2020-2021学年度第二学期高一年级期中检测
时量:120分钟总分:150分
注意事项
答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上并检查试卷
2.选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号;非选择
题答案使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整,笔迹清楚.
3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效
保持卡面清洁,不折叠,不破损
单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分
ablate
知实数x,ν满
若y≥k
的
是(
4
在△ABC
C的对边分别是a,b,c,若A
3c的最大值为
4.素数也叫质数,法国数学家马林·梅森是研究素数的数学家中成就很高的一位,因
将
形式(n是素数)的素数称为梅森素数.已知第
梅森素数为P=243
第
梅森素数为
列各数
接近的数为(参考数据
在△ABC中,角
C的对边分别是a,b
点D在A
C,BD=2,则△ABC的面积的最大值为()
6.欧拉
为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明
将指数函
数的定义域扩大到复数,建
角函数和指数函数的关
的复数在复平
第一象限
第二象限
C.第三象限
第四象阳
如图,点N为正方形
CD为正三角形,平
平面ABC
线BM,EN是相交直线
B.BM≠EN,且直线BM,EN是相交直线
C.BM=EN,且直线
BM,EN是异面直线
定义在R上的偶函数f(x)对任意实数都有f2-x)=(x+2)
多项选择题:本大题共4题,每小题5分,共20分
角星是
优美的几何图形
金分割有着密切的联系。在如图所示的
角星中,以
为顶点的多边形为正五边形
关
确的是(
√5
列命题中正确的有()
B.棱柱的侧面一定
四边形
C.分别在两个相交平面内的两条直线如果相交,则交点只可能在两个平面的交线
条直线与三角形的两边都相交,则这条直线必
所在的平面内
的中点
说法中正确的是(
四点共
CBD
知函数f
g(x)=ln(x+a)+2的图象上存在关
对称的
列a的取值满足条件的是(
填空题:本大题共4题,每小题5分,共20分.
的最小值是
设角A,B,C对应的边分别为a,b,c
斯是德国著名的数学家,享有“数学
称,以他的名字“高斯”命名的成果达
的一个成果
称为高斯函数,[x表
过x的
2,并用{x}
负纯小数.若方程
k>0)有
实数根
实数k的取值范围为
6.在正三棱
过
平面α将其体积平分,则棱
面a所成角的余弦值为
四、解答题:本大题共6小题,其中17题10分,其余每小题12分,共70分
本小题满分10分
在平面四边
(1)求△ABD的面积
(2)设M为
点,且MC=MB,求四边形ABCD周长的最大值
分12分)
如图,四边形ABCD是正方形
点
平
本
分12分
知向量
若a∥b,求tan2x的
f(r)=(a+b
x∈0,5时,求函数x)的最大值2020－2021学年度第二学期高一年级期中检测
时量：120分钟
总分：150分
注意事项：
2021.4
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上并检查试卷.
2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚．
3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．
4．保持卡面清洁，不折叠，不破损．
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
1.
设a＝log0.20.3，b＝log20.3，则( )
A．a＋bB．abC．a＋b<0D．ab<02.
已知实数x，y满足若y≥k(x＋1)－1恒成立，那么k的取值范围是( )
A.
B.
C.
[3，＋∞)
D.
3.
在△ABC中，A，B，C的对边分别是a，b，c.若A＝120°，a＝1，则2b＋3c的最大值为( )
A．3
B.
C．3
D.
4.
素数也叫质数，法国数学家马林·梅森是研究素数的数学家中成就很高的一位，因此后人将“2n－1”形式（n是素数）的素数称为梅森素数．已知第20个梅森素数为P＝24423－1，第19个梅森素数为Q＝24253－1，则下列各数中与最接近的数为（参考数据：lg
2≈0.3）( )
A．1045
B．1051
C．1056
D．1059
5.
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，bcos
A＝c－a，点D在AC上，2AD＝DC，BD＝2，则△ABC的面积的最大值为( )
A.
B.
C．4
D．6
6.
欧拉公式eix＝cos
x＋isin
x（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
7.
如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则( )
A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线
B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线
C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线
D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线
8.
定义在R上的偶函数f(x)对任意实数都有f(2－x)＝f(x＋2)，且当x∈(－1，3]时，
f(x)＝则函数g(x)＝5f(x)－|x|的零点个数为( )
A．5
B．6
C．10
D．12
二、多项选择题：本大题共4题，每小题5分，共20分.
9.
正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系。在如图所示的正
五角星中，以P，Q，R，S，T为顶点的多边形为正五边形且，下列关系中
正确的是( )
A.
B.
C.
D.
10.
下列命题中正确的有( )
A.
空间内三点确定一个平面
B.
棱柱的侧面一定是平行四边形
C.
分别在两个相交平面内的两条直线如果相交，则交点只可能在两个平面的交线上
D.
一条直线与三角形的两边都相交，则这条直线必在三角形所在的平面内
11.
在四面体A－BCD中，M，N，P，Q，E分别为AB，BC，CD，AD，AC的中点，则下列说法中正确的是( )
A.
M，N，P，Q四点共面
B.
∠QME＝∠CBD
C.
△BCD∽△MEQ
D.
四边形MNPQ为梯形
12.
已知函数f(x)＝ex＋2（x<0）与g(x)＝ln(x＋a)＋2的图象上存在关于y轴对称的点，则下列a的取值满足条件的是( )
A.
e
B.
1
C.
－
D.
三、填空题：本大题共4题，每小题5分，共20分.
13.
已知5x2y2＋y4＝1（x，y∈R），则x2＋y2的最小值是________．
14.
在△ABC中，设角A，B，C对应的边分别为a，b，c，记△ABC的面积为S，且4a2＝b2＋2c2，则的最大值为________．
15.
