高一下册-空间几何体与立体几何证明（1）

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立体几何证明
【空间几何体的表面积与体积计算】
要点一、棱柱、棱锥、棱台的表面积
项目 名称 底面 侧面
棱柱 平面多边形 平行四边形 面积=底·高
棱锥 平面多边形 三角形 面积=·底·高
棱台 平面多边形 梯形 面积=·（上底+下底）·高
（1）圆柱的侧面积： 圆柱的表面积：．
（2）圆锥的侧面积： 圆锥的表面积：S圆锥表=πr2+πr．

（3）圆台的侧面积：圆台的表面积：．
要点二、柱体、锥体、台体的体积
1．柱体的体积公式
棱柱的体积：棱柱的体积等于它的底面积S和高h的乘积，即V棱柱=Sh．
圆柱的体积：底面半径是r，高是h的圆柱的体积是V圆柱=Sh=πr2h．
综上，柱体的体积公式为V=Sh．
2．锥体的体积公式
棱锥的体积：如果任意棱锥的底面积是S，高是h，那么它的体积．
圆锥的体积：锥体的体积公式为．
要点三、球的表面积和体积
1．球的表面积
（1）球面不能展开成平面，要用其他方法求它的面积．
（2）球的表面积
设球的半径为R，则球的表面积公式 S球=4πR2．
即球面面积等于它的大圆面积的四倍．
2．球的体积
设球的半径为R，它的体积只与半径R有关，是以R为自变量的函数．
球的体积公式为．
【例1】已知正四棱锥底面正方形的边长为4 cm，高与斜高的夹角为30°，如下图，求正四棱锥的侧面积和表面积．
【思路点拨】利用正棱锥的高、斜高、底面边心距组成的直角三角形求解，然后代入公式。
【答案】32 cm2 48cm2
【解析】 正四棱锥的高PO，斜高PE，底面边心距OE组成Rt△POE．
∵OE=2 cm，∠OPE=30°，∴．
因此，
S表面积=S侧+S底=32+16=48（cm2）．
【变式1】已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体S-ABC，求它的表面积。
【答案】
【例2】一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则这个几何体的体积为 m3
【答案】
【解析】 由三视图可知这个几何体是由一个圆锥和一个长方体组成的．
其体积为等于圆锥的体积与长方体的体积之和．
即
=（m3）
【变式2】 某几何体的三视图如图所示，则它的体积是
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由三视图可知，其几何体是由一个正方体挖去一个圆锥
所得，所以其体积是正方体的体积减去圆锥的体积之差，即
【例3】求体积为的正方体的外接球的表面积和体积．
【答案】
如图，以正方体的对角面作球的截面，则球心为的中点，设正方体的棱长为，则，而
【变式3】设长方体的长、宽、高分别为，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 。
A． B． C． D．
【答案】B
【空间几何体的直观图——斜二测画法】
___正六面形的斜二测画法示意图 1：在已知图形中取互相垂直的轴Ox、Oy，（即取 ）；
2：画直观图时，把它画成对应的轴，取，它们确定的平面表示水平平面；
3：在坐标系中画直观图时，已知图形中平行于数轴的线段保持平行性不变，平行于x轴（或在x轴上）的线段保持长度不变，平行于y轴（或在y轴上）的线段长度减半。
结论：一般地，采用斜二测法作出的直观图面积是原平面图形面积的倍.
【例4】用斜二测画法画出下列图形的直观图(不写画法)．、
【例5】如图，正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的周长是(　 　) A．8 cm B．6 cm C．2(1＋) cm D．2(1＋) cm

【答案】A[根据直观图的画法，原几何图形如图所示，四边形OABC为平行四边形，OB＝2，OA＝1，AB＝3，从而原图周长为8 cm．]
【变式5】如图是△AOB用斜二测画法画出的直观图，则△AOB的面积是_______．
[答案]　16
[解析]　由图易知△AOB中，底边OB＝4，
又∵底边OB的高为8，
∴面积S＝×4×8＝16.
【空间内平面的相关公理】
要点一、平面的基本性质
1.公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内；
符号语言表述：，，，；
图形语言表述：
要点诠释：
公理1是判断直线在平面内的依据.证明一条直线在某一平面内，只需证明这条直线上有两个不同的点在该平面内．“直线在平面内”是指“直线上的所有点都在平面内”．
2.公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面；
符号语言表述：、、三点不共线有且只有一个平面，使得，，；
图形语言表述：
公理2的推论：
①过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面；
②过两条相交直线，有且只有一个平面；
③过两条平行直线，有且只有一个平面.
