山东省诸城繁华中学2012届高三下学期假期学习效果检测考试数学（理）试题

本试题卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．
第I卷(选择题 共60分)
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分。）
1．已知集合，则 ( )
A． B． C． D．
2．若，且，则向量与的夹角为 ( )
A 30° B 60° C 120° D 150°
3．设则 是“”成立的 ( )
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既非充分也非必要条件
4．已知命题P：“”，则命题P的否定为
A. B.
C. D.
5．设函数的导函数，则的值等于(　 )
A. B. C. D.
6．函数是（ ）
A. 最小正周期为的奇函数
B. 最小正周期为的奇函数
C. 最小正周期为的偶函数
D. 最小正周期为的偶函数
7．已知一个空间几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是　　　　　　　　　　　　　 （ ）
A． B． C． D．
8.若直线垂直，则（ ）
A．2 B. C. D.0或2
9．已知数阵中，每行的三个数依次成等差数列，每列的三个数
也依次成等差数列，若，则所有这九个数的和为( )
A. 16 B. 32 C. 36 D.4021世纪教育网
10．设双曲线的一条渐近线与抛物线的一个交点的横坐标为，则双曲线C的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．已知集合
若存在，使得，则的最大值是 ( )
A． B． C. D.
12．已知函数的定义域是[a，b]（a，b∈Z），值域是[0，1]，则满足条件的整数对（a，b）共有（ ）
A．2个 B．5个 C．6个 D．无数个
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．答案须填在题中横线上．
13．已知函数_______________.
14.右面的程序框图输出的数值为____________.
15 ．已知平面和直线，给出条件：
①；②；③；
④；⑤.
（i）当满足条件 时，有；
（ii）当满足条件 时，有.
（填所选条件的序号）
16．抛物线的焦点为F，准线为l，点是抛物线上一点，则经过点F，M且与l相切的圆共有_________个.
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
已知的三个内角A、B、C所对的边分别为,向量
，且 ．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若，试判断取得最大值时形状．
18．（本题满分12分） 如图，在正三棱柱中， 是的沿长线上一点，过三点的平面交于，交于 21世纪教育网
（Ⅰ）求证：∥平面；
（Ⅱ）当平面平面时，求的值.
19.（本小题满分12分）某地方政府准备在一块面积足够大的荒地上建一如图所示的一个矩形综合性休闲广场，其总面积为3000平方米，其中场地四周（阴影部分）为通道，通道宽度均为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小场地形状相同），塑胶运动场地占地面积为平方米.
（1）分别写出用表示和用表示的函数关系式（写出函数定义域）；
（2）怎样设计能使S取得最大值，最大值为多少？
20（本小题满分12分）
设曲线在点处的切线与y轴交于点.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求.
21．已知椭圆的左、右焦点分别为，， 点是椭圆的一个顶点，△是等腰直角三角形．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点分别作直线，交椭圆于，两点，设两直线的斜率分别为，，且，证明：直线过定点（）．
21世纪教育网
22．（本小题满分14分）
已知函数，其定义域为（）.
（Ⅰ）试确定的取值范围,使得函数在上为单调函数；
（Ⅱ）求证：对于任意的,总存在，满足,并确定这样的的个数.
2011-2012学年度高三假期学习效果检测考试数学（理科）答案
一、选择题：BCCCA BCDCB CB
二、填空题： 13.4 14.126 15..③⑤, ②⑤ 16.2
三、解答题
（Ⅱ）在，
。………………8分
，
即,………………10分
又由（Ⅰ）知
故取得最大值时，为等边三角形．………………12分
18. （Ⅰ）因为∥，在平面外，所以∥平面；…………2分
是平面与平面的交线，所以∥，故∥；…………4分
而在平面外，所以∥平面……6分
注：不写“在平面外”等条件的应酌情扣分；向量方法按建系、标点、求向量、算结果这四个步骤是否正确来评分.
（Ⅱ）解法一：取中点、中点则由∥知在同一平面上，并且由知而与（Ⅰ）同理可证平行于平面与平面的交线，因此，也垂直于该交线，但平面平面，所以平面，…………8分
于是，∽
…………10分
即…………12分
注：几何解法的关键是将面面垂直转化为线线垂直，阅卷时应注意考生是否在运用相关的定理.
（Ⅱ）解法二：如图，取中点、中点. 以为原点，为轴、为轴、为轴建立空间直角坐标系.
则在平面中,，向量
设平面的法向量，则由即
得……………………8分
在平面中,，向量
设平面的法向量，由
得…10分
平面平面，，即………………12分
注：使用其它坐标系时请参考以上评分标准给分
(Ⅱ)=3030-2×300=2430…………（10分）
当且仅当,即时，“”成立，此时 .
即设计x=50米，y=60米时，运动场地面积最大，最大值为2430平方米. …………(12分)
20解：（1）, ………………………… 1分
∴点P处的切线斜率, ………………………… 2分
∴切线方程为:, ………………………… 4分
令得: ,
故数列的通项公式为:. ………………………………… 6分
(2) --①
两边同乘得: -②8分
①②得: ………9分
∴ ……………………12分
（Ⅱ）若直线的斜率存在，设方程为，依题意．
设，，
由 得 ． ………6分
则． 由已知，
所以，即． ………8分
所以，整理得 ．
故直线的方程为，即（）．
所以直线过定点（）． ………10分[来源:21世纪教育网]
若直线的斜率不存在，设方程为，[21世纪教育网
设，，由已知，
得．此时方程为，显然过点（）．
综上，直线过定点（）． ………12分
22. 解：（Ⅰ）因为……2分
由；由,所以在上递增,在上递减……4分
要使在上为单调函数,则……6分
①当时,,所以在上有解,且只有一解……9分
②当时,,但由于,
所以在上有解,且有两解……10分
③当时,,所以在上有且只有一解；
当时,,
所以在上也有且只有一解……12分
综上所述, 对于任意的,总存在,满足,
且当时,有唯一的适合题意；当时,有两个适合题意.……14分
（说明:第（Ⅱ）题也可以令,,然后分情况证明在其值域内,并讨论直线与函数的图象的交点个数即可得到相应的的个数）