4.5.3 电磁感应中的动力学及能量问题—2020-2021学年人教版高中物理选修3-2学案（Word含答案）

电磁感应中的动力学及能量问题
一、电磁感应中的动力学问题
1．电磁感应问题往往与力学问题联系在一起，处理此类问题的基本方法是：
(1)用法拉第电磁感应定律和楞次定律求感应电动势的大小和方向．
(2)用闭合电路欧姆定律求回路中感应电流的大小和方向．
(3)分析研究导体受力情况(包括安培力)．
(4)列动力学方程或平衡方程求解．
2．两种状态处理
(1)导体处于平衡状态——静止或匀速直线运动状态．
处理方法：根据平衡条件——合力等于零列式分析．
(2)导体处于非平衡状态——加速度不为零．
处理方法：根据牛顿第二定律进行动态分析或结合功能关系分析．
电磁感应中动力学问题的解题技巧
1．受力分析时，要把立体图转换为平面图，同时标明电流方向及磁场B的方向，以便准确地画出安培力的方向．
2．要特别注意安培力的大小和方向都有可能变化．
3．根据牛顿第二定律分析a的变化情况，以求出稳定状态的速度．
4．列出稳定状态下的受力平衡方程往往是解题的突破口．
二、电磁感应中的能量问题
1．电磁感应中能量的转化
电磁感应过程的实质是不同形式的能量相互转化的过程，其能量转化方式为：
2．求解电磁感应现象中能量问题的一般思路
(1)确定回路，分清电源和外电路．
(2)分析清楚有哪些力做功，明确有哪些形式的能量发生了转化．如：
①有滑动摩擦力做功，必有内能产生；
②有重力做功，重力势能必然发生变化；
③克服安培力做功，必然有其他形式的能转化为电能，并且克服安培力做多少功，就产生多少电能；如果安培力做正功，就是电能转化为其他形式的能．
(3)列有关能量的关系式．
电磁感应中焦耳热的计算技巧
1．电流恒定时，根据焦耳定律求解，即Q＝I2Rt.
2．感应电流变化，可用以下方法分析：
(1)利用动能定理，求出克服安培力做的功W安，产生的焦耳热等于克服安培力做的功，即Q＝W安．
(2)利用能量守恒，即感应电流产生的焦耳热等于其他形式能量的减少量．
1．如图所示，在一匀强磁场中有一U形导线框abcd，线框处于水平面内，磁场与线框平面垂直，R为一电阻，ef为垂直于ab的一根导体杆，它可在ab、cd上无摩擦地滑动．杆ef及线框中导线的电阻都可忽略不计．开始时，给ef一个向右的初速度，则(　　)
A．ef将减速向右运动，但不是匀减速 B．ef将匀减速向右运动，最后停止
C．ef将匀速向右运动 D．ef将往返运动
2．如图所示，MN和PQ是两根互相平行竖直放置的光滑金属导轨，已知导轨足够长，且电阻不计，ab是一根与导轨垂直且始终与导轨接触良好的金属杆，开始时，将开关S断开，让杆ab由静止开始自由下落，过段时间后，再将S闭合，若从S闭合开始计时，则金属杆ab的速度v随时间t变化的图象不可能是下图中的(　　)
3．(多选)如图所示，两根光滑的金属导轨，平行放置在倾角为θ的斜面上，导轨的左端接有电阻R，导轨自身的电阻可忽略不计．斜面处在一匀强磁场中，磁场方向垂直于斜面向上．质量为m、电阻可以忽略不计的金属棒ab，在沿着斜面与棒垂直的恒力F作用下沿导轨匀速上滑，且上升的高度为h，在这一过程中 (　　)
A．作用于金属棒上的各个力的合力所做的功等于零
B．作用于金属棒上的各个力的合力所做的功等于mgh与电阻R上产生的焦耳热之和
C．恒力F与安培力的合力所做的功等于零
D．恒力F与重力的合力所做的功等于电阻R上产生的焦耳热
4．如图所示，质量为m的金属环用不可伸长的细线悬挂起来，金属环有一半处于水平且与环面垂直的匀强磁场中，从某时刻开始，磁感应强度均匀减小，则在磁感应强度均匀减小的过程中，关于线的拉力大小，下列说法中正确的是(　　)
A．大于环重力mg，并逐渐减小 B．始终等于环重力mg
C．小于环重力mg，并保持恒定 D．大于环重力mg，并保持恒定
