广东省韶关市2012届高三第一次调研考试数学（理）试题

2012届高三调研考试数学试题(理科)
本卷分选择题非选择题两部分，共4页，满分150分.考试用时间120分钟.
注意事项：
考生务必将自己的姓名、班级、学校用蓝、黑墨水钢笔签字笔写在答题卷上；
选择题、填空题每小题得出答案后，请将答案填写在答题卷相应指定位置上。答在试题卷上不得分；
3．考试结束，考生只需将答题卷交回.
4.　参考公式：
锥体的体积公式，其中是锥体的底面积，是锥体的高．
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．若集合是函数的定义域，是函数的定义域，则等于( )
A． B． C． D．
2．在复平面内，复数对应的点位于 （ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．下列命题正确的是（ ）
A． B．
C．是的充分不必要条件 D．若,则
4．为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩（如图），要测算两点的距离，测量人员在岸边定出基线，测得，，就可以计算出两点的距离为( )
A． B．
C． D.
5．已知等比数列中，各项都是正数，且成等差数列，则等于（ ）
A． B. C. D.
6．执行如图的程序框图，那么输出的值是（ ）
A． B． C．1 D．2
7．平面向量与的夹角为，，，
则（ ）
A． B． C． D．
8.设函数的定义域为，若存在非零实数满足，均有，且，则称为上的高调函数．如果定义域为的函数是奇函数，当时，，且为上的高调函数，那么实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二．填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．
（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答．
9. 展开式中含项的系数为 .
10. 某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒
之间，将测试结果分成五组：每一组；第二组，…，
第五组．右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图
若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好，则该班在这次百
米测试中成绩良好的人数是__________.
11. 已知的椭圆的两个焦点，若椭圆上一点满足，则椭圆的离心率
12.如图是边长为的为正方形的对角线，将绕
直线旋转一周后形成的几何体的体积等于
13．在平面中的角的内角平分线分面积所成的比, 将这个结论类比到空间：在三棱锥中，平面平分二面角且与交于,　则类比的结论为______________．
（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分．
14．（坐标系与参数方程选做题）
极坐标系中，圆：，则圆心到直线的距离是 ．
15．（几何证明选讲选做题）
已知圆的半径为，从圆外一点引切线和割线，
圆心到的距离为，，则切线的长为
____________.
三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．(本小题满分12分)
已知函数的最小正周期为.
（1）求的值；
（2）求函数的单调递增区间及其图象的对称轴方程。
17．(本小题满分12分)
为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：
喜爱打篮球 不喜爱打篮球 合计
男生 5
女生 10
合计 50
已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为．
（1）请将上面的列联表补充完整(不用写计算过程)；
（2）能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由；
（3）现从女生中抽取2人进一步调查，设其中喜爱打篮球的女生人数为，求的分布列与期望.
下面的临界值表供参考：
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
(参考公式：，其中)
18．(本小题满分14分)三棱柱的直观图及三视图（主视图和俯视图是正方形，左侧图是等腰直角三角形）如图，为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
（3）求二面角的正切值.
19．（本小题满分14分）
已知函数（为常数，），且数列是首项为，公差为的等差数列.
(1) 若，当时，求数列的前项和；
（2）设，如果中的每一项恒小于它后面的项，求的取值范围.
20．(本小题满分14分)设抛物线的方程为，为直线上任意一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为,.
（1）当的坐标为时，求过三点的圆的方程，并判断直线与此圆的位置关系；
（2）求证：直线恒过定点；
（3）当变化时，试探究直线上是否存在点，使为直角三角形，若存在，有几个这样的点，若不存在，说明理由.
21．(本小题满分14分)已知函数（，是不同时为零的常数），其导函数为.
（1）当时，若不等式对任意恒成立，求的取值范围；
（2）求证：函数在内至少存在一个零点；
（3）若函数为奇函数，且在处的切线垂直于直线，关于的方程在上有且只有一个实数根，求实数的取值范围.
2012年韶关市高三年级调研考试
数学（理科）参考答案和评分标准
一、选择题：
二、填空题：
9．1， 10. ， 11. ， 12. ， 13. ， 14. ，　　　　　
15.
三、解答题：
16．(本小题满分12分)
解：（1） ……………………2分
=, ……………………3分
因为最小正周期为,所以，解得, ………………4分
所以, ……………… 5分
所以. ……………6分
（2）由，
可得， ……………8分
所以,函数的单调递增区间为 …………9分
由得.
