导数的概念

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第三章 导数及其应用
3.1.2 导数的概念
高台跳水
在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)= - 4.9 t2+ 6.5t +10.
在高台跳水运动中，运动员在不同时刻的速度是不同的。
物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。
运动员的平均速度不一定能反映他在某一时刻的瞬时速度。
那么，如何求运动员的瞬时速度呢？
比如，t=2时的瞬时速度是多少？
△t是时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为0。
我们先考察t=2附近的情况：
在t=2之前或之后，任意取一个时刻2+△t，
当△t<0时， 2+△t 在2之前；
当△t>0 时， 2+△t 在2之后。
计算区间[2+△t ，2]和区间[2，2 +△t ]内的平均速度 ，可以得到如下表格：
如何求（比如， t=2时的）瞬时速度？
通过列表看出平均速度的变化趋势 ：
观察？
当△t趋近于0时，平均速度有什么样的变化趋势？
我们发现：当△t趋近于0时，即无论t从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度 都趋近于一个确定的值-13.1。
从物理的角度看：
时间间隔| △t |无限变小时，平均速度
就无限趋近于t=2时的瞬时速度。
所以：运动员在t=2时的瞬时速度是-13.1m/s
为了表述方便，我们用：
表示：“当t=2， △t趋近于0时，平均速度趋近于确定值-13.1”
瞬时速度
那么,运动员在某一时刻t0的瞬时速度
一般地，函数y = f (x) 在x = x0 处的瞬时变化率是
我们称它为函数y = f (x)在x=x0 处的导数，
记作
导数的概念：
即：
表示函数y关于自变量x在x0处的导数。
注意：
定义:
函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作
或 , 即
例 :(1)求函数y=x2在x=2处的导数;
(2)求函数y=x+1/x在x=4处的导数.
由导数的意义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导数的基本方法是:
例1、将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热。如果第xh时，原油的温度(单位：℃)为f(x)=x2-7x+15 (0 x 8).计算第2h和第6h时，原油温度的瞬进变化率，并说明它们的意义。
解：第2h和第6h时，原油温度的
瞬进变化率就是f ' (2)和f ' (6)
根据导数定义：
所以，
同理可得 f '(6)=5
f(x)=x2-7x+15
说明在第6h附近，原油温度
大约以5 ℃/h的速度上升；
说明在第2h附近，原油温度
大约以3 ℃/h的速度下降；
f '(6)=5