变化率问题

(共23张PPT)
法国《队报》网站的文章称刘翔以不可思议的速度统治
了赛场。这名21岁的中国人跑的几乎比炮弹还快，赛道
上显示的12.94秒的成绩已经打破了12.95奥运会记录,但
经过验证他是以12.91秒平了世界纪录，他的平均速度
达到8.52m/s。
平均速度的数学意义是什么
如何求瞬时速度呢？
微积分主要与四类问题的处理相关:
一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物
体在任意时刻的速度与加速度等;
二、求曲线的切线;
三、求已知函数的最大值与最小值;
四、求长度、面积、体积和重心等。
导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。
现有南京市某年3月和4月某天日最高气温记载.
时间 3月18日 4月18日 4月20日
日最高气温 3.5℃ 18.6℃ 33.4℃
“气温陡增”这一句生活用语，
用数学方法如何刻画
温差15.1℃
温差14.8℃
t(d)
20
30
34
2
10
20
30
A (1, 3.5)
B (32, 18.6)
0
C (34, 33.4)
T (℃)
2
10
联想
直线
K=7.4
K=0.5
问题1：气球膨胀率
很多人都吹过气球，回忆一下吹气球的过程
随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加的越来越慢。
从数学的角度，如何描述这种现象呢？
发现：
当空气容量V从0增加1L时，半径增加了
r(1)－r(0)≈ 0.62 （dm)
气球的平均膨胀率为：
气球的体积V（单位：L）与半径r（单位：dm)之间的函数关系是：
类似地：
当空气容量Ｖ从１加２Ｌ时，半径增加了
r(２)－r(１) ≈ 0.１６（dm)
气球的平均膨胀率为：
可以看出：
随着气球体积逐渐变大，它的平均膨胀率逐渐变小。
思考？
当空气容量从V1增加到V2时，气球的平均膨胀率是多少？
问题2：高台跳水
在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)= - 4.9 t2+ 6.5t +10.
如果我们用运动员在某段时间内的平均速度 描述其运动状态，那么：
在1秒到2秒时间段内呢？
运动员在0秒到0.5秒时间段内的平均速度是多少？
探究
计算：运动员在
这段时间内的平均速度，并思考下面的问题：
（2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
平均速度不能反映他在这段时间里运动状态，
需要用瞬时速度描述运动状态。
（1）运动员在这段
时间里是静止的吗？
气球的平均膨胀率是一个特殊的情况，我们把这一思路延伸到函数上，归纳一下得出函数的平均变化率
探究活动
　从以上的二个例子中，我们可以了解到，平均变化率是指在某个区间内数值的平均变化量.
如果上述两个问题中的函数关系用 表示，
那么问题中的变化率可用式子：
“增量”：
令“增量”
于是：平均变化率可以表示为：
理解：
式子中△x 、△ y的值可正、可负，
但△x的值不能为0， △ y的值可以为0
若函数f (x)为常函数时， △ y=0
思考
观察函数f(x)的图象
平均变化率 表示什么
O
A
B
x
y
Y=f(x)
x1
x2
f(x1)
f(x2)
x2-x1=△x
f(x2)-f(x1)=△y
直线AB的
斜率
1.函数的平均变化率
小结：
2.求函数的平均变化率的步骤:
(1)求函数的增量:Δy=f(x2)-f(x1)
(2)计算平均变化率