北京市海淀区2020-2021学年高二下学期期中考试数学试题 Word版含答案

海淀区高二年级第二学期期中练习
数学
2021.4
本试卷共4页，100分.考试时长90分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一?选择题：共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1.已知等差数列false中，false，公差false，则false（ ）
A.9 B.10 C.11 D.12
2.已知等比数列false的公比为false，前false项和为false若false，则false（ ）
A.8 B.12 C.14 D.16
3.函数false的导函数false（ ）
A.false B.false C.false D.false
4.已知函数false的图象如图所示，则false的极小值点的集合为（ ）
A.false B.false
C.false D.false
5.已知函数false若对于任意false都有false，则实数false的范围是（ ）
A.false B.false C.false D.false
6.科学家经过长期监测，发现在某一段时间内，某物种的种群数量false可以近似看作时间false的函数，记作false，其瞬时变化率false和false的关系为false，其中false为常数.在下列选项所给函数中，false可能是（ ）
A.false B.false
C.false D.false
7.若函数false有唯一零点，则实数false的取值范围为（ ）
A.false B.false C.false D.false或false
8.一个小球作简谐振动，其运动方程为false，其中false(单位：false是小球相对于平衡点的位移，false(单位：false)为运动时间，则小球的瞬时速度首次达到最大时，false（ ）
A.1 B.false C.false D.false
9.已知等比数列false满足false，记false，则数列false（ ）
A.有最大项，有最小项 B.有最大项，无最小项
C.无最大项，有最小项 D.无最大项，无最小项
10.已知等比数列false满足false若false，则（ ）
A.false B.false
C.false D.false
二?填空题：共5小题，每小题4分，共20分.
11.函数false在false处的切线方程为__________.
12.已知函数false，则false__________.
13.已知等比数列false的前false项和false，则false__________，false__________.
14.已知等比数列false满足false能说明“若false，则false为假命题的数列false的通项公式false__________.(写出一个即可)
15.物体的温度false在恒定温度false环境中的变化模型为：false，其中false表示物体所处环境的温度，false是物体的初始温度，false是经过false小时后物体的温度，且false现将与室温相同的食材放进冰箱的冷冻室，如果用以上模型来估算放入冰箱食材的温度变化情况，则食材的温度在单位时间下降的幅度__________(填写正确选项的序号).
①越来越大②越来越小③恒定不变
三?解答题：共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明?证明过程或演算步骤.
16.已知等差数列false的前false项和为false，且false
（1）求false的通项公式；
（2）求数列false的前20项和false；
（3）在数列false中是否存在不同的两项，使得它们的等比中项中至少有一个仍是该数列中的项？若存在，请写出这两项的值(写出一组即可)；若不存在，请说明理由.
17.已知函数false
（1）当false时，求函数的单调区间；
（2）若false恒成立，求false的取值范围.
18.易拉罐用料最省问题的研究.小明同学最近注意到一条新闻，易拉罐(如图所示)作为饮品的容器，每年的用量可达数万亿个.这让他想到一个用料最优化的问题，即在易拉罐的体积一定的情况下，如何确定易拉罐的高和半径才能使得用料最省？他研究发现易拉罐的上盖?下底和侧壁的厚度是不同的，进而结合数学建模知识进行了深入研究.以下是小明的研究过程，请你补全缺失的部分.
以下是小明的研究过程，请你补全缺失的部分.
（I）模型假设：
①易拉罐近似看成圆柱体；
②上盖?下底?侧壁的厚度处处均匀；
③上盖?下底?侧壁所用金属相同；
④易拉罐接口处的所用材料忽略不计.
（II）建立模型
记圆柱体积为false，高为false，底面半径为false，上盖?下底和侧壁的厚度分别为false，
金属用料总量为C.
由几何知识得到如下数量关系：
false①
false②
由①得false，代入②整理得：false.
因为false都是常数，不妨设false，
则用料总量的函数简化为false.
请写出表格中代入整理这一步的目的是：___________________________.
（III）求解模型：
所以，在false___________(用false表示)时，false取得最小值，即在此种情况下用料最省.
(Ⅳ)检验模型：
小明上网查阅到目前330毫升可乐易拉罐的数据，得知falsefalse，代入（III）的模型结果，经计算得false
经验算，确认计算无误，但是这与实际罐体半径false差异较大.实际上，在经济利益驱动之下，目前的罐体成本应该已经达最优.
