广西钦州第四高级中学校2020-2021学年高一下学期4月第八周周测数学试题 Word版含答案

广西钦州市第四中学2021年春季学期高一数学第八周周测试卷一．选择题
1．如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，C为圆上异于A，B的任意一点，AE⊥PC垂足为E，点F是PB上一点，则下列判断中不正确的是（　　）
A．BC⊥平面PAC B．AE⊥EF
C．AC⊥PB D．平面AEF⊥平面PBC
2．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点O为底面ABCD的中心，点P在侧面BB1C1C的边界及其内部运动．若D1O⊥OP，则△D1C1P面积的最大值为（　　）
A． B． C． D．
3．在三棱锥P﹣ABC中，平面PBC⊥平面ABC，∠ACB＝90°，BC＝PC＝2，若AC＝PB，则三棱锥P﹣ABC体积的最大值为（　　）
A． B． C． D．
4．如图1，已知PABC是直角梯形，AB∥PC，AB⊥BC，D在线段PC上，AD⊥PC．将△PAD沿AD折起，使平面PAD⊥平面ABCD，连接PB，PC，设PB的中点为N，如图2．对于图2，下列选项错误的是（　　）
A．平面PAB⊥平面PBC B．BC⊥平面PDC
C．PD⊥AC D．PB＝2AN
5．已知直线a和平面α、β有如下关系：①α⊥β，②α∥β，③a⊥β，④a∥α，则下列命题为真的是（　　）
A．①③?④ B．①④?③ C．③④?① D．②③?④
6．已知α，β是空间两个不同的平面，m，n是空间两条不同的直线，则给出的下列说法中正确的是（　　）
①m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β；
②m∥α，n∥β，且m⊥n，则α⊥β；
③m⊥α，n⊥β，且m∥n，则α∥β；
④m⊥α，n⊥β、且m⊥n，则α⊥β．
A．①②③ B．①③④ C．②④ D．③④
7．如图是棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1木块的直观图，其中P，Q，F分别是D1C1，BC，AB的中点，平面α过点D且平行于平面PQF，则该木块在平面α内的正投影面积是（　　）
A． B． C． D．
8．已知四棱锥S﹣ABCD中，四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC，∠BAD＝120°，△SAD是等边三角形，且SA＝AB＝2，若点P在四棱锥S﹣ABCD的外接球面上运动，记点P到平面ABCD的距离为d，若平面SAD⊥平面ABCD，则d的最大值为（　　）
A．+1 B．+2 C．+1 D．+2
9．已知AB是圆柱上底面的一条直径，C是上底面圆周上异于A，B的一点，D为下底面圆周上一点，且AD⊥圆柱的底面，则必有（　　）
A．平面ABC⊥平面BCD B．平面BCD⊥平面ACD
C．平面ABD⊥平面ACD D．平面BCD⊥平面ABD
10．如图所示，在平面多边形AQBRCSDP中，SD＝PD，CR＝SC，AQ＝AP，点S，D，A，Q及P，D，C，R共线，四边形ABCD是正方形，沿图中虚线将它们折叠起来，使P，Q，R，S四点重合，围成一个多面体，设该几何体的互相垂直的面有n对，则（　　）
A．n＝3 B．n＝4 C．n＝5 D．n＝6
11．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，，E为棱CD的中点，则（　　）
A．A1E⊥DD1 B．A1E⊥DB C．A1E⊥D1C1 D．A1E⊥DB1
12．在正四棱锥S﹣ABCD中，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，动点P在线段MN上运动时，下列四个结论，不一定成立的为（　　）
①EP⊥AC；②EP∥BD；③EP∥平面SBD；④EP⊥平面SAC．
A．①③ B．③④ C．①② D．②④
二．填空题
13．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是AB，A1B1的中点，P在AD上，若平面CMN⊥平面A1BP，则＝　 　．
14．在三棱锥P﹣ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝120°，PB＝PC＝4，平面PBC⊥平面ABC，则三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为　 　．
