与三角形“四心”相关的向量问题

向 量 专 题 复 习
杭州市特级教师 张士巍
一、与三角形“四心”相关的向量问题
题1：已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足, . 则P点的轨迹一定通过△ABC的
A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心
解：由已知得，是方向上的单位向量，是方向上的单位向量，根据平行四边形法则知构成菱形，点P在∠BAC的角平分线上，故点P的轨迹过△ABC的内心，选B.
练习：在直角坐标系xoy中，已知点A(0,1)和点B(–3, 4)，若点C在∠AOB的平分线上，且，则=_________________.
略解：点C在∠AOB的平线上，则存在使==, 而，可得，∴.
题2：已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足, . 则P点的轨迹一定通过△ABC的( )
A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心
解：由已知得，设BC的中点为D，则根据平行四边形法则知点P在BC的中线AD所在的射线上，故P的轨迹过△ABC的重心，选C.
题3：已知O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足,, 则动点P的轨迹一定通过△ABC的( )
A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心
解：由已知得，
由正弦定理知，∴，
设BC的中点为D，则由平行四边形法则可知点P在BC的中线AD所在的射线上，所以动点P的轨迹一定通过△ABC的重心，故选A .
题4：已知O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足,, 则动点P的轨迹一定通过△ABC的( )
A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心
解：由已知得，
∴
=== 0，
∴，即AP⊥BC，所以动点P的轨迹通过△ABC的垂心，选B.
题5：已知O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足, , 则动点P的轨迹一定通过△ABC的( )
A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心
解：设BC的中点为D，则，
则由已知得，
∴
=== 0 .
∴DP⊥BC，P点在BC的垂直平分线上，故动点P的轨迹通过△ABC的外心. 选C .
题6：三个不共线的向量满足=+) == 0，则O点是△ABC的( )
A. 垂心 B. 重心 C. 内心 D. 外心
解：表示与△ABC中∠A的外角平分线共线的向量，由= 0知OA垂直∠A的外角平分线，因而OA是∠A的平分线，同理，OB和OC分别是∠B和∠C的平分线，故选C .
题7：已知A、B、C是平面上不共线的三点，O为△ABC的外心，动点P满足，则P的轨迹一定通过△ABC的( )
A. 内心 B. 垂心 C. 重心 D. AB边的中点
解：=
==,
由平行四边形法则知必过AB边的中点，注意到，所以P的轨迹在AB边的中线上，但不与重心重合，故选D.
题8：已知O是△ABC所在平面上的一点，若= 0, 则O点是△ABC的( )
A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心
解：若= 0, 则，以、为邻边作平行四边形OAC1B，设OC1与AB交于点D，则D为AB的中点，有，得，即C、O、D、C1四点共线，同理AE、BF亦为△ABC的中线，所以O是△ABC的重心. 选C .
题9：已知O是△ABC所在平面上的一点，若(其中P为平面上任意一点), 则O点是△ABC的( )
A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心
解：由已知得，
∴，即= 0，由上题的结论知O点是△ABC的重心. 故选C .
题10：已知O是△ABC所在平面上的一点，若，则O点是△ABC的( )
A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心
解：由，则，即，
得，所以. 同理可证，.
∴O是△ABC的垂心. 选D.
题11：已知O为△ABC所在平面内一点，满足=，则O点是△ABC的( )
A. 垂心 B. 重心 C. 内心 D. 外心
解：由已知得
=
== 0
= 0，∴⊥.
同理，. 故选A .
题12：已知O是△ABC所在平面上的一点，若=== 0，则O点是△ABC的( )
A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心
解：由已知得：
=== 0
== 0
. 所以O点是△ABC的外心. 选A .
题13：已知O是△ABC所在平面上的一点，若= 0，则O点是△ABC的( )
A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心
解：∵，，则= 0，得. 因为与分别为和方向上的单位向量，设，则平分∠BAC. 又、共线，知AO平分∠BAC. 同理可证BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，所以O点是△ABC的内心.
题14：已知O是△ABC所在平面上的一点，若(其中P是△ABC所在平面内任意一点)，则O点是△ABC的( )
A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心
解：由已知得=，
∴==，
由上题结论知O点是△ABC的内心. 故选B.
题15：设O为△ABC的外心，G为△ABC的重心，求证：.
证明：根据题9中P点的任意性即可证得. 证明略.
题16：设O为△ABC的外心，H为△ABC的垂心，则.
证明：在△ABC的外接圆O中作直径BD，连接
AD、DC，则有：, AD⊥AB, DC⊥BC,
又H是垂心，则AH⊥BC, CH⊥AB,
∴CH∥AD, AH∥DC, 于是AHCD是平行四边形，
∴.
