用二元一次方程组解决问题
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(共18张PPT)
龙腾学校 庄华宏
1、解二元一次方程组的基本思路是什么？
基本思路:
消元: 二元
一元
2. 二元一次方程组解法有 .
代入法、加减法
例:解方程组
2x-7y = 8,
3x-8y-10 = 0.
解:
原方程组可化为
2x-7y = 8,
3x-8y = 10.
①
②
①×3,得
② ×2,得
6x-21y = 24
6x-16y = 20
③
④
③- ④,得
-5y = 4
y = -0.8
即
将y=-0.8代入①,得
2x-7×(-0.8) =8,
2x+5.6=8,
2x=8-5.6,
解得 x= 0.6
所以
x = 0.6 ,
y = -0.8 .
2x=1.2
某蔬菜公司收购到某种蔬菜140吨，准
备加工后上市销售.该公司的加工能力是：
每天可以精加工6吨或者粗加工16吨.现计划
用15天完成加工任务，该公司应安排几天粗
加工，几天精加工，才能按期完成任务？如
果每吨蔬菜粗加工后的利润为1000元，精加
工后为2000元，那么该公司出售这些加工后
的蔬菜共可获利多少元？
分 析
设应安排x天精加工，y天粗加工，填表：
工作时间 工作效率 工作量
精加工
粗加工
x天
y天
6吨/天
16吨/天
6x吨
16y吨
题目中蕴含着哪些相等关系？
精加工蔬菜可获利
粗加工蔬菜可获利
2000×6x
1000×16y
(元)
(元)
解:设应安排x天精加工,y天粗加工.根据题意,得
x+y=15,
6x+16y=140.
解这个方程组
x=10,
y=5.
出售这些加工后的蔬菜一共可获利
2000×6×10+1000×16×5
=200000
(元)
答:应安排10天精加工,5天粗加工,加工后出售共可获利200000元.
即
x+y=15,
3x+8y=70.
①
②
①×3,得
3x+3y=45,
3x+8y=70.
②
③
②- ③,得
5y=25,
y=5.
把y=5代入①,得
x+ =15,
5
x=10.
所以
有大小两种货车，2辆大车与3辆小车
一次可以运货15.50吨，5辆大车与6辆小
车一次可以运货35吨。
求：3辆大车与5辆小车一次可以运货
多少吨
分析：要解决这个问题的关键是求每辆
大车和每辆小车一次可运货多少吨
解决此题的
关键是什么？
小结
用方程(组)解实际问题的过程:
问题
方程(组)
解答
分析
抽象
求解
检验
分析和抽象的过程包括:
(1)审题，弄清题目中的数量关系，找出未知数，
用x、y表示所要求的两个未知数。
(2)找到能表示应用题全部含义的两个等量关系;（ 找等量关系的重要途径：列表法、画图法）
(3)根据两个等量关系，列出方程组。
列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、找、列、解、答”五步，即：
（1）审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数，并用字母表示其中的两个未知数；
（2）找：找出能够表示题意两个相等关系；
（3）列：根据这两个相等关系列出必需的代数式，从 而列出方程组；
（4）解：解这个方程组，求出两个未知数的值；
（5）答：在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案
1. 22名工人按定额完成了1400件产品,其中三级工每人每天定额200件,二级工每人每天定额50件.若这22名工人只有二级工与三级工,问二级工与三级工各有多少名
分析
二级工人数+三级工人数=22(人)
二级工定额完成产品件数
+
三级工定额完成产品件数
=1400(件)
解:
设二级工有 名,三级工有 名.根据题意,有
=22,
+
+
=1400.
①
②
即
解这个方程组,得
答:二级工有20名,三级工有2名.
2.为 改善富春河的周围环境,县政府决定,将该河上游A地的一部分牧场改为林场.改变后,预计林场和牧场共有162公顷,牧场面积是林场面积的20%.请你算一算,完成后林场、牧场的面积各为多少公顷
林场
牧场
(公顷)
（公顷）
解:设完成后林场面积为 公顷,牧场面积为 公顷,
根据题意,有
①
②
解这个方程组,
将②代入①,得
②,得
答:完成后林场面积为135公顷,牧场面积为27公顷.
3.某船的载重为260吨,容积这1000米3 .现有甲、乙两种货物要运，其中甲种货物每吨体积为8米3 ，乙种货物每吨体积为2米3 ，若要充分利用这艘船的载重与容积，甲、乙两种货物应各装多少吨？（设装运货物时无任何空隙）
载重(吨)
容积(米3 )
甲
乙
x
y
8x
2y
甲载重+乙载重=
260(吨)
甲容积+乙容积=
1000(米3 )
x
y
8x
2y
解:甲、乙两种货物应分别装x吨、y吨,
根据题意,有
②
①
②-①，得
①，得
答：甲、乙两种货物应分别装80吨、180吨.