3.公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线；
符号语言表述：且；
图形语言表述：
要点诠释：
公理3的作用是判定两个平面相交及证明点在直线上的依据.
【例6】判断下列说法是否正确，并说明理由：
（1）一点和一条直线确定一个平面；
（2）经过一点的两条直线确定一个平面：
（3）两两相交的三条直线确定一个平面；
（4）首尾依次相接的4条线段在同一平面内．
【答案】不正确 正确 不正确 不正确
【变式6】在空间内，可以确定一个平面的是（ ）
A．两两相交的三条直线 B．三条直线，其中的一条与另外两条直线分别相交
C．三个点 D．三条直线，它们两两相交，但不交于同一点
【答案】 D
【例7】如右图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，判断下列命题是否正确，并说明理由．
（1）直线AC1在平面CC1B1B内；
（2）设正方形ABCD与正方形A1B1C1D1的中心分别为O、O1，则平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线为OO1；
（3）由点A、D、C可以确定一个平面；
（4）由点A、C1、B1确定的平面为ADC1B1；
（5）由点A、C1、B1确定的平面与由点A、C1、D确定的平面是同一个平面．
【解析】（1）错误．因为点A平面CC1B1B，所以AC1不在平面CC1B1B内．
（2）正确．因为点O∈直线AC，直线AC平面AA1C1C，所以点O∈平面AA1C1C．同理，点O1∈平面AA1C1C，所以直线OO1平面AA1C1C．同理，直线OO1平面BB1D1D．故OO1为平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线．
（3）错误．因为点A、O、C在同一直线上，故不能确定—个平面
（4）正确．因为点A、C1、B1不共线，故可确定一个平面，又AD∥B1C1，所以点D∈平面AB1C1，故由点A、C1、B1确定的平面为ADC1B1．
（5）正确．因为点A、C1、B1确定的平面为平面ADC1B1，而由点A、C1、D确定的平面也是平面ADC1B1，故它们确定的是同一个平面．
要点三、证明点线共面
所谓点线共面问题就是指证明一些点或直线在同一个平面内的问题．
1．证明点线共面的主要依据：
（1）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内（公理1）；②经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（公理2及其推论）．
2．证明点线共面的常用方法：
（1）纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内；（2）辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面a、β重合；（3）反证法．
3．具体操作方法：
（1）证明几点共面的问题可先取三点（不共线的三点）确定一个平面，再证明其余各点都在这个平面内；
（2）证明空间几条直线共面问题可先取两条（相交或平行）直线确定一个平面，再证明其余直线均在这个平面内．
【例8】已知直线a∥b，直线与a，b都相交，求证：过a，b，有且只有一个平面．
证明 证法一：如下图所示．由已知a∥b，所以过a，b有且只有一个平面．设，，∴A∈，B∈，且A∈，B∈，∴．即过a，b，有且只有一个平面．

证法二：由已知可设，．
∵，过与a有且只有一个平面．
∵a∥b，∴过a，b有且只有一个平面，
∴B∈，B∈，，．
又Ba，∴平面与重合．
即a∥b，．，过a，b，有且只有一个平面
要点四、证明三点共线问题
所谓点共线问题就是证明三个或三个以上的点在同—条直线上．
1．证明三点共线的依据是公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们还有其他的公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线．也就说一个点若是两个平面的公共点，则这个点在这两个平面的交线上．
对于这个公理应进一步理解下面三点：①如果两个相交平面有两个公共点，那么过这两点的直线就是它们的交线；②如果两个相交平面有三个公共点，那么这三点共线；③如果两个平面相交，那么一个平面内的直线和另一个平面的交点必在这两个平面的交线上．
2．证明三点共线的常用方法
方法1：首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点．根据公理3知，这些点都在交线上．
方法2：选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在其上．
【例9】如下图，已知△ABC的三个顶点都不在平面内，它的三边AB、BC、AC延长后分别交平面 于点P、Q、R．求证：P、Q、R在同一条直线上．
证明 由已知AB的延长线交平面于点P，根据公理3，平面ABC与平面必相交于一条直线，设为L．
∵P∈直线AB，
∴P∈平面ABC．
又AB∩=P， ∴P∈平面，
∴P是平面ABC与平面的公共点．
∵平面ABC∩=，∴P∈，
同理，Q∈，R∈．
∴点P、Q、R在同一条直线上．
【变式9】已知E,F,G,H分别是空间四边形各边AB，AD，BC，CD上的点，且直线EF与GH交于点P．求证：B，D，P在同一直线上．
【解析】
要点五、证明三线共点问题
【例10】所谓线共点问题就是证明三条或三条以上的直线交于一点．
1．证明三线共点的依据是公理3．
2．证明三线共点的思路：先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上的问题．
如下图，在三棱锥S-ABC的边SA、SC、AB、BC上分别取点E、F、G、H，若EF∩GH=P，求证：EF、GH、AC三条直线交于一点．
证明：∵E∈SA，SA平面SAC，F∈SC，SC平面SAC，
∴EF平面SAC．
∵G∈AB，AB平面ABC，H∈BC，BC平面ABC，
∴GH平面ABC，
又∵EF∩GH=P，∴P∈平面SAC，P∈平面ABC．
∵平面SAC∩平面ABC=AC，∴P∈AC．
即直线EF、GH、AC共点于P．
【空间内点线面的平行关系】
要点一、直线和平面平行的判定
文字语言：直线和平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.简记为：线线平行，则线面平行.
