2021_2022学年新教材高中数学单元复习课第7课时概率课件（67张ppt）北师大版必修第一册

(共67张PPT)
第7课时　概率
知
识
网
络
要
点
梳
理
专题归纳·核心突破
知
识
网
络
要
点
梳
理
1.什么是随机现象?其特点是什么?
提示:在自然界和人类社会中,普遍存在着两种现象,一类是在一定条件下必然出现的现象,称为确定性现象.
另一类则是在一定条件下,进行试验或观察会出现不同的结果,而且每次试验之前都无法预言会出现哪一种结果的现象,称为随机现象.随机现象有两个特点:(1)结果至少有2种;(2)事先并不知道会出现哪一种结果.
2.什么是样本空间?什么是样本点?什么是有限样本空间?
提示:一般地,将试验E的所有可能结果组成的集合称为试验E的样本空间,记作Ω.样本空间Ω的元素,即试验E的每种可能结果,称为试验E的样本点,记作ω.如果样本空间Ω的样本点的个数是有限的,那么称样本空间Ω为有限样本空间.
3.什么是随机事件,必然事件,不可能事件?
提示:一般地,把试验E的样本空间Ω的子集称为E的随机事件,简称事件,常用A,B,C等表示.样本空间Ω是其自身的子集,因此Ω也是一个事件;又因为它包含所有的样本点,每次试验无论哪个样本点ω出现,Ω都必然发生,因此称Ω为必然事件.空集?也是Ω的一个子集,可以看作一个事件;由于它不包含任何样本点,它在每次试验中都不会发生,故称?为不可能事件.
4.随机事件的运算有哪些?
提示:(1)交事件(或积事件);
(2)并事件(或和事件);
(3)事件的互斥与对立.
5.古典概型的概率公式是什么?
提示:对古典概型来说,如果样本空间Ω包含的样本点总数为n,随机事件A包含的样本点个数为m,那么事件A发生的概率为
6.什么是相互独立事件,它具有怎样的性质?
提示:事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响,这样的两个事件叫作相互独立事件.
两个相互独立事件同时发生的概率,等于这两个事件发生的概率的积,即P(AB)=P(A)P(B).
如果两个事件相互独立,那么把其中一个换成它的对立事件,这样的两个事件仍然相互独立.
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)随机事件是样本空间Ω的子集.(
√
)
(2)若A∩B=?,则事件A与事件B互为对立事件.(
×
)
(3)向一个圆面内随机地投射一个点,观察点落在圆面内的不同位置,这个试验是古典概型.(
×
)
(4)事件A与B互为对立事件,则P(A)=1-P(B).(
√
)
(5)如果事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生,则称此事件为事件A与事件B的交事件,记作A∪B(或A+B).(
×
)
(6)在抛掷一枚质地均匀的骰子,观察掷出的点数试验中,“出现2点”和“出现5点”是对立事件.(
×
)
(7)在大量重复试验中,概率可以看作是频率的稳定值.(
√
)
专题归纳·核心突破
专题整合
高考体验
专题一　样本空间与随机事件的样本点表示
【例1】
口袋中有2个白球和2个黑球,这4个球除颜色外完全相同,甲、乙两人依次不放回地从中摸出1个球.
(1)写出试验的样本空间;
(2)用样本点表示下列事件:
事件A表示“甲、乙两人摸到的球颜色相同”;
事件B表示“甲摸到黑球”.
解:(1)将两个白球编号为1,2,两个黑球编号为3,4.用(x,y)表示样本点,其中x表示甲摸到的球,y表示乙摸到的球.则试验的样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),
(4,1),(4,2),(4,3)}.
(2)甲、乙两人摸到的球颜色相同,即都摸到白球或都摸到黑球.
所以事件A={(1,2),(2,1),(3,4),(4,3)};
甲摸到黑球,即x=3或4,所以事件B={(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)}.
1.样本空间和随机事件用集合表示时,简单的试验一般用列举法表示,有时也用描述法,复杂的试验有时用列表法或树形图表示.
2.在表示样本空间时,注意试验的条件,条件不同,样本空间就不同.如本题是不放回取球,所以样本点(x,y)中的x≠y,甲、乙两人分别取球,则(1,2)与(2,1)表示两个不同的样本点.
【变式训练1】
甲、乙两人玩锤子、剪刀、布的猜拳游戏,假设两人都随机出拳,设事件A表示“平局”,事件B表示“甲赢”.试用样本点表示事件A,B.
解:用(i,j)表示出拳的结果,其中i表示甲出的拳,j表示乙出的拳.
因为当甲、乙出的拳相同时,才是平局,所以事件A={(锤子,锤子),(剪刀,剪刀),(布,布)}.因为锤子赢剪刀,剪刀赢布,布赢锤子,所以事件B={(锤子,剪刀),(剪刀,布),(布,锤子)}.