∴.
练习1：△ABC的外接圆的圆心为O，两边上的高的交点为H，=，则实数m =____________.
解1：由上题结论知m = 1.
解2：∵O为△ABC的外接圆的圆心，所以，又H为三角形的垂心，则，故∥，设.
则，又=，所以m=1.
练习2：△ABC中，AB=1, BC =, CA = 2, △ABC的外接圆的圆心为O，若，求实数的值.
解：，两边平方得. 分别取AB、AC的中点M、N，连接OM、ON. 则==.
又O为△ABC的外接圆的圆心，则= 0，即有.
同理有= 0，得. 解得，.
二、与三角形形状相关的向量问题
题17：已知非零向量与满足= 0且，则△ABC为( )
A. 三边均不相等的三角形 B. 直角三角形
C. 等腰非等边三角形 D. 等边三角形
解：由= 0，知角A的平分线垂直于BC，故△ABC为等腰三角形，即|AB| = |AC|；由，
∴= 600 . 所以△ABC为等边三角形，选D .
题18：已知O为△ABC所在平面内一点，满足，则△ABC一定是( )
A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形
C. 等腰三角形 D. 等边三角形
解：由已知得
，可知以AB与AC为邻边的平行四边形是矩形，所以AB⊥AC，选B .
题19：已知△ABC，若对任意，≥，则△ABC( )
A. 必为锐角三角形 B. 必为钝角三角形
C. 必为直角三角形 D. 答案不确定
解法1：∵，∴，
∴≥……①
①式右边表示A、C两点之间的距离，记，则①式左边表示直线BC外一点A与直线BC上动点P之间的距离，由≥恒成立知，A在直线BC上的射影就是C点，所以AC⊥BC，故选C .
解法2：令，过点A作AD⊥BC于点D, 由≥，得≥，令f (t) =，则f (t)≥恒成立，只要f (t)的最小值大于或等于，而当t =时，f (t)取最小值，此时：
≥，
即≥，∴≥，从而有| AD |≥ | AC | ,
∴, 故选C.
题20：已知a, b, c分别为△ABC中∠A, ∠B, ∠C的对边，G为△ABC的重心，且= 0, 则△ABC为( )
A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形
C. 等腰三角形 D. 等边三角形
解：∵G是△ABC的重心，∴= 0, 又= 0,
∴= 0, 即= 0 .
∵, 不共线，∴a – c = b – c = 0, 即a = b = c.
∴△ABC为等边三角形. 选D.
三、与三角形面积相关的向量问题
命题：平面内点O是△ABC的重心，则有 .
题21：已知点O是△ABC内一点，= 0, 则：
△AOB与△AOC的面积之比为___________________；
△ABC与△AOC的面积之比为___________________；
△ABC与四边形ABOC的面积之比为_____________.
解： (1) 将OB延长至E，使OE = 2OB，将OC延长至F，使OF = 3OC，则= 0, 所以O是△AEF的重心.
∴，，∴.
(2) ∵，
∴==，又,
∴ .
(3) =，
∴ .
四、向量的基本关系(共线、垂直、夹角)
命题：A、B、C三点共线，且(O为平面上任一点).
题22：在△ABC中，已知D是AB边上一点，若，，则=( )
A. B. C. D.
解：由上述命题的结论可知选A .
题23：如图，在△ABC中，点O是BC的
中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同
的两点M、N，若，，则
m + n =______.
解1：取特殊位置. 设M与B重合，N与C
重合，则m=n=1, 所以m+n=2.
解2：=，∵M、O、N三点共线，∴,∴m + n = 2.
解3：过点B作BE∥AC, 则，.
又，∴1– m = n –1, ∴m + n = 2 .
题24：如图，已知点G是△ABC的重心，若过△ABC的重心，记= a,= b, = ma , = nb , 则=__________.
解：=a +b =,
∵P、G、Q三点共线，
∴，∴= 3 .
题25：(1)已知, , 与的夹角为1200，求使与的夹角为锐角的实数k的取值范围.
(2) 已知，，且与的夹角为钝角，求实数m的取值范围.
解：(1) == k + (k2 + 1)×1×2×cos1200 + 4k = – k2 + 5k –1 ,
依题意，得 – k2 + 5k –1＞0，∴.
又当与同向时，仍有＞0，此时设，显然、不共线，所以，k =, k ==, 取k ==1.
∴且k≠1 .
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
www.
A
B
C
O
H
D
A
B
C
M
O
N
E
G
A
B
C
M
P
Q