其他版 高中二年级 直线与平面垂直的判定

(共22张PPT)
直线与平面垂直的判定
直线与平面
垂直的判定
定义
定理
例题
如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内过交点的任何直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直，直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面，交点叫做垂足。垂线上任一点到垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段。
如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的任何一条直线垂直。
a
l
l ⊥a
g
l ⊥g
A
B
定理： 如果一条直线和平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面
m
n
l
B
证法2
a
l
定理： 如果一条直线和平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面
B
g
m
n
分析：在a 内平移m 、n ，使它们都通过点B，这时l仍保持和m、n垂直。在平面内过点B 引任一条不与m 、n 重合的直线g 。如果我们能根据 l⊥m ，且l⊥n ，推出l⊥ g ，那么就证明了直线l与过点B的所有直线都垂直，即l ⊥ a
a
已知：m、n是平面内的两条相交直线，直线l与a的交点为B，且l ⊥ m, l ⊥ n
求证：l ⊥ a
证明：在a上分别取非零向量m、n、g，因m与n相交，由平面向量基本定理可知，存在唯一数对(x，y),使g=x·m+y·n
因为：l ⊥ m, l ⊥ n
所以l·m=0,l·n=0
所以l·g=0
这就是说l垂直于平面内过点B的
任一直线，即l ⊥ a
m
n
g
l
B
B
A
A’
m
n
g
c
D
E
分析：在直线l上 分别截取BA=BA’，于是m、n都是线段的垂直平分线，它们上面的点到A、A’的距离相等，如果我们能证明g上的点到A、A’的距离也相等，那么g也是AA’的垂直平分线，于是就证明了l垂直于平面内的任何直线。
B
A
A’
m
n
g
C
D
E
证明：在g上任取一
点E，过点E在α内
引不通过点B的直
线，分别与m、n相
交于点C、D。连结
AC、A’C、AD、
A’D、AE、A’E。
则有AC=A’C，
AD=A’D。
B
A
A’
m
n
g
C
D
E
证明：在g上任取一点E，过点E在α内引不通过点B的直线，分别与m、n相交于点C、D。连结AC、A’C、AD、A’D、AE、A’E。则有AC=A’C，AD=A’D。所以△ACD≌△A’CD。所以∠ACE=∠A’CE。所以△ACE≌△A’CE。于是，得EA=EA’，所以g是AA’的垂直平分线。所以l⊥g。
B
m
n
g
C
D
E
A
A’
证明：在g上任取一点E，过点E在α内引不通过点B的直线，分别与m、n相交于点C、D。连结AC、A’C、AD、A’D、AE、A’E。则有AC=A’C，AD=A’D。所以△ACD≌△A’CD。所以∠ACE=∠A’CE。所以△ACE≌△A’CE。于是，得EA=EA’，所以g是AA’的垂直平分线。所以l⊥g。
A
A’
B
m
n
g
C
D
E
A
A’
证明：在g上任取一点E，过点E在α内引不通过点B的直线，分别与m、n相交于点C、D。连结AC、A’C、AD、A’D、AE、A’E。则有AC=A’C，AD=A’D。所以△ACD≌△A’CD。所以∠ACE=∠A’CE。所以△ACE≌△A’CE。于是，得EA=EA’，所以g是AA’的垂直平分线。所以l⊥g。
A
A’
E
例1 已知长方体ABCD—A’B’C’D’。求与直线AA’垂直平面
问：1、与直线AB垂直的平面 2、与直线B’C’垂直的平面
B’
C’
A
B
D
A’
D’
C
平 面 A DD ’A ’和 平 面 B C’ C ’B
平面DCC’D’和平面ABB’A’
答案1
答案2
例2 有一旗杆高8米，它的顶端A挂一条长为10米的绳子，拉紧绳子并把它的下端分别放在地面α上的两点C、D（和旗杆脚不在同一直线上）。如果这两点和旗杆脚B的距离都是6米.
求证：旗杆和地面垂直。
证明：在△ABC和△ABD中，因为AB=8m，BC=BD=6m，AC=AD=10m，所以AB2+BC2=62+82=102=AC2，AB2+BD2=62+82=102=AD2。所以∠ABC=∠ABD=900，即AB⊥BC，AB⊥BD。又知B、C、D三点不共线，所以AB⊥平面BCD。这就表明了旗杆和地面垂直。
A
B
D
C
返回3
(1)线面垂直的定义
(2)线面垂直的判定
垂直平面内两相交 直线
拿一张矩形的纸对折后略微展开,竖立在桌面上,说明折痕为什么和桌面垂直.
如果一条直线垂直于一个平面内的:
(1)三角形的两条边
(2)梯形的两条边
(3)圆的两条直径
试问这条直线是否与平面垂直