专题二　对立事件与互斥事件的判断
【例2】
一个射击手进行一次射击.
事件A表示“命中的环数大于7环”;
事件B表示“命中环数为10环”;
事件C表示“命中的环数小于6环”;
事件D表示“命中的环数为6,7,8,9,10环”.
判断下列各对事件是否为互斥事件,是否为对立事件,并说明理由.
(1)事件A与B;(2)事件A与C;(3)事件C与D.
解:试验的样本空间Ω={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},
A={8,9,10},B={10},C={0,1,2,3,4,5},D={6,7,8,9,10}.
(1)不是互斥事件,理由:A∩B={10}≠?.
(2)是互斥事件,但不是对立事件.
理由:A∩C=?,但A∪C={0,1,2,3,4,5,8,9,10}≠Ω.
(3)是互斥事件,也是对立事件.理由:C∩D=?,且C∪D=Ω.
互斥事件与对立事件的判断方法:
(1)利用基本概念:①互斥事件不可能同时发生;②对立事件首先是互斥事件,且必有一个发生.
(2)利用集合的观点:设事件A,B所包含的样本点组成的集合表示分别是A,B.
①事件A与B互斥,即A∩B=?;
②事件A与B对立,即A∩B=?,且A∪B=Ω(Ω为样本空间),也即A=?ΩB或B=?ΩA.
特别提醒:对立事件是针对两个事件来说的,而互斥事件则可以是多个事件间的关系.
【变式训练2】
从1,2,3,…,9这9个数中任取两个数,其中:
①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数;
②至少有一个是奇数和两个都是奇数;
③至少有一个是奇数和两个都是偶数;
④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.
上述事件中,是对立事件的是(　　)
A.①
B.②④
C.③
D.①③
解析:从1,2,3,…,9这9个数中任取两个数,按所取的数的奇偶性有3类可能结果:一个奇数一个偶数,两个奇数,两个偶数,则①②④中不是互斥事件;③中至少有一个奇数与两个都是偶数不能同时发生,且必有一个发生,是对立事件,故选C.
答案:C
专题三　古典概型
【例3】
某校夏令营有3名男同学A,B,C和3名女同学X,Y,Z,其年级情况如下表:
现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相等).
(1)用表中字母列举出所有可能的结果;
(2)设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”,求事件M发生的概率.
解:(1)从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为(A,B),(A,C),(A,X),(A,Y),(A,Z),(B,C),(B,X),(B,Y),(B,Z),
(C,X),(C,Y),(C,Z),(X,Y),(X,Z),(Y,Z),共15种可能的结果,且每个结果出现的可能性相等,从而用古典概型来解决.
(2)选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为(A,Y),(A,Z),(B,X),(B,Z),(C,X),(C,Y),共6种.
因此,事件M发生的概率
求解古典概型问题的一般思路:
(1)明确试验的条件及要观察的结果,用适当的符号(字母、数字、数组等)表示试验的可能结果(借助图表可以帮助我们不重不漏地列出所有的可能结果);
(2)根据实际问题情境判断样本点的等可能性;
(3)计算样本点总个数及事件A包含的样本点个数,求出事件A的概率.
【变式训练3】
一个盒子里装有三张卡片,分别标记有数字1,2,3,这三张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回地抽取3次,每次抽取1张,将抽取的卡片上的数字依次记为a,b,c.
(1)求“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率;
(2)求“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”的概率.
解:(1)由题意知(a,b,c)所有的可能结果为
(1,1,1),(1,1,2),(1,1,3),(1,2,1),(1,2,2),(1,2,3),(1,3,1),(1,3,2),
(1,3,3),(2,1,1),(2,1,2),(2,1,3),(2,2,1),(2,2,2),(2,2,3),(2,3,1),
(2,3,2),(2,3,3),(3,1,1),(3,1,2),(3,1,3),(3,2,1),(3,2,2),(3,2,3),
(3,3,1),(3,3,2),(3,3,3),共有27种等可能的结果.
设“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”为事件A,
则事件A包含(1,1,2),(1,2,3),(2,1,3),共3种可能的结果,
专题四　互斥事件的概率
【例4】
玻璃盒子中装有大小、质地相同的各色球12个,其中5红、4黑、2白、1绿,从中任取1球.设事件A表示“取出1个红球”,事件B表示“取出1个黑球”,事件C表示“取出1个白球”,事件D表示“取出1个绿球”.求:
(1)P(A),P(B),P(C),P(D);
(2)“取出1球为红球或黑球”的概率;
(3)“取出1球为红球或黑球或白球”的概率.
