8.6.3 平面与平面垂直（2）课件（共16张PPT）

第8章 立体几何初步
8.6.3 平面与平面垂直(2)
高中数学人教A版（2019）必修第二册
知识点一 面面垂直的条件缺漏，混淆致错
1，如图，在梯形????????????????中，????????//????????，????,????是线段????????上的点，且?????????⊥ ?????????，????????⊥????????,????????=????????,????????=????,????????=????????,????????=????，现将Δ????????????,Δ????????????分别沿????????,????????折起，使????,????两点重合于点????，得到多面体????????????????????，求证：平面????????????⊥平面????????????.
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由已知可得????????=????,????????=????,????????=5,则折叠后????????=????,????????=????,????????=5,所以????????⊥????????.
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在梯形ABCD中，CF⊥AB,则折叠后CF⊥EF,CF⊥FG.又EF∩FG=F,EF,FG?平面EFG,所以CF⊥平面EFG,所以CF⊥EG.
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又GF∩CG=F,GF,CG?平面CFG,所以EG⊥平面CFG
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又EG?平面DEG,所以平面DEG⊥平面CFG
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探究新知
面面垂直的条件缺漏，混淆致错
证明时要充分利用面面垂直、线面垂直、线线垂直相互转化，如果有面面垂直、先在其中一个面内作交线的垂线，有时题中就有这样的垂线，如果没有就要做辅助垂线.推出线面垂直、再和线线垂直进行循环证明.谨防把线面垂直的判定误认为垂直于两条线，就会得到线面垂直(必须是垂直于两条相交线)，把面面垂直的性质定理误认为两平面内的任意两条直线都垂直;把面面垂直的判定误认为两平面内的两条直线垂直,则两平面垂直.
知识点2 线面、面面垂直的性质定理条件缺漏，混淆致错
2，设????,????是两条不同的直线，????,????是两个不同的平面，下列正确的是（ ）
若????⊥????,?????????, ?????????,则 ????⊥????
若????//????, ?????????, ?????????,则 ????//????
若????⊥????,?????????, ?????????,则 ????⊥????
若????⊥????, ????//???? , ????//????,则 ????⊥????
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对于????， ????,????可能为平行，垂直，异面直线，故????错误；
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对于????， ????,????可能为平行，垂直，异面直线，故????错误；
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对于????， ????应与????中两条相交直线垂直时结论才成立，故????错误；
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故选????
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探究新知
1，如图，在三棱锥?????????????????中，若????????=????????, ????????=????????，????是的????????中点，则下列说法正确的是__________
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题①
——平面与平面垂直的判定与证明
因为AB=CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC.又DE∩BE=E，DE，BE?平面BDE，所以AC⊥平面BDE.因为AC?平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC ?平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE，只有③正确
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①平面ABC⊥平面ABD
②平面ABD⊥平面BCD
③平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDE
④平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE
③
例题讲解
2， 如图，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，把ΔABD和ΔACD折成互相垂直的两个平面后，卢老师的学生得出如下四个结论：①BD⊥AC；②ΔABC是等边三角形； ③三棱锥D-ABC是正三棱锥； ④平面ADC⊥平面ABC. 其中正确的有__________.
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由题意知，BD⊥平面ADC，故BD⊥AC，①正确；
AD为等腰直角三角形ABC斜边上的高，平面ABD⊥平面ACD，所以AB=BC=AC，所以ΔABC为等边三角形，②正确；
易知DA=DB=DC，由②知，③正确；
由①知④错误，所以正确的有①②③
① ② ③
如图，四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD//MA，E，G，F分别为MB，PB，PC的中点，且AD=PD=2MA.求证：平面EFG⊥平面BDC.
题②
——平面与平面垂直的判定与证明
∵MA⊥平面ABCD，PD//MA，∴PD⊥平面ABCD
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∵BC?平面ABCD，∴PD⊥BC.∵四边形ABCD是正方形，∴BC⊥DC
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又PD∩DC=D，PD，DC ?平面PDC，∴BC⊥平面PDC
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在ΔPBC中，G，F分别为PB，PC的中点，
∴GF//BC，∴GF⊥平面PDC
又GF平面EFG，∴平面EFG⊥平面PDC.
例题讲解
1， 如图，四边形ABCD是矩形，BC⊥平面ABE，且AE=2，EB=BC=23.点F为CE上一点， 且BF⊥平面BCE，求三棱锥A-DBE的体积.
