五年级上册数学教案-7 数学广角——植树问题 -人教版

“植树问题(两端要栽)”教学设计
教学内容：《义务教育教科书
数学》（人教版）五年级上册第106页的例1及第107页的做一做。
教学目标
1.引导学生通过观察、猜测、试验、推理等活动，初步体会在一条线段两端栽树的植树问题的模型思想。
2.通过画线段图初步培养学生探索解决问题有效方法的能力。
3.让学生尝试用植树问题的方法来解决实际生活中的简单问题，体会简单的化归、数形结合、一一对应、模型、推理等数学思想，培养学生借助图形解决问题的意识和解决实际问题的能力。
学情和教材分析
1.教材分析
《义务教育教科书
数学》（人教版）五年级上册第7单元“数学广角——植树问题”单元，旨在向学生渗透有关植树问题的诸如简单的化归、数形结合、一一对应、模型、推理等思想方法。其中，例1是关于一条线段上的植树问题并且两端都要栽树的情况，让学生在解决这个问题的过程中发现规律，找到解决问题的有效方法，经历解决问题的过程。
教材从具体到抽象，从特殊到一般，呈现分析、思考、解决问题的全过程。教材先由一个男孩说出容易出错的想法“每隔5m栽一棵，共栽100÷5＝20（棵）”，接着由“对吗？检验一下”引出解决问题常用的方法——从简单的情况入手解决复杂的问题，渗透简单的化归思想。然后呈现同学们用示意图和线段图分析问题的过程。通过画图先解决20m和25m的植树情况，并从中发现它们共同的规律：栽树的棵数比间隔数多1，接下来应用所发现的规律猜想30m和35m的植树情况，并加以验证。最后，引导学生概括出一条线段两端栽树的植树问题的一般规律，并据此解决数据更大的问题。
2.学情分析
（1）起点。
知识基础：学生在二年级上册第1单元“长度单位”中学会了画给定长度的线段，并在后续学习中学习过根据题意画线段图；在二年级下册第2单元“表内除法（一）”中学均分，并在后续学习中对平均分中的总数、份数、每份数有比较深刻的认识，已经建构了平均分的基本模型：总数÷份数＝每份数。
生活经验：学生对手指、桌椅摆放、摆花盆、路灯、电线杆、植树等含有间隔的情况有一定的生活感知，但还没有建构间隔、间隔长度、间隔数、棵数等这些相关的数学概念，对总长、间隔长度与间隔数之间的关系，棵数与间隔数之间的关系还处于空白状态。
（2）终点。
引导学生通过观察、猜测、试验、推理等活动，借助示意图和线段图，初步体会在一条线段两端栽树的植树问题的模型思想，体会简单的化归、数形结合、一一对应、模型、推理等数学思想，培养学生借助图形解决问题的意识和解决实际问题的能力。
3.过程与方法。
本节课的教学，旨在从数学思想方法的角度出发把握重点、突破难点，更多地关注过程性和情感态度目标，把教学的重心放在激发学生积极参与、独立思考、与同伴合作交流，经历探索知识的形成过程和对数学思想方法的感悟上。着重观察学生对思想方法是否有所感悟、是否能够数学地思维，进而能够形成解决问题的比较优化的策略。不过于强调学生对两端要栽植树问题中棵数与间隔数之间规律的记忆，而是重在培养学生思维的灵活性，即如何能够依据基本模型并通过适当变化以适应变化了的情况。给予学生足够的时间和空间经历观察、猜测、计算、推理、验证等活动过程，使学生成为学习的主体——乐学、慧学、优学，教师成为学生学习的组织者、引导者与合作者——精讲、善导、巧评，做到学生学与教师教的统一。其教学流程是“创设情境，激活认知→合作探究，发现规律→深化规律，拓展延伸
→回顾反思，提炼升华”。在“合作探究，发现规律”环节，首先引发学生的认知冲突，然后让学生通过独立思考、主动探索、与同伴合作交流等方式，经历分析、思考、解决问题的全过程，探索出从简单的情形入手、画线段图等解决植树问题的方法和策略，从中发现两端要栽植树问题棵数和间隔数之间的规律，进而运用规律解决例1的问题。在“深化规律，拓展延伸”环节，沟通路灯问题、车站问题、排队问题、爬楼问题、插旗问题等与植树问题之间的联系，即这些问题都有着相同的数学结构，可以归结为同一个数学模式，统称为“分隔问题”。
教学重点：探索并发现关于一条线段两端栽树的植树问题中棵数与间隔数之间的关系，并能运用规律解决实际问题。
教学难点：让学生理解从实际问题中抽象出数学模型的过程。
教学过程
第一学时
教学活动
活动1【导入】一、创设情境，激活认知
师：同学们，学数学要心灵手巧。请张开你的右手，你能发现哪些数？
师：5指4空，这里的“空”，用数学语言表达叫做间隔。间隔数和手指数有什么关系？这是猪八戒的耙子有9个齿有几个间隔？这是农民伯伯的竹耙有32个间隔有几个齿？如果外星人有99个脚趾头有几个间隔？请拿出你的直尺观察，从0到20有几个1厘米长的间隔有几条较长的刻度线？
师：其实，这里的手指、钉耙、竹耙、脚趾，它们都有一个共同的特点，都像直尺一样含有间隔，存在间隔数与分割点数之间的关系，这类问题在数学上统称为植树问题。这节课，我们一起来研究“植树问题”。
【设计意图：通过让学生观察手指，激活学生对手指数与间隔数之间关系的认知，初步建构间隔、间隔数概念。继而出示猪八戒的钉耙、农民伯伯的竹耙、外星人的脚趾让学生分别判断其间隔数或齿数的多少。再出现直尺，将上述东西抽象成直尺上的间隔长度、间隔数、分割点数，让学生明了对间隔数和分割点数之间关系的认知，激发其探究植树问题的欲望。】
活动2【讲授】二、合作探究，发现规律
（一）引发冲突
1.理解题意
出示例1：同学们在全长100m的小路一边植树，每隔5m栽一棵(两端要栽)。一共要栽多少棵树?
