5.2探索轴对称的性质(含解析）

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北师大版2020﹣2021学年度下学期七年级数学下册第五章生活中的轴对称
5.2
探索轴对称的性质
【知识清单】
一、轴对称的性质：
1.关于某直线对称的两个图形是全等图形；
2.对应点所连的线段被对称轴垂直平分；
3.对应线段相等，对应角相等；
4.对应线段相交或其延长线相交交点一定在对称轴上.
二、轴对称的判定：
1.如果两个图形的任何一对对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称.
2.类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.?
三、轴对称作用：
1.可以通过对称轴的一边从而画出另一边；?　　
2.可以通过画对称轴得出的两个图形全等.?
、
四、注意：
成轴对称的两个图形一定全等，但全等的两个图形不一定成轴对称.
【经典例题】
例题1、如图，直线MN是四边形ABCD的对称轴，点P是直线MN上的点，下列判断错误的是(
)
A．AB=CB
B．PC=AB
C．S△APB=
S△CPB
D．∠DAP=∠DCP
【考点】轴对称的性质．
【分析】根据直线MN是四边形ABCD的对称轴，由轴对称图形的性质对每一个选项逐一判定即可．
【解答】∵直线MN是四边形ABCD的对称轴，
∴点A与点C对应，点D与点D对应，点B与点B对应
∴AB=BC，
∴△APB≌△CPB，
∴S△APB=
S△CPB
∴∠DAP=∠DCP
∴A，C，D正确，B错误，
故选B．
【点评】本题考查了轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
例题2、如图，△ABC与△DEF关于直线l成轴对称，
(1)指出其中的对应点、对应线段和对应角；
(2)找出图中相等的线段和相等的角．
【考点】轴对称的性质．?
【分析】(1)根据图形确定出对应点、对应线段、对应角即可；(2)根据轴对称的性质，对应边相等，对应角相等解答．
【解答】(1)对应点：点A与点D，点B与点E，点C与点F；
对应线段：线段AB与线段DE，线段AC与线段DF，线段BC与线段EF；
对应角：∠A与∠D，∠B与∠E，∠C与∠F；
(2)相等的线段：
AB=DE，
AC=DF，
BC=EF；
相等的角：∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F．
【点评】本题考查了轴对称的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
【夯实基础】
1．下列关于轴对称性质的说法中，不正确的是(
)
A.
关于某直线对称的两个图形是全等图形
B.
对应线段相等，对应角相等
C.
对应线段互相平行
D.
对应点连线被对称轴垂直平分
2．如图，△ABC与△A1B1C1关于直线l对称，且∠A=108°，∠C1=28°，则∠B1的度数为(
)
A．34°
B．44°
C．54°
D．62°
3．如图所示长方形纸片ABCD沿AE折叠后，点D与D′重合，已知∠CED′=38°.则∠BAD′的是(??
)
???
?A．54°
B．44°
C．36°
D．34°
4．下列英文字母中，经轴对称变换后形状不发生变化的是(
)
A．AHIOTXZ
B．HIOX
C．AHIOTNSQUVXC
D．都不变形状
5．如图，AD是△ABC的对称轴，点E、F是AD上的两点，若BD=6，AD=8，则图中阴影部分的面积是
．
6．如图，四边形ABCD关于直线l是对称的，有下面的结论：①AB
∥
CD；②AC⊥BD；③AO=CO；④AB⊥BC；⑤BO=DO.其中不正确的结论有
.
7．数的运算中会有一些有趣的对称形式，
(1)按照等式①的形式填空，并检验等式是否成立.
①14×451=154×41；
②17×781=
×
；
③25×572=
×
；
④36×693=
×
.
(2)以上每个等式的两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数之间具有相同的规律，请你找到规律并填空：
①53×
=
×
；②72×
=
×
.
8．(1)如图，已知△ABC，作出△ABC关于直线m的对称图形.
(2)如图，△ABC与△DEF关于直线l对称，请仅用无刻度的直尺，在下面两个图中分别
作出直线l.
9．如图，△ABC和△A'B'C'关于直线m对称.
(1)结合图形指出对称点；
(2)连接A、A'，直线m与线段AA'有什么关系？
(3)写出图中所有相等的线段；
(4)延长线段AC与A'C'，它们的交点与直线m有怎样的关系？
其他对应线段(或其延长线)的交点呢？你发现了什么规律，
请叙述出来与同伴交流.
【提优特训】
10．下面是四位同学作△ABC关于直线MN的轴对称图形，其中正确的是(　　)
11．如图，将四个“米”字格的正方形内涂上阴影，其中是轴对称图形，且对称轴数量最多的是(　)
12．如图，△ABC的面积为12，AC=4，现将△ABC沿AB所在直线翻折，使点C落在直线AD上的C′处，P为直线AD上的一点，则线段BP的长不可能是(　　)
A．5.5
B．6
C．6.5
D．7
13．如图将一个长方形纸片ABCD，沿着BE折叠，使C、D点分别落
在点C′，D′处．若∠C′BA=50°，
则∠ABE的度数为(　　)
A．50°
B．40°
C．30°
D．20°
14．如图所示，其中是轴对称图形的是
，与甲成轴对称的图形有
.
15．(1)如图，将长方形纸条ABCD沿EF，GH折叠，使B，C两点恰好都落在AD的P点处.若BC=10cm，则△PFH的周长为
cm.
(2)如图，O是直线BC上的
点，OM平分∠AOB，ON平分∠AOC，点E在OM上，过点E作EG⊥OA于点G，EP⊥OB于点P，延长EG，交ON于点F，过点F作FQ⊥OC于点Q，若OG=3，则QP的长度为
.