5．如图所示，在光滑水平桌面上有一边长为L、电阻为R的正方形导线框；在导线框右侧有一宽度为d(d＞L)的条形匀强磁场区域，磁场的边界与导线框的一边平行，磁场方向竖直向下．导线框以某一初速度向右运动，t＝0时导线框的右边恰与磁场的左边界重合，随后导线框进入并通过磁场区域．下列v－t图象中，能正确描述上述过程的是(　　)

6．(多选)如图所示，有两根和水平方向成α(α<90°)角的光滑平行的金属轨道，上端接有可变电阻R，下端足够长，空间有垂直于轨道平面向上的匀强磁场，磁感应强度为B，一根质量为m、电阻不计的金属杆从轨道上由静止滑下．经过足够长的时间后，金属杆的速度会趋近于一个最大速度vm，则(　　)
A．如果B增大，vm将变大 B．如果α变大(仍小于90°)，vm将变大
C．如果R变大，vm将变大 D．如果m变小，vm将变大
7．如图所示，纸面内有一矩形导体闭合线框abcd，ab边长大于bc边长，置于垂直纸面向里、边界为MN的匀强磁场外，线框两次匀速地完全进入磁场，两次速度大小相同，方向均垂直于MN.第一次ab边平行于MN进入磁场，线框上产生的热量为Q1，通过线框导体横截面的电荷量为q1；第二次bc边平行于MN进入磁场，线框上产生的热量为Q2，通过线框导体横截面的电荷量为q2，则 (　　)
A．Q1＞Q2，q1＝q2 B．Q1＞Q2，q1＞q2
C．Q1＝Q2，q1＝q2 D．Q1＝Q2，q1＞q2
8.如图所示，竖直放置的两根平行金属导轨之间接有定值电阻R，质量不能忽略的金属棒与两导轨始终保持垂直并良好接触且无摩擦，棒与导轨的电阻均不计，整个装置放在匀强磁场中，磁场方向与导轨平面垂直，棒在竖直向上的恒力F作用下加速上升的一段时间内，力F做的功与安培力做的功的代数和等于(　　)
A．棒的机械能增加量 B．棒的动能增加量
C．棒的重力势能增加量 D．电阻R上产生的热量
9．(多选)如图所示，在方向垂直纸面向里，磁感应强度为B的匀强磁场区域中有一个由均匀导线制成的单匝矩形线框abcd，线框以恒定的速度v沿垂直磁场方向向右运动，运动中线框dc边始终与磁场右边界平行，线框边长ad＝L，cd＝2L.线框导线的总电阻为R.则在线框离开磁场的过程中，下列说法中正确的是(　　)
A．ad间的电压为 B．流过线框截面的电荷量为
C．线框所受安培力的合力为 D．线框中的电流在ad边产生的热量为
10.水平放置的光滑平行导轨上放置一根长为L、质量为m且与导轨接触良好的导体棒ab，ab处在磁感应强度大小为B、方向如图所示的匀强磁场中，导轨的一端接一阻值为R的电阻，导轨及导体棒电阻不计．现使ab在水平恒力F作用下由静止沿垂直于磁场的方向运动，当通过的位移为x时，ab达到最大速度vm.此时撤去外力，最后ab静止在导轨上．在ab运动的整个过程中，下列说法正确的是(　　)
A．撤去外力后，ab做匀减速运动 B．合力对ab做的功为Fx
C．R上释放的热量为Fx＋mv D．R上释放的热量为Fx
11.如图所示，足够长的平行金属导轨倾斜放置，倾角为37°，宽度为0.5 m，电阻忽略不计，其上端接一小灯泡，电阻为1 Ω.一导体棒MN垂直导轨放置，质量为0.2 kg，接入电路的电阻为1 Ω，两端与导轨接触良好，与导轨间的动摩擦因数为0.5.在导轨间存在着垂直于导轨平面的匀强磁场，磁感应强度为0.8 T．将导体棒MN由静止释放，运动一段时间后，小灯泡稳定发光，此后导体棒MN的运动速度以及小灯泡消耗的电功率分别为(重力加速度g取10 m/s2，sin 37°＝0.6)(　　)
A．2.5 m/s　1 W B．5 m/s　1 W C．7.5 m/s　9 W D．15 m/s　9 W
