江苏省淮安市六校2020-2021学年高一下学期期中考试（第六次学情调查）数学试题 Word版含答案

六校联盟2020级高一年级第六次学情调查
数学试题 （4月21日）
试卷满分：150分 考试时长：120分钟
一、 单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若向量=(1,2)，=(2,3)，则与+共线的向量可以是 (　　)
A．(2,1)　 　B．(6,10) C．(－1,2) D．(－6,10)
2．设,则 (　　)
A． B． C． D．
3．△ABC中,点D在线段上，且BD=3DC，若，则=（ ）
A． B． C．2 D．3
4．已知cos(α－β)=，sin β=－，且α∈，β∈，则cos α=(　　)
A. B. C．－ D．－
5.已知△ABC面积为S,AB=2,AC=3，且，则BC=（ ?）
A. B. C. D.
6.在△ABC中，A=60°,AB=2，AC=1，角A的平分线AD交BC于点D，则AD=（ ）
A. B. C. D.
7.若△ABC的内角A,B,C满足，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
8.对于集合和常数，定义：为集合相对
常数的“余弦方差”。若集合，则集合A相对常数的“余弦方差”为 （ ）
A. B. C. D.与的取值有关
二、 多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有错选的得0分．
9.下列各式中，值为的是（ ）
A． B．
C．cos2－sin2 D. cos76°cos16°+cos14°sin16°
10.已知复数Z的共轭复数为，且，则下列结论正确的是（ ）
A. z的虚部为 B.
C. D.
11.已知，且最小正周期为，则下列说法正确的有 （ ）
A. 图像的对称中心为
B. 函数在上有且只有两个零点
C. 的单调递增区间为
D. 将函数的图像向左平移个单位长度，可得到的图像
12.在△ABC中,角，，的对边分别为，，，则下列结论中正确的是（ ）
A.在锐角三角形中，不等式恒成立
B.若则△ABC为锐角三角形
C.若acosB＝bcosA＋c，则△ABC一定是直角三角形
D.若，则△ABC一定是锐角三角形
三、 填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分．)
13．已知复数z=(m2－m－2)＋(m2－1)i，当z在复平面内对应的点位于第三象限时，则实数m的取值范围为_________
14.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知,,，则=___
15.若，，则=
16. 南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积可用公式（其中a、b、c、S为三角形的三边和面积）表示.在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，若，且，则△ABC面积的最大值为______
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17. (本小题满分10分)
已知向量满足，.
(1)若的夹角为，求；
(2)若，求与的夹角.
18. (本小题满分12分)
请从下面三个条件中任选一个,补充在下面的问题中，并解决该问题
①bsin A=acosB .② ③
设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ___________（填序号）
（1）求角B的大小；
（2）若b=3，sin C=2sin A，求a，c的值．
19.(本小题满分12分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(a－c)·＝c·.
求角B的大小；
(2)若|－|＝，求△ABC面积的最大值．
(本小题满分12分)
已知向量
（1）若，求的值；
（2）若，求的值.
21(本小题满分12分)
如图，在△ABC中，已知CA=1，CB=2，∠ACB=60°．
（1）求||；
（2）已知点D是AB上一点，满足，点E是边CB上一点，满足．
①当λ=时，求?；
②是否存在非零实数，使得,若存在，求出λ的值；
若不存在，请说明理由．
22 (本小题满分12分)
如图，直角三角形ABC中,∠B＝，AB＝1，BC＝,点M,N分别在边AB和AC
上(M点和B点不重合)，将△AMN沿MN翻折，△AMN变为△MN，使顶点落
在边BC上(点和B点不重合).设∠AMN＝．
(1) 用表示线段的长度，并写出的取值范围；
(2) 求线段长度的最小值．
六校联盟2020级高一年级第六次学情调查
数学试题参考答案 （4月21日）
一．单选题
1.B 2.C 3.D 4.B 5.C 6.A 7.B 8.A
二．多选题
9. ACD 10. BCD 11.CD 12. BC
三．填空题
13. 14.3 15. 16.
四．解答题
17.（1）由已知，得，…………2分
所以，所以.………5分
（2）因为，所以.所以，…………6分
即，所以.…………………………9分
又，所以，即与的夹角为.…………………………10分
解:(1)选①∵bsin A＝acos B，
由正弦定理，得sin Bsin A＝sin AcosB.
在△ABC中，sin A≠0，
即得tan B＝，∵B∈(0，π)，∴B＝. -------------------5分
选②得a2+c2-b2=ac，所以又B∈(0，π)，所以B＝；
选③由得
所以即，，
所以B＝
(2)∵sin C＝2sin A，由正弦定理，得c＝2a，
由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B，
即9＝a2＋4a2－2a·2acos ，
解得a＝，∴c＝2a＝2. -------------12分

19.解：(1)由题意得(a－c)cos B＝bcos C.
根据正弦定理得(sin A－sin C)cos B＝sin Bcos C，-------------------2分
所以sin Acos B＝sin(C＋B)，
即sin Acos B＝sin A，因为A∈(0，π)，所以sin A>0，
所以cos B＝，又B∈(0，π)，所以B＝. ------------------6分
(2)因为|－|＝，所以||＝，
即b＝，根据余弦定理及基本不等式得6＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝(2－)ac(当且仅当a＝c时取等号)， -------------------------------------8分
即ac≤3(2＋)，故△ABC的面积S＝acsin B≤()，
即△ABC的面积的最大值为. -------------------------------------12分
20.解答：（1）由，得到
-----------------------------------5分
,得到-------------------------7分
（2）由
所以
--------------------------10分
所以--------------------------------12分
21.解:（1） 且
-----------------------3分
（2）①λ=时， =， =，
∴D、E分别是BC，AB的中点，
∴=+=+，
=（+），---------------------------------5分
∴?=（+）?（+）
=?+?+?+
=﹣×12+×1×2×cos120°+×2×1×cos60°+×22 =； --------------------------------7分
②假设存在非零实数λ，使得⊥，
由=λ，得=λ（﹣），
∴=+=+λ（﹣）=λ+（1﹣λ）；
又=λ，
∴=+=（﹣）+λ（﹣）=（1﹣λ）﹣；----------------------------9分
∴?=λ（1﹣λ）﹣λ?+（1﹣λ）2?﹣（1﹣λ）
=4λ（1﹣λ）﹣λ+（1﹣λ）2﹣（1﹣λ）
=﹣3λ2+2λ=0，
解得λ=或λ=0（不合题意，舍去）；
即存在非零实λ=，使得⊥．---------------------------------12分
22.解：（1）设，则．
在Rt△MB中，，-----------------------2分
∴．
∵点M在线段AB上，M点和B点不重合，点和B点不重合，
∴．----------------------------------4分
（2）在△AMN中，∠ANM＝,
,
＝．------------------------7分
令＝
＝．------------------------9分
∵， ∴．
当且仅当，时，有最大值，
∴时，有最小值．----------------------------------------------------12分