考前一周轻松得分--导数及应用练习题

考前一周轻松得分---导数及其应用练习题
班级________　姓名________　　得分________
一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)
1．下列结论不正确的是(　　)
A．若y＝3，则y′＝0 B．若y＝，则y′＝－
C．若y＝－，则y′＝－ D．若y＝3x，则y′＝3
2．已知奇函数y＝f(x)在区间(－∞，0]上的解析式为f(x)＝x2＋x，则切点横坐标为1的切线方程是(　　)
A．x＋y＋1＝0　 B．x＋y－1＝0 C．3x－y－1＝0 D．3x－y＋1＝0
3．已知直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b切于点(1,3)，则b的值为(　　)
A．3 B．－3 C．5 D．－5
4．(2010·江西)若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)＝(　　)
A．－1 B．－2 C．2 D．0
5．(2010·全国Ⅱ)若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则(　　)
A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1 C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1
6．(2010·辽宁)已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是(　　)
A. B. C. D.
7．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为(　　)
A．13万件　　　B．11万件 C．9万件 D．7万件
8．(2011·荆州质检题)函数f(x)＝ax3－3x＋1对于x∈[－1,1]总有f(x)≥0成立，则a的取值为(　　)
A．[2，＋∞) B．[4，＋∞) C．{4} D．[2,4]
9．设f(x)、g(x)是R上的可导函数，f′(x)，g′(x)分别为f(x)、g(x)的导函数，且满足f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)<0，则当aA．f(x)g(b)>f(b)g(x) B．f(x)g(a)>f(a)g(x) C．f(x)g(x)>f(b)g(b) D．f(x)g(x)>f(b)g(a)
10．函数f(x)＝ex(sinx＋cosx)在区间上的值域为(　　)
A. B. C. D.
11．已知函数f(x)＝x2＋2x＋alnx，若函数f(x)在(0,1)上单调，则实数a的取值范围是(　　)
A．a≥0 B．a<－4 C．a≥0或a≤－4 D．a>0或a<－4
12．放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变。假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M（单位：太贝克）与时间t（单位：年）满足函数关系：，其中M0为t=0时铯137的含量。已知t=30时，铯137含量的变化率是-10In2（太贝克／年），则M（60）=
A．5太贝克 B．75In2太贝克
C．150In2太贝克 D．150太贝克
二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题后的横线上．)
13．函数f(x)＝x3－px2＋2m2－m＋1在区间(－2,0)内单调递减，且在区间(－∞，－2)
及(0，＋∞)内单调递增，则实数p的取值集合是________．
14．函数y＝sin2x－x， x∈的最大值是________，最小值是________．
15．若曲线f(x)＝ax3＋lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．
16．(2010·江苏)函数y＝x2(x>0)的图象在点(ak，a)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak＋1，其中k∈N*.若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是________．
三、解答题：(本大题共6小题，17题10分、18题--22题各12分，写出证明过程或推演步骤．)
17．设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.
(1)求函数f(x)的单调区间和极值；
(2)若关于x的方程f(x)＝a有三个不同实根，求实数a的取值范围；
(3)已知当x∈(1，＋∞)时，f(x)≥k(x－1)恒成立，求实数k的取值范围．
18．已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，问是否存在实数a、b，使f(x)在[－1,2]上取得最大值3，最小值－29？若存在，求出a、b的值；若不存在，请说明理由．
19．已知函数f(x)＝x2e－ax(a>0)，求函数在[1,2]上的最大值．
20．已知函数f(x)＝x3＋x－16，
(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；
(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；
(3)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程
21．设函数f(x)＝ax＋(a，b∈Z)，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝3.
(1)求f(x)的解析式；
(2)证明：函数y＝f (x)的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心；
(3)证明：曲线y＝f(x)上任一点的切线与直线x＝1和直线y＝x所围的三角形的面积为定值，并求出此定值．
22.已知函数。
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）若对于任意的，都有≤，求的取值范围。
答案：
1.解析：∵y′＝′＝(x－)′＝－x－＝－，
∴选B.
答案：B
评析：简单函数的求导，关键是将函数关系式合理地转化为可以直接应用公式的基本函数的模式．
2. 解析：由题意得，x>0时，－x<0，f(－x)＝(－x)2＋(－x)＝x2－x.
又因为f(x)为奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－x2＋x.
又函数f(x)过(1,0)，k＝f′(1)＝－1.
所以所求的切线方程为y－0＝－1×(x－1)，
即x＋y－1＝0.
答案：B
3. 解析：∵点(1,3)在直线y＝kx＋1上，∴k＝2.
∴2＝f′(1)＝3×12＋a a＝－1.∴f(x)＝x3－x＋b.
∵点(1,3)在曲线上，∴b＝3.故选A.
