8.6.2直线与平面垂直（45张PPT）

09人教A版 必修二
7.1复数的概念
8.6 空间直线、平面的垂直
8.6.2 直线与平面垂直
旗杆与地面垂直
在日常生活中，我们对直线与平面垂直有很多感性认识．比如，旗杆与地面的位置关系（图8.6-7），教室里相邻墙面的交线与地面的位置关系等，都给我们以直线与平面垂直的形象．
大桥的桥柱与水面垂直
生活中有很多直线与平面垂直的实例
A
B
C
图8.6-8
A
B
C
P
l
图8.6-9
画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直，如图8.6-9所示．
思考
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线. 将这一结论推广到空间，过一点垂直于已知平面的直线有几条？为什么？
可以发现，过一点作垂直于已知平面的直线有且只有一条．
过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离．
在棱锥的体积公式中，棱锥的高就是棱锥的顶点到底面的距离
下面我们来研究直线与平面垂直的判定，即探究直线与平面垂直的充分条件．
A
B
C
D
图8.6-10
根据定义可以进行判断，但无法验证一条直线与一个平面内的所有直线都垂直．那么，有没有可行的方法？
A
B
C
D
A
B
D
C
图8.6-11
提出问题:
假设书有无数页,竖立在桌面上,书脊所在直线与桌面给人以垂直的印象.
思考
⑴书脊所在直线和各页面与桌面的交线的位置关系?
⑵书脊所在直线与桌面中任意一条直线的位置关系?
垂直
垂直
m
定理探索．
问题:如图，使书脊AB与桌面垂直，可否将若干书页取掉，但至少保留几页？
猜想：如果一条直线和平面α内两相交直线都垂直，那么这条直线就垂直于这个平面．　
两页
一般地，我们有如下判定直线与平面垂直的定理．
定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直．
l
a
b
P
定理体现了“直线与平面垂直”和“直线与直线垂直的相互转化”
线线垂直
线面垂直
思考
两条相交直线可以确定一个平面，两条平行直线也可以确定一个平面，那么定理中的“两条相交直线”可以改为“两条平行直线”吗？你能从向量的角度解释原因吗？如果改为“无数条直线”呢？
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
a
b
n
m
例3 求证：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．
你能用直线与平面垂直的定义证明这个结论吗？
A
P
l
O
图8.6-14
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角．
斜线
斜足
垂线
射影
B
A
O
P
C
答案：4个，在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑（biē nào）
问题1：三棱锥P-AOC中，共有几个直角三角形？
B
A
O
P
C
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
P
l
l
l
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
O
练习（第152页）
1．如果两条直线和一个平面所成的角相等，那么这两条直线一定平行吗？
不一定，如圆锥的母线与底面所成角都相等，
但圆锥的任意两条母线是相交直线，不是平行直线．
A
B
O
S
A
B
C
D
S
A
B
C
D
三垂线定理：
在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的正射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
即:线射垂直 线斜垂直
A
P
l
O
a
A
P
l
O
a
三垂线定理的逆定理：
在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的正射影垂直。
即:线斜垂直 线射垂直
A
P
l
O
a
A
P
l
O
a
P
A
B
C
O
外
中
P
A
B
C
O
D
E
F
垂
P
A
B
C
O
D
E
F
内
我们知道，在平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，在空间中是否有类似的性质呢?
l
a
b
A
B
C
D
图8.6-16
a
b
图8.6-17
图8.6-18
a
b
c
O
由于无法把两条直线a, b归入到一个平面内，所以在定理的证明中，无法应用平行直线的判定知识，也无法应用基本事实4．在这种情况下我们采用了“反证法”．
这样，我们得到了直线与平面垂直的一条性质定理：
定理 垂直于同一个平面的两条直线平行．
直线与平面垂直的性质定理告诉我们，可以由两条直线与一个平面垂直判定这两条直线互相平行．直线与平面垂直的性质定理揭示了“平行”与“垂直”之间的内在联系．
a
b
a
b
a
你还能自己提出更多的问题，发现更多的结论吗?
A
B
A1
B1
l
图8.6-19
一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离．由例5我们还可以进一步得出，如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离．
P
O
图8.6-20
练习（第155页）
a
b
A
C
D
B
应用：求三棱锥的体积时，可以将三棱锥的顶点沿着与底面平行的直线进行平移。
A
B
C
D
E
F
H
A
B
C
D
E
F
G
a
b
c
4．求证：垂直于同一条直线的两个平面互相平行，（提示：过这条直线作平面与这两个平面相交，则它们的交线平行）