江苏省镇江市2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题 Word版含答案

镇江市2020-2021学年高一下学期期中考试
数学
2021.04
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3. 考试结束后，将答题卡交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知向量false，false，且false，那么实数false的值是（ ）
A. false B. false C. -2 D. 2
2. 若false，则实数false（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
3. 已知false，false，则false的值为（ ）
A. -2 B. false C. 2 D. false
4. 已知向量false，false满足false，false，false，则向量false与false的夹角为（ ）
A. false B. false C. false D. false
5. 在false中，角false，false，false所对的边分别为false，false，false，false，false，false，则false（ ）
A. 2 B. false C. false D. false
6. 在false中，点false在线段false上，且false，若false，则false（ ）
A. false B. false C. false D. false
7. 今年是伟大、光荣、正确的中国共产党成立100周年.“红星闪闪放光彩”，正五角星是一个非常优美的的几何图形，庄严美丽的国旗和国徽上的大五角星是中国共产党的象征，如图为一个正五角星图形，由一个正五边形的五条对角线连结而成，已知false，false为false的两个黄金分割点，即false.则false（ ）

A. false B. false C. false D. false
8. ▲表示一个整数，该整数使得等式false成立，这个整数▲为（ ）
A. -1 B. 1 C. 2 D. 3
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知复数false，则下列结论正确的是（ ）
A. 在复平面内，false对应的点在第四象限 B. false
C. 复数false和false满足方程false D. false
10. 已知向量false，false，false是三个非零向量，则下列结论正确的有（ ）
A. 若false，则false B. 若false，false，则false
C. 若false，则false D. 若false，则false
11. 在false中，角false，false，false的对边分别为false，false，false，且false，则下列结论正确的是（ ）
A. false
B. false
C. 如果false为锐角，false为虚数单位，false，false，则false
D. false
12. 在false中，内角false，false，false的对边分别为false，false，false，已知false，false，false，false为边false的中点，则下列结论正确的是（ ）
A. false B. 若false的周长为false
C. false的长为false D. 若false是false中点，false
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填写在答题卡相应的位置上.
13. 已知向量false，false是两个不共线的向量，且false，false，false，若false，false，false三点共线，则实数false__________.
14. 已知复数false对应的点在复平面第三象限内，甲、乙、丙三人对复数false的陈述如下（false为虚数单位）：
甲：false； 乙：false； 丙：false； 丁：false.
在甲、乙、丙、丁四人陈述中，有且只有两个人的陈述正确，则复数false__________.
15. 已知正六边形false的边长为1，当点false满足__________时，false.
（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况）
16. 窗，古时亦称为牅，它伴随着建筑的起源而出现，在中国建筑文化中是一种独具文化意蕴和审美魅力的重要建筑构件.如图，是某古代建筑群的窗户设计图，窗户的轮廓false是边长为false的正方形，它是由四个全等的直角三角形和一个边长为false的小正方形false拼接而成，则false__________；false的值为__________.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知false，false为锐角，false，false.
（1）求false的值；
（2）求false的值.
18. 请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.
①false（false为虚数单位），②false的面积为false，③false，
在false中，内角false，false，false的对边分别为false，false，false，若false，false，__________.
（1）求false；
（2）在（1）的结论下，若点false为线段false的一点且false，求false长.
19. 若false是边长为2的正三角形.请在false内画一条线段false，端点false，false都在false的边上，并将正false分成面积相等的两部分.

（1）请给出线段false的一种画法，并证明；
（2）如果此时线段false是所有画法中最短的，求此时该线段的长度；
（3）请提出一个类似（2）的问题（不需要解决你提出的问题）.
20. 如图，正三角形false的边长为6，false，false分别是边false，false上的点，且false，false，其中false，false为false的中点.