所以，图象的对称轴方程为. …………………12分
17．(本小题满分12分)
解：(1) 列联表补充如下：----------------------------------------3分
喜爱打篮球 不喜爱打篮球 合计
男生 20 5 25
女生 10 15 25
合计 30 20 50
（2）∵------------------------5分
∴在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为喜爱打篮球与性别有关.---------------------6分
（3）喜爱打篮球的女生人数的可能取值为.-------------------------7分
其概率分别为,,
--------------------------10分
故的分布列为:
--------------------------11分
的期望值为: ---------------------12分
18．解:由三视图可知，几何体为直三棱柱—，侧面
为边长为2的正方形，底面是等腰直角三角形，………２分（1）连BC交于O，连接OD，在中，O，D分别是，
AC的中点，
而平面，平面，平面………………..４分
（2）直三棱柱—中，平面，平面，
，，D为AC的中点，，
平面，①………………..６分
又，
在正方形②………………..８分
由①②，又，
……………………………………………………………9
（3）解法一；提示：所求二面角与二面角C--D互余……………………………………..12
取BC中点H，有DH⊥平面，过H作垂线，垂足为E，
所以二面角C--D的平面角是∠DEH…………….. ……………………12分
，因为二面角A--D与二面角C--D互余，所以二面角A--D的正切值为；……………..14
解法二（补形）如图补成正方体，易得∠O1OS为二面角的平面角，
……………..14
解法三（空间向量法）以为原点建系，易得
设平面D的法向量由
得令得…………..12
又平面A的法向量
设二面角A--D的平面角为
所以…………..14
19. (本小题满分1４分)
(1) 证：由题意，即， ……1分
. ……2分
，
当时，. …………3分
∴， ①
② ……4分
①－②，得
……6分
∴. ……7分
(2) 解：由(Ⅰ)知，，要使对一切成立，
即对一切成立. ……8分
，对一切恒成立，
只需，……10分
单调递增，∴当时，. ……12分
∴，且， ∴. ……13分
综上所述，存在实数满足条件. ……14分
20．(本小题满分1４分)
解：(1)当的坐标为时，设过点的切线方程为，代入，整理得，
令，解得，
代入方程得，故得， ．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
因为到的中点的距离为，
从而过三点的圆的方程为．
易知此圆与直线相切. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
（2）证法一：设切点分别为,,过抛物线上点的切线方程为，代入，整理得
，又因为，所以．．．．．．．．．．．．．．．．5分
从而过抛物线上点的切线方程为即
又切线过点，所以得 ① 即
同理可得过点的切线为，
又切线过点，所以得 ② 即．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
即点，均满足即，故直线的方程为 ．．．．．．．．．．．．．．．．．7分
又为直线上任意一点，故对任意成立，所以，从而直线恒过定点 .．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
证法二：设过的抛物线的切线方程为，代入，消去，得
即：．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
从而，此时，
所以切点的坐标分别为，．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
因为，，
，
所以的中点坐标为
故直线的方程为，即.．．．．．．．．．．．．．．7分
又为直线上任意一点，故对任意成立，所以，从而直线恒过定点 .．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
证法三：由已知得，求导得，切点分别为,，故过点的切线斜率为，从而切线方程为即
又切线过点，所以得 ① 即
同理可得过点的切线为，
又切线过点，所以得 ②
即．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
即点，均满足即，故直线的方程为 ．．．．．．．．．．．．．．．．．7分
又为直线上任意一点，故对任意成立，所以，从而直线恒过定点 .．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
（3）解法一：由（2）中①②两式知是方程的两实根，故有
（*）
将，，代入上（*）式得
∴
， ．．．．．．．．．．．．．．．．．9分
①当时，，直线上任意一点均有，为直角三角形； ．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
②当时，，，不可能为直角三角形；
．．．．．．．．．．．．．．．．．11分
③当时，，.
因为，，
所以
若，则，整理得，
又因为，所以，
因为方程有解的充要条件是.
所以当时，有或，为直角三角形.．．．．．．．．．．．．．13分
综上所述，当时，直线上任意一点，使为直角三角形，当时，直线上存在两点，使为直角三角形；当或时，不是直角三角形.
．．．．．．．．．．．．．．．．．14分
解法二：由（2）知，且是方程的两实根，即，从而，
所以
当时，即时，直线上任意一点均有，为直角三角形； ．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
当时，即时，与不垂直。
因为，，
所以
若，则，整理得，
又因为，所以，
因为方程有解的充要条件是.
所以当时，有或，为直角三角形.．．．．．．．．．．．．．13分
综上所述，当时，直线上任意一点，使为直角三角形，当时，直线上存在两点，使为直角三角形；当或时，不是直角三角形.
．．．．．．．．．．．．．．．．．14分
21．(本小题满分1４分)
解析：（1）
解：解：（1）当时，，………１分
依题意　　即恒成立
，解得　
所以b的取值范围是…………………………………４分
（2）证明：因为，
解法一：当时，符合题意. ……………………………５分
当时，，令，则，
令，， 当时，，
在内有零点；……………………………７分
当时，，
在内有零点.
当时，在内至少有一个零点.
综上可知，函数在内至少有一个零点. ……………………………９分
解法二：，，
.
因为a，b不同时为零，所以，故结论成立.
（3）因为为奇函数，所以，所以，.
又在处的切线垂直于直线，所以，即.
……………………………………………………………………………………１０分
在，上是单调递增函数，在上是单调递减函数，由解得，，
法一:如图所示，作与的图像，若只有一个交点，则
①当时，，
即，解得；
②当时，，
解得；
③当时，显示不成立；
④当时，，
即，解得；
⑤当时，，
解得；
⑥当时，.
………………………………………………………………１３分
综上t的取值范围是或或.………………１４分
法二：由,.
作与的图知交点横坐标为，
当时，过图象上任意一点向左作平行于轴的直线与都只有唯一交点，当取其它任何值时都有两个或没有交点。
所以当时，方程在上有且只有一个实数根.
2012届高三调研考试理科数学答题卡
一．选择题答卷：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
二、填空题答卷：
9．________________________． 10．__________________________．
11．________________________． 12．__________________________．
13．______________________ 14．_____________________
15．_____________________
解答题共80分
16.(本题满分12分)
17.(本题满分12分)
喜爱打篮球 不喜爱打篮球 合计
男生 5
女生 10
合计 50
18. (本题满分14分)
19. (本题满分14分)
20．(本题满分14分)
21. (本题满分14分)
B
A
C
开始
否
是
输出
结束
A
B
C
D
（第15小题）
A
B
C
D
EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4
A
B
C
D
O
A
B
C
D
H
E
A
C
D
O
S
B
1
O
-1
y
x
x
y
-1
x
y
O
O
①
-1
t
②
-1
t
x
④
y
t
x
O
y
y
O
EMBED Equation.DSMT4
t
x
2
2
主视图
左视图
俯视图
2
A
B
C
D
EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4