12．如图所示，MN和PQ是电阻不计的平行金属导轨，其间距为L，导轨弯曲部分光滑，平直部分粗糙，二者平滑连接．右端接一个阻值为R的定值电阻．平直部分导轨左边区域有宽度为d、方向竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场．质量为m、接入电路的电阻也为R的金属棒从高度为h处静止释放，到达磁场右边界处恰好停止．已知金属棒与平直部分导轨间的动摩擦因数为μ，金属棒与导轨间接触良好．则金属棒穿过磁场区域的过程中(　　)
A．流过金属棒的最大电流为 B．通过金属棒的电荷量为
C．克服安培力所做的功为mgh D．金属棒产生的焦耳热为mg(h－μd)
13．如图所示，竖直平面内有足够长的平行金属导轨，轨距为0.2 m，金属导体ab可在导轨上无摩擦地上下滑动，ab的电阻为0.4 Ω，导轨电阻不计，导体ab的质量为0.2 g，垂直纸面向里的匀强磁场的磁感应强度为0.2 T，且磁场区域足够大，当导体ab自由下落0.4 s时，突然闭合开关S，则：
(1)试说出S接通后，导体ab的运动情况；
(2)导体ab匀速下落的速度是多少？(g取10 m/s2)
14．如图甲所示，不计电阻的平行金属导轨与水平面成37°角放置，导轨间距为L＝1 m，上端接有电阻R＝3 Ω，虚线OO′下方是垂直于导轨平面的匀强磁场．现将质量m＝0.1 kg、接入电路的电阻r＝1 Ω的金属杆ab从OO′上方某处垂直导轨由静止释放，杆下滑过程中始终与导轨垂直并保持良好接触，杆下滑过程中的v－t图象如图乙所示．(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2)求：
(1)磁感应强度大小B；
(2)杆在磁场中下滑0.1 s过程中电阻R上产生的热量．
15．如图所示，空间存在B＝0.5 T、方向竖直向下的匀强磁场，MN、PQ是水平放置的平行长直导轨，其间距L＝0.2 m，电阻R＝0.3 Ω接在导轨一端，ab是跨接在导轨上质量m＝0.1 kg、接入电路的电阻r＝0.1 Ω的导体棒，已知导体棒和导轨间的动摩擦因数为0.2.从零时刻开始，对ab棒施加一个大小为F＝0.45 N、方向水平向左的恒定拉力，使其从静止开始沿导轨滑动，过程中棒始终保持与导轨垂直且接触良好，求：(g＝10 m/s2)
(1)导体棒所能达到的最大速度；
(2)试定性画出导体棒运动的速度－时间图象．
16．如图甲所示，两根足够长的直金属导轨MN、PQ平行放置在倾角为θ的绝缘斜面上，两导轨间距为L，M、P两点间接有阻值为R的电阻，一根质量为m的均匀直金属杆ab放在两导轨上，并与导轨垂直，整套装置处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直于斜面向下，导轨和金属杆的电阻可忽略，让ab杆沿导轨由静止开始下滑，导轨和金属杆接触良好，不计它们之间的摩擦．(重力加速度为g)
(1)由b向a方向看到的装置如图乙所示，请在此图中画出ab杆下滑过程中某时刻的受力示意图；
(2)在加速下滑过程中，当ab杆的速度大小为v时，求此时ab杆中的电流及其加速度的大小；
(3)求在下滑过程中，ab杆可以达到的速度最大值．
17．如图所示，足够长的平行光滑U形导轨倾斜放置，所在平面的倾角θ＝37°，导轨间的距离L＝1.0 m，下端连接R＝1.6 Ω的电阻，导轨电阻不计，所在空间存在垂直于导轨平面向上的匀强磁场，磁感应强度B＝1.0 T．质量m＝0.5 kg、电阻r＝0.4 Ω的金属棒ab垂直置于导轨上，现用沿导轨平面且垂直于金属棒、大小为F＝5.0 N的恒力使金属棒ab从静止开始沿导轨向上滑行，当金属棒滑行s＝2.8 m后速度保持不变．求：(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g＝10 m/s2)
(1)金属棒匀速运动时的速度大小v；
(2)金属棒从静止到刚开始匀速运动的过程中，电阻R上产生的热量QR.
