8.6.1-8.6.2 直线与直线垂直、直线与平面垂直-课件（共22张PPT）

第8章 立体几何初步
8.6.1-8.6.2 直线与直线
垂直、直线与平面垂直
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高中数学人教A版（2019）必修第二册
异面直线所成的角
已知两条异面直线a,b，经过空间任意一点O分别作直线a′//a, b′// b?，我们把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).
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异面直线所成角的概念
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探究新知
异面直线所成的角
异面直线所成角的概念
异面直线所成的角的范围：由异面直线所成角的定义得，异面直线所成的角θ是锐角或者直角，即0°＜θ ≤90°
研究异面直线所成的角，就是通过平移把异面直线转化为相交直线，把空间角问题转化为平面角问题，这是研究立体几何问题的一种基本思想，即空间问题平面化.
异面直线所成的角的大小不能是0°，当两条直线所成的角是0°时，这两条直线共面.
异面直线所成的角
如果两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直.直线????与????直线垂直，记作????⊥????
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两条异面直线垂直的定义
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两条直线互相垂直，既包括相交垂直，也包括异面垂直.
异面直线所成的角
异面直线所成角的求解步骤
证明：证明作出的角就是要求解的角
构造：根据异面直线的定义，用平移法(常利用三角形中位线、平行四边形的性质)作出异面直线所成的角.
计算：求角度(常利用三角形的有关知识)
结论：若求出的角是锐角或者直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角.
异面直线所成的角
异面直线所成角的求解步骤
如图所示，已知正方体?????????????????????????????????????????????????，则异面直线????????????????与????????????所成的角的大小是多少？
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连接????1????和????1????，∵ ????1????// ????1?????，
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∴ ∠????1????1????为异面直线????1????1与????1????所成的角.
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∵ ????1????,????1????1,????1????为正方体各面的对角线，
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∴ ????1????=????1????1=????1????,∴ Δ????1????1????为正三角形，∴∠????1????1????=????????°
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∴ 异面直线????1????1与????1????所成的角为60°.
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直线与平面垂直
一般地，如果直线和平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面互相垂直，记作⊥.直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面.直线与平面垂直时，它们唯一的公共点叫做垂足.
可以发现，过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条.
直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情况.
定义中的“任意一条直线”与“所有直线”是同义词，但与“无数条直线”不同.定义的实质就是直线与平面内的所有直线都垂直.
运用直线与平面垂直的定义来判定直线与平面垂直时，要紧扣“一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直”这个条件.
探究新知
直线与平面垂直
图形语言：
符号语言：任意 ?????????，都有 ????⊥?????????⊥????
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作图技巧：画直线 l 与平面 α 垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直
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应用：
①若直线与平面垂直，则这条直线与这个平面内的所有直线都垂直，从而
可以判断直线与平面内的直线互相垂直，简述为“若线面垂直，则线线垂
直”.
②重要结论：过一点有且只有一条直线与已知平面垂直；
过一点有且只有一个平面与已知直线垂直.
直线与平面垂直的判定定理
如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面.
图形语言：
符号语言：
a?α,
b?α,
a∩b=????,
????⊥α,
????⊥b,
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????⊥α?
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定理应用：线线垂直?线面垂直
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探究新知
直线与平面垂直的判定定理
判定定理的条件中“平面内的两条相交直线”是定理的关键点，一定要抓牢.但判定已知直线与平面垂直时，已知直线与平面内的直线可能为共面直线(相交)，也可能为异面垂直(不相交).
如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边； ②梯形的两边； ③圆的两条直径； ④正六边形的两边. 能保证该直线与平面垂直的是______.
根据直线与平面垂直的判定定理，平面内的这两条直线必须是相交的，而梯形的对边不一定相交，正六边形的对边也不相交，所以选①③
① ③
直线与平面所成的角
平面内一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角.
线面角θ的范围：0≤θ≤90°
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图形语言：如图，∠PAO就是斜线AP与平面α所成的角.
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垂线
斜线
射影
当直线与平面垂直时，∠ PAO=90°；
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当直线与平面平行或在平面内时，
∠PAO=0°
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探究新知
直线与平面所成的角
斜线在平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线而不是线段；
P是斜线上异于斜足A的任意一点，点P具有任意性；
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求一条直线与平面所成的角，可先作出直线在平面内的射影，从而得到直线与平面所成的角，再一步求解.
直线与平面所成的角的求解步骤
直线与平面所成的角
【证】证明所找到的角为直线与平面所成的角，其证明的主要依
据为直线与平面所成的角的定义
【作】在斜线上选取恰当的点向平面引垂线，在这一步，确定垂
足的位置是关键
【算】一般借助三角形的相关知识求解出线面角的大小
直线与平面垂直的性质定理
直线与平面垂直的性质定理①：垂直于平面的直线与平面内任意一条直线相互垂直.
图形语言：
符号语言：
????⊥α,b?α?????⊥b
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定理应用：线面垂直?线线垂直
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探究新知
直线与平面垂直的性质定理
直线与平面垂直的性质定理②：垂直于同一个平面的两条直线平行
图形语言：
符号语言：
????⊥α,b⊥α??????//?b
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定理应用：①线面垂直?线线平行
②作平行线
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垂直于同一个平面的
两个平面不一定平行
直线与平面垂直的性质定理
过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足之间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，出垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离.
点面距AO的范围： AO≥0
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图形语言：如图，线段AO的长度就是点A到平面α的距离.
当点A∈α时,????????=????,当A?α时， ????????>????
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点到平面的距离
垂线
直线与平面垂直的性质定理
一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离.
当直线 l 与平面 α?相交或 l?α 时，直线l到平面α的距离为0.
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图形语言：如图，线段 AO 的长度就是直线????? 到平面 α 的距离.
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????(垂足)
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直线到平面的距离
垂线
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????∈????
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直线与平面垂直的性质定理
如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等. 我们把这个距离叫做两个平行平面之间的距离.
当平面?β 与平面 α?相交时，平面?β 到平面 α 的距离为0.
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图形语言：如图，线段 AO 的长度就是平面?β 到平面 α 的距离.
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平面到平面的距离
垂线
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点在平面内射影位置的确定
立体几何中经常遇到由一个点向一个平面做垂线的问题，垂线的位置由这个点在平面内的射影位置来确定，因此确定这个点的射影位置是解题关键.一般来说可以直接过这个点做平面的垂线，然后通过证明或计算说明垂足的位置，也可以借助以下常见结论进行确定——
经过一个角的顶点，引这个角所在平面的斜线，如果斜线与这个角的两边的夹角相等，那么该斜线在平面内的射影是这个角的平分线所在的直线
如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面内的射影就是这个角的平分线所在的直线
点在平面内射影位置的确定
对于三棱锥A?BCD,有以下结论：
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若????????=????????=????????，则点A在平面BCD内的射影为ΔBCD的外心；
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若点????到????????,????????,????????的距离相等，且点????的射影在ΔBCD的内部，则点A在平面BCD内的射影为ΔBCD的内心；
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若点????????⊥????????,????????⊥????????，则点A在平面BCD内的射影为ΔBCD的垂心
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这些结论为确定点、斜线在平面内的射影的位置提供了重要的方法和依据，为分析问题时的广泛联想提供了有力的支持.
谢谢聆听