8.6.3 平面与平面垂直（1）课件（共20张PPT）

第8章 立体几何初步
8.6.3 平面与平面垂直(1)
高中数学人教A版（2019）必修第二册
二面角
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.
二面角的概念
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符号语言：二面角α?AB?β
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图形语言
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★ 在????,????内，分别取点????,????(????,??????????????)
时，可记作二面角??????????????????；
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★ 当棱记作????时，可记作二面角??????????????
或二面角???????????????；
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探究新知
二面角
在二面角α?l?β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.
二面角的大小可以用它的平面角的大小来度量，二面角的平面角是多少度，我们就说这个二面角是多少度.
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二面角的平面角
二面角的画法
二面角
二面角的平面角
构成二面角的平面角的三要素：“棱上”“面内”“垂直”.即二面角的平面角的顶点必须在棱上；角的两边必须分别在两个半平面内；角的两边必须都与棱垂直.
二面角的大小与垂足O在l上的位置无关.一个二面角的平面角有无数个，它们的大小是相等的.
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二面角的平面角????的范围是????°≤????≤????????????°，当两个半平面重合时，????=????°?；当两个半平面合成一个平面时，????=????????????°.
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当两个半平面垂直时，θ=90°，此时的二面角称为直二面角.
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二面角
二面角的平面角
下列命题中的真命题有________
由二面角的定义知①错误； a,b 分别和一个二面角的两个半平面垂直，则a,b都垂直于二面角的棱，②正确；③中所作的射线不一定垂直于二面角的棱，③错误；由二面角的定义知④正确.故选②④
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①两个相交平面组成的图形叫二面角；
②异面直线 ????,???? 分别和一个二面角的两个半平面垂直，则 ????,???? 所成的角与这个二面角的
平面角相等或互补；
③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个半平面内作射线所成的角的最小角 ；
④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系.
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② ④
二面角
二面角与平面几何中的角的区别与联系
角
二面角
图形
定义
表示
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边
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边
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顶点
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棱
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面
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面
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?????????从平面内一点出发的两条射
线所组成的图形
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从空间一条直线出发的两个半
平面所组成的图形
∠????????????
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二面角??????????????
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平面与平面垂直
一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，那么就说这两个平面互相垂直.
平面与平面垂直的定义
符号语言：α⊥β
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图形语言
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探究新知
平面与平面垂直的判定定理
如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直.
符号语言：????????⊥????,?????????????,?????⊥????
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图形语言
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定理应用：线面垂直?面面垂直
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探究新知
画两个互相垂直的平面时，通常把直立的竖边画成与水平平面的横边相垂直
应用
两个平面垂直的判定定理，不仅是判定两个平面互相垂直的依据，也是找出一个平面的垂面的依据.例如，建筑工人在砌墙时，常用一端系有铅锤的线来检查所砌的墙是否和水平面垂直，实际上就是依据这个原理.
平面与平面垂直的判定定理
平面与平面垂直的判定定理
如图所示，已知????????垂直于正方形????????????????所在的平面，连接????????,????????,????????,????????,????????，则一定互相垂直的平面有几对？
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由题意可知，平面????????????,平面????????????,平面????????????都垂直于平面?????????????????，平面????????????⊥平面?????????????，平面?????????????⊥平面????????????，平面????????????⊥平面????????????，平面????????????⊥平面????????????.所以一共有7对.
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平面与平面垂直的性质定理
两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直.
符号语言：
图形语言
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定理应用：①面面垂直?线面垂直； ②作平面的垂线
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????⊥????,????∩????=????,?????????,????⊥????,?????⊥????
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探究新知
平面与平面垂直的性质定理
如果两个平面互相垂直，那么分别在这两个平面内的两条直线可能平行，可能相交，也可能异面.解题中容易误认为这两条直线一定垂直，这是误区.
面面垂直的性质定理的条件中“平面与平面垂直”“直线在平面内”“直线垂直于交线”是定理的关键点，必须要抓牢，于是又有“面面垂直，先找交线”的说法.
空间垂直关系的判定方法及转化关系
空间垂直关系是一种特殊关系，一般以证明题的形式出现，总结如下：
利用直线与平面垂直的性质定理：????⊥????,??????????????⊥????
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定义法：两条直线所成的角为90°，则这两条直线垂直；
若一条直线垂直于两条平行线中的一条，则该直线也垂直于另一条：
????//????,????⊥?????????⊥????
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平面几何知识证明共面垂直（如：勾股定理的逆定理；等腰三角形的三线合一；菱形的对角线的性质等等）
直线与直线垂直的判定方法
空间垂直关系的判定方法及转化关系
空间垂直关系是一种特殊关系，一般以证明题的形式出现，总结如下：
利用线面垂直的判定定理：????⊥????,????⊥????,?????????,?????????,????∩????=?????????⊥????
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定义法：一条直线垂直于一个平面内的任意直线，则这条直线和平面垂直
利用平面与平面垂直的性质定理：α⊥β,α∩β=l,a?α,a⊥l?a⊥β
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如果两平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个面，即a//b,a⊥α?b⊥α
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直线与平面垂直的判定方法
如果一条直线平行于两个平行平面中的一个平面，那么该直线也平行于另一个平面，即α//β,a⊥α?a⊥β
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空间垂直关系的判定方法及转化关系
空间垂直关系是一种特殊关系，一般以证明题的形式出现，总结如下：
利用平面与平面垂直的判定定理：a⊥β,a?α?a⊥β
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利用平面与平面垂直的定义，作出两平面构成的二面角的平面角，通过计算得出平面角为90°
平面与平面垂直的判定方法
线面、面面垂直的性质
一、直线与平面垂直的常见性质
过一点有且只有一条平面与已知直线垂直
过一点有且只有一条直线与已知平面垂直
如果一条直线垂直于一个平面，那么它垂直于这个平面内的任意一条直线，即 a⊥α,b?α?a⊥b
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线面、面面垂直的性质
一、直线与平面垂直的常见性质
垂直于同一条直线的两个平面平行，即l⊥α,l⊥β?α//β
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两条平行线中一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面，即l//m,l⊥α?m⊥α
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如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，那么它垂直于另一个平面，即α//β, l⊥α?l⊥ β
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线面、面面垂直的性质
二、平面与平面垂直的常见性质及结论
如果两个平面互相垂直，那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面.
如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内.即α⊥β,????∈α,????∈????,????⊥??????????????
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如果两个平面互相垂直，那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面内
如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线平行于第三个平面
三个两两垂直的平面的交线也两两垂直
谢谢聆听