2021_2022学年新教材高中数学单元复习课第5课时函数应用课件（41张ppt）北师大版必修第一册

(共41张PPT)
第5课时　函数应用
知
识
网
络
要
点
梳
理
专题归纳·核心突破
知
识
网
络
要
点
梳
理
1.函数的零点是什么?
提示:对于函数y=f(x),使得f(x0)=0的数x0称为方程f(x)=0的解,也称为函数y=f(x)的零点.
2.方程的根与函数的零点的关系是怎样的?
提示:方程f(x)=0有实数根?函数y=f(x)的图象与x轴有交点?函数y=f(x)有零点.
3.函数的零点存在定理的内容是怎样的?怎样理解?
提示:零点存在定理:若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是一条连续的曲线,并且在区间端点的函数值一正一负,即f(a)·f(b)<0,则在开区间(a,b)内,函数y=f(x)至少有一个零点,即在区间(a,b)内相应的方程f(x)=0至少有一个解.
理解:(1)函数y=f(x)在区间[a,b]上若不连续,则f(a)·f(b)<0与函数y=f(x)在区间(a,b)内的零点个数没有关系(即:零点存在定理仅对连续函数适用).
(2)连续函数y=f(x)若满足f(a)·f(b)<0,则在区间(a,b)内至少有一个零点;反过来,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点不一定使f(a)·f(b)<0成立,若y=f(x)为单调函数,则一定有f(a)·f(b)<0.
4.判断函数零点常用的判定方法有哪些?
提示:(1)定义法(定理法):使用零点存在定理,函数y=f(x)必须在区间上是连续的,当f(a)·f(b)<0时,函数在区间(a,b)内至少有一个零点.
(2)方程法:判断方程f(x)=0是否有实数解.
(3)图象法:若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成,则可考虑用图象法求解,如f(x)=g(x)-h(x),作出y=g(x)和y=h(x)的图象,其交点的横坐标即为函数f(x)的零点.
5.怎样判断函数零点的个数?
提示:(1)解方程法:令f(x)=0,如果能求出解,则有几个解就有几个零点.
(2)零点存在定理法:利用定理不仅要求函数在区间上是连续不断的曲线,且f(a)·f(b)<0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质.
(3)数形结合法:转化为两个函数的图象的交点个数问题,先画出两个函数的图象,看其交点个数,其中交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点.
6.什么是二分法?
提示:对于一般的函数y=f(x),x∈[a,b],若函数y=f(x)的图象是一条连续的曲线,f(a)·f(b)<0,则每次取区间的中点,将区间一分为二,再经比较,按需要留下其中一个小区间的求方程近似解的方法称为二分法.
7.利用二分法求方程近似解的过程步骤是怎样的?
提示:
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)关于函数f(x),x∈[a,b],若x0∈[a,b],且满足f(x0)=0,则x0是f(x)的一个零点.(
√
)
(2)函数f(x)的零点是方程f(x)=0的根,但f(x)=0的根不一定是函数f(x)的零点.(
×
)
(3)不论m为何值时,函数f(x)=x2-mx+m-2都有两个零点.(
√
)
(4)实数a,b,c是图象连续不断的函数f(x)定义域中的三个数,且满足a√
)
(5)若函数f(x)唯一零点同时在区间
内,则f(0)与f(1)符号相同.(
√
)
(6)如图所示的函数图象,都可以用二分法求图中交点横坐标.(
×
)
(7)我国股市中对股票的股价实行涨停、跌停制度,即每天的股价最大的涨幅或跌幅为10%,某股票连续四个交易日中前两日每天涨停、后两日每天跌停,则该股票的股价相对于四天前未发生变化.(
×
)
专题归纳·核心突破
专题整合
高考体验
专题一　函数的零点所在区间及个数判断
A.(1,2)
B.(2,3)
C.(3,4)
D.(1,2)与(2,3)
(2)已知函数y=f(x)和y=g(x)在区间[-2,2]上的图象如下图所示:
给出下列四个说法:
①方程f(g(x))=0有且仅有6个根;
②方程g(f(x))=0有且仅有3个根;
③方程f(f(x))=0有且仅有7个根;
④方程g(g(x))=0有且仅有4个根.
其中正确的说法为　　　　　.(填序号)?
(2)设函数f(x)的三个零点为a,b和0,且a由题图知a∈(-2,-1),b∈(1,2),
设函数g(x)的两个零点为c,d,且c由题图知c∈(-2,-1),d∈(0,1).
(ⅰ)由f(g(x))=0知g(x)=a或g(x)=b或g(x)=0,
其中a∈(-2,-1),b∈(1,2),因为g(x)的图象与直线y=a,直线y=b和直线y=0均有两个交点,所以y=f(g(x))有6个零点,故①正确.
(ⅱ)由g(f(x))=0知f(x)=c或f(x)=d,其中c∈(-2,-1),d∈(0,1),由于y=f(x)的图象与直线y=c有1个交点与直线y=d有3个交点,
所以函数y=g(f(x))有4个零点,故②错误.
同理可以判断③错误,④正确.
故正确的说法为①④.