16．如图，在△ABC，将△ABC沿DE翻折后，点A落在BC边上点处，若∠1+∠2=98°，
则∠A=
.
17．如图，已知l1∥l2，l1与l2的距离为a(a＞0)，点P是l1左侧一点，P到l1的距离为b(a(1)作出点P关于l1的对称点P1，并在PP1上取一点P2，使点P2、P1关于l2对称；
(2)求PP2的距离，并说明理由．
18．如图，将△ABC沿直线DE折叠，使点C落在点A处，已知∠AEB=62°，△ABC的周长比△ABE的周长长10cm.
求(1)
∠C的度数；(2)线段AC的长.
【中考链接】
19．(2020年?哈尔滨)
如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=50°，AD⊥BC，垂足
为D，△ADB与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'，则∠CAB'的度数为(
)
A．10°
B．20°
C．30°
D．40°
20．(2020年?吉林)
图①、图②、图③都是3×3的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．A，
B，C均为格点．在给定的网格中，按下列要求画图：
(1)在图①中，画一条不与AB重合的线段MN，使MN与AB关于某条直线对称，且M，N为格点．
(2)在图②中，画一条不与AC重合的线段PQ，使PQ与AC关于某条直线对称，且P，Q为
格点．
(3)在图③中，画一个△DEF，使△DEF与△ABC关于某条直线对称，且D，E，F为格点．
参考答案
1、C
2、B
3、A
4、B
5、12
6、①③④
10、C
11、B
12、A
13、D
14、甲、乙、丙、丁，甲、丁
15、(1)10；(2)6
16、49°
19、A
7．解：(1)②17×781=
187
×
71
；
③25×572=
275
×
52
；
④36×693=
396
×
63
.
(2)①53×
385
=
583
×
35
；
②72×
297
=
792
×
27
.
8．(1)如图，已知△ABC，作出△ABC关于直线m的对称图形.
解：①过点A作AP⊥直线m，垂足为P，
②延长AP到点使=PA,得到点A关于直线m的对称点，
③同理得到点B，C的关于直线m的对称点，，
④连接，，，
得到△ABC关于直线m的对称图形.
(2)
作图如下：
9．解：(1)A和A'，B和B'，C和C'是对称点；
(2)如图连接AA′，根据性质可得直线m⊥AA′，且平分AA′；
(3)写出图中所有相等的线段.
(4)延长线段AC与A'C'，它们的交点在直线m上，
其他对应线段或者延长线的交点都在直线m上；
发现的规律是两个图形成轴对称，对应线段或者
延长线的交点在对称轴上.
17．如图，已知l1∥l2，l1与l2的距离为a(a＞0)，点P是l1左侧一点，P到l1的距离为b(a(1)作出点P关于l1的对称点P1，并在PP1上取一点P2，使点P2、P1关于l2对称；
(2)求PP2的距离，并说明理由．
解：(1)如图，①过点P作PO1⊥l1，垂足为O1，
②延长PO1到P1，交l2于点O2，使PO1=O1P1，
则点P与点P1关于直线l1对称，
③在线段PP1上，截取P2O2=O2P1，
则点P2与点P1关于直线l2对称；
(2)
∵P作PO1⊥l1，l1∥l2，
∴PP1⊥l2，
∵PP1分别交l1、l2于点O1、O2，l1与l2的距离为a，
∴O1O2=
a，
∵P、P1关于l1对称，点P2在PP1上，
∴P、P1关于l1对称，P1O1=PO1=b
∵P1、P2关于l2对称
∴P2O2=P1O2=P1O1?O1O2=b?a
∴PP2=PP1?P1P2=PP1?2P2O2=2b?2(b?a)=2a．
18．如图，将△ABC沿直线DE折叠，使点C落在点A处，已知∠AEB=62°，△ABC的周长比△ABE的周长长10cm.
求(1)
∠C的度数；(2)线段AC的长.
解：(1)
∵将△ABC沿直线DE折叠，使点C落在点A处，
∴∠EAC=∠C，
∵∠AEB是△ABE的外角，
∴∠AEB=∠EAC+∠C=2∠C.
∵∠AEB=62°，
∴2∠C=62°，
∴∠C=31°；
(2)
∵将△ABC沿直线DE折叠，使点C落在点A处，
∴AE=CE，
∵△ABC的周长为AB+BC+CA，
△ABE的周长为AB+BE+EA=AB+BE+EC=AB+BC，
∴AC
=△ABC的周长?△ABE的周长=
AB+BC+CA?
(
AB+BC)=
10，
∴线段AC的长10cm.
20．(2020年?吉林)
解析：(1)根据对称性在图①中，画一条不与AB重合的线段MN与AB对称即可；(2)根据对称性即可在图②中，画一条不与AC重合的线段PQ与AC对称；(3)根据对称性在图③中，画一个△DEF，使△DEF与△ABC关于某条直线对称即可．
解：(1)如图①，MN即为所求；
(2)如图②，PQ即为所求；
(3)如图③，△DEF即为所求．
例题1题图
A
B
C
D
第9题图
第18题图
第3题图
第15题图(2)
第14题图甲
第14题图乙
第14题丙
第14题图丁
A
B
C
D
第8题图(2)
第17题图
第8题图(1)
第2题图
例题2题图
第6题图
第5题图
第18题图
第15题图(1)
第20题图②
第12题图
第13题图
第8题图(2)
第20题图③
第16题图
第20题图①
第17题图
第17题图
第9题图
第8题图(2)
第8题图(2)
第8题图(1)
第8题图(1)
第19题图
第20题图①
第20题图②
第20题图③
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