江苏省苏州市西交附中等三校2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题 Word版含答案

苏州西交大附中、昆山中学、昆山一中20－21学年
第二学期期中调研
高一数学
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.复数false在复平面内的对应点位于复平面的（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2. false的值等于（ ）
A.false B.false C.false D.false
3.在false中，已知false，则false等于（ ）
A.false B.false C. false D.false
4.如图，在直角三角形false中，false为false边上一点，已知false，且false，则false（ ）
A. false B.false C.false D.false
5.已知false，直线false与函数false的交点分别为false，则线段false长度的最大值为（ ）
A.1 B.false C.false D.2
6.已知平行四边形false中，false，若false，则false（ ）
A. false B.false C.false D.false
7.已知false，则false的值为（ ）
A.false B. false C. false D．false
8.如图，false中，false为false边上的中线，false为false延长线上一点，且false，若falsefalse，false，false（ ）
A. 2 B. 4 C. false D．false
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9.在平面直角坐标系false内，false为坐标原点，已知false，false，若false是线段false的三等分点，则点false的坐标是（ ）
A.（2，1） B.（3，0） C.（4，－1） D.（5，－2）
10.false中，false， 可使得false有两个不同取值的false的长度是（ ）
A.7 B.8 C.9 D.10
11.若false是复数，且false，则下列命题正确的是（ ）
A.若false，则false B.若false，则false
C.若false，则false D.若false，则false
12.已知false，则false（ ）
A.false B.false C.false D.false
三、填空题：本题共5小题，每小题5分，共20分．
13.已知false，则与false垂直的一个单位向量的坐标为 ．
14.已知false均为锐角，若false，则false ．
15.设复数false满足false，则false ．
16.如图，单位圆与false轴正半轴的交点为false在单位圆上且分别在第一，第二象限内，false． 若四边形false的面积为false，则false ；若三角形false的面积为false，则false ．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17（本题满分10分）
已知false，其中false
（1）若false与false平行，求实数false的值．
（2）若false，证明：对任意实数false与false垂直．
18.（本题满分12分）
求下列各式的值．
（1）false；
（2）false．
19.（本题满分12分）
如图，设false是平面内相交成 false的两条数轴，false分别是false轴和false轴正方向的单位向量．若false，则把有序对false叫做向量false在坐标系false中的坐标．已知false的坐标为（4，2）．
（1）求false的大小；
（2）若false的坐标为（－3，2），求false与false夹角大小．
20.（本题满分12分）
已知直线false，false是false之间的一个定点，并且点false到false的距离分别是false分别是直线false上的动点（false都在false的右侧）
（1）如图1，若false，且false，求false的最小值；
（2）如图2，若false且false，求false面积的最小值．
21.（本题满分12分）
在false中，false分别是角false的对应边，已知false．
（1）求A；
（2）若false，求false的面积．
22.（本题满分12分）
定义：false，为实数false对false的“正弦方差”．
（1）若false，证明：实数false对false的“正弦方差”false的值是与false无关的定值；
（2）若false，若实数false对false的“正弦方差”false的值是与false无关的定值，求false值．
苏州西交大附中、昆山中学、昆山一中20－21学年
第二学期期中调研
高一数学
2021.4
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有
项是符合题目要求的．
1.复数false在复平面内的对应点位于复平面的（ B ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2. false的值等于（ A ）
A.false B.false C.false D.false
3.在false中，已知false，则false等于（ B ）
A.false B.false C. false D.false
4.如图，在直角三角形false中，false为false边上一点，已知false，且false，则false（ C ）
A. false B.false C.false D.false
5.已知false，直线false与函数false的交点分别为false，则线段false长度的最大值为（ A ）
A.1 B.false C.false D.2
6.已知平行四边形false中，false，若false，则false（ D ）
A. false B.false C.false D.false