答案：A
评析：本题考查导数的几何意义和曲线方程求法的综合应用．
4.解析：∵f′(x)＝4ax3＋2bx，∴f′(－x)＝－4ax3－2bx＝－f′(x)，∴f′(－1)＝－f′(1)＝－2.
答案：B
5.解析：求导得y′＝2x＋a，因此曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线l的方程是x－y＋1＝0，所以切线l的斜率k＝1＝y′|x＝0，且点(0，b)在切线l上，于是有，解得.
答案：A
6.解析：y′＝－＝－.设t＝ex∈(0，＋∞)，则y′＝－＝－，∵t＋≥2，∴y′∈[－1,0)，α∈.
答案：D
7. 解析：因为y′＝－x2＋81，所以当x>9时，y′<0；当x∈(0,9)时，y′>0，所以函数y＝－x3＋81x－234在(9，＋∞)上单调递减，在(0,9)上单调递增，所以x＝9是函数的极大值点，又因为函数在(0，＋∞)上只有一个极大值点，所以函数在x＝9处取得最大值．
答案：C
8. 解析：f′(x)＝3ax2－3，当a≤0时，f(x)min＝f(1)＝a－2≥0，a≥2，不合题意；
当01时，f(－1)＝－a＋4≥0且f＝－＋1≥0，解得a＝4.综上所述，a＝4，故选C.
答案：C
9. 解析：令y＝f(x)·g(x)，
则y′＝f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x)，
由于f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)<0，
所以y在R上单调递减，
又xf(b)g(b)．
答案：C
10. 解析：f′(x)＝ex(sinx＋cosx)＋ex(cosx－sinx)＝excosx，
当0≤x≤时，f′(x)≥0，且只有在x＝时f′(x)＝0，
∴f(x)是上的增函数，
∴f(x)的最大值为f＝e，
f(x)的最小值为f(0)＝.
∴f(x)在上的值域为.故应选A.
答案：A
11. 解析：∵f′(x)＝2x＋2＋，f(x)在(0,1)上单调，
∴f′(x)≥0或f′(x)≤0在(0,1)上恒成立，
即2x2＋2x＋a≥0或2x2＋2x＋a≤0在(0,1)上恒成立，
所以a≥－(2x2＋2x)或a≤－(2x2＋2x)在(0,1)上恒成立．
记g(x)＝－(2x2＋2x),0∴a≥0或a≤－4，故选C.
答案：C
12选.D
13. 解析：由已知条件可知，f(x)在x＝0和x＝－2处分别取得极小值和极大值．∵f′(x)＝3x2－2px＝x(3x－2p)，
∴3×(－2)－2p＝0，∴p＝－3.∴p的取值集合是{－3}．
答案：{－3}
14. 答案：　－
15. 解析：f′(x)＝3ax2＋，
因为存在垂直于y轴的切线，
则f′(x)＝0在x>0时有解，
即3ax2＋＝0有解，
即3a＝－，
∵－<0，
∴当3a<0，即a<0时，方程有解，
所以a的取值范围为(－∞，0)．
答案：(－∞，0)
16.解析：∵y′＝2x，∴过点(ak，a)处的切线方程为y－a＝2ak(x－ak)，又该切线与x轴的交点为(ak＋1,0)，所以ak＋1＝ak，即数列{ak}是等比数列，首项a1＝16，其公比q＝，∴a3＝4，a5＝1，∴a1＋a3＋a5＝21.
答案：21
17. 解：(1)f′(x)＝3x2－6，令f′(x)＝0，解得x1＝－，x2＝.
因为当x>或x<－时，f′(x)>0；当－所以f(x)的单调递增区间为(－∞，－)和(，＋∞)；单调减区间为(－，)．
当x＝－时，f(x)有极大值5＋4；
当x＝时，f(x)有极小值5－4.
(2)由(1)的分析知y＝f(x)的图象的大致形状及走向如图所示，当5－4(3)f(x)≥k(x－1)，即(x－1)(x2＋x－5)≥k(x－1)．
因为x>1，所以k≤x2＋x－5在(1，＋∞)上恒成立．
令g(x)＝x2＋x－5，此函数在(1，＋∞)上是增函数．
所以g(x)>g(1)＝－3.
所以k的取值范围是k≤－3.
评析：(1)利用导数求单调区间和极值．(2)由(1)的结论，问题转化为y＝f(x)和y＝a的图象有3个不同的交点，利用数形结合的方法求解．(3)将问题转化为不等式恒成立问题，利用分离参数法求解．
本题综合考查了利用导数求单调区间、极值以及方程、函数、不等式三者之间的相互转化，对理性思维能力要求较高．
18.解：显然a≠0.
f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)．
令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝4(舍去)．
当a>0时，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x [－1,0) 0 (0,2]
f′(x) ＋ 0 －
f(x) 最大值
所以当x＝0时，f(x)取得最大值，所以f(0)＝b＝3.