图形语言：
符号语言：、，.
要点二、两平面平行的判定
文字语言：如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.
图形语言：
符号语言：若、，，且、，则
要点三、判定平面与平面平行的常用方法
1．利用定义：证明两个平面没有公共点，有时直接证明非常困难，往往采用反证法．
2．利用判定定理：要证明两个平面平行，只需在其中一个平面内找两条相交直线，分别证明它们平行于另一个平面，于是这两个平面平行，或在一个平面内找到两条相交的直线分别与另一个平面内两条相交的直线平行．
3．平面平行的传递性：即若两个平面都平行于第三个平面，则这两个平面互相平行．
4.有关平行的几何性质：中点大法（等分线），平行传递性原理，垂直原理，平行四边形
【例11】已知AB，BC，CD是不在同一平面内的三条线段，E，F，G分别是AB，BC，CD的中点，求证：AC//平面EFG， BD//平面EFG．
【解析】 欲证明AC∥平面EFG，根据直线和平面平行的判定定理，只需证明AC平行于平面EFG内的一条直线，如右图可知，只需证明AC∥EF．
证明：如右图，连接AC，BD，EF，GF ，EG．
在△ABC中，E，F分别是AB，BC的中点，∴AC∥EF，
又AC平面EFG，EF平面EFG，
于是AC∥平面EFG．
同理可证BD∥平面EFG．
【变式11】（1）已知有公共边AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不在同一个平面内，P、Q分别为对角线AE、BD上的点，且AP=DQ，如右图．求证：PQ∥平面CBE．
证明：作PM∥AB交BE于点M，QN∥AB交BC于点N，则PM∥QN．
∴，．
∵AP=DQ，∴EP=BQ．
又∵AB=CD，EA=BD，
∴PMQN．
∴四边形PMNQ是平行四边形．
∴PQ∥MN．
综上，PQ平面CBE，MN平面CBE，
又∵PQ∥MN，∴PQ∥平面CBE．
（2） 已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E、F分别为AB、PD的中点，求证：AF∥平面PEC.
【解析】证明线面平行，根据判定定理，作出平行四边形，利用平行四边形的性质，证明平面外直线与平面上的直线平行.
证明：设PC的中点为G，连接EG、FG．
∵F为PD中点，∴GF∥CD且GF=CD．
∵AB∥CD，AB=CD，E为AB中点，
∴GF∥AE，GF=AE，四边形AEGF为平行四边形．
∴EG∥AF，
又∵AF平面PEC，EG平面PEC，∴AF∥平面PEC．
【例12】如右图，已知正方体ABC D—A1B1C1D1，求证：平面AB1D1∥平面BDC1．
【解析】要证明两个平面平行，由面面平行的判定定理知：须在某一平面内寻找两条相交且都与另一平面平行的直线．
证明：∵ABA1B1，C1D1A1B1，∴ABC1D1，
∴四边形ABC1D1为平行四边形，∴AD1∥BC1．
又AD1平面AB1D1，BC1平面AB1D1，
∴BC1∥平面AB1D1．
同理，BD∥平面AB1D1，
又BD∩BC1=B，∴平面AB1D1∥平面BDC1．
【变式12】如右图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、B1C1、C1D1的中点．
求证：平面AMN∥平面EFDB．
证明：连接MF，
∵M、F分别是A1B1、C1D1的中点，且四边形A1B1C1D1为正方形，
∴MFA1D1．
又A1D1AD，∴MFAD，
∴四边形AMFD是平行四边形，∴AM∥DF．∵DF平面EFDB，AM平面EFDB，
∴AM∥平面EFDB．
同理，AN∥平面EFDB．
又AM、AN平面AMN，且AM∩AN=A，
∴平面AMN∥平面EFDB．
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