求复杂事件的概率通常有两种方法:
(1)将所求事件转化为几个彼此互斥的事件的和事件;
(2)将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件,需要分类较多,而其对立面的分类较少时,可考虑利用对立事件的概率公式,即“正难则反”.它常用来求“至少……”或“至多……”型事件的概率.
【变式训练4】
某商场进行有奖销售,购满100元商品得1张奖券,多购多得.1
000张奖券为一个开奖单位,每个开奖单位设特等奖1个,一等奖10个,二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A,B,C,求:
(1)P(A),P(B),P(C);
(2)1张奖券中奖的概率;
(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.
(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N,则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”互为对立事件,
专题五　事件的相互独立性
【例5】
小王某天乘火车从重庆到上海去办事,若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8,0.7,0.9,假设这三列火车是否正点到达之间互不影响,求:
(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率;
(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率.
与相互独立事件有关的概率问题的求解策略
(1)明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰好有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义.
(2)一般地,已知两个事件A,B,它们的概率分别为P(A),P(B),那么:
①A,B中至少有一个发生为事件A+B.
②A,B都发生为事件AB.
【变式训练5】
已知甲运动员的投篮命中率为0.7,乙运动员的投篮命中率为0.8.
(1)若甲、乙各投篮一次,则都命中的概率是多少?
(2)若甲每次投篮的结果相互独立,则他投篮两次,恰好投中一次的概率是多少?
解:(1)记事件A表示“甲投中”,B表示“乙投中”.
因为A与B相互独立,
所以P(AB)=P(A)P(B)=0.7×0.8=0.56.
即都命中的概率为0.56.
考点一　互斥事件与对立事件的概率
1.(2018·全国Ⅲ高考)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45,既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15,则不用现金支付的概率为(　　)
A.0.3
B.0.4
C.0.6
D.0.7
解析:设不用现金支付的概率为P,则P=1-0.45-0.15=0.4.
答案:B
2.(2019·江苏高考)从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务,则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是　　　　　.?
解析:已知男女同学共5名.
从5名学生中任选2名,共有10种选法.
若选出的2人中恰有1名女生,有6种选法.
若选出的2人都是女生,有1种选法.
考点二　古典概型
3.(2019·全国Ⅱ高考)生物实验室有5只兔子,其中只有3只测量过某项指标.若从这5只兔子中随机取出3只,则恰有2只测量过该指标的概率为(　　)
解析:设测量过该指标的3只兔子为a,b,c,剩余2只为A,B,则从这5只兔子中任取3只的所有取法有(a,b,c),(a,b,A),(a,b,B),
(a,c,A),(a,c,B),(a,A,B),(b,c,A),(b,c,B),(c,A,B),(b,A,B)共10种,其中恰有2只测量过该指标的取法有(a,b,A),(a,b,B),(a,c,A),
(a,c,B),(b,c,A),(b,c,B)共6种,所以恰有2只测量过该指标的概率为
,故选B.
答案:B
4.(2019·全国Ⅲ高考)两名男同学和两名女同学随机排成一列,则两名女同学相邻的概率是(　　)
解析:两名男同学和两名女同学排成一列,共有24种排法.两名女同学相邻的排法有12种,故两名女同学相邻的概率是
.故选D.
答案:D
5.(2018·全国
Ⅱ
高考)从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务,则选中的2人都是女同学的概率为(　　)
A.0.6
B.0.5
C.0.4
D.0.3
解析:设2名男同学为男1,男2,3名女同学为女1,女2,女3,
则任选两人共有(男1,女1),(男1,女2),(男1,女3),(男1,男2),
(男2,女1),(男2,女2),(男2,女3),(女1,女2),(女1,女3),(女2,女3)10种,
其中选中两人都为女同学共有(女1,女2),(女1,女3),(女2,女3)3种,故
答案:D
6.(2018·全国Ⅱ高考)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30=7+23.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是(　　)
解析:不超过30的素数有“2,3,5,7,11,13,17,19,23,29”共10个.随机选取两个不同的数,样本空间共包含9+8+…+2+1=45个样本点,其中和为30的情形有7+23,11+19,13+17共3种,故
答案:C
考点三　独立事件的概率
7.(2019·全国Ⅰ高考)甲、乙两队进行篮球决赛,采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时,该队获胜,决赛结束).根据前期比赛成绩,甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立,则甲队以4∶1获胜的概率是　　　　　.?
解析:前五场中有一场客场输时,甲队以4∶1获胜的概率是0.63×0.5×0.5×2=0.108;
前五场中有一场主场输时,甲队以4∶1获胜的概率是0.4×0.6×2×0.52×0.6=0.072.
综上所述,甲队以4∶1获胜的概率是0.108+0.072=0.18.
