六年级上册数学教案-8 数学广角—数与形 - 人教版

教学基本信息
课题 数学广角——数与形
是否属于 地方课程或校本课程 否
学科 数学 学段： 第二学段 年级 六年级
相关 领域 综合与实践
教材 书名：数学六年级上册 出版社：人民教育出版社 出版日期：2015年6月
指导思想与理论依据
《义务教育数学课程标准（2011年版）》在“学段目标”的“第二学段”中提出：“探索给定情境中隐含的规律或变化趋势”。同时也提出：“初步形成数感和空间观念，感受符号和几何直观的作用”，“在观察、实验、猜想、验证等活动中，发展合情推理能力，能进行有条理的思考，能比较清楚地表达自己的思考过程与结果”，“在运用数学知识和方法解决问题的过程中，认识数学的价值”。 著名数学家华罗庚曾经说过：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。
数形结合是小学数学中常用的、重要的一种数学思想方法，其实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，通过数与形之间的相互转化，实现抽象与形象的转化，可以使复杂的问题变得更简单，使抽象的问题变得更直观，便于学生的理解和掌握。
教学背景分析
一、教材分析 《数与形》是义务教育人教版教科书六年级上册第八单元的内容。从内容上可以看出，本单元的教学内容分为两个层次：例1的作用是“形助数”，使学生通过数与形的对照，利用图形直观形象的特点表示出数的规律。例2则是“数助形”，借助数字解决一些比较抽象的，复杂的不好理解的问题，渗透极限思想。
利用数形结合的方法研究问题，可以让数量关系与图形性质的问题很好地转化，通过几何直观地帮助学生建立数的概念，可以帮助学生理解数运算的意义，可以使解题思路与过程具体化。从教材编排看，数学知识的呈现逐渐由借助直观形式过渡到知识的迁移与推理。本课教学内容是107页例1，教材从图与算式的关系入手，引导学生探究算式左边的加数与大正方形左下角的小正方形和其他“┓”形图形所包含的小正方形个数的关系，发现“数”“形”之间的联系，找到其中的规律，使学生在操作、体验用形表示数的直观性时，学会应用规律并解决问题。
纵观整个小学数学阶段以及在今后的学习中，无不充分体现数与形的有机结合，既可用“数”来解决“形”的问题，也可用“形”来解决“数”的问题。认识分数时，学生要借助平面图形加以认识；在相遇问题、和差（倍）问题、工程问题、分数、百分数等许多解决问题的教学中，通过画线段图、集合图、长方形面积图、列表格等方式分析题中数量之间的关系，找出解决问题的方法，提高学生分析问题和解决问题的能力；而学生学习图形时要通过测量、计算等了解图形的特征等；解析几何及微积分中，曲线与方程、方程组和函数与它们的图象互为工具，互为解释，有机融合。
二、学情分析
数与形的结合对于学生并不陌生，对于“数”和“形”的概念有一定认知。但是，学生没有主动运用直观图形解决较复杂数的运算的意识，动手能力和归纳能力不强，同时对“数与形”这部分知识没有从其他渠道学过。本班共计35人，喜欢动脑筋，语言表达能力比较好，有较好的学习习惯和学习态度。
针对本班的学生实际，以及本节课的教学内容，我对学生进行了教学前测并且对结果进行了分析：
教学前测：（35人）
1.计算（请写出计算过程）。
1+2+3+……+13+14+15=
解答情况
正确（凑数）（直接计算）
错误
人数
21（19）（2）
14
百分比
60%（44.3%）（5.7%）
40%
2.根据点子图写出不同的算式。
解答情况
乘法算式
加法算式
除法算式
人数
35
18
12
百分比
100%
51%
34%
3.如下图，用小棒摆正方形。摆4个正方形需要（? ?）根小棒；摆10个正方形需要（ ）根小棒；摆n正方形需要（? ）根小棒。
解答情况
正确
错误
人数
8
27
百分比
23%
77%
结果分析：在题目1多数学生对数的计算掌握较好，在计算中能够有自己的想法尝试简便计算（凑成15或16在进行计算）；在题目2中全部学生都能写出乘法算式，有一半的学生能写出加法算式，只有少部分学生写出除法算式，说明学生在学习乘法时主要是借助图形理解乘法的意义留下了深刻的印象，大部分学生写的加法和除法算式则是通过乘法算式推导出来的；在题目3中学生由于有图形的支撑，所以对于此题前两个简单规律掌握较好，但对于归纳规律和抽象程度有待提高。