答案:(1)B　(2)①④
根据函数零点的定义,函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的根,判断一个方程是否有零点,有几个零点,就是判断方程f(x)=0是否有根,有几个根.确定函数零点的个数有两个基本方法:利用图象研究与x轴的交点个数或转化成两个函数图象的交点个数定性判断.
【变式训练1】
函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数为(　　)
A.1
B.2
C.3
D.4
在同一平面直角坐标系中分别画出函数g(x),h(x)的图象(如图),可以发现两个函数的图象有两个交点,因此函数f(x)有两个零点.
答案:B
专题二　函数的零点与方程的根的关系及应用
(1)当a=1时,函数g(x)是否存在零点,若存在,求出所有零点;若不存在,说明理由.
(2)求函数g(x)的最小值.
分析:(1)利用换元法,转化为一元二次函数求解.
(2)运用分类讨论思想求解.
解:(1)当a=1时,函数g(x)不存在零点.理由如下:
当a=1时,设t=ex,则t∈[1,3].
令h(t)=t2+t-1,
∴函数g(x)不存在零点.
1.函数的零点与方程的根之间存在着紧密的关系:方程f(x)=0有实数根?函数y=f(x)的图象与x轴有交点?函数y=f(x)有零点.
2.求参数范围常用方法
(1)一元二次函数零点(或一元二次方程根)的分布问题用函数思想求解.
(2)利用函数图象数形结合求解.
(3)利用分类讨论思想求解.
【变式训练2】
已知函数f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx.若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则实数k的取值范围是(　　)
答案:B
专题三　函数的性质及应用
【例3】
提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下,大桥上的车流速度v(单位:km/h)是车流密度x(单位:辆/km)的函数.当桥上的车流密度达到200
辆/km时,造成堵塞,此时车流速度为0;当车流密度不超过20
辆/km时,车流速度为60
km/h.研究表明:当20≤x≤200时,车流速度v是车流密度x的一次函数.
(1)当0≤x≤200时,求函数v(x)的解析式;
(2)当车流密度x为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/h)f(x)=x·v(x)可以达到最大,并求出最大值.(精确到1
辆/h)
分析:理解题意→列出函数关系式→求出最值
利用函数解决实际问题的常用方法
(1)利用所给定的函数模型或图象,用待定系数法求出解析式进而解决实际问题.
(2)构造函数模型:一是由题意直接确定模型,进而解决其他问题,二是由题目提供的数据,利用图形确定函数模型.从而解决一些实际问题或预测一些结果.
【变式训练3】
某企业根据企业现状实行裁员增效.已知现有员工200人,每人每年可创纯利润1万元,据评估,在生产条件不变的条件下,每裁员一人,则留岗员工每人每年可多创收0.01万元,但每年需付给下岗工人(被裁的员工)0.4万元生活费,并且企业正常运行所需人数不得少于现有员工的
.设该企业裁员x人后纯收益为y万元.
(1)写出y关于x的函数关系式,并指出x的取值范围;
(2)问该企业裁员多少人,才能获得最大的经济效益?
解:(1)裁员x人后,企业员工数为(200-x)人,每人每年创纯利润(1+0.01x)万元,企业每年需付给下岗工人0.4x万元,
则y=(200-x)(1+0.01x)-0.4x=-0.01x2+0.6x+200.
∴x的取值范围为0(2)y=-0.01(x-30)2+209,
∵0∴当x=30时,y取得最大值209.
故该企业应裁员30人,才能获得最大的经济效益.
考点一　零点的判断与求法
解析:要使得方程g(x)=f(x)+x+a有两个零点,
等价于方程f(x)=-x-a有两个实根,
即函数y=f(x)的图象与直线y=-x-a有两个交点,
由图象可知,
必须使得直线y=-x-a与直线y=-x+1重合或位于直线y=-x+1的下方,
所以-a≤1,即a≥-1.
故选C.
答案:C
当x≥2时,由f(x)=x-4<0,解得x<4,
∴2≤x<4.
当x<2时,由f(x)=x2-4x+3<0,解得1∴1综上可知,1分别画出y1=x-4和y2=x2-4x+3的图象如图.
由函数f(x)恰有2个零点,
结合图象可知1<λ≤3或λ>4.
故λ的取值范围为(1,3]∪(4,+∞).
答案:(1,4)　(1,3]∪(4,+∞)
解析:x2-2mx+4m=(x-m)2+4m-m2.由题意画出函数图象为右图时才符合,要满足存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,应4m-m23,即m的取值范围为(3,+∞).
答案:(3,+∞)
考点二　函数模型及应用
4.(2019·北京高考)在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足
,其中星等为mk的星的亮度为Ek(k=1,2).已知太阳的星等是-26.7,天狼星的星等是-1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为(　　)
A.1010.1
B.10.1
C.lg
10.1
D.10-10.1
答案:A
5.(2016·四川高考)某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(　　)
(参考数据:lg
1.12≈0.05,lg
1.3≈0.11,lg
2≈0.30)
A.2018年
B.2019年
C.2020年
D.2021年
解析:设从2015年后第n年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元.
答案:B