如图，矩形ABCD中，点P是线段AD上的一个动点，O为BD的中点，PO的延长线交BC于Q．
（1）求证：OP＝OQ；
（2）若AD＝8cm，AB＝6cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动（不与D重合）．设点P运动的时间为t秒，请用t表示PD的长；并求出t为何值时，四边形PBQD是菱形？
5．如图，△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE＝OD，连接AE、BE，求证：四边形AEBD是矩形．
6．已知：如图，在平行四边形ABCD中，点M在边AD上，且AM＝DM．CM、BA的延长线相交于点E．求证：
（1）AE＝AB；
（2）如果BM平分∠ABC，求证：BM⊥CE．
7．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD交AB于E．
（1）求证：四边形AECD是菱形；
（2）若点E是AB的中点，试判断△ABC的形状，并说明理由．
8．一块矩形纸片，利用割补的办法可以拼成一块与它面积相等的平行四边形（如图1所示）：
请你根据图1作法的提示，利用图2画出一个平行四边形，使该平行四边形的面积等于所给的矩形面积．
要求：（1）画出的平行四边形有且只有一个顶点与B点重合；
（2）写出画图步骤；
（3）写出所画的平行四边形的名称．
9．已知：如图，点E、F在线段BD上，AB＝CD，∠B＝∠D，BF＝DE．
求证：（1）AE＝CF；（2）AF∥CE．
10．如图，正方形ABCD的边长为1，AB，AD上各有一点P，Q，如果△APQ的周长为2，求∠PCQ的度数．
11．如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别在AB、BC上，且AE＝BF．
（1）试探索线段AF、DE的数量关系，写出你的结论并说明理由；
（2）连接EF、DF，分别取AE、EF、FD、DA的中点H、I、J、K，则四边形HIJK是什么特殊平行四边形？请在图②中补全图形，并说明理由．
12．如图，△ABC中，MN∥BD交AC于P，∠ACB、∠ACD的平分线分别交MN于E、F．
（1）求证：PE＝PF；
（2）当MN与AC的交点P在什么位置时，四边形AECF是矩形，说明理由；
（3）在（2）条件中，当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形．（不需要证明）
13．如图，已知菱形ABCD中，对角线ACBD相交于点O，过点C作CE∥BD，过点D作DE∥AC，CE与DE相交于点E．
（1）求证：四边形CODE是矩形．
（2）若AB＝5，AC＝6，求四边形CODE的周长．
14．如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．
（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形；
（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形；
（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．
15．如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线AC上的两点，∠1＝∠2．
（1）求证：AE＝CF．
（2）求证：四边形EBFD是平行四边形．
16．如图，在?ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过点A作AG∥DB交CB的延长线于点．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）若∠G＝90°，求证：四边形DEBF是菱形．
17．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B的平分线交于点D，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F．求证：四边形CFDE是正方形．
18．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC+∠ADC＝180°．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若∠ADF：∠FDC＝3：2，DF⊥AC，求∠BDF的度数．
19．如图，在矩形ABCD中，E，F分别为边AD，BC上的点，AE＝CF，对角线AC平分∠ECF．
（1）求证：四边形AECF为菱形．
