2020-2021学年度高二年级第二学期第二次六校联考期中
数学试卷
一、
单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
1.复数
,则在复平面内，对应的点的坐标是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
2.曲线在x=-1处的切线如图所示,则
（?
）
A.
0
B.
C.
D.
选A
.
3.在
的展开式中x的系数为（ ）
A.
80
B.
240
C.
-80
D.
160
选项为C
4.为响应国家精准扶贫政策，某工作组要在村外一湖岸边修建一段道路（如图中虚线处），要求该道路与两条直线道路平滑连接（注：两直线道路：y1＝-2x，y2＝3x-6分别与该曲线相切于（0，0），（2，0）），已知该弯曲路段为三次函数图象的一部分，则该函数解析式为（
）
A.
B.
C.
D.
选B．
5.要从甲、乙等7人中选4人在座谈会上发言，若甲、乙都被选中，且他们发言中间恰好间隔一人，那么不同的发言顺序共有（
）
A.
80种
B.
120种
C.
60种
D.
240种
选A．
6.已知函数的图象如图所示，则其导函数的图象大致形状为?
?
A.
B.
C.
D.
选D.
7.设复数是虚数单位），则
（ ）
A.-2
B.
-i
C.
2
D.
0
选：A．
8.1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据此公式，有下列四个结论：
①
；②
；③；④.其中所有正确结论的编号是（???
）
A.
①②③
B.
②④
C.
①②④
D.
①③
选:C.
二、
多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分．
9.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.以下关于杨辉三角的猜想中正确的有（
）
A.
由“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它‘肩上’两个数的和”猜想：
B.
C.
第34行中从左到右第14与第15个数的比为
D.由“第行所有数之和为”猜想：
选:ACD.
10.甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排照相，下列说法正确的是（
）
A.
如果甲，乙必须相邻，那么不同的排法有24种
B.
甲不站在排头，乙不站在正中间，则不同的排法共有78种
C.
甲乙不相邻且乙在甲的右边，则不同的排法共有36种
D.
若五人已站好，后来情况有变，需加上2人，但不能改变原来五人的相对顺序，则不同的排法共有42种
选BCD.
11.定义在区间上的连续函数的导函数为，若使得，则称为区间上的“中值点”.下列在区间
上“中值点”多于一个的函数是（??
）
A.
?
B.
C.
D.
选ABD.
12.在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L.E.
J.
Brouwer），简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称为该函数的一个不动点.依据不动点理论，下列说法正确的是（?
????）
A.函数f(x)=lnx+1有1个不动点
B.
函数
有2个不动点
C.
若定义在R上的奇函数，其图像上存在有限个不动点，则不动点个数是奇数
D.
若函数
在区间上存在不动点，则实数a满足
（e为自然对数的底数）
选ACD.
三、
填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.设,且0≤a<13,若
能被13整除，则a的值为
．
答案：a＝1.
14.
若函数，则满足不等式的的取值范围为
．
答案：
15.将7名支教教师安排到3所学校任教，每校至少2人的分配方法总数为a，则二项式
的展开式中含x项的系数为_________（用数字作答）.
答案:
16.若，且对任意
恒成立，则实数的取值范围为
．
答案：.
四、
解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.已知复数z=a+i（a∈R），且z（1+i）是纯虚数．
（Ⅰ）求复数z及|z|；
（Ⅱ）在复平面内，若复数（z-mi）2（m∈R）对应点在第二象限，求实数m的取值范围．
解：（Ⅰ）∵z=a+i（a∈R），且z（1+i）是纯虚数，
∴（a+i）（1+i）=（a-1）+（a+1）i是纯虚数，
则，即a=1．
……2分
∴z=1+i，
……4分
|z|=；
……6分
（Ⅱ）（z-mi）2=[1+（1-m）i]2=1-（1-m）2+2（1-m）i，
由题意可得
，解得m0．
……10分
18.
在①的一个极值点为0，②为奇函数，③若曲线在点处的切线与直线
垂直这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并回答下列问题．
已知函数
，且________，求在[-1，1]上的最大值与最小值．
注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分．
解：选①，得解得a=1；
选②，得a=1,
选③，得a=1；
……4分
以下相同，
当时，，函数f(x)单调递增；当时，，函数f(x)单调递减，
……8分
……10分
∴函数的最大值为0，最小值为2-e.
……12分
19.已知
的展开式中，
求；
展开式中系数最大的项为第几项？
（3）求(
注：
)
解：n=8;令,=256
……4分
∴展开式中系数最大的项为第7项.
……8分
,
=
……12分
20.已知函数
.
(1)若函数在上是增函数,求实数a的取值范围;
(2)若函数在上的最小值为2,求实数a的值.
解：(1)∵
,∴
∵在上是增函数,
∴
在上恒成立,即≤x在上恒成立.
∴≤2.
……4分
(2)由(1)得
,.
①若
,在上恒成立,此时在上是增函数.
所以f(1)=ln2+a=2,解得a=2-ln2(舍去).
②若1
③若,在上恒成立,此时在上是减函数.
所以f(e)=2,所以a=e(1-ln2)(舍去).
综上，得
……12分
21.淮安市白马湖生态旅游景区升级改造，有一块半圆形土地打算种植花草供人游玩欣赏，如图所示，其中AB长为4
km，C，D两点在半圆弧上，满足BC＝CD，设∠COB＝θ.