由此可见，小学六年级的学生虽然已具备初步的逻辑思维能力，以及推理和概括能力，但仍以形象思维为主。教材在小学中、低年级的数学教学中，已经逐渐借助推理与知识迁移来完成，并结合教材挖掘、创造条件开始渗透数形结合思想。进入高年级后，学生逻辑思维能力已有一定发展，为了使学生更直观的理解知识，同时又满足学生逻辑思维能力的发展，把形象真正放在“支撑”地位，从而为培养学生的逻辑能力而服务。
三、我的思考
1.设计怎样的实践活动才能让学生经历知识产生的过程，并且有效地体现数形结合思想？
2.通过本节课的教学，学生掌握知识后还应给学生留下哪些活动经验？
教学方式：本节课的设计主要以学生探究和教师适时引导相结合的教学方式，让学生在观察、想象、创造、探索、交流、归纳等一系列的活动中，经历用不同的方法解决连续奇数数列之和问题的过程，积累数形结合数学活动经验，体验数学思想方法的价值。
教学手段：体验式、探索式教学
技术准备：课件、教师用图、学生用图。
教学目标(内容框架)
知识与技能：通过观察、操作、实验、猜想、验证等活动，使学生掌握求1+3+5+7这样的连续奇数数列之和的方法。 过程与方法：经历探索的过程，在动手操作、自主探索与交流合作中，体会数与形的联系，进一步积累数形结合数学活动经验，培养学生数形结合的数学思想意识。
情感态度与价值观：使学生在解决数的问题的过程中，激发学生用数形结合思想方法解决问题的兴趣，体验数学探究的乐趣。
教学重点：结合具体实例理解数形结合的思想方法。运用数形结合的方法探索规律，解决实际问题。
教学难点：积累数形结合数学活动经验，体验数学思想方法的价值。
问题框架(可选项)
1.在正方形中你能看到加法算式吗？ 2.我们能不能换个角度观察，先涂色再写出其它的加法算式？
3.为什么从1开始连续奇数相加的加法算式都能用一个数的平方表示？
教学流程示意(可选项)

教学过程(文字描述)
一、提出问题，初步感知 1.多媒体分别出示小正方形：1个、3个、16个杂乱的正方形。
师：这是我们学过的正方形，数一数有几个？
问：好数吗？怎样就好数了？
生：摆成长方形或正方形
师：说一说长方形的长、宽分别是几？正方形的边长是几？
2.课件出示：
师：这就是大家描述的图形，看看这些图形，哪个更好数呢？说说理由。
生：正方形好数，因为4×4=16。
师：4×4也就是42
3.课件出示：
提问：在正方形中你能看到加法算式吗？
生：横着看4个4相加，竖着看也是4个4相加。（课件演示）
【设计意图】由杂乱无章的小正方形到规则的大正方形引出形与数的联系，培养学生的有序思想，体会到有序的思考问题会使问题变的简单。让学生体会边长是4的正方形不仅可以用42表示，还可以用4+4+4+4这样的加法算式表示。
二、数形结合，探索规律
1.师：不管是横着观察还是竖着观察我们都能得到4+4+4+4这样的加法算式，而且它可以表示成42。我们能不能换个角度观察，先在第一组方格图中涂一涂（每人4个4×4的方格图），再写出相应的加法算式，看看谁的想法多，完成后和其他同学交流。
学生涂一涂并写出相应的加法算式并交流。
2.汇报展示。
重点理解：
1+2+3+4+3+2+1
学生介绍
师：你理解这位同学的画法吗？请你用手势指一指，并且边指边说出对应的算式。
1+3+5+7
师：这位同学是怎样画的呢？我们也用手比划一下。你能在图形里能找到他写的加法算式吗？（黑板上粘贴同样的图，并板书：1+3+5+7）
提问：观察这个算式的加数有什么特点？
预设1：都是奇数。
预设2：后边的数比前一个数大2。
师：从1开始的连续奇数相加1+3+5+7。
出示：
【设计意图】通过学生在方格图上涂一涂，并写出加法算式，培养学生的想象力及创新意识。并且为学生发现、归纳、概括、理解规律做好充分的准备。
3.师：边长是4的正方形能写成1+3+5+7这样的连续奇数相加的形式，那么边长是3的正方形和边长是2的正方形也能写成这样的形式吗？请两位同学在黑板上涂一涂并写出加法算式，其他同学用第二组方格图试一试。
学生解释自己的涂法及加法算式
1+3 1+3+5
教师出示：
学生理解1个小正方形就是1。
提问：1+3+5+7可以用42来表示，这些算式呢？
生：1=12，1+3=22，1+3+5=32。