高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”之称，以他的名字“高斯”命名的成果达100多个，其中的一个成果是：设x∈R，则y＝[x]称为高斯函数，[x]表示不超过x的最大整数，如[1.7]＝1，[－1.2]＝－2，并用{x}＝x－[x]表示x的非负纯小数．若方程{x}＝1－kx（k>0）有且仅有4个实数根，则正实数k的取值范围为________．
16.
在正三棱锥P－ABC中，AB＝1，AP＝2，过AB的平面将其体积平分，则棱PC与平面所成角的余弦值为________．
四、解答题：本大题共6小题，其中17题10分，其余每小题12分，共70分.
17.（本小题满分10分）
在平面四边形ABCD中，AB＝，AD＝，∠ABD＝45°.
（1）求△ABD的面积；
（2）设M为BD的中点，且MC＝MB，求四边形ABCD周长的最大值．
18.（本小题满分12分）
如图，四边形ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，
E是PC的中点．求证：
（1）PA∥平面BDE；
（2）平面PAC⊥平面BDE.
19.（本小题满分12分）
已知向量a＝(sin
x，1)，b＝(cos
x，－1)．
（1）若a∥b，求tan
2x的值；
（2）若f(x)＝(a＋b)·b，当x∈时，求函数f(x)的最大值；
20.（本小题满分12分）
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．
（1）若a，b，c成等差数列，证明：sin
A＋sin
C＝2sin(A＋C)；
（2）若a，b，c成等比数列，求cos
B的最小值．
21.（本小题满分12分）
已知函数f(x)＝2sin
ωxcos
ωx＋2sin2ωx－（ω>0）的最小正周期为π.
（1）求函数f(x)的单调递增区间；
（2）将函数f(x)的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y＝g(x)的图象，若y＝g(x)在[0，b]（b>0）上至少含有10个零点，求b的最小值．
22.（本小题满分12分）
已知C(A)表示非空集合A中的元素的个数．
（1）定义A
B＝|C(A)－C(B)|，若A＝{－1，1}，B＝{x|(ax2＋3x)(x2＋ax＋2)＝0}，A
B＝1，设实数a的所有可能取值构成集合S，求C(S)的值；
（2）已知集合M＝{1，2，3…，2000}，对于M的子集N若存在不大于1000的正整数m，使得对于N中的任意一对元素a1，a2，都有|a1－a2|
m，求C(N)的最大值．
参
考
答
案
与
部
分
解
析
1.B
2.D
3.B
4.B
5.A
6.B
7.B
8.C
9.AC
10.BC
11.ABC
12.BCD
13.
14.
答案
解析 由题意知，4a2＝b2＋2c2?b2＝4a2－2c2＝a2＋c2－2accos
B，
整理，得2accos
B＝－3a2＋3c2?cos
B＝，
因为2＝2＝2＝，
代入cos
B＝，整理得
2＝－，
令t＝，则2＝－(9t2－22t＋9)
＝－2＋，
所以2≤，所以≤，故的最大值为.
15.
(
，]
16.
17.（1）（2）＋6
18.
易证
19.
解析：(1)因为向量a＝(sin
x,1)，b＝(cos
x，－1)，
又a∥b，所以1×cos
x＝－1×(sin
x)，
所以tan
x＝－，
所以tan
2x＝＝－.
(2)因为f(x)＝(a＋b)·b，所以f(x)＝sin
xcos
x＋cos2x＝sin
2x＋cos
2x＋＝sin＋，
因为x∈，
所以2x＋∈，
当2x＋＝，即x＝时，函数取最大值为.
20.
解析：(1)证明：∵a，b，c成等差数列，∴a＋c＝2b.
由正弦定理得sin
A＋sin
C＝2sin
B.
∵sin
B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)，
∴sin
A＋sin
C＝2sin(A＋C)．
(2)∵a，b，c成等比数列，
∴b2＝ac.
由余弦定理得cos
B＝＝≥＝，
当且仅当a＝c时等号成立．
∴cos
B的最小值为.
21.
解析：(1)f(x)＝2sin
ωxcos
ωx＋(2sin2ωx－1)
＝sin
2ωx－cos
2ωx＝2sin.
由最小正周期为π，得ω＝1，所以f(x)＝2sin，
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
整理得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
所以函数f(x)的单调递增区间是，k∈Z.
(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，可得到
y＝2sin
2x＋1的图象，所以g(x)＝2sin
2x＋1.
令g(x)＝0，得x＝kπ＋或x＝kπ＋(k∈Z)，
所以在[0，π]上恰好有两个零点，若y＝g(x)在[0，b]上至少有10个零点，则b不小于第10个零点的横坐标即可，
所以b的最小值为4π＋＝.
22.（1）解析：因为A＝{－1,1}，有两个元素，B＝{x|(ax2＋3x)(x2＋ax＋2)＝0}，且A
B＝1，
所以B中有一个或者三个元素．
当B中有一个元素时，(ax2＋3x)(x2＋ax＋2)＝0有一个解，可得a＝0.
当B中有3个元素时，易知a≠0，(ax2＋3x)(x2＋ax＋2)＝0有三个解，其中的两个为x1＝0，x2＝－.
当x2＋ax＋2＝0有一个解时，令Δ＝0，可得a＝±2；
当x2＋ax＋2＝0有两个解且其中一个和0或者－相等时也满足条件，
此时x3＝，x4＝，显然x3，x4不等于0，
所以＝－或＝－，解得a＝3或a＝－3.
综上所述，a的取值可以为0,2，－2，－3,3，所以构成的集合S的元素个数为5，即C(S)＝5.
（2）1333
期中检测
高一数学试卷第1页（共4页）