2020-2021学年人教版八年级数学下册练习
第18章质量评估试卷
一、选择题
1.下列命题中，假命题是( )
A.
菱形的面积等于两条对角线乘积的一半
B.
矩形的对角线相等
C.
对角线互相垂直的平行四边形是矩形
D.
对角线相等的菱形是正方形
【答案】C
【解析】
【分析】
根据有关的定理和定义找到错误的命题即可得到答案.
【详解】A、菱形的面积等于对角线乘积的一半，故正确，不符合题意；
B、矩形的对角线相等，正确，不符合题意；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，错误，符合题意；
D、对角线相等的菱形是正方形，正确，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，在判断一个命题正误的时候可以举出反例．
2.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）
A.
当AB=BC时，四边形ABCD是菱形
B.
当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形
C.
当∠ABC=90°时，四边形ABCD是矩形
D.
当AC=BD时，四边形ABCD是正方形
【答案】D
【解析】
【分析】
根据邻边相等的平行四边形是菱形；根据所给条件可以证出邻边相等；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形；根据对角线相等的平行四边形是矩形．
【详解】A.
根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形ABCD是平行四边形，当AB=BC时，它是菱形，故本选项不符合题意；
B.
根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形知：当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；
C.
根据有一个角是直角的平行四边形是矩形知：当∠ABC=90°时，四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；
D.
根据对角线相等的平行四边形是矩形可知：当AC=BD时，它是矩形，不是正方形，故本选项符合题意；
故选D.
【点睛】此题考查平行四边形性质，菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，解题关键在于掌握判定定理.
3.菱形的两条对角线分别是12和16，则该菱形的边长是( )
A.
10
B.
8
C.
6
D.
5
【答案】A
【解析】
【分析】
首先根据题意画出图形，然后由菱形的两条对角线的长分別为12cm和16cm，求得OA与OB，再由勾股定理即可求得菱形的边长．
【详解】如图，
∵菱形ABCD中，AC=12，BD=16，
∴OA=AC=6，OB=BD=8，AC⊥BD，
∴AB==10．
即菱形的边长是10．
故选A．
【点睛】此题考查了菱形的性质以及勾股定理．掌握菱形的对角线互相平分且垂直是解题的关键．
4.顺次连接矩形四边中点所得的四边形一定是(
)
A.
正方形
B.
矩形
C.
菱形
D.
不能确定
【答案】C
【解析】
【分析】
因为题中给出的条件是中点，所以可利用三角形中位线性质，以及矩形对角线相等去证明四条边都相等，从而说明是一个菱形．
【详解】连接AC、BD，
在△ABD中，
∵AH=HD，AE=EB，
∴EH=BD，
同理FG=BD，HG=AC，EF=AC，
又∵在矩形ABCD中，AC=BD，
∴EH=HG=GF=FE，
∴四边形EFGH为菱形．
故选C．
【点睛】本题考查了菱形的判定，菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义，②四边相等，③对角线互相垂直平分．
5.小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示菱形，并测得∠B=60°，接着活动学具成为图2所示正方形，并测得对角线AC=40cm，则图1中对角线AC的长为
(
)
A.
20
cm
B.
30
cm
C.
0
cm
D.
cm
【答案】D
【解析】
图2中根据勾股定理即可求得正方形的边长，图1根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形即可求得.
解：如图2，
∵AB=BC=CD=DA，∠B=90°，
∴四边形ABCD是正方形，
连接AC，则AB2+BC2=AC2.
∴AB=BC=20，
如图1，∠B=60°，连接AC，
∴△ABC为等腰三角形，
∴AB=AC=20，
故选D.
“点睛”本题考查了正方形的性质，勾股定理以及等边三角形的判定与性质，利用勾股定理得出正方形的边长是关键.
6.
求证：菱形的两条对角线互相垂直．
已知：如图，四边形是菱形，对角线，交于点．
求证：．
以下是排乱的证明过程：①又，
②∴，即．
③∵四边形是菱形，
④∴．
证明步骤正确的顺序是(
)
A.
③→②→①→④
B.
③→④→①→②
C.
①→②→④→③
D.