师：现在请你边读题找出数学信息。在哪里植树？怎样栽？有哪些条件？“每隔5m栽一棵”这“5m”是指什么？要求什么问题？
教师根据学生的回答相机板书“100m”“5m”“?棵”及相应的简短的说明“全长”“间隔长度”“棵数”。
2.猜想结果
师：请你猜一猜要栽多少棵树？
学生猜，教师板书学生猜的结果。
3.验证结果
师：究竟谁猜的结果是正确的呢？请同学们想办法验证。
学生验证。
4.交流感受
师：同学们，在验证的过程中你有什么感受？
【设计意图：让学生理解题意后猜想一共要栽多少棵树，然后让他们自主探索、动手验证自己的猜想是否正确，再交流验证的感受，让学生反思探索过程，产生累、麻烦、浪费时间的感受，从而引发认知冲突，激发其寻求更简单的解决问题方法的欲望。】
（二）探究规律
1.化繁为简
师：是啊，100m太长了，可以先用简单的数试试，待找出规律后再来解决100m上植树的问题。
2.探究20m的植树情况
师：在全长20m的小路一边植树，每隔5m栽一棵(两端要栽)。一共要栽多少棵树？
学生独立解决，然后交流。
3.探究25m的植树情况
要求学生以最简洁的方式使人一眼就能看出植树的棵数。
4.发现规律
师：你发现了什么规律？
【设计意图：授人于鱼，不如授人于渔。通过学生自己的感悟，体会从简单情形入手、化繁为简的学习方法，把过程与方法结合起来。这样不仅可以发展学生的思维能力，而且也能增强他们的实践能力。】
（三）运用规律
1.解决30m、35m的植树情况
师：不画图，你知道30m、35m要栽几棵树吗？
2.解决100m的植树情况
师：请大家应用这个规律，解决前面遇到的100m的植树问题，验证你的猜想是否正确？
3.总结规律
师：你们真了不起，发现了在一条线段两端栽树的植树问题的一个非常重要的规律：全长÷间隔长度＝间隔数，棵数＝间隔数＋1。厉害！从简单的例子中找到规律，再用规律解决难题，这是一种非常好的学习数学的方法。
【设计意图：通过让学生画图、全班交流，从简单、个别的例子出发，逐步过渡，丰富学生的感性认识，从而构建在路的一边两端要栽植树问题的数学模型，继而应用这模型解决例1的问题，使学生在辨析中明确全长、间隔长度和间隔数之间的关系，棵数与间隔数之间的规律，并为应用规律打下基础。】
活动3【练习】三、深化规律，拓展延伸
（一）我会算
1.解决1000m的植树情况
师：如果路再长一点，比如在全长1000m的小路一边植树，每隔10m栽一棵(两端要栽)。一共要栽多少棵树？
2.路灯问题
第107页做一做的第1题：在一条全长2km的街道两旁安装路灯（两端也要安装），每隔50m安一盏。一共要安装多少盏路灯？
【设计意图：将规律应用于更大的数据，让学生深化对全长、间隔长度与间隔数三者之间的关系，棵数与间隔数之间规律的认识，初步体会应用模型解决实际问题的意义。沟通路灯问题与植树问题的联系，让学生利用规律解决生活中“两端都安装”及“两旁都安装”的实际问题。】
（二）我会选
⒈5路公共汽车行驶路线全长12km，相邻两站之间的路程都是1km。一共设有多少个车站？正确的列式是（
）。
①12÷1
②12÷1+1
③12÷1－1
⒉同学们排队做操，每两个同学之间间隔2米，一列队伍有16个同学，这列队伍全长多少米？正确的列式是（
）。
①
16×2
②
16×2－1
③（16－1）×2
【设计意图：数学题型是无限的，但基本方法却是有限的；规律是容易忘记的，但方法和策略却是不需要记忆的。植树问题只是一个载体，一个提高学生解决问题能力的载体。将植树问题推广到车站问题、排队问题，进一步体会解决与植树问题有相同数学结构的一类问题的方法和策略，感悟数学模型的重要意义。】
（三）我会填
⒈教学楼每两层之间有20个台阶，李老师从一楼一口气上到了五楼，他一共走了（
）个台阶。
⒉一条笔直的50m长的跑道一旁插着51面彩旗，每两面彩旗之间的间隔长度是（
）米。
【设计意图：沟通爬楼问题、插旗问题与植树问题之间的联系，把教材内容与生活实际有机结合起来教学，不仅是解决一个问题，而是通过解决这一个问题沟通生活中类似的问题，获得更多研究问题的方法，使学生体会到数学就在身边，领悟到数学的魅力，感受到学习数学的乐趣。】
活动4【讲授】四、回顾反思，提炼升华
师：这个规律你记住了吗？
师：不！忘了它。今天记住了，但明天、后天、一个月、一年后，你还能记住吗？忘了规律怎么办？
师小结：方法比规律重要。
【设计意图：在回顾反思，提炼升华环节，让学生既回顾知识，又总结找规律的方法和策略。着眼点不是让学生记住解决某一类问题的模式，而是使他们积累解决问题的方法，真正提高其解决问题的能力。】
附板书设计
100m
5m
20
21
20m
4
5
25m
5
6
30m
6
7
35m
7
8
【设计意图：此板书对学生理解本节课的教学内容，突破本节课的教学重难点，起着很重要的作用，给人一目了然的感觉。】
所用教材内容