陕西省渭南市尚德高中2020-2021学年高二下学期4月第一次质量检测数学（理）试卷 Word含答案

尚德中学高二（2022届）下第一次教学质量检测
数学（理）试题
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1.复数在复平面上对应的点位于 （ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.用反证法证明命题：“若能被5整除，则中至少有一个能被5整除”，那么假设的内容是 （ ）
A. 都能被5整除 B. 都不能被5整除
C. 有一个能被5整除 D. 有一个不能被5整除
3．用数学归纳法证明时，第一步应验证不等式 　(　　)
A． B． C． D．
4.已知函数在点处的切线方程是 （ ）
A. B.
C. D.
5.下列值等于1的是 (　　)
A． B． C． D．
6．已知函数 (　　)
A．0 B．﹣2 C．2e﹣3 D．e﹣3
7．设f ′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f ′(x)的图像如图所示，则y＝f(x)的图像最有可能是 (　 )
8.一物体在变力F(x)＝5－x2(力单位：N，位移单位：m)作用下，沿与F(x)成30°方向作直线运动，则由x＝1运动到x＝2时，F(x)做的功为 (　　)
A.J B.J C.J D．2J
函数的图象在的点处的切线方程是，则等于
( )?
A．10 B．8 C．3 D．2
10．曲线y＝，直线x＝1以及坐标轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为 (　　)
A．π B. C．2π D.
11.已知在R上是增加的，则的取值范围是 (　　)
A. B. C. 或 D. 或
12．是定义在上的非负可导函数，且满足，对任意正数a，b，若，则必有 (　　)?
A． B． C． D．
第Ⅱ卷 （非选择题90分）
二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13．一个物体的运动方程为s＝1－t＋t2，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是_______________.
14．观察下列等式：13＋23＝(1＋2)2，13＋23＋33＝(1＋2＋3)2，13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，…，根据上述规律第5个等式为 .
15．求直线与曲线所围成的平面图形的面积为 .
16．设动直线x＝m与函数f(x)＝x2，g(x)＝lnx的图像分别交于M，N，则|MN|的最小值为 _________
三、解答题（共5小题，共70分）
（本小题满分10分）证明：
18.（本小题满分10分）当实数m为何值时，
（1）为纯虚数；????
（2）为实数；
（3）对应的点在复平面内的第二象限内．
??
19．(本小题满分12分)已知数列满足，.
（1）计算，，，的值；
（2）根据以上计算结果猜想的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想.

20.（本小题满分12分）已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)在区间[－2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．
21．（本小题满分12分）
某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量（升）关于行驶速度（km/h）的函数解析式可以表示为 ，
已知甲、乙两地相距100km .
（1）当汽车以40km/h的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？
（2）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？
22．(本小题满分14分)已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx在区间[0,1]上是增函数，在区间(－∞，0]与[1，＋∞)上是减函数，且f′＝.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若在区间上恒有成立，求m的取值范围．
高二第一次质量检测数学答案（理科）
选择题（每小题5分，共60分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A B B A C C D C D D B C
填空题（每小题5分，共20分）
5米/秒

16、
解答题（5小题，共70分）
（10分）
证明：要证明
只需证明
只需证明
即证明
即证明42>40,这显然成立，则原不等式得证。
（10分）
解：由，解得，当时，复数z为纯虚数；
由，得或，当或时，复数z为实数；
由，解得，当时，复数z对应的点在第二象限内．
19．(本小题满分12分)
解：（1）由和，得
，，
，. （4分）
（2）由以上结果猜测： （6分）
用数学归纳法证明如下：
（Ⅰ）当时 ，左边，右边，等式成立. （8分）
（Ⅱ）假设当时,命题成立，即成立.
那么，当时，

这就是说，当时等式成立.
由（Ⅰ）和（Ⅱ），可知猜测对于任意正整数都成立.（12分）
20.（12分）
解：(1)f′(x)＝－3x2＋6x＋9，令f′(x)<0，解得x<－1或x>3，
∴函数f(x)的单调减区是为(－∞，－1)，(3，＋∞)．
令f′(x)>0，解得－1∴函数f(x)的单调递增区间为(－1,3)．
(2)∵f(－2)＝8＋12－18＋a＝2＋a，f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，
∴f(2)>f(－2)，
∵f(x)在(－1,3)上f′(x)>0，∴f(x)在[－1,2]上单调递增，
又由于f(x)在[－2，－1]上单调递减，
∴f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间[－1,2]上的最大值和最小值，
∴22＋a＝20，则得a＝－2.
f(x)＝－x3＋3x2＋9x－2，∴f(－1)＝1＋3－9－2＝－7，
即函数f(x)在区间[－2,2]上的最小值为－7.
21．（本小题满分12分）
解: (1)当km/h时，汽车从甲地到乙地行驶了h
要耗油(升)
(2)当速度为km/h，汽车从甲地到乙地行驶了h，耗油量为升，依题意得
（）
令，得
当时，，是减函数
当时，，是增函数
∴当时，取得极小值：
(升)
因此，当汽车以80 km/h的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油量少，最少为11.25升。
22.（本小题满分14分）解：(1)由f(x)＝ax3＋bx2＋cx，得f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.又由f(x)在区间[0,1]上是增函数，在区间(－∞，0]与[1，＋∞)上是减函数，可知x＝0和x＝1是f′(x)＝0的解，∴即解得
∴f′(x)＝3ax2－3ax.又由f′＝，得f′＝－＝，∴a＝－2，
即f(x)＝－2x3＋3x2.
(2)由[1，3]上恒有f(x)≤mx成立，得恒成立，所以m的取值范围