①→④→③→②
【答案】D
【解析】
试题分析：根据菱形的性质，首先得到AB=AD和BO=DO，再根据等腰三角形的“三线合一”证明⊥BD，故答案选D.
考点：菱形的性质，等腰三角形的性质.
7.如图，矩形
ABCD
的对角线
AC
与
BD
相交于点
O,CE∥BD,
DE∥AC
,
AD＝2,
DE＝2,则四边形
OCED
的面积为（ ）
A.
2
B.
4
C.
4
D.
8
【答案】A
【解析】
详解】连接OE，与DC交于点F，
∵四边形ABCD为矩形，
∴OA=OC，OB=OD，且AC=BD，即OA=OB=OC=OD，
∵OD∥CE，OC∥DE，∴四边形ODEC为平行四边形，
∵OD=OC，∴四边形ODEC为菱形，∴DF=CF，OF=EF，DC⊥OE，
∵DE∥OA，且DE=OA，∴四边形ADEO为平行四边形，
∵AD=，DE=2，∴OE=，即OF=EF=，
在Rt△DEF中，根据勾股定理得：DF==1，即DC=2，
则S菱形ODEC=OE?DC=××2=．
故选A．
【此处有视频，请去附件查看】
8.如图，E，F分别是?ABCD的边AD、BC上的点，EF=6，∠DEF=60°，将四边形EFCD沿EF翻折，得到EFC′D′，ED′交BC于点G，则△GEF的周长为（ ）
A.
6
B.
12
C.
18
D.
24
【答案】C
【解析】
∵∠DEF=60°，∴由翻折可知∠FEG=∠DEF=60°，∴∠AEG=60°，
∵AD//BC，∴∠EGF=∠AEG=60°，∠EFG=∠DEF=60°，
∴∠FEG=∠EGF=∠EFG＝60°，∴△EFG是个等边三角形，∴△GEF的周长=3EF=3×6=18，
故选C.
9.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点E是AB的中点，CD＝DE＝a，则AB的长为( )
A.
2a
B.
2a
C.
3a
D.
a
【答案】B
【解析】
CD⊥AB
,CD＝DE＝a,所以CE=,
点E是AB的中点,CE=所以AB=2a,故选B.
10.如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点O作BD的垂线分别交AD，BC于E，F两点．若AC＝2，∠AEO＝120°，则CF的长为( )
A.
1
B.
2
C.
D.
【答案】B
【解析】
分析：根据矩形的对角线的性质和垂直的定义，求出∠EDO的度数，然后根据30°角的直角三角形的性质求出DO的值，再根据解直角三角形求出OE和OF的值，从而得解.
详解：∵∠AEO=120°，∠DOE=90°，
∴∠EDO=30°，
又∵AC=2，
∴DO=BD=AC=，
∴Rt△DOE中，OE=tan30°×DO=1，
同理可得，Rt△BOF中，OF=1，
∴EF=2，
故选B．
点睛：此题主要考查了的矩形的性质，关键是通过矩形的性质得到含30°角的直角三角形，然后根据直角三角形的性质求解即可.
二、填空题
11.如图，在菱形ABCD中，AB=5，AC=8，则菱形的面积是
．
【答案】24．
【解析】
试题分析：连接BD，交AC于点O，根据菱形性质可得AC⊥BD，AO=CO=4，由勾股定理可得BO=3，所以BD=6，即可得菱形的面积是×6×8=24．
考点：菱形的性质；勾股定理.
12.如图，菱形ABCD的周长是40
cm，对角线AC为10
cm，则菱形相邻两内角的度数分别为_______.?
【答案】60°，120°
【解析】
【分析】
首先证明△ABD是等边三角形，则∠D=60°，然后利用菱形的性质求解.
【详解】∵菱形ABCD的边长AD=CD==10cm，
又∵AC=10cm，
∴AD=CD=AC，
∴△ACD=60°，
∴∠D
=60°，∠DAB=120°,
故答案为60°，120°
【点睛】本题考查了菱形的性质，正确证明△ABC是等边三角形是关键．
13.如图,在?ABCD中,∠D=100°,∠DAB的平分线AE交DC于点E,连接BE.若AE=AB,则∠EBC的度数为__________.