(Ⅴ)模型评价与改进：
模型计算结果与现实数据存在较大差异的原因可能为：__________________________
_______________________________________________________________________.
相应改进措施为：__________________________________________________________
_______________________________________________________________________.
19.集合false，集合false，若集合false中元素个数为false，且所有元素从小到大排列后是等差数列，则称集合false为“好集合”.
（1）判断集合false是否为“好集合”；
（2）若集合false是“好集合”，求false的值；
（3）“好集合”false的元素个数是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由.
海淀区高二年级第二学期期中练习参考答案
数学
2021.4
本试卷共4页，100分.考试时长90分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上
作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一?选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题
目要求的一项
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
C
C
A
B
B
A
D
D
A
A
二?填空题共5小题，每小题4分，共20分.
11.false
12.false
13.false(每空2分)
14.false(答案不唯一)
15.②
三?解答题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明?证明过程或演算步骤.
16.【解析】
（1）设等差数列false的公差为false，由题意得false，
解得false，
所以false.
（2）由false可得false，由false可得false，
所以false，
所以false.
（3）存在
false答案不唯一)
17.【解析】
（1）当false时，false，定义域为false，
false
当false时，false；
当false时，false，所以false的单调递增区间是false；
当false时，false，所以false的单调递减区间是false；
综上，false的单调递增区间是false，单调递减区间是false.
（2）false定义域为false，
所以false恒成立，等价于false恒成立，
设false，则false，
当false时，false；
当false时，false的单调递增区间是false；
当false时，false的单调递减区间是false
所以，false的极大值，此时也是最大值，为false.
所以false的取值范围是false.
18.【解析】
（2）表格中代入整理这一步的目的是：消元，消去变量false，使②中false的表达式只含有一个自变量false.
（3）解：由false可得false，
当false时，false；
当false时，false，所以false的单调递增区间是false.
当false时，false，所以false的单调递减区间是false.
所以，在false时，false取得最小值，即在此种情况下用料最省.
（Ⅴ）说明：本小题的答案不唯一，下面两种是常见的两个考虑维度，答出任何一条即可，但是学生指出的原因和改进措施必须相匹配，只填出一空不给分.
模型计算结果与现实数据存在较大差异的原因可能为：
①模型假设过于简单，把易拉罐近似看成圆柱体，但实际上易拉罐的上部为近似圆台体，尤其是底部有凹进去的部分相应改进措施：更精细描述易拉罐，例如将易拉罐体看作是圆台和圆柱的组合体.
②模型主要考虑了如何设计使得用料最省，但实际上还需要考虑生产与运输中的其它限制条件，还有消费者的喜好等其它因素.相应改进措施：了解在现实中，商家认为的最优内涵要素，重新界定问题.
19.【解析】
（1）false，相应的false符合题意，所以false是“好集合”；
false，因为false，所以不符合题意，所以false不是“好集合”；
（2）false，相应的false，
又因为false，所以元素由小到大排列后为：
false或false
因为这个序列是等差数列，所以公差false.
所以false或false，所以false或false
经检验，当false时，false，符合题意；false时，不符合题意.
所以false
（3）“好集合”false的元素个数存在最大值false.
由（2）可知false即为“好集合”.
以下证明false都不是“好集合"，共分为两步：先证明“好集合”false的元素个数false，再证明false也不符合题意.
不妨设false，记false，
false中的所有元素从小到大排列为false，构成的等差数列false公差为false
显然false，所以false.
第一步，证明“好集合”false的元素个数false.
(反证法)假设false，以下分false与false两种情况进行讨论：
（1）若false，
又因为false且false公差false，
可得false，
所以false，
所以false，
因为余下的两项之和false中，false最小，
所以false，所以false，
因为false，
在余下的项中，是false和false是较小的，
因为false，所以false，
所以false，则false
所以false
这与“false中元素个数为false”矛盾!
（2）若false，则false，
在余下的项中，是false和false是较小的，
①若false，那么false，
所以，false，
而false与“false中元素个数为false”矛盾!
②若false，
那么false
所以false，
因为余下的两项之和false中，false最小，
所以false，所以false，
又因为false，
所以false，所以false，
所以false，与“false中元素个数为false”矛盾!
综合（1）（2）可知，假设false不成立，所以false.
第二步，证明false也不符合题意
当false时，显然false，
所以，false且false，即false公差为false，
因为false
所以false，
注意到false，否则false成等差数列，false，与“false中元素个
数为false”矛盾!
所以false，
又因为false，
所以false，
所以false，
所以false，
所以false成等差数列，所以false，与“false中元素个数为false”矛盾!
所以，false也不符合题意.