18．两根平行的金属导轨相距L1＝1 m，与水平方向成θ＝30°角倾斜放置，如图甲所示，其上端连接阻值R＝1.5 Ω的电阻，另有一根质量m＝0.2 kg，电阻r＝0.5 Ω的金属棒ab放在两根导轨上，距离上端L2＝4 m，棒与导轨垂直并接触良好，导轨电阻不计，因有摩擦力作用，金属棒处于静止状态．现在垂直导轨面加上从零均匀增强的磁场，磁感应强度的变化规律如图乙所示，已知在t＝2 s时棒与导轨间的摩擦力刚好为零(g取10 m/s2)，则在棒发生滑动之前：
(1)t＝2 s时，磁感应强度B为多大？
(2)假如t＝5 s时棒刚要发生滑动，则棒与导轨间最大静摩擦力多大？
(3)从t＝0到t＝3 s内，电阻R上产生的电热有多少？
19．如图所示，足够长的U形导体框架的宽度L＝0.5 m，电阻可忽略不计，其所在平面与水平面成θ＝37°角．有一磁感应强度B＝0.8 T的匀强磁场，方向垂直于导体框平面．一根质量m＝0.4 kg、电阻R＝1 Ω的导体棒MN垂直跨放在U形框架上，某时刻起将导体棒由静止释放．已知导体棒与框架间的动摩擦因数μ＝0.5.(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2)
(1)求导体棒刚开始下滑时的加速度大小；
(2)求导体棒运动过程中的最大速度；
(3)从导体棒开始下滑到速度刚达到最大时的过程中，通过导体棒横截面的电荷量Q＝4 C，求导体棒在此过程中消耗的电能．
电磁感应中的动力学及能量问题
1．
答案　A
解析　ef向右运动，切割磁感线，产生感应电动势和感应电流，会受到向左的安培力而做减速运动，直到停止，由F＝BIl＝＝ma知，ef做的是加速度减小的减速运动，故A正确．
2．
答案　B
解析　S闭合时，若金属杆受到的安培力＞mg，ab杆先减速再匀速，D项有可能；若＝mg，ab杆匀速运动，A项有可能；若＜mg，ab杆先加速再匀速，C项有可能；由于v变化，mg－＝ma中a不恒定，故B项不可能．
3．
答案　AD
解析　金属棒匀速上滑的过程中，对金属棒受力分析可知，有三个力对金属棒做功，恒力F做正功，重力做负功，安培力阻碍相对运动，沿斜面向下，做负功．匀速运动时，金属棒所受合力为零，故合力做功为零，A正确；克服安培力做多少功就有多少其他形式的能转化为电路中的电能，电能又等于R上产生的焦耳热，故外力F与重力的合力所做的功等于电阻R上产生的焦耳热，D正确．
4．
答案　A
解析　根据楞次定律知圆环中感应电流的方向为顺时针方向，再由左手定则判断可知圆环所受安培力竖直向下，对圆环受力分析，根据受力平衡有FT＝mg＋F安，得FT>mg，F安＝BIL，根据法拉第电磁感应定律知，I＝＝＝S，可知I为恒定电流，联立上式可知B减小，F安减小，则由FT＝mg＋F安知FT减小，选项A正确．
5．
答案　D
解析　导线框进入磁场的过程中，线框受到向左的安培力作用，根据E＝BLv、I＝、F安＝BIL得F安＝，随着v的减小，安培力F安减小，导线框做加速度逐渐减小的减速运动．整个导线框在磁场中运动时，无感应电流，导线框做匀速运动，导线框离开磁场的过程中，根据F安＝，导线框做加速度逐渐减小的减速运动，所以选项D正确．
6．
答案　BC
解析　金属杆由静止开始滑下的过程中，金属杆就相当于一个电源，与电阻R构成一个闭合回路，其受力情况如图所示，根据牛顿第二定律得：
mgsin α－＝ma
所以金属杆由静止开始做加速度减小的加速运动，当a＝0时达到最大速度vm，即mgsin α＝，可得：vm＝，故由此式知选项B、C正确．
7．
答案　A
解析　根据功能关系知，线框上产生的热量等于克服安培力做的功，即Q1＝W1＝F1lbc＝lbc＝lab
同理Q2＝lbc，又lab＞lbc，故Q1＞Q2；
因q＝t＝t＝＝，
故q1＝q2.因此A正确．
8.