【答案】30°.
【解析】
试题解析：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥DC，∠ABC=∠D
∴∠DAB+∠D=180°，
∵∠D=100°，
∴∠DAB=80°,
∠ABC=100°
又∵∠DAB的平分线交DC于点E
∴∠EAD=∠EAB=40°
∵AE=AB
∴∠ABE=(180°-40°)=70°
∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=100°-70°=30°.
考点：1.解平分线的性质；2.平行四边形的性质.
14.如图，在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E，F分别在边BC和CD上，则∠AEB＝__________.
【答案】75
【解析】
因为△AEF是等边三角形，所以∠EAF=60°，AE=AF，
因为四边形ABCD是正方形，所以AB=AD，∠B=∠D=∠BAD=90°.
所以Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），所以∠BAE=∠DAF.
所以∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=90°-60°=30°，
所以∠BAE=15°，所以∠AEB=90°-15°=75°.
故答案为75.
15.如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点．若AD=6，DE=5，则CD的长等于
．
【答案】8．
【解析】
【分析】
由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求得AC=2DE=10；然后在直角△ACD中，利用勾股定理来求线段CD的长度即可．
【详解】∵△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点，DE=5，
∴DE=AC=5，
∴AC=10．
在直角△ACD中，∠ADC=90°，AD=6，AC=10，则根据勾股定理，得
．
故答案是：8．
16.（2017山东省东营市）如图，已知菱形ABCD的周长为16，面积为，E为AB的中点，若P为对角线BD上一动点，则EP+AP的最小值为______．
【答案】．
【解析】
试题分析：如图作CE′⊥AB于E′，甲BD于P′，连接AC、AP′．首先证明E′与E重合，因为A、C关于BD对称，所以当P与P′重合时，PA′+P′E的值最小，然后由菱形ABCD的周长为16，面积为8，可求得AB=BC=4，AB·CE′=8，从而求得CE′=2，由此求出CE的长=2．
故答案为2．
考点：1、轴对称﹣最短问题，2、菱形的性质
三、解答题
17.
如图，四边形ABCD为平行四边形，F是CD的中点，连接AF并延长与BC的延长线交于点E．
求证：BC
=
CE．
【答案】证明见解析
【解析】
试题分析：根据平行四边形的对边平行且相等可得AD=BC，AD∥BC，根据两直线平行，内错角相等可得∠DAF=∠E，∠ADF=∠ECF，根据线段中点的定义可得DF=CF，然后利用“角角边”证明△ADF≌△ECF，根据全等三角形对应边相等可得AD=CE，从而得证．
试题解析：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴∠DAF=∠E，∠ADF=∠ECF，
又∵F是CD的中点，即DF=CF，
∴△ADF≌△ECF，
∴AD=CE，
∴BC=CE．
考点：1、平行四边形的性质；2、全等三角形的判定与性质
18.已知：如图，E，F为□ABCD对角线AC上的两点，且AE=CF，连接BE，DF，求证：BE=DF．
【答案】证明见解析.
【解析】
试题分析：利用SAS证明△AEB≌△CFD，再根据全等三角形的对应边相等即可得.
试题解析：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB=DC，
∴∠BAE=∠DCF，
在△AEB和△CFD中，，
∴△AEB≌△CFD（SAS），
∴BE=DF．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关的性质是解题的关键.
19.如图，将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点F处，FC交AD于E．
（1）求证：△AFE≌△CDF；
（2）若AB=4，BC=8，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）证明见解析；（2）10．
【解析】
试题分析：（1）根据矩形的性质得到AB=CD，∠B=∠D=90°，根据折叠的性质得到∠E=∠B，AB=AE，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据全等三角形性质得到AF=CF，EF=DF，根据勾股定理得到DF=3，根据三角形的面积公式即可得到结论．
试题解析：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，∠B=∠D=90°，∵将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处，∴∠E=∠B，AB=AE，∴AE=CD，∠E=∠D，在△AEF与△CDF中，∵∠E=∠D，∠AFE=∠CFD，AE=CD，∴△AEF≌△CDF；
（2）∵AB=4，BC=8，∴CE=AD=8，AE=CD=AB=4，∵△AEF≌△CDF，∴AF=CF，EF=DF，∴DF2+CD2=CF2，即DF2+42=（8﹣DF）2，∴DF=3，∴EF=3，∴图中阴影部分的面积=S△ACE﹣S△AEF=×4×8﹣×4×3=10．
点睛：本题考查了翻折变换﹣折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
20.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，CE平分∠ACB，交AD于点G，交AB于点E，EF⊥BC于点F.