(1)现要在景区内铺设一条观光道路，由线段BC，CD和DA组成，则当θ为何值时，观光道路的总长l最长，并求l最大值；
(2)若在△AOD和△BOC内种满向日葵，在扇形COD内种满薰衣草，已知向日葵利润是每平方千米2a元，薰衣草的利润是每平方千米a元，则当θ为何值时，才能使总利润最大?
(1)由题∠COB＝θ，∠AOD＝π－2θ，θ∈，
取BC中点M，连接OM，则OM⊥BC，∠BOM＝，
所以BC＝2BM＝4sin.
同理可得CD＝4sin，AD＝4sin＝4cos
θ，
所以l＝4sin＋4sin＋4cos
θ＝4＋8sin，
即l＝－82＋6，θ∈.
所以当sin＝，即θ＝时，有lmax＝6
……5分
(2)S△BOC＝2sinθ，S△AOD＝2sin(π－2θ)＝4sin
θcos
θ，S扇形COD＝2θ.
所以W＝2a(2sinθ＋4sinθcosθ)＋2aθ
=2a(2sinθ+2sin2θ+θ)，
令f(θ)=2sinθ+2sin2θ+θ
所以f′(θ)＝2cos
θ＋4cos2θ+1
＝(4cos
θ＋3)(2cos
θ－1)，
因为θ∈，由S′＝0得θ＝，列表得
θ
S′
＋
0
－
S
递增
极大值
递减
所以当θ＝时，总利润最大.
……12分
22.已知函数，（为常数）．
（1）若函数与函数在处有相同的切线，求实数的值；
（2）若，且，证明：；
（3）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【解析】（1），则且.
所以函数在处的切线方程为：，
从而，即.
……2分
（2）由题意知：设函数，则.
设，从而对任意恒成立，
所以，即，
因此函数在上单调递减，
即，
所以当时，成立.
……6分
（3）设函数，
从而对任意，不等式恒成立.
又，
当，即恒成立时，
函数单调递减.
设，则，
所以，即，符合题意；
当时，恒成立，此时函数单调递增.
于是，不等式对任意恒成立，不符合题意；
当时，设，
则
当时，，此时单调递增，
所以，
故当时，函数单调递增.
于是当时，成立，不符合题意；
综上所述，实数的取值范围为：.
……12分
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高二数学试卷
第1页20202021学年度高二年级第二学期第二次六校联考期中
数学试卷
单项选择题本
小题,每小题5分,共4分
L.复数z
2.曲线y=r(x)在x=-1处的切线如图所示则f(-1)-f(-1)=(
B,-1
响应国家精准扶贫政策,某工作组要在村外一湖岸边修建一段道路(如图中虚
线处),娶求该道与两条直线道路平滑连接(注;两直线道路:=-2xy=3x6
分别与该曲线相切于(0,0),(2,0)),已知该弯曲路段为三次函数图象的一
A
J)=x
B.f(x)=x2+1x2-2x
c(x)=12+x2-2x八-4
5要从甲、乙等7人中选4人在座谈会上发言,若甲、乙都被选中,且他们发言中
间恰好间隔人,那么不同的发言顺序共有
C.60种
已知函数y/x)的图象如图所示,则其导函数f(x)的图象大致形状为()
设复数x=《是嬗数单位),则Gmx+Cm+cm2+…Cmxm=
8.1748年士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系,并写出以下公式
e=∞ox+
isin,这个公式在复变论中占有乖常重要的地位,被誉为“敷学中
的天桥”,根据此公式,有下列四个结论
8
nicor=e
④28inx=一eb.其中所有正确结论的编号是()
多项选择恩:本愿共4小题,每小题5分;共分,在每小题给出的速项中
有多项符含目要求,全部选对的得5
部分选对的得2分,有销选的得0分
年所著的《详解九章算法》就给出了荟名的杨辉三角
我国古代数学的成就是非常值得中华民族白豪的以下关于杨辉三角的猜
想中正确的有
由“在相邻的两行中,除1以外的每一个数都等F它·肩上’两个数的
想:cn1=C
2+C
高二最学第2共石页
C第34行中从左到右第14与第15个数的比为23
D由“第n行所有数之和为z”猜想:C+c+c2+…m+Cm
照相,下列说法正确的
真.如果
B.甲不站在排头,乙不站在正中间,则不同的排法共有78种
甲乙不相邻且乙在甲的右
的排法共有36种
后来悄况有变,需加上2人,但不能改变原来五人的相对顺
则不同的排法共有42种
f(b-(=f((b-a),则称为区间a上的“中值点”下列在区间[,上
中值点”多于一个的函效是()
Sir
B.f(x)=x+1
f=x
在数学中,布劳威尔不动点定理是扑学里一个非常重要的不动点定理,它得
),简单的讲就是对于满足
动点”函数,而称为该函数的一个不动点依据不动点理论,下列说法正确的是
A函数(xnnx+1有1个不动点
B.函数f(x)=cx有2个不动点
C.若定义在R上的奇函数f(x),其图像上存在有限个不动点,则不动点个数是奇数
函制(xa在区春在不动点,则+足2
高歌学叠第共6页