答案　A
解析　棒加速上升时受到重力、拉力F及安培力．根据功能关系可知，力F与安培力做功的代数和等于棒的机械能的增加量，A正确．
9．
答案　ABD
解析　ad间的电压为U＝I· R＝·R＝，故A正确；流过线框截面的电荷量q＝IΔt＝·Δt＝，故B正确；线框所受安培力的合力F＝BI·2L＝，故C错误；产生的感应电动势E＝2BLv，感应电流I＝，线框中的电流在ad边产生的热量Q＝I2·R·＝，故D正确．
10.
答案　D
解析　撤去外力后，导体棒水平方向上只受安培力作用，而F安＝，F安随v的变化而变化，故导体棒做加速度变化的减速运动，A错；对整个过程由动能定理得W合＝ΔEk＝0，B错；由能量守恒定律知，恒力F做的功等于整个回路产生的电能，电能又转化为R上释放的热量，即Q＝Fx，C错，D对．
11.
答案　B
解析　小灯泡稳定发光时，导体棒MN匀速下滑，其受力如图所示，由平衡条件可得F安＋μmgcos 37°＝mgsin 37°，所以F安＝mg(sin 37°－μcos 37°)＝0.4 N，由F安＝BIL得I＝＝1 A，所以E＝I(R灯＋RMN)＝2 V，导体棒的运动速度v＝＝5 m/s，小灯泡消耗的电功率为P灯＝I2R灯＝1 W．正确选项为B.
12．
答案　D
解析　金属棒沿弯曲部分下滑过程中，机械能守恒，由机械能守恒定律得：mgh＝mv2，金属棒到达平直部分时的速度v＝，金属棒到达平直部分后做减速运动，刚到达平直部分时的速度最大，最大感应电动势E＝BLv，最大感应电流I＝＝，故A错误；
通过金属棒的感应电荷量q＝Δt＝＝，故B错误；
金属棒在整个运动过程中，由动能定理得：mgh－W安－μmgd＝0－0，克服安培力做功：W安＝mgh－μmgd，故C错误；
克服安培力做的功转化为焦耳热，定值电阻与金属棒的电阻相等，通过它们的电流相等，则金属棒产生的焦耳热：Q′＝Q＝W安＝mg(h－μd)，故D正确．
13．
答案　见解析
解析　(1)闭合S之前导体ab自由下落的末速度为：
v0＝gt＝4 m/s.
S闭合瞬间，导体产生感应电动势，回路中产生感应电流，ab立即受到一个竖直向上的安培力．
F安＝BIL＝＝0.016 N＞mg＝0.002 N.
此时导体ab受到的合力的方向竖直向上，与初速度方向相反，加速度的表达式为
a＝＝－g，所以ab做竖直向下的加速度逐渐减小的减速运动．当F安＝mg时，ab做竖直向下的匀速运动．
(2)设匀速下落的速度为vm，
此时F安＝mg，即＝mg，vm＝＝0.5 m/s.
