等差数列求和

(共16张PPT)
等差数列定义：
公 差 ：
通项公式：
等差中项：
重要性质:
(1)当m+n=p+q时， am+an=ap+aq
注意：这里m,n,p,q N*
an+1-an=d（常数）
d
an=a1+(n-1)d
（2）(a1+an)=(a2+an-1)=(a3+an-2)=…
研究的问题：
　　 探索已知等差数列的首项
为a1,项数为n ,第n项an,求它的
前n项和
的计算公式.
Sn= a1+ a2 + a3 + … +an-2+an-1+an
等差数列前n项和公式推导：
2Sn=(a1+an)+(a1+an)+ … +(a1+an)
多少个(a1+an)
共有 n 个(a1+an)
把 + 得：2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+…+(an+a1)
由等差数列的性质知：
a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an+a1，所以 式可化为：
= n(a1+an)
这种求和的方法叫倒序相加！
因此，
Sn= a1+ a2 + a3 + … +an-2+an-1+an

(公式1）
（公式2）
尝试：
Sn= an+ an-1 + an-2 + … +a3+a2+a1
公式记忆：
用梯形面积公式记忆等差数列前n项和公式，
这里对图形进行了割、补两种处理，对应着
等差数列前n项和的两个公式.
(1)补
公式记忆
（2）割
分析：此应用题可以归结为什么数学问题，如何给出其中的量？
关键：分析题意建立数学模型
解：由题意可知，这个V形架上共放着120层铅笔，
且自下而上各层的铅笔数组成等差数列，记为
例1 一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放1支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放120支. 这个V形架上共放着多少支铅笔？
答：这个V形架上共放着7260支铅笔.
例2：
等差数列－10，－6，－2，2，···前多少项的和是54？
解: 设题中的等差数列为｛an｝，前n项和是Sn，则a1=－10，d=-6－（-10）=4令Sn=54，根据等差数列前项和公式，得：
－10n ＋
n(n-1)
2
×4
=54
解得： n1=9, n2=－3
n －6n－27=0
2
整理得：
答： 等差数列－10，－6，－2，2，···前9项的和是54。
（舍去）
巩固练习：
1) 等差数列5, 4, 3, 2 …前多少项的和是-30
a1=5
d=－1
sn=－30
即
n a1 ＋
n(n-1)d
2
=－30
n=15
简解:
2) 根据下列各题中的条件，求相应的等差数列{an}的有关未知数：
（1）a1=2, an=24, Sn=156, 求d及n;
巩固练习：
∴n=12
∴ d=2
629=37
简解
（2） d= , n =37, Sn=629,求a1及an;
（1）数列{an}是以 为首项,以d为公差的等差数列，如果a1+a2+a3=12，a8+a9+a10=75,求d ， ， 。
由a1+a2+a3=12，
a8+a9+a10=75，
解得a1=1，d=3
∴ 3a1+3d=12
∴ 3a1+24d=75
解：
①
②
∴
由①与②
=
+
d
10
=
1+
3
=
145
10
解法2:
由a1+a2+a3=12，
∴
=
4
a8+a9+a10=75，
∴
=
25
=
+
7d
由
∴
d=3,
a1=1
=
=
=145
巩固提高
思考题:
在等差数列｛an｝中
　　　①已知a2+a5+a12+a15=36 求Ｓ16
②已知a6=400 求S11
解：
①
②
整体思想解决数学问题
已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，由此可以确定求其前n项和的公式吗？
解：由题设：
得：
∴
巩固提高
片头