7.已知false，则false的值为（ C ）
A.false B. false C. false D．false
8.如图，false中，false为false边上的中线，false为false延长线上一点，且false，若falsefalse，false，false（ D ）
A. 2 B. 4 C. false D．false
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9.在平面直角坐标系false内，false为坐标原点，已知false，false，若false是线段false的三等分点，则点false的坐标是（ AD ）
A.（2，1） B.（3，0） C.（4，－1） D.（5，－2）
10.false中，false， 可使得false有两个不同取值的false的长度是（ BC ）
A.7 B.8 C.9 D.10
11.若false是复数，且false，则下列命题正确的是（ BC ）
A.若false，则false B.若false，则false
C.若false，则false D.若false，则false
12.已知false，则false（ CD ）
A.false B.false C.false D.false
三、填空题：本题共5小题，每小题5分，共20分．
13.已知false，则与false垂直的一个单位向量的坐标为 ．
【答案】 false或false
14.已知false均为锐角，若false，则false ．
【答案】false
15.设复数false满足false，则false ．
【答案】false
16.如图，单位圆与false轴正半轴的交点为false在单位圆上且分别在第一，第二象限内，false． 若四边形false的面积为false，则false ；若三角形false的面积为false，则false ．
【答案】false
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.（本题满分10分）
已知false，其中false
（1）若false与false平行，求实数false的值．
（2）若false，证明：对任意实数false与false垂直．
【解】：（1）false与false不共线．
又false与false平行，false存在实数false，使得false．
falsefalse解得：false．
（2）证明：false，即false．
解得：false．
false，
false对任意实数false与false垂直．
18.（本题满分12分）
求下列各式的值
（1）false；
（2）false．
【解】（1）false
false
false
（2）false
false
false
19.（本题满分12分）
如图，设false是平面内相交成 false的两条数轴，false分别是false轴和false轴正方向的单位向量．若false，则把有序对false叫做向量false在坐标系false中的坐标．已知false的坐标为（4，2）．
（1）求false的大小；
（2）若false的坐标为（－3，2），求false与false夹角大小．
【解】（1）false分別是false轴和false轴正方向的单位向量，
false．
又false在半面内相交成false
又false的坐标为（4，2），false
false
（2）false的坐标为（－3，2），false
false
又false
false
false与false夹角的取值范围是false与false夹角为false．
20.（本题满分12分）
已知直线false ，false是false之间的一个定点，并且点false到false的距离分别是false分别是直线false上的动点（false都在false的右侧）
（1）如图1，若false，且false，求false的最小值；
（2）如图2，若false且false，求false面积的最小值．
【解】（1）设false，令false．
false
false． 其中false．
令false，则false，且false
false
false是false上的增函数，false是false上的减函数
当false时，即false时，false取得最小值false
（2）设false记false面积为false．
false
记false
false
false
falsefalse当false时，false
false当false时，false面积false的最小值为false．
21.（本题满分12分）
在false中，false分别是角false的对应边，已知false．
（1）求A；
（2）若false，求false的面积．
【解】（1）false
由正弦定理可得：false
又false，false
false
false
又false．
false．
（2）解法一：false，即false
false
false
又falsefalse
在false中，由正弦定理可知：false
（其中false为false外接圆半径）
falsefalse
22.（本题满分12分）
定义：false，为实数false对false的“正弦方差”．
（1）若false，证明：实数false对false的“正弦方差”false的值是与false无关的定值；
（2）若false，若实数false对false的“正弦方差”false的值是与false无关的定值，求false值．
【解】（1）false，
false
false
false此时的“正弦方差”false的值是与false无关的定值false．
（2）false
false
false
false
false此时的“正弦方差”false的值是与false无关的定值，false
false，
由①可知false或false，即false或false，
由false可得false，即false．
又false或false或false．
即false或false或false．
当false时，解得false，经检验不合题意．
当false时，解得false，经检验符合题意．
当false时，解得false，经检验符合题意．
综上可知，false或false符合题意．