湖北省五校联考2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题 Word版含答案

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2020—2021学年下学期高一期中考试数学试题
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1.已知复数false，则false的虚部为（ ）
A.false B.falsefalse C.false D.false
2.已知集合false，集合false，则集合false等于（ ）
A.false B.false C.false D.false
3.设false是第三象限角，false为其终边上的一点，且false，则false（ ）
A.false B.false C.false D.false
4.在新冠肺炎疫情期间，某学校定期对教室进行药熏消毒.教室内每立方米空气中的含药量false（单位：毫克）随时间false（单位：小时）的变化情况如图所示.在药物释放的过程中，false与false成正比；药物释放完毕后，false与false的函数关系式为false（false为常数）.据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.2毫克以下时，学生方可进入教室.那么，从药物释放开始到学生能回到教室，至少在（ ）（参考数值false）
A. 42分钟后 B. 48分钟后 C. 50分钟后 D. 60分钟后
5.若false，false是夹角为60°的两个单位向量，则false与false的夹角为（ ）
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
6.在平行四边形false中，已知false，false，对角线false，则对角线false的长为（ ）
A.false B.false C.false D. 2
7.已知函数false是偶函数，当false时，false恒成立，设false，false，false，则false、false、false的大小关系为（ ）
A.false B.false C.false D.false
8.奔驰定理：已知false是false内的一点，false，false，false的面积分别为false，false，false，则false.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因此这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.设false为三角形false内一点，且满足：false，则false（ ）
A.false B.false C.false D.false
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.下列命题错误的是（ ）
A.有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱
B.长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体
C.相等的线段在直观图中仍然相等
D.平行的线段在直观图中仍然平行
10.在false中，角false，false，false所对的边分别为false，false，false，那么在下列给出的各组条件中，能确定三角形有唯一解的是（ ）
A.false，false，false B.false，false，false
C.false，false，false D.false，false，false
11.设false，false是复数，则下列命题中的真命题是（ ）
A.若false，则false B.若false，则false
C.若false，则false D.若false，则false
12.下列关于平面向量的说法中错误的是（ ）
A.若false，则存在唯一的实数false，使得false
B.已知向量false，false，且false与false的夹角为锐角，则false的取值范围是false
C.若false，则false
D.若点false为false的垂心，则false
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上。答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.
13.一个正方体的顶点都在球面上，且该正方体的表面积为false，则该球的表面积为________false.
14.已知false是虚数单位，则false________.
15.已知向量false，false，false，false，若false，则false的最小值为________.
16.如图，在扇形false中，false，半径false，false为弧false上一点，则false的最小值为________.
四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（10分）当false为何实数时，复数false是下列数？
（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数.
18.（12分）已知向量false，false.
（1）若向量false，且false，求false的坐标；
（2）若向量false与false互相垂直，求实数false的值.
19.（12分）在false中，角false，false，false所对的边分别为false，false，false，且false.
（1）求false；
（2）已知false，若false为false的中点，且false，求false的面积.
20.（12分）已知母线长为false的圆锥的侧面展开图为半圆.
（1）求圆锥的底面积；
（2）在该圆锥内按如图所示放置一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，求圆柱的体积.
21.（12分）如图：某快递小哥从false地出发，沿小路false以平均时速30公里/小时，送快件到false处，已知false（公里），false，false，falseS是等腰三角形，false.
（1）试问，快递小哥能否在30分钟内将快件送到false处？
（2）快递小哥出发5分钟后，快递公司发现快件有重大问题，由于通讯不畅，公司只能派车沿大路false追赶，若汽车平均时速60公里/小时，问汽车能否先到达false处？（参考数据：false，false）
22.（12分）已知向量false，false，false.
（1）当false时，求false的值域；
（2）是否同时存在实数false和正整数false，使得函数false在false上恰有2021个零点？若存在，请求出所有符合条件的false和false的值；若不存在，请说明理由.
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2020—2021学年下学期高一期中考试数学参考答案
一、单选题（每题5分，共40分）
1
2
3
4
5
6
7
8
C
A
C
B
C
A
A
D
二、多选题（每题5分，共20分）
9
10
11
12
ABC
BD
ABC
ABC
三、填空题（每题5分，共20分）
13.false 14.false 15.2 16.false
四、解答题（共70分）
17.（10分）解：false
false
（1）由false得false或false，
即false或false时，false为实数.
（2）由false得false或false，
即false或false时，false为虚数.
（3）由false得false，
即false时，false为纯虚数.
18.（12分）解：（1）设false
因为false，所以false，
因为false，所以false，
解得false或false，
所以false或false.
（2）因为向量false与false互相垂直
所以false，即false，
而false，false，所以false，false，
因此false，解得false.
19.（12分）解：因为false，
由正弦定理得false，
即false，
所以false，
因此在false中，false，所以false，
因为false，所以false.
（2）因为false为false的中点，则false两边平方得，
false
因为false，false，所以false，
解得false或false（舍去），
所以false的面积为false.
20.（12分）解：（1）沿母线false剪开，侧面展开图是以false为半径的半圆
设false，在半圆false中，false，弧长为false，
这是圆锥的底面周长，所以false，
所以false，
故圆锥的底面积为false.
（2）设圆柱的高false，false，
在false，false，
∵false，所以false，即false，
false，
false，
false，
所以，当false，false时，圆柱的侧面积最大，
此时false.
21.（12分）解：（1）在false中，false，false，则false
由正弦定理得false，所以false（公里）
又因为false（分钟）
所以快递小哥能在30分钟内将快件送到false处.
（2）在false中，由余弦定理
false得false（公里）
由（1）知false（公里）
又因为false（分钟）
所以汽车不能先到达false处.
22.（12分）解：
（1）∵false
false
false
又∵false，∴false
∴false，∴false
（2）假设同时存在实数false和正整数false满足条件，
函数false在false上恰有2021个零点，
即函数false与直线false在false上恰有2021个交点.
当false时，false
由函数false在区间false上的图象可知：
①当false或false时，函数false与直线false在false上无交点
②当false时，函数false与直线false在false上仅有一个交点，此时要使函数false与直线false在false上有2021个交点，则false.
③当false或false时，函数false与直线false在false上有两个交点，此时函数false与直线false在false上有偶数个交点，不符合条件
④当false时，函数false与直线false在false上有3个交点，此时要使函数false与直线false在false上有2021个交点，则false.
综上所述，存在实数false和正整数false满足条件：
当false时，false；当false时，false.