（2）已知AB＝4，BC＝8，求菱形AECF的面积．
20．已知：如图∠ABC＝∠ADC＝90°，M，N分别是AC、BD的中点．求证：MN⊥BD．
21．如图，AD是△ABC的中线，点E是AD中点，过A作AF∥BC交BE的延长线于F，连CF．
（1）求证：四边形ADCF是平行四边形；
（2）若AB⊥AC，请直接写出与线段AD相等的线段．
22．如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线BD上的点，∠1＝∠2，求证：
（1）BE＝DF；
（2）AF∥CE．
23．如图长方形OABC的位置如图所示，点B的坐标为（8，4），点P从点C出发向点O移动，速度为每秒1个单位；点Q同时从点O出发向点A移动，速度为每秒2个单位，设运动时间为t（0≤t≤4）
（1）填空：点A的坐标为 ，点C的坐标为 ，点P的坐标为 ．（用含t的代数式表示）
（2）当t为何值时，P、Q两点与原点距离相等？
（3）在点P、Q移动过程中，四边形OPBQ的面积是否变化？说明理由．
24．在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E为AC边的中点，过点A作AF∥BC，交DE的延长线于点F，连接CF．
（1）如图1，求证：四边形ADCF是矩形；
（2）如图2，当AB＝AC时，取AB的中点G，连接DG、EG，在不添加任何辅助线和字母的条件下，请直接写出图中所有的平行四边形（不包括矩形ADCF）．
25．如图，等边△ABC的边长是4，D，E分别为AB，AC的中点，延长BC至点F，使CF＝BC，连接CD和EF．
（1）求证：DE＝CF；
（2）求EF的长；
（3）求四边形DEFC的面积．
26．如图，在△ABC中，点F是BC的中点，点E是线段AB的延长线上的一动点，连接EF，过点C作AB的平行线CD，与线段EF的延长线交于点D，连接CE、BD．
（1）求证：四边形DBEC是平行四边形．
（2）若∠ABC＝120°，AB＝BC＝4，则在点E的运动过程中：
①当BE＝ 时，四边形BECD是矩形，试说明理由；
②当BE＝ 时，四边形BECD是菱形．
27．如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，AC＝6，BD＝8，∠AOD＝65°，点E在BO上，AF∥CE交BD于点F．
（1）求证：四边形AFCE是平行四边形．
（2）当点E在边BO上移动时，平行四边形AFCE能否为矩形？若能，此时BE的长为等于多少（直接写出结果）？若不能，请说明理由．
（3）当点E在边BO上移动时，平行四边形AFCE能否为菱形？若能，此BE的长为等于多少（直接写出结果）？若不能，请说明理由．
参考答案
1．（1）证明：∵PQ为线段AC的垂直平分线，
，∴AE＝CE，AD＝CD，
∵CF∥AB，
∴∠EAC＝∠FCA，∠CFD＝∠AED，
在△AED与△CFD中，
∴△AED≌△CFD（AAS）；
（2）证明：∵△AED≌△CFD，
∴AE＝CF，
∵EF为线段AC的垂直平分线，
∴EC＝EA，FC＝FA，
∴EC＝EA＝FC＝FA，
∴四边形AECF为菱形；
（3）解：∵四边形AECF是菱形，
∴AC⊥EF，
∵ED＝6，AE＝10，
∴EF＝2ED＝12，AD＝＝8．
∴AC＝2AD＝16，
∴菱形AECF的面积＝AC?EF＝×16×12＝96．
2．（1）证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB，M为BC的中点，
∴ME＝BC，MF＝BC，
∴ME＝MF；
（2）解：∵∠A＝50°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣50°＝130°，
∵MF＝MB，ME＝MC，
∴∠MFB＝∠ABC，∠MEC＝∠ACB，
∴∠BMF+∠CME＝360°﹣130°×2＝100°，
∴∠FME＝180°﹣100°＝80°．
3．解：（1）t，12﹣t，15﹣2t，2t
（2）根据题意有AP＝t，CQ＝2t，PD＝12﹣t，BQ＝15﹣2t．
∵AD∥BC，∴当AP＝BQ时，四边形APQB是平行四边形．
∴t＝15﹣2t，解得t＝5．
∴t＝5s时四边形APQB是平行四边形；
（3）由AP＝tcm，CQ＝2tcm，
∵AD＝12cm，BC＝15cm，
∴PD＝AD﹣AP＝12﹣t，
如图1，∵AD∥BC，∴当PD＝QC时，四边形PDCQ是平行四边形．
即：12﹣t＝2t，
解得t＝4s，
∴当t＝4s时，四边形PDCQ是平行四边形．
4．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠PDO＝∠QBO，