14．
答案　(1)2 T　(2) J
解析　(1)由题图乙得
0～0.1 s内，杆的加速度
a＝＝ m/s2＝5 m/s2
0～0.1 s内，由牛顿第二定律有mgsin 37°－Ff＝ma
代入数据得Ff＝0.1 N
0．1 s后杆匀速运动，有mgsin 37°－Ff－F安＝0
而F安＝BIL＝BL＝
解得B＝2 T
(2)方法一：杆在磁场中下滑0.1 s的过程中，回路中的电流恒定，有I＝＝0.25 A，
电阻R上产生的热量
QR＝I2Rt＝ J.
方法二：金属杆ab在磁场中匀速运动的位移
x＝vt＝0.05 m
金属杆ab下落的高度
h＝xsin θ＝0.03 m
由能量守恒有mgh＝Q＋Ffx
电阻R产生的热量
QR＝Q＝(mgh－Ffx)＝ J.
15．
答案　(1)10 m/s　(2)见解析图
解析　(1)导体棒切割磁感线运动，产生的感应电动势：
E＝BLv①
回路中的感应电流I＝②
导体棒受到的安培力F安＝BIL③
导体棒运动过程中受到拉力F、安培力F安和摩擦力Ff的作用，根据牛顿第二定律：
F－μmg－F安＝ma④
由①②③④得：F－μmg－＝ma⑤
由⑤可知，随着速度的增大，安培力增大，加速度a减小，当加速度a减小到0时，速度达到最大．
此时有F－μmg－＝0⑥
可得：vm＝＝10 m/s⑦
(2)由(1)中分析可知，导体棒运动的速度－时间图象如图所示．
16．
答案　(1)见解析图
(2)　gsin θ－　(3)
解析　(1)如图所示，ab杆受重力mg，方向竖直向下；支持力FN，方向垂直于斜面向上；安培力F安，方向沿导轨向上．
(2)当ab杆的速度大小为v时，感应电动势E＝BLv，
此时电路中的电流I＝＝
ab杆受到安培力F安＝BIL＝
根据牛顿第二定律，有
mgsin θ－F安＝mgsin θ－＝ma
则a＝gsin θ－.
(3)当a＝0时，ab杆有最大速度vm，即mgsin θ＝，解得vm＝.
17．
答案　(1)4 m/s　(2)1.28 J
解析　(1)金属棒匀速运动时产生的感应电流为I＝
由平衡条件有F＝mgsin θ＋BIL
代入数据解得v＝4 m/s.
(2)设整个电路中产生的热量为Q，由能量守恒定律有
Q＝Fs－mgs·sin θ－mv2
而QR＝ Q，代入数据解得QR＝1.28 J.
18．
答案　(1)1 T　(2)1.5 N　(3)4.5 J
解析　(1)当t＝2 s时，对导体棒由平衡条件得
mgsin θ＝B2IL1①
由闭合电路欧姆定律得
I＝②
由法拉第电磁感应定律得
E＝L1L2＝L1L2③
联立①②③式解得B2＝1 T
(2)当t＝5 s时，对棒由平衡条件得
B5IL1＝mgsin θ＋Ffmax
由题图乙及第(1)问可得t＝5 s时，B5＝2.5 T
联立解得Ffmax＝1.5 N
(3)由焦耳定律得：QR＝I2Rt
代入数据解得：QR＝4.5 J
19．
答案　(1)2 m/s2　(2)5 m/s　(3)3 J
解析　(1)导体棒刚开始下滑时，其受力情况如图甲，则mgsin θ－μmgcos θ＝ma
　
解得a＝2 m/s2
(2)当导体棒匀速下滑时其受力情况如图乙，因为匀速下滑，设匀速下滑的速度为v，则在平行斜面上有
mgsin θ－Ff－F＝0
安培力F＝BIL＝BL＝
联立解得v＝＝5 m/s
(3)通过导体棒横截面的电荷量Q＝Δt
＝
设导体棒下滑速度刚好为v时的位移为x，则ΔΦ＝BxL
全程由动能定理，得mgx·sin θ－W安－μmgcos θ·x＝mv2，其中W安为克服安培力做的功．
联立解得W安＝3 J
克服安培力做的功等于导体棒在此过程中消耗的电能，即QR＝3 J.