求证：四边形AGFE是菱形．
【答案】∵∠ABD＝∠FBD，BD＝BD，∠BAD＝∠DFB＝90°，∴△ABD≌△FBD，∴AD＝DF，AB＝FB．
又∠ABE＝∠FBE，BE＝BE，∴△ABE≌△FBE．
∴∠BAE＝∠BFE．
又∠BAE＝90°－∠ABC＝∠C．
∴∠BFE＝∠C，
∴EF∥AD，∵DF⊥BC，AH⊥BC，
∴AE∥DF．
∴四边形AEFD是平行四边形．
又AD＝DF，
∴四边形AEFD是菱形．
【解析】
要证四边形AEFD是菱形，可证这个四边形是平行四边形，且有两条邻边相等．
21.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，点E是AC的中点，AC=2AB，∠BAC的平分线AD交BC于点D，作AF∥BC，连接DE并延长交AF于点F，连接FC．求证：四边形ADCF是菱形．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】
先证明△AEF≌△CED，推出四边形ADCF是平行四边形，再证明∠DAC=∠ACB，推出DA=DC，由此即可证明．
【详解】∵AF∥CD，
∴∠AFE=∠CDE，
在△AFE和△CDE中，，
∴△AEF≌△CED，
∴AF=CD，
∵AF∥CD，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠B=90°，∠ACB=30°，
∴∠CAB=60°，
∵AD平分∠CAB，
∴∠DAC=∠DAB=30°=∠ACD，
∴DA=DC，
∴四边形ADCF是菱形．
22.我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．
（1）如图1，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA中点．求证：中点四边形EFGH是平行四边形；
（2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；
（3）若改变（2）中的条件，使∠APB=∠CPD=90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状．（不必证明）
【答案】（1）证明见解析；（2）四边形EFGH是菱形，证明见解析；（3）四边形EFGH是正方形.
【解析】
【分析】
（1）如图1中，连接BD，根据三角形中位线定理只要证明EH∥FG，EH=FG即可．
（2）四边形EFGH是菱形．先证明△APC≌△BPD，得到AC=BD，再证明EF=FG即可．
（3）四边形EFGH是正方形，只要证明∠EHG=90°，利用△APC≌△BPD，得∠ACP=∠BDP，即可证明∠COD=∠CPD=90°，再根据平行线的性质即可证明．
【详解】（1）证明：如图1中，连接BD．
∵点E，H分别为边AB，DA的中点，
∴EH∥BD，EH=BD，
∵点F，G分别为边BC，CD的中点，
∴FG∥BD，FG=BD，
∴EH∥FG，EH=GF，
∴中点四边形EFGH是平行四边形．
（2）四边形EFGH是菱形．
证明：如图2中，连接AC，BD．
∵∠APB=∠CPD，
∴∠APB+∠APD=∠CPD+∠APD，
即∠APC=∠BPD，
在△APC和△BPD中，
∵AP=PB，∠APC=∠BPD，PC=PD，
∴△APC≌△BPD，
∴AC=BD．
∵点E，F，G分别为边AB，BC，CD的中点，
∴EF=AC，FG=BD，
∵四边形EFGH是平行四边形，
∴四边形EFGH是菱形．
（3）四边形EFGH是正方形．
证明：如图2中，设AC与BD交于点O．AC与PD交于点M，AC与EH交于点N．
∵△APC≌△BPD，
∴∠ACP=∠BDP，
∵∠DMO=∠CMP，
∴∠COD=∠CPD=90°，
∵EH∥BD，AC∥HG，
∴∠EHG=∠ENO=∠BOC=∠DOC=90°，
∵四边形EFGH是菱形，
∴四边形EFGH是正方形．
考点：平行四边形的判定与性质；中点四边形．2020-2021学年人教版八年级数学下册练习：第18章质量评估试卷
一、选择题
1.下列命题中，假命题是( )
A.