【设计意图】学生通过动手操作、观察等活动，充分理解了从1开始连续奇数相加可以用一个数的平方表示。为学生概括、理解规律进一步做好铺垫。
5.师：请你结合图形和算式思考一下，为什么从1开始连续奇数相加的加法算式都能用一个数的平方表示？请你先独立思考再小组交流。
1=12 1+3=22 1+3+5=32 1+3+5+7=42
生：有几个加数就是几的平方。
追问：为什么有几个加数就是几的平方？
学生指图说明：有几个加数，大正方形就有几层，就是几的平方。
提问：我们能不能只看一个数就能得到几的平方？
生1（结合算式）：中间数是几就是几的平方，或者中间两个数的平均数是几就是几的平方。
（教师适时引导：哪个加数和边长有密切关系？）
生2（结合图形与算式）：最后一个加数加1的和除以2，商是几就是几的平方。
提问：从1开始连续奇数相加最后一个加数是9时等于几的平方？最后一个加数是17呢？85呢？
追问：52如果写成从1开始连续奇数相加的加法算式应该是怎样的？72呢？152呢？
师：通过大家的讨论交流，从1开始连续奇数相加可以通过不同的方法得到一个数的平方，你们真了不起！那我们就用这些方法解决一些问题。
【设计意图】让学生通过想一想、算一算、议一议，亲历了从“形”到“数”的过程，能直观的发现“形”与“数”的关系，并且结合图形与算式发现计算规律。让学生初次体验“形”能直观解释“数”的计算，从而体验成功的乐趣。
三、运用规律，解决问题
1+3+5+……+17
1+3+5+7+5+3+1
9+11+13+15
【设计意图】引导学生从多样化的角度探索规律，并应用规律解决一些有关数的问题，进一步体会和掌握数形结合、归纳推理的数学思想，培养学生分析问题、解决问题的意识和能力。
四、回顾总结，拓展延伸
1.揭示课题：我们通过给正方形涂色，利用图形得到了这样的从1开始连续奇数相加的加法算式，并且这样的加法算式都能写成一个数的平方。这就是我们今天研究的《数与形》。
2.拓展：介绍正方形数和三角形数。
（指着黑板上的图形）像1、4、9、16这样的数叫平方数也叫正方形数。
课件呈现：（由正方形数转化）
……
1 1+2 1+2+3 1+2+3+4 1+2+3+4+5……
师：像1、3、6、10、15……这样的数叫三角形数。今天我们认识了三角形数，研究了正方形数，请大家想一想还可能有什么数呢？
【设计意图】适时地介绍一些小知识，激发学生对数形结合的研究兴趣。
板书设计：
数与形
学习效果评价设计
一、评价维度： 打算从兴趣态度、知识技能、自主学习等三方面进行评价，具体内容和标准见评价量规。
二、评价方式：
通过老师上课时的观察，结合自评、小组评、教师评的方式进行评价。
评价量规 1.自评活动表现
（1）我的思维状态 兴奋 活跃 积极 一般
我参与讨论的态度 积极 一般 不够积极
我在课上的收获 很大 较大 不太大 很小
（2）小组评价
课堂上的参与程度 很高 较高 一般 不高
课堂上的总体表现 优 良 合格 待合格
（3）教师评价
2.这节课你有什收获？把收获写在数学日记里。
本教学设计与以往或其他教学设计相比的特点(300-500字数)
1.活动贯穿始终，渗透数形结合思想。 在小学数学教学中,数与形是两条贯穿始终的主线,数形结合既是重要的数学思想,又是解决数学问题的重要方法。“形”的优点在于直观形象，便于理解；“数”的优点在于解题过程的机械化，可操作性强，便于把握。因此，课堂导入我就设计了数小正方形的活动，学生很自然的过度到“以数解形”。接着设计了给正方形涂色、用加法算式表示图形、小组合作、交流、探究1+3+5+7这样的连续奇数数列之和等活动，“以形助数”实现数与形的完美结合渗透数形结合思想。
2.彰显学生个性，让不同的人得到不同的发展。
《课标》中指出：数学课程应致力于实现义务教育阶段的培养目标，要面向全体学生，适应学生个性发展的需要。以及学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。所以在教学过程中给正方形涂色这一环节，我给每个学生创造的机会，展示出自己新奇的想法。探究求1+3+5+7这样的连续奇数数列之和时，通过独立思考、合作交流展示出自己不同的解题策略。从而达到人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展。