（1）若false，求false；
（2）设false为线段false的中点，若false，求false的最小值.
21. 已知false，false，函数false.
（1）求函数false的奇偶性；
（2）是否存在常数false，使得对任意实数false，false恒成立；如果存在，求出所有这样的false；如果不存在，请说明理由.
22. 如图，某湖有一半径为1百米的半圆形岸边，现决定在圆心false处设立一个水文监测中心（大小忽略不计），在其正东方向相距2百米的点false处安装一套监测设备.为了监测数据更加准确，在半圆弧上的点false以及湖中的点false处，再分别安装一套监测设备，且满足false，设false.

（1）当false，求四边形false的面积；
（2）当false为何值时，线段false最长并求出此时的最大值.

高一数学考试答案及评分标准
一、单项选择题
1-5：DCCBC 6-8：AAB
二、多项选择题
9. ABC 10. BD 11. ABC 12. BCD
三、填空题
13. 1 14. false 15. false为直线false上任一点均可 16. false；0
四、解答题：
17. 解：（1）因为false，false为锐角，则false，false，false，
则false，false，
而false.
（2）由false，false得：false，false，
则false.
18. 解：（1）方案一：选择条件①
由false，解得false，
则false，则false.
方案二：选择条件②
∵false，∴false，
又∵false，∴false，
由false，解得false，
∴false，则false.
方案三：选择条件③
∵false，false；
∴false，
由false，解得false，
∴false，则false.
（2）在false中，由余弦定理得：false，
因为false，false，则false.
在false中，由余弦定理得：false，
则false.
19. 解：（1）当false与false重合，false是false中点时，线段false将正false分成面积相等的两部分.
证明：易证false，所以false和false的面积相等，
此时线段false将正false分成面积相等的两部分.
（此题答案不唯一，其它合理表述和解法类似给分）
（2）线段false的两端点都在false的边上，不妨设点false在线段false上，点false在线段false上.
设false，false，∴false，
由（1）知false，由false得false.
在false中，由余弦定理得：false，
（当且仅当“false”时取等号），故false，
综上，当点false在线段false上，点false在线段false上，且false时，
线段false将正false分成面积相等的两部分.
（此题答案不唯一，其它合理表述和解法类似给分）
（3）如：①在正false内画一条线段false，端点false，false都在false的边上，并将false分成面积相等的两部分，求此时三角形的周长的最小值；
在正false内画一条线段false，端点false，false都在false的边上，并将false分成的一个三角形和一个四边形，若它们的周长相等，求此时三角形的面积的最大值.
（此题答案不唯一，其它合理表述和解法类似给分）
20. 解：【法一（基底法）】
（1）当false时，false，
false，
false
false
false.
（2）false，false，
则false，
则false
false.
当false时，false的最小值为false.
【法二（坐标法）】
以false所在直线为false轴，其中垂线为false轴建立平面直角坐标系，
则false，false，false，false，
（1）由false，得false，
则false，false，false.
（2）∵false，false，
∴false，false，
false为线段false的中点，则false，
则false，
当false时，false的最小值为false.
21. 解：（法一）（1）定义域是false，
false
false，
∴函数false是偶函数.
（2）∵false，
∴false，
移项得：false，
展开得：false，
对于任意实数false上式恒成立，只有false.
∵false，∴false.
（法二）false
false.
（1）定义域是false，
∵false，
∴该函数在定义域内是偶函数.
（2）由false恒成立得：
falsefalse，
化简可得：false对于任意实数false上式恒成立，
则false，∵false，∴false.
22. 解：（1）在false中，由余弦定理得：
false，
于是四边形false的面积为
false
false.
（2）当false时
在false中，由余弦定理得false
false，
∴false，∴false，
在false中，由正弦定理得false，即false，
又false，所以false为锐角，∴false，
∴false
false，
在false中，由余弦定理得：false
false
false.
则当false时，false的最大值为3.
当false时，由余弦定理得：
false，
此时，false，
当false时，false，false，
此时，false，
综上，当false时，false的最大值为3.