广东省韶关市2012届高三第一次调研考试数学（文）试题

2012届高三调研考试数学试题(文科)
本卷分选择题非选择题两部分，共4页，满分150分.考试用时间120分钟.
注意事项：
考生务必将自己的姓名、班级、学校用蓝、黑墨水钢笔签字笔写在答题卷上；
选择题、填空题每小题得出答案后，请将答案填写在答题卷相应指定位置上。答在试题卷上不得分；
3．考试结束，考生只需将答题卷交回.
4.　参考公式：
锥体的体积公式，其中是锥体的底面积，是锥体的高．
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知全集, 集合, , 则)
?A． B． C． D．
2．下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是 （ ）
?A． B． C． D．
3．如图所示的流程图中，输出的结果是
A．5 　　 B．20 　 C．60 　 D．120
4．三棱柱的直观图和三视图（主视图和俯视图是正方形，左视图是等腰直角三角形）如图所示, 则这个三棱柱的全面积等于
A． 　　 B． 　
C． 　 D．
5.设数列是等差数列, , , 则此数列前项和等于
A． B． C． D．
6. 函数的最小值是
A． 　 B． C． D．不存在　　　
7. 平面向量与的夹角为，，，则（ ）
A． B． C． D．
8. 椭圆的左焦点为, 点在椭圆上, 若线段的中点在轴上, 则
A． 　　 B． 　 C． 　 D．
9.已知，若向区域上随机投一点P，则点P落入区域A的概率为
A． 　　 B． 　 C． 　 D．
10. 对于,有如下四个命题:
①若 ,则为等腰三角形,
②若,则是直角三角形
③若,则是钝角三角形
④若, 则是等边三角形
其中正确的命题个数是
A． B． C． D．
二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．
11． 的值等于_______________________.
12．某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒
之间，将测试结果分成五组：每一组；第二组，…，
第五组．右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图
若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好，则该班在这次百
米测试中成绩良好的人数等于__________人.
13.对于函数，在使成立的所有常数中，我们把的最大值称为的＂下确界＂，则函数的＂下确界＂等于_________.
（注意：14、15题是选做题，只能做其中一个，两题全答只计前一题得分）
14．（坐标系与参数方程选做题）
在直角坐标系中, 以坐标原点为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系,则直线和截圆的弦长等于_______________.４
15．（几何证明选讲选做题）
已知圆的半径为，从圆外一点引切线和割线，
圆心到的距离为，，则切线的长为
____________.
三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．(本题满分12分)
已知函数.
（1）求的周期和单调递增区间；
（2）说明的图象可由的图象经过怎样变化得到.
17．(本题满分12分)
为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：
喜爱打篮球 不喜爱打篮球 合计
男生 20 5 25
女生 10 15 25
合计 30 20 50
（１）用分层抽样的方法在喜欢打蓝球的学生中抽６人，其中男生抽多少人？
（２）在上述抽取的６人中选２人，求恰有一名女生的概率.
（３）为了研究喜欢打蓝球是否与性别有关，计算出，你有多大的把握认为是否喜欢打蓝球与性别有关？
下面的临界值表供参考：
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
18．(本题满分14分)
如图所示，圆柱的高为2，底面半径为,AE、DF是圆柱的两条母线，过作圆柱的截面交下底面于.
（1）求证：；
（2）若四边形ABCD是正方形，求证；
（3）在（2）的条件下，求四棱锥的体积.
19． (本题满分14分)
已知函数，且数列是首项为，公差为2的等差数列.
(1)求证：数列是等比数列；
(2) 设，求数列的前项和的最小值..
20． (本题满分14分)
设抛物线的方程为，为直线上任意一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为,.
（1）当的坐标为时，求过三点的圆的方程，并判断直线与此圆的位置关系；
（2）求证：直线恒过定点.
21．(本题满分14分)
已知函数（a，b是不同时为零的常数），其导函数为.
（1）当时，若不等式对任意恒成立，求的取值范围；
（2）若函数为奇函数，且在处的切线垂直于直线，关于x的方程在上有且只有一个实数根，求实数t的取值范围.
2012届高三调研考试数学试题(文科)参考答案
说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．
2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．
一、选择题 DCDAB CBABA
二．填空题：11. , 12. , 13., 14.4 15.
三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．(本题满分12分)
已知函数.
（1）求的周期和单调递增区间；
（2）说明的图象可由的图象经过怎样变化得到.
解：（1） ……………………2分
=, ……………………5分
最小正周期为 ………………6分
由，
可得，
所以,函数的单调递增区间为 …………9分
(2)将的图象纵坐标不变, 横坐标综短为原来倍, 将所得图象向左平稳个单位, 再将所得的图象横坐标不变, 纵坐标为原来的倍得的图象. …………12分
17．(本题满分12分)
为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：
喜爱打篮球 不喜爱打篮球 合计
男生 20 5 25
女生 10 15 25
合计 30 20 50
（１）用分层抽样的方法在喜欢打蓝球的学生中抽６人，其中男生抽多少人？
（２）在上述抽取的６人中选２人，求恰有一名女生的概率.