答案:0.18
8.(2019·全国Ⅱ高考)11分制乒乓球比赛,每赢一球得1分.当某局打成10∶10平后,每球交换发球权,先多得2分的一方获胜,该局比赛结束.甲、乙两名同学进行单打比赛,假设甲发球时甲得分的概率为0.5,乙发球时甲得分的概率为0.4,各球的结果相互独立.在某局双方10∶10平后,甲先发球,两人又打了X个球该局比赛结束.
(1)求P(X=2);
(2)求事件“X=4且甲获胜”的概率.
解:(1)X=2就是10∶10平后,两人又打了两个球该局比赛结束,则这两个球均由甲得分,或者均由乙得分.
因此P(X=2)=0.5×0.4+(1-0.5)×(1-0.4)=0.5.
(2)X=4且甲获胜,就是10∶10平后,两人又打了4个球该局比赛结束,且这4个球的得分情况为:前两球是甲、乙各得1分,后两球均为甲得分.
因此所求概率为[0.5×(1-0.4)+(1-0.5)×0.4]×0.5×0.4=0.1.
考点四　频率估计概率与概率的意义
9.(2019·全国Ⅰ高考节选)某商场为提高服务质量,随机调查了50名男顾客和50名女顾客,每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价,得到下面列联表:
分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率.
10.(2019·北京高考)改革开放以来,人们的支付方式发生了巨大转变.近年来,移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A,B两种移动支付方式的使用情况,从全校所有的1
000名学生中随机抽取了100人,发现样本中A,B两种支付方式都不使用的有5人,样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下:
(1)估计该校学生中上个月A,B两种支付方式都使用的人数;
(2)从样本仅使用B的学生中随机抽取1人,求该学生上个月支付金额大于2
000元的概率;
(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人,发现他本月的支付金额大于2
000元.结合(2)的结果,能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2
000元的人数有变化?说明理由.
解:(1)由题知,样本中仅使用A的学生有27+3=30(人),仅使用B的学生有24+1=25(人),A,B两种支付方式都不使用的学生有5人.
故样本中A,B两种支付方式都使用的学生有100-30-25-5=40人.
估计该校学生中上个月A,B两种支付方式都使用的人数为
(2)记事件C为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人,该学生上个月的支付金额大于2
000元”,
(3)记事件E为“从样本仅使用B的学生中随机抽查1人,该学生本月的支付金额大于2
000元”.
假设样本仅使用B的学生中,本月支付金额大于2
000
元的人数没有变化,则由(2)知,P(E)=0.04.
答案示例1:可以认为有变化.理由如下:
P(E)比较小,概率比较小的事件一般不容易发生,一旦发生,就有理由认为本月支付金额大于2
000元的人数发生了变化.
所以可以认为有变化.
答案示例2:无法确定有没有变化.理由如下:
事件E是随机事件,P(E)比较小,一般不容易发生,但还是有可能发生的.所以无法确定有没有变化.
考点五　概率与统计的综合问题
11.(2019·天津高考)2019年,我国施行个人所得税专项附加扣除办法,涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有72,108,120人,现采用分层随机抽样的方法,从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况.
(1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人?
(2)抽取的25人中,享受至少两项专项附加扣除的员工有6人,分别记为A,B,C,D,E,F.享受情况如下表,其中“○”表示享受,
“×”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.
①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果;
②设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”,求事件M发生的概率.
解:(1)由题意知,老、中、青员工人数之比为6∶9∶10,由于采用分层随机抽样的方法从中抽取25名员工,因此应从老、中、青员工中分别抽取6人,9人,10人.
(2)①从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为(A,B),
(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),
(C,F),(D,E),(D,F),(E,F),共15种.
②由表格知,符合题意的所有可能结果为(A,B),(A,D),(A,E),
(A,F),(B,D),(B,E),(B,F),(C,E),(C,F),(D,F),(E,F),共11种.
所以,事件M发生的概率
12.(2018·天津高考)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现采用分层随机抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动.
(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人?
(2)设抽出的7名同学分别用A,B,C,D,E,F,G表示,现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作.
①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果;
②设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”,求事件M发生的概率.
解:(1)已知甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2,由于采用分层随机抽样的方法从中抽取7名同学,因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人,2人,2人.
(2)①从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(A,G),(B,C),(B,D),(B,E),
(B,F),(B,G),(C,D),(C,E),(C,F),(C,G),(D,E),(D,F),(D,G),(E,F),
(E,G),(F,G),共21种.
②由(1),不妨设抽出的7名同学中,来自甲年级的是A,B,C,来自乙年级的是D,E,来自丙年级的是F,G,则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为(A,B),(A,C),(B,C),(D,E),(F,G),共5种.
所以,事件M发生的概率