又f(2)＝－16a＋3，f(－1)＝－7a＋3，f(－1)>f(2)．
所以当x＝2时，f(x)取得最小值，即－16a＋3＝－29，a＝2.
(2)当a<0时，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x [－1,0) 0 (0,2]
f′(x) － 0 ＋
f(x) 最小值
所以当x＝0时，f(x)取得最小值，所以b＝－29.
又f(2)＝－16a－29，f(－1)＝－7a－29，f(2)>f(－1)．
所以当x＝2时，f(x)取得最大值，即－16a－29＝3，a＝－2.
综上所述a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.
评析：本题综合运用了求极值、最值的方法确定系数a、b，注意对a的讨论和最大值、最小值的确定．
19. 分析：通过求导先判断单调性再求最值．在求最值时，对a的情况要进行讨论．
解：f(x)＝x2e－ax(a>0)，
∴f′(x)＝2xe－ax＋x2·(－a)e－ax＝e－ax(－ax2＋2x)．
令f′(x)>0，即e－ax(－ax2＋2x)>0，得0∴f(x)在(－∞，0)，上是减函数，
在上是增函数．
①当0<<1，即a>2时，f(x)在(1,2)上是减函数，
∴[f(x)]max＝f(1)＝e－a.
②当1≤≤2，即1≤a≤2时，f(x)在上是增函数，在上是减函数，
∴[f(x)]max＝f＝4a－2e－2.
③当>2时，即0∴[f(x)]max＝f(2)＝4e－2a.
综上所述，当0当1≤a≤2时，f(x)的最大值为4a－2e－2，
当a>2时，f(x)的最大值为e－a.
评析：求函数在闭区间上的最值，首先应判断函数的单调性，一般情况下是先利用导数求出单调区间，分清单调区间与已知区间的关系，有时也需要分类讨论，分类时要不重不漏．
20.分析：首先要判断已知点是否在曲线上，再根据切线的斜率即导数值列方程解决问题．
解：(1)∵f(2)＝23＋2－16＝－6，
∴点(2，－6)在曲线上．
∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，
∴在点(2，－6)处的切线的斜率为
k＝f′(2)＝3×22＋1＝13.
∴切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)．
即y＝13x－32.
(2)解法一：设切点为(x0，y0)，
则直线l的斜率为f′(x0)＝3x＋1，
∴直线l的方程为：
y＝(3x＋1)(x－x0)＋x＋x0－16又∵直线l过点(0,0)，
∴0＝(3x＋1)(－x0)＋x＋x0－16，
整理得x＝－8，
∴x0＝－2，y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，
∴k＝3(－2)2＋1＝13，
∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．
解法二：设直线l的方程为y＝kx，切点为(x0，y0)，
则k＝＝.
又∵k＝f′(x0)＝3x＋1，
∴＝3x＋1，解得x0＝－2，
∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，
k＝3(－2)2＋1＝13.
∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．
(3)∵切线与直线y＝－＋3垂直，
∴斜率k＝4，∴设切点为(x0，y0)，
则f′(x0)＝3x＋1＝4，
∴x0＝±1，∴或.
即切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)．
切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18.
即y＝4x－18或y＝4x－14.
评析：解题过程中，很容易把所给的点当作曲线上的点，错误原因是没有把点代入方程进行检验．
21. 解：(1)f′(x)＝a－.
于是解得或
∵a，b∈Z，∴f(x)＝x＋.
(2)证明：已知函数y1＝x，y2＝都是奇函数，
∴函数g(x)＝x＋也是奇函数，其图象是以原点为中心的中心对称图形．而f(x)＝x＋＝ (x－1)＋＋1，
可知f(x)的图象是由g(x)的图象沿x轴正方向向右平移1个单位，再沿y轴正方向向上平移1个单位得到的．故函数f(x)的图象是以点(1,1)为中心的中心对称图形．
(3)证明：在曲线上任取一点，
由f′(x0)＝1－，知过此点的切线方程为
y－＝(x－x0)．
令x＝1，得y＝，
∴切线与直线x＝1交点为.
令y＝x，得x＝2x0－1，
∴切线与直线y＝x交点为(2x0－1,2x0－1)．
直线x＝1与y＝x交点为(1,1)．
从而所围的三角形的面积为
·|2x0－1－1|＝·|2x0－2|＝2.
∴所围的三角形的面积为定值2.
22. 解：（Ⅰ）
令，得.
当k>0时，的情况如下
x () (,k) k
+ 0 — 0 +
↗ ↘ 0 ↗
所以，的单调递减区间是（）和；单高层区间是当k<0时，的情况如下
x () (,k) k
— 0 + 0 —
↘ 0 ↗ ↘
所以，的单调递减区间是（）和；单高层区间是
（Ⅱ）当k>0时，因为，所以不会有
当k<0时，由（Ⅰ）知在（0，+）上的最大值是
所以等价于
解得.
故当时，k的取值范围是