∵O为BD的中点，
∴DO＝BO，
在△PDO和△QBO中，
，
∴△PDO≌△QBO（ASA），
∴OP＝OQ；
（2）由题意知：AD＝8cm，AP＝tcm，
∴PD＝8﹣t，
∵PB＝PD，
∴PB2＝PD2，
即AB2+AP2＝PD2，
∴62+t2＝（8﹣t）2，
解得 t＝，
∴当t＝时，PB＝PD．
5．证明：∵点O为AB的中点，
∴OA＝OB，
∵OE＝OD，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴四边形AEBD是矩形．
6．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠E＝∠DCM，
在△AEM和△DCM中，
，
∴△AEM≌△DCM（AAS），
∴AE＝CD，
∴AE＝AB；
（2）∵BM平分∠ABC，
∴∠ABM＝∠CBM，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠CBM＝∠AMB，
∴∠ABM＝∠AMB，
∴AB＝AM，
∵AB＝AE，AM＝DM，
∴点M是AD的中点，
∴BC＝2AM，
∴BC＝BE，
∴△BCE是等腰三角形．
∵BM平分∠ABC，
∴BM⊥CE．
7．解：（1）∵AB∥CD，CE∥AD，
∴四边形AECD为平行四边形，∠2＝∠3，
又∵AC平分∠BAD，
∴∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴AD＝DC，
∴四边形AECD是菱形；
（2）直角三角形．
理由：∵AE＝EC
∴∠2＝∠4，
∵AE＝EB，
∴EB＝EC，
∴∠5＝∠B，
又因为三角形内角和为180°，
∴∠2+∠4+∠5+∠B＝180°，
∴∠ACB＝∠4+∠5＝90°，
∴△ACB为直角三角形．
8．解：作图：如图所示
（1）过点C作射线CE（不过A、D点）；
（2）过点B作射线BF∥CE，且交DA的延长线于点F；
（3）在CE上任取一点G，连接BG；
（4）过点F作FE∥BG，交射线CE于点E，
则四边形BGEF为所画的平行四边形．
9．证明：（1）∵BF＝DE，
∴BE＝DF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴AE＝CF；
（2）∵△ABE≌△CDF，
∴∠AEB＝∠CFD，
∴AE∥CF，
∵AE＝CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF∥CE．
10．解：如图所示，
△APQ的周长为2，即AP+AQ+PQ＝2①，
正方形ABCD的边长是1，即AQ+QD＝1，AP+PB＝1，
∴AP+AQ+QD+PB＝2②，
①﹣②得，PQ﹣QD﹣PB＝0，
∴PQ＝PB+QD．
延长AB至M，使BM＝DQ．连接CM，△CBM≌△CDQ（SAS），
∴∠BCM＝∠DCQ，CM＝CQ，
∵∠DCQ+∠QCB＝90°，
∴∠BCM+∠QCB＝90°，即∠QCM＝90°，
PM＝PB+BM＝PB+DQ＝PQ．
在△CPQ与△CPM中，
CP＝CP，PQ＝PM，CQ＝CM，
∴△CPQ≌△CPM（SSS），
∴∠PCQ＝∠PCM＝∠QCM＝45°．
11．解：（1）AF＝DE．
∵ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠DAB＝∠ABC＝90°，
∵AE＝BF，
∴△DAE≌△ABF，
∴AF＝DE．
（2）四边形HIJK是正方形．
如下图，H、I、J、K分别是AE、EF、FD、DA的中点，
∴HI＝KJ＝AF，HK＝IJ＝ED，
∵AF＝DE，
∴HI＝KJ＝HK＝IJ，
∴四边形HIJK是菱形，
∵△DAE≌△ABF，
∴∠ADE＝∠BAF，
∵∠ADE+∠AED＝90°，
∴∠BAF+∠AED＝90°，
∴∠AOE＝90°
∴∠KHI＝90°，
∴四边形HIJK是正方形．
12．证明：（1）∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE＝∠BCE．
∵MN∥BC，
∴∠PEC＝∠BCE．
∴∠ACE＝∠PEC，PE＝PC．
同理：PF＝PC．
∴PE＝PF．
（2）当P是AC中点时四边形AECF是矩形，
∵PA＝PC，PF＝PE，
∴四边形AECF是平行四边形．
∵PE＝PC，
∴AC＝EF，四边形AECF是矩形．
（3）当∠ACB＝90°时，四边形AECF是正方形．
13．（1）证明：
∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形CODE为平行四边形，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠COD＝90°，
∴平行四边形CODE是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AO＝OC＝AC＝×6＝3，OD＝OB，∠AOB＝90°，
在Rt△AOB中，由勾股定理得BO2＝AB2﹣AO2，
∴BO＝＝4，
∴DO＝BO＝4，
∴四边形CODE的周长＝2×（3+4）＝14．
14．解：（1）∵在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，
∴BC＝AD＝16cm，AB＝CD＝8cm，
由已知可得，BQ＝DP＝tcm，AP＝CQ＝（16﹣t）cm，
在矩形ABCD中，∠B＝90°，AD∥BC，
当BQ＝AP时，四边形ABQP为矩形，
∴t＝16﹣t，得t＝8，
故当t＝8s时，四边形ABQP为矩形；
（2）∵AP＝CQ，AP∥CQ，
∴四边形AQCP为平行四边形，
∴当AQ＝CQ时，四边形AQCP为菱形
即＝16﹣t时，四边形AQCP为菱形，解得t＝6，
故当t＝6s时，四边形AQCP为菱形；
（3）当t＝6s时，AQ＝CQ＝CP＝AP＝16﹣6＝10cm，
则周长为4×10cm＝40cm；
面积为10cm×8cm＝80cm2．
15．（1）证明：如图：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，∠3＝∠4，
∵∠1＝∠3+∠5，∠2＝∠4+∠6，∠1＝∠2
∴∠5＝∠6
∵在△ADE与△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（ASA），
∴AE＝CF；
（2）证明：∵∠1＝∠2，
∴DE∥BF．
又∵由（1）知△ADE≌△CBF，
∴DE＝BF，
∴四边形EBFD是平行四边形．
16．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，∠DAE＝∠C，
∵点E、F分别是AB、CD的中点，
∴AE＝AB，CF＝CD，
∴AE＝CF，
在△ADE和△CBF中，
∵，
∴△ADE≌△CBF（SAS）；
（2）∵∠G＝90°，AG∥BD，AD∥BG，
∴四边形AGBD是矩形，
∴∠ADB＝90°，
∵DF∥BE，DF＝BE，
∴四边形DEBF是平行四边形，
在Rt△ADB中，
∵E为AB的中点，
∴BE＝DE，
∴四边形DEBF是菱形．
17．证明：如图，过点D作DN⊥AB于点N，
∵∠C＝90°，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，
∴∠C＝∠DEC＝∠DFC＝90°，
∴四边形CFDE是矩形，
∵∠A、∠B的平分线交于点D，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，DN⊥AB于点N，
∴DE＝DN，DN＝DF，
∴DF＝DE，
∴矩形CFDE是正方形．
18．（1）证明：∵AO＝CO，BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC，
∵∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）解：∵∠ADC＝90°，∠ADF：∠FDC＝3：2，
∴∠FDC＝36°，
∵DF⊥AC，
∴∠DCO＝90°﹣36°＝54°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CO＝OD，
∴∠ODC＝∠DCO＝54°，
∴∠BDF＝∠ODC﹣∠FDC＝18°．
19．证明：（1）∵四边形ABCD是矩形
∴AE∥CF
∵AE＝CF
∴四边形AECF是平行四边形
∵AC平分∠ECF
∴∠ACF＝∠ACE
∵AE∥CF
∴∠ACF＝∠EAC
∴∠EAC＝∠ACE
∴AE＝CE
∴四边形AECF是菱形
（2）设BF＝x，则FC＝8﹣x
∴AF＝FC＝8﹣x
在Rt△ABF中 AB2+BF2＝AF2
∴（8﹣x）2＝x2+42
解得：x＝3
∴FC＝8﹣3＝5
∴S菱形AECF＝FC?AB＝5×4＝20
20．证明：如图，连接BM、DM，
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，M是AC的中点，
∴BM＝DM＝AC，
∵点N是BD的中点，
∴MN⊥BD．
21．解：（1）证明：
∵点E是AD中点，
∴AE＝DE，
∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠EBD．
在△AEF和△DEB中
∵，
∴△AEF≌△DEB（AAS）．
∴AF＝BD．
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝DC，
∴AF＝DC．
又∵AF∥BC，
∴四边形ADCF为平行四边形；
（2）和AD相等的线段有BD、CD、AF、CF，理由如下：
∵AC⊥AB，AD是斜边BC的中线，
∴AD＝BC＝DC，
∵四边形ADCF是平行四边形，
∴平行四边形ADCF是菱形，
∴AD＝BD＝AF＝CF＝CD．
22．证明：
（1）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，且AB＝CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵∠1＝∠2，
∴∠AEB＝∠CFD，
在△ABE和CDF中
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴BE＝DF；
（2）由（1）可知△ABE≌△CDF，
∴AE＝CF，
∵∠1＝∠2，
∴AE∥CF，
∴四边形AECF为平行四边形，
∴AF∥CE．
23．解：（1）由题意可知点A的坐标为 （8，0），点C的坐标为 （0，4），点P的坐标为 （0，4﹣t）．（用含t的代数式表示），
故答案分别为（8，0），（0，4），（0，4﹣t）．
（2）依题意可知：OP＝4﹣t，OQ＝2t，若OP＝OQ，则有：4﹣t＝2t
解之得，t＝．
∴当t＝时，点P和点Q到原点的距离相等．
（3）四边形OPBQ的面积不变．理由如下：
∵S四边形OPBQ＝S矩形OABC﹣S△PCB﹣S△ABQ
＝32﹣?8?t﹣?4?（8﹣2t）＝32﹣4t﹣16+4t＝16．
∴四边形OPBQ的面积不变．
24．（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠EDC，
∵E是AC中点，
∴AE＝EC，
在△AEF和△CED中，
，
∴△AEF≌△CED，
∴EF＝DE，∵AE＝EC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴四边形ADCF是矩形．
（2）∵线段DG、线段GE、线段DE都是△ABC的中位线，又AF∥BC，
∴AB∥DE，DG∥AC，EG∥BC，
∴四边形ABDF、四边形AGEF、四边形GBDE、四边形AGDE、四边形GDCE都是平行四边形．
25．解：（1）在△ABC中，
∵D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE＝BC，
∵CF＝BC，
∴DE＝CF．
（2）∵AC＝BC，AD＝BD，
∴CD⊥AB，
∵BC＝4，BD＝2，
∴CD＝＝2，
∵DE∥CF，DE＝CF，
∴四边形DEFC是平行四边形，
∴EF＝CD＝2．
（3）过点D作DH⊥BC于H．
∵∠DHC＝90°，∠DCB＝30°，
∴DH＝DC＝，
∵DE＝CF＝2，
∴S四边形DEFC＝CF?DH＝2×＝2．
26．（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠CDF＝∠FEB，∠DCF＝∠EBF，
∵点F是BC的中点，
∴BF＝CF，
在△DCF和△EBF中，
，
∴△EBF≌△DCF（AAS），
∴DC＝BE，
∴四边形BECD是平行四边形；
（2）解：①BE＝2；
∵当四边形BECD是矩形时，∠CEB＝90°，
∵∠ABC＝120°，
∴∠CBE＝60°；
∴∠ECB＝30°，
∴BE＝BC＝2，
故答案为：2；
②BE＝4，
∵四边形BECD是菱形时，BE＝EC，
∵∠ABC＝120°，
∴∠CBE＝60°，
∴△CBE是等边三角形，
∴BE＝BC＝4．
故答案为：4．
27．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵AF∥CE，
∴∠OAF＝∠OCE，
在△AOF和△COE中，
，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴OE＝OF，
∴四边形AFCE是平行四边形；
（2）平行四边形AFCE能为矩形．
理由：∵四边形AFCE是平行四边形，
∴当EF＝AC＝6时，平行四边形AFCE为矩形，
∵OE＝OF，OB＝OD，
∴BE＝CF，
∴2BE+EF＝BD，
即2BE+6＝8，
解得：BE＝1，
∴当BE＝1时，平行四边形AFCE为矩形；
（3）平行四边形AFCE不能为菱形．
理由：∵四边形AFCE是平行四边形，且∠AOD＝65°，
即AC与BD不垂直，
∴平行四边形AFCE不能为菱形