菱形面积等于两条对角线乘积的一半
B.
矩形的对角线相等
C.
对角线互相垂直的平行四边形是矩形
D.
对角线相等菱形是正方形
2.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）
A.
当AB=BC时，四边形ABCD是菱形
B.
当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形
C.
当∠ABC=90°时，四边形ABCD是矩形
D.
当AC=BD时，四边形ABCD是正方形
3.菱形的两条对角线分别是12和16，则该菱形的边长是( )
A.
10
B.
8
C.
6
D.
5
4.顺次连接矩形四边中点所得的四边形一定是(
)
A.
正方形
B.
矩形
C.
菱形
D.
不能确定
5.小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示菱形，并测得∠B=60°，接着活动学具成为图2所示正方形，并测得对角线AC=40cm，则图1中对角线AC的长为
(
)
A.
20
cm
B.
30
cm
C.
0
cm
D.
cm
6.
求证：菱形的两条对角线互相垂直．
已知：如图，四边形是菱形，对角线，交于点．
求证：．
以下是排乱的证明过程：①又，
②∴，即．
③∵四边形是菱形，
④∴．
证明步骤正确的顺序是(
)
A.
③→②→①→④
B.
③→④→①→②
C.
①→②→④→③
D.
①→④→③→②
7.如图，矩形
ABCD
的对角线
AC
与
BD
相交于点
O,CE∥BD,
DE∥AC
,
AD＝2,
DE＝2,则四边形
OCED
的面积为（ ）
A.
2
B.
4
C.
4
D.
8
8.如图，E，F分别是?ABCD边AD、BC上的点，EF=6，∠DEF=60°，将四边形EFCD沿EF翻折，得到EFC′D′，ED′交BC于点G，则△GEF的周长为（ ）
A.
6
B.
12
C.
18
D.
24
9.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点E是AB的中点，CD＝DE＝a，则AB的长为( )
A.
2a
B.
2a
C.
3a
D.
a
10.如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点O作BD的垂线分别交AD，BC于E，F两点．若AC＝2，∠AEO＝120°，则CF的长为( )
A.
1
B.
2
C.
D.
二、填空题
11.如图，在菱形ABCD中，AB=5，AC=8，则菱形的面积是
．
12.如图，菱形ABCD的周长是40
cm，对角线AC为10
cm，则菱形相邻两内角的度数分别为_______.?
13.如图,在?ABCD中,∠D=100°,∠DAB平分线AE交DC于点E,连接BE.若AE=AB,则∠EBC的度数为__________.
14.如图，在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E，F分别在边BC和CD上，则∠AEB＝__________.
15.如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点．若AD=6，DE=5，则CD的长等于
．
16.（2017山东省东营市）如图，已知菱形ABCD的周长为16，面积为，E为AB的中点，若P为对角线BD上一动点，则EP+AP的最小值为______．
三、解答题
17.
如图，四边形ABCD为平行四边形，F是CD的中点，连接AF并延长与BC的延长线交于点E．
求证：BC
=
CE．
18.已知：如图，E，F为□ABCD对角线AC上的两点，且AE=CF，连接BE，DF，求证：BE=DF．
19.如图，将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点F处，FC交AD于E．
（1）求证：△AFE≌△CDF；
（2）若AB=4，BC=8，求图中阴影部分的面积．
20.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，CE平分∠ACB，交AD于点G，交AB于点E，EF⊥BC于点F.
求证：四边形AGFE是菱形．
21.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，点E是AC的中点，AC=2AB，∠BAC的平分线AD交BC于点D，作AF∥BC，连接DE并延长交AF于点F，连接FC．求证：四边形ADCF是菱形．
22.我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．
（1）如图1，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA中点．求证：中点四边形EFGH是平行四边形；
（2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；
（3）若改变（2）中的条件，使∠APB=∠CPD=90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状．（不必证明）