（３）为了研究喜欢打蓝球是否与性别有关，计算出，你有多大的把握认为是否喜欢打蓝球与性别有关？
下面的临界值表供参考：
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
解：（１）在喜欢打蓝球的学生中抽６人，则抽取比例为
∴男生应该抽取人………………………………….４分
（２）在上述抽取的6名学生中, 女生的有2人，男生4人。女生2人记；男生4人为， 则从6名学生任取2名的所有情况为:、、、、、、、、、、、、、、共15种情况，其中恰有1名女生情况有：
、、、、、、、，共8种情况，
故上述抽取的６人中选２人，恰有一名女生的概率概率为. ………………….８分
（３）∵，且，
那么，我们有的把握认为是否喜欢打蓝球是与性别有关系的……….１２分
18．(本题满分14分)
如图所示，圆柱的高为2，底面半径为,AE、DF是圆柱的两条母线，过作圆柱的截面交下底面于.
（1）求证：；
（2）若四边形ABCD是正方形，求证；
（3）在（2）的条件下，求四棱锥的体积.
（1）证明：在圆柱中：
上底面//下底面，
且上底面∩截面ABCD＝，下底面∩截面ABCD＝
//……………………………………………………………………….２分
又AE、DF是圆柱的两条母线，
是平行四边形，所以，又//
…………………………………………………………………….５分
（2）AE是圆柱的母线，
下底面，又下底面，…………………………….７分
又截面ABCD是正方形，所以⊥，又
⊥面，又面，……………………………9分
（3）因为母线垂直于底面，所以是三棱锥的高……………………１０分，
EO就是四棱锥的高……………………10分
设正方形ABCD的边长为x,则AB=EF=x，
又，且，EF⊥BE, BF为直径，即BF＝
在中，
即
，……………………………………………………………１２分
………………………１４分　
19．(本题满分14分)
已知函数，且数列是首项为，公差为2的等差数列.
(1)求证：数列是等比数列；
(2) 设，求数列的前项和
(1) 证：由题意，即， ……２分
.
∴数列是以为首项，为公比的等比数列. ……６分
(2) 解：由(1)知，. …………8分
∴， ①
② ……10分
②－①，得
∴. ……１2分
因为是递增数列，所以的最小值等于……１４分
20．设抛物线的方程为，为直线上任意一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为,.
（1）当的坐标为时，求过三点的圆的方程，并判断直线与此圆的位置关系；
（2）求证：直线恒过定点；
解：(1)当的坐标为时，设过点的切线方程为，代入，整理得，
令，解得，
代入方程得，故得， ．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
因为到的中点的距离为，
从而过三点的圆的方程为．
易知此圆与直线相切. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
（2）证法一：设切点分别为,,过抛物线上点的切线方程为，代入，整理得
，又因为，所以．．．．．．．．．．．．．．．．6分
从而过抛物线上点的切线方程为即
又切线过点，所以得 ① 即．．．．8分
同理可得过点的切线为，
又切线过点，所以得 ② ．．．．10分
即．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
即点，均满足即，故直线的方程为 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
又为直线上任意一点，故对任意成立，所以，从而直线恒过定点 .．．．．．．．．．．．．．．．．．14分
证法二：设过的抛物线的切线方程为，代入，消去，得
即：．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
从而，此时，
所以切点的坐标分别为，．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
因为，，
，
所以的中点坐标为.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分
故直线的方程为，即.．．．．．．．．．．12分
又为直线上任意一点，故对任意成立，所以，从而直线恒过定点 .．．．．．．．．．．．．．．．．．14分
证法三：由已知得，求导得，切点分别为,，故过点的切线斜率为，从而切线方程为即
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分
又切线过点，所以得 ① 即．．．．．．．．８分
同理可得过点的切线为，
又切线过点，所以得 ② 即．．．．．．．．10分
即点，均满足即，故直线的方程为 ．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
又为直线上任意一点，故对任意成立，所以，从而直线恒过定点 .．．．．．．．．．．．．．．．．．14分
21．(本题满分14分)
已知函数（a，b是不同时为零的常数），其导函数为.
（1）当时，若不等式对任意恒成立，求b的取值范围；
（2）若函数为奇函数，且在处的切线垂直于直线，关于x的方程在上有且只有一个实数根，求实数t的取值范围.
解：（1）当时，，………１分
依题意　　即恒成立
，解得　
所以b的取值范围是…………………………………４分
（2）因为为奇函数，所以，所以，.又在处的切线垂直于直线，所以，即.…………………………………………………6分
在，上是单调递增函数，在上是单调递减函数，由解得，，……………………………7分
法一:如图所示，作与的图像，若只有一个交点，则
①当时，，
即，解得；
②当时，，
解得；
③当时，不成立；
④当时，，
即，解得；
⑤当时，，
解得；
⑥当时，.
………………………………………………………………………１３分
综上t的取值范围是或或.…………………１４分
法二：由.　　
作与的图知交点横坐标为，
当时，过图象上任意一点向左作平行于轴的直线与都只有唯一交点，当取其它任何值时都有两个或没有交点。
所以当时，方程在上有且只有一个实数根.
2012届高三调研考试文科数学答题卡
一．选择题答卷：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
二、填空题答卷：
11．________________________． 12．__________________________．
13．________________________． 14．________________________．
15．________________________
解答题共80分
16.(本题满分12分)
17.(本题满分12分)
18.(本题满分14分)
19. (本题满分14分)
20．(本题满分14分)
２1．(本题满分14分)
a=5，s=1
S=S×a
a=a－1
结束
a≥2
否
是
开始
输出s
（第３题图）
2
2
主视图
左视图
俯视图
2
（第15小题）
1
O
y
-1
x
x
y
-1
x
y
O
O
①
-1
t
②
-1
t
x
④
y
t
x
O
y
y
O
EMBED Equation.DSMT4
t
x