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题③
——二面角
∵BF⊥平面ACE，AE?平面ACE，∴BF⊥AE
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∵BC⊥平面ABE，AE?平面ABE，∴BC⊥AE
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∵BC∩BF=B，BC，BF?平面BCE，∴AE⊥平面BCE，∴AE⊥BE
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又∵BC//AD，∴AD⊥平面ABE
∴VA-DBE=VD-ABE=13SΔABE= 13×12×2×23×2= 433
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即三棱锥A-DBE的体积为433
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例题讲解
2，如图所示，将等腰直角三角形ABC沿着斜边BC上的高AD折成一个二面角，使得∠B′AC=60°，则二面角B′-AD-C的大小是多少度？
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连接B′C，∵ AD是等腰直角三角形ABC斜边上的高，
∴ BD=DC=22AC，∠ADC=∠ADB=90°
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∴ ∠B′DC是二面角B′-AD-C的平面角.
∵ ∠B′AC=60°，∴ ΔB′AC是等边三角形
∴ B′C=AB′=AC，在ΔB′DC中，∠B′DC=90°.
1， 如图，在三棱锥P-ABC中，平面PAB⊥平面PAC，AB⊥BP，M，N分别为PA，AB的中点.AC=PC.求证：AB⊥平面CMN.
题③
——平面与平面垂直的性质定理的应用
在平面PAB中，AB⊥BP，MN//PB，∴AB⊥MN
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∵AC=PC，M为PA的中点，所以CM⊥PA
又平面PAC⊥平面PAC，平面PAB∩平面PAC=PA，CM?平面PAC
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∴ CM⊥平面PAB
∵ AB ?平面PAB，∴CM⊥AB.又 ∵CM∩MN=M，MN平面CMN，
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∴ AB⊥平面CMN
例题讲解
2， 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为 ???? 的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD= 22?AD.求证：平面PAB⊥平面PBD.
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∵ 平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，AB⊥AD，
AB?平面ABCD，∴ AB⊥平面PAD
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又PD?平面PAD，∴ PD⊥AB. ∵ PA=PD=22?AD，∴PA2+PD2=AD2.
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∴ PA⊥PD. 又PA∩AB=A，∴ PD⊥平面PAB
∵ PD?平面PBD，∴ 平面PAB⊥平面PBD
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如图，在直角梯形ABCD中，AB//CD，AB⊥BE，E为AB上的点， 且AD=AE=DC=2，BE=1，将ΔADE沿DE折叠到点P ,使PC=PB，求证：平面PDE⊥平面ABCD.
题④
——平面图形折叠后的垂直问题
如图，取BC的中点G，DE的中点H，连接PG，GH，HP.
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∴ HG//AB，∵AB⊥BC，∴HG⊥BC.∵PB=PC，∴PG⊥BC.
又HG∩PG=G，HG，PG ?平面PGH，∴BC⊥平面PGH
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又PH?平面PGH，∴PH⊥BC，∵PD=AD=AE=PE，H是DE的中点， ∴ PH⊥DE.
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∵BE//DC,且DC=2BE,所以DE与BC必相交,且DE,BC?平面BCDE,∴PH⊥平面BCDE
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又PH?平面PDE,∴平面PDE⊥平面BCDE，即平面PDE⊥平面ABCD
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例题讲解
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是∠DAB=60°且边长为的菱形，ΔPAD为等边三角形，且其所在平面⊥平面ABCD，求证：AD⊥PB
题⑤
——线面，面面垂直的综合应用
取AD的中点G，连接PG，BG，如图
∵ ΔPAD为等边三角形，∴ PG⊥AD
在菱形ABCD中，∠DAB=60°，G为AD中点，
∴BG⊥AD
又BG∩PG=G，BG，PG?平面PGB
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∴ AD⊥平面PGB，∵ PB?平面PGB，∴ AD⊥PB
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例题讲解

∵ ΔPAB是等边三角形，∴ PB=PA
又∵ ∠PAC=∠PBC=90°，PC=PC
∴ RtΔPBC≌RtΔPAC. ∴ AC=BC
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如图，取AB中点D，连接PD，CD，
则PD⊥AB，CD⊥AB，又PD∩CD=D
如图，在三棱锥P-ABC中，ΔPAB是等边三角形∠PAC=∠PBC=90°，求证：AB⊥PC.
∴ AB⊥平面PDC，∴ AB⊥PC
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谢谢聆听