2021_2022学年新教材高中数学单元复习课第3课时指数运算与指数函数课件（44张ppt）北师大版必修第一册

(共44张PPT)
第3课时　指数运算与指数函数
知
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要
点
梳
理
专题归纳·核心突破
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1.实数指数幂的运算性质是怎样的?
提示:实数指数幂的运算性质:
设a,b>0,α,β∈R.
(1)aα·aβ=aα+β;
(2)(aα)β=aαβ;
(3)(ab)α=aαbα.
2.指数函数的定义域、值域、图象、性质是怎样的?请完成下表:
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)函数f(x)=a|x|(a>0,且a≠1)的最小值等于1.(
×
)
(2)任何指数函数的图象都在x轴上方.(
√
)
(3)若函数f(x)是指数函数,且f(1)>1,则f(x)是增函数.(
√
)
(4)若函数g(x)=af(x)(a>0,且a≠1),则g(x)与f(x)的定义域与值域相同.(
×
)
(5)函数y=4-|x|的单调递增区间是(0,+∞),单调递减区间是(-∞,0).
(
×
)
(6)若a>1,则当f(x)有最大值时,g(x)=af(x)也有最大值.(
√
)
(7)若函数g(x)=af(x)(a>0,且a≠1)的值域为(0,+∞),则f(x)的值域必为R.(
√
)
专题归纳·核心突破
专题整合
高考体验
专题一　指数幂的运算
分析:根据指数幂的运算性质运算.
1.指数幂的运算,首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂,以便利用运算性质计算,但应注意:
(1)必须同底数幂相乘,指数才能相加;
(2)运算的先后顺序.
2.当底数是负数时,先确定符号,再把底数化为正数.
3.运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数.
专题二　指数函数的图象及应用
【例2】
(1)已知函数f(x)是定义在区间[-4,0)∪(0,4]上的奇函数,当x∈(0,4]时,f(x)的图象如图所示,那么满足不等式f(x)≥3x-1的x的取值范围是(　　)
A.[-1,0)∪(0,1]
B.[-4,-2]∪(0,1]
C.[-4,-2]∪[2,4]
D.[-1,0)∪[2,4]
解析:(1)设g(x)=3x-1,画出函数g(x)和f(x)在区间[-4,0)∪(0,4]上的图象,如下图所示.
要使f(x)≥3x-1,
即函数f(x)的图象在函数g(x)图象的上方(包括交点),
所以满足条件的x的取值范围为x∈[-4,-2]∪(0,1],故选B.
指数函数图象的画法(判断)及应用方法:
(1)画(判断)指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象,应抓住三个关键点:
(2)与指数函数有关的函数的图象的研究,往往利用相应指数函数的图象,通过平移、对称变换得到其图象.
(3)一些指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解.
【变式训练2】
函数f(x)=ax-b的图象如图所示,其中a,b为常数,则下列结论正确的是(　　)
A.a>1,b<0
B.a>1,b>0
C.00
D.0(2)若曲线y=|2x-1|与直线y=b有两个公共点,则实数b的取值范围是　　　　　.?
解析:(1)观察题中f(x)=ax-b的图象可以得出,函数f(x)=ax-b在定义域上为减函数,所以0(2)曲线y=|2x-1|与直线y=b的图象如图所示,
由图象可得,如果曲线y=|2x-1|与直线y=b有两个公共点,则实数b的取值范围是(0,1).
答案:(1)D　(2)(0,1)
专题三　比较大小
A.c>a>b
B.b>a>c
C.a>b>c
D.a>c>b
分析:先将a,b,c均化为同底数的幂,然后利用指数函数的单调性比较大小.
解析:∵a=40.9=(22)0.9=21.8,
且指数函数y=2x在R上是增函数,
∴21.8>21.5>21.44,因此,a>c>b,故选D.
答案:D
比较指数式大小的策略:
(1)能化成同底数的先化成同底数幂,再利用单调性比较大小;
(2)不能化成同底数的,一般引入“1”等中间量比较大小.
【变式训练3】
下列各式大小关系正确的是(　　)
A.1.72.5>1.73
B.0.6-1>0.62
C.0.8-0.1>1.250.2
D.1.70.3<0.93.1
解析:A中,因为函数y=1.7x在R上是增函数,
又2.5<3,所以1.72.5<1.73;
B中,因为函数y=0.6x在R上是减函数,又-1<2,
所以0.6-1>0.62;
C中,因为0.8-1=1.25,
所以问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小.
因为函数y=1.25x在R上是增函数,0.1<0.2,
所以1.250.1<1.250.2,即0.8-0.1<1.250.2;
D中,因为1.70.3>1,0<0.93.1<1,
所以1.70.3>0.93.1.
答案:B
专题四　解简单的指数方程或不等式
【例4】
已知函数f(x)=x2+2|x|-8,则不等式f(3x-1-5)≤16的解集是(　　)
A.[1,3]
B.[1,9]
C.[1,+∞)
D.(-∞,3]
分析:分析出函数f(x)是偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递增,由此建立指数不等式求解.
解析:函数f(x)=x2+2|x|-8的定义域为R,关于原点对称,
且f(-x)=(-x)2+2|-x|-8=x2+2|x|-8=f(x),
所以该函数为偶函数,
当x≥0时,f(x)=x2+2x-8=(x+1)2-9,
该函数在区间[0,+∞)上单调递增,
由f(3x-1-5)≤16,得f(|3x-1-5|)≤f(4),
∴|3x-1-5|≤4,即-4≤3x-1-5≤4,
得1≤3x-1≤9,则0≤x-1≤2,解得1≤x≤3.∴1≤x≤3.
因此,不等式f(3x-1-5)≤16的解集是[1,3].故选A.
答案:A
解简单的指数方程或不等式:可先利用幂的运算性质化为同底数幂,再利用单调性转化为一般不等式求解.
答案:C
专题五　指数型函数
探究指数型函数的性质,要结合复合函数的单调性:同增异减.其他与研究一般函数的定义域、单调性(区间)、奇偶性、最值(值域)等性质的方法一致.
答案:(-∞,1]
考点一　指数函数的图象及应用
答案:B
答案:B
考点二　指数函数的性质及应用
解析:画出函数f(x)的图象如图所示,由图可知:
①当x+1≥0,且2x≥0,即x≥0时,f(2x)=f(x+1),不满足题意;
②当x+1>0,且2x<0,即-1③当x+1≤0时,x≤-1,此时2x<0,
若f(x+1)则x+1>2x,解得x<1.故x≤-1.
综上所述,x的取值范围为(-∞,0).
答案:D
A.是偶函数,且在R上是增函数
B.是奇函数,且在R上是增函数
C.是偶函数,且在R上是减函数
D.是奇函数,且在R上是减函数
答案:B
6.(2015·山东高考)已知函数f(x)=ax+b(a>0,且a≠1)的定义域和值域都是[-1,0],则a+b=　　　　　.?
7.(2019·北京高考)设函数f(x)=ex+ae-x(a为常数).若f(x)为奇函数,则a=　　　　　　　;若f(x)是R上的增函数,则a的取值范围是　　　　　.?
解析:若函数f(x)=ex+ae-x为奇函数,
又x∈R,则有f(0)=0,即e0+ae0=1+a=0,得a=-1.
若函数f(x)=ex+ae-x为R上的增函数,
因为y=ex为R上的增函数,
所以y=ae-x为R上的增函数,或y=ae-x为常量,而y=e-x为R上的减函数,所以a<0或a=0,即a≤0.
答案:-1　(-∞,0]