15．已知四边长均为2的空间四边形ABCD的顶点都在同一个球面上，若∠BAD＝，平面ABD⊥平面CBD，则该球的体积为　 　．
16．已知平面α，β和直线m，给出条件：①m∥α；②m⊥α：③m?α；④α∥β；⑤α⊥β．当满足条件　 　时，m⊥β．
三．解答题
17．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是正三角形，点D在棱BB1上，且BB1＝3B1D，点E为B1C1的中点．
（1）证明：平面A1DE⊥平面BCC1B1；
（2）若BB1＝3，AB＝2，求点C到平面A1DE的距离．
18．如图，△ABC是边长为2的正三角形，△ABD是以AB为斜边的等腰直角三角形，已知CD＝2．
（1）求证：平面ABC⊥平面ABD；
（2）求直线AC与平面BCD所成角的正弦值．
19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为棱BC的中点，AB⊥BC，BC⊥BB1，AB＝A1B＝1，BB1＝．
（1）证明：A1B∥平面AC1D；
（2）证明：A1B⊥平面ABC．
20．如图1，C，D是以AB为直径的圆上两点，且AB＝2AD，AC＝BC，将△ABC所在的半圆沿直径AB折起，使得点C在平面ABD上的射影E在BD上，如图2．
（1）求证：BC⊥平面ACD；
（2）在线段AB上是否存在点F，使得AD∥平面CEF？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
一．选择题
1．C．2．C．3．D．4．A．5．C．6．D．7．A．8．A．9．B．10．C11．B12．D．
二．填空题
13．2．14．80π．15．．16．②④．
三．解答题
17．解：（1）证明：因为三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，
所以BB⊥平面ABC，又A1E?平面A1B1C1，所以AE⊥BB，
因为△ABC是正三角形，所以△ABC也是正三角形，
又点E为BC的中点，所以AE⊥BC，又BB∩BC＝B，
所以AE⊥平面BCCB，又AE?平面ADE，
所以平面ADE⊥平面BCCB；
（2）因为BB＝3，D在棱BB上，且BB＝3BD，所以BD＝，
又AB＝AB＝2，所以在直角三角形ABD中，AD＝＝＝，
同理可得DE＝＝＝，
易得A1E＝，所以A1D2＝DE2+A1E2，
所以△A1DE为等腰直角三角形，所以△ADE的面积为S＝××＝，
可得S△CDE＝3×2﹣×2×2﹣×1×3﹣×1×＝2，
设C到平面ADE的距离为h，由（1）可知AE⊥平面CDE，
因为V＝V，即S?h＝S△CDE?A1E，
所以h＝＝＝，
所以点C到平面ADE的距离为，
18．1）证明：取AB中点O，连OC、OD，
则OC⊥AB，OD⊥AB，
所以∠COD是二面角C﹣AB﹣D的平面角．
在△OCD中，
因为，OD＝1，CD＝2，
所以∠COD＝90°．
所以，平面ABC⊥平面ABD．
（2）解：建立空间直角坐标系（O﹣CBD）．
则，，．
设是平面BCD的法向量，
则，取．
则＝＝，
所以直线AC与平面BCD所成角的正弦值．
19．证明：（1）连接AC交AC，与点E，连接DE，在△ABC中，D、E分别为BC、AC的中点，
所以DE∥AB，
又AB?平面ACD．DE?平面ACD．
所以AB∥平面ACD．
（2）因为AB⊥BC，BC⊥BB，AB∩BB＝B，AB、BB?平面ABB．
所以BC⊥平面ABB，
又AB?平面ABB．
所以AB⊥BC；
又因为，得，
所以AB⊥AB．
又AB，BC?平面ABCAB∩BC＝B，
所以AB⊥平面ABC．
20．（1）证明：∵AB是圆的直径，
∴AD⊥BD．
∵CE⊥平面ABD，AD?平面ABD，
∴CE⊥AD．
又∵CE∩BD＝E，BD，CE?平面BCD，
∴AD⊥平面BCD．
∵BC?平面BCD，
∴AD⊥BC．
又∵BC⊥AC，AC∩BC＝C，
∴BC⊥平面ACD．
（2）解：连接AE，∵CE⊥平面ABD，AE，BE?平面ABD，
∴CE⊥AE，CE⊥BE．
在Rt△ACE和Rt△BCE中，由AC＝BC得AE＝BE，
在Rt△ABD中，由AB＝2AD，得∠ABD＝30°，
∴∠AED＝∠ABE+∠BAE＝60°，
∴在Rt△ADE中，DE＝AE，
∴E是BD的三等分点，且DE＝EB．
在线段AB上存在点F，使得AF＝FB，则有FE∥AD．
∵FE?平面CEF，AD?平面CEF，
∴AD∥平面CEF．
故在线段AB上存在点F，使得AD∥平面CEF，此时＝．