列方程（组）解应用题
明确各类应用题中的基本数量关系，是正确列出方程的关键.常遇到的几类应用题及其基本关系如下：
1.行程问题：基本关系式为:速度×时间=距离
2.工程问题：基本关系式为:工作效率×工作时间=工作总量
计划数量×超额百分数=超额数量
计划数量×实际完成百分数=实际数量
3.混合物问题：基本关系式为:各种混合物重量之和=混合后的总重量
混合前纯物重量=混合后纯物重量
混合物重量×含纯物的百分数=纯物的重量
4.航行问题：基本关系式为:静水速度+水速=顺水速度
静水速度-水速=逆水速度
5.数字问题要注意各数位上的数字与数位的关系.
6.倍比问题，要注意一些基本关系术语，如：倍、分、大、小等.
作业
寄语：阿基米德说，
给我一个支点，
我能撑起整个地球；
我们说，
学会了方程，
一切问题都将在我的脚下。
做一做:课本31页第2、3、4题
2.第一小组的同学分铅笔若干枝.若其中有4人每各取4枝,其余的人每人取3枝,则还剩16枝;若有1人只取2枝,则其余的人恰好每人各可得6枝,问同学有多少人 铅笔有多少枝
解:设同学有x人,铅笔有y枝,
根据题意,有
y=4×4+3(x-4)+16,
y=1×2+6(x-1).
即
y=3x+20,
y=6x-4.
答:设同学有8人,铅笔有44枝.
①
②
②代入①,得
3x+20,
6x-4=
6x-3x=
20+4,
3x=24,
x=8.
把x=8代入①,得
y=44.
做一做:课本31页第2、3、4题
3.有一批机器零件共418个,若甲先做2天,乙再加入合作,则再做2天可超产2个;若乙先做3天, 然后两人再共做2天,则还有 8个未完成.问甲、乙两人每天各做多少个零件？
(1)甲先做2天,乙再加入合作共做2天,可超产2个
(2)乙先做3天, 然后两人再共做2天,还有8个未完成
(甲共做4天)
(乙共做2天)
4x
2y
(乙共做5天)
(甲共做2天)
2x
5y
甲完成个数
乙完成个数
甲完成个数
乙完成个数
+
= 418 + 2
+
= 418 - 8
解:设甲每天做 x 个零件,乙每天做 y 个零件,
根据题意,有
①
②
做一做:课本31页第2、3、4题
( )
作业
作业精编P30-31
龙腾学校 庄华宏
1、解二元一次方程组的基本思路是什么？
基本思路:
消元: 二元
一元
2. 二元一次方程组解法有 .
代入法、加减法
例:解方程组
2x-7y = 8,
3x-8y-10 = 0.
解:
原方程组可化为
2x-7y = 8,
3x-8y = 10.
①
②
①×3,得
② ×2,得
6x-21y = 24
6x-16y = 20
③
④
③- ④,得
-5y = 4
y = -0.8
即
将y=-0.8代入①,得
2x-7×(-0.8) =8,
2x+5.6=8,
2x=8-5.6,
解得 x= 0.6
所以
x = 0.6 ,
y = -0.8 .
2x=1.2
某蔬菜公司收购到某种蔬菜140吨，准
备加工后上市销售.该公司的加工能力是：
每天可以精加工6吨或者粗加工16吨.现计划
用15天完成加工任务，该公司应安排几天粗
加工，几天精加工，才能按期完成任务？如
果每吨蔬菜粗加工后的利润为1000元，精加
工后为2000元，那么该公司出售这些加工后
的蔬菜共可获利多少元？
分 析
设应安排x天精加工，y天粗加工，填表：
工作时间 工作效率 工作量
精加工
粗加工
x天
y天
6吨/天
16吨/天
6x吨
16y吨
题目中蕴含着哪些相等关系？
精加工蔬菜可获利
粗加工蔬菜可获利
2000×6x
1000×16y
(元)
(元)
解:设应安排x天精加工,y天粗加工.根据题意,得
x+y=15,
6x+16y=140.
解这个方程组
x=10,
y=5.
出售这些加工后的蔬菜一共可获利
2000×6×10+1000×16×5
=200000
(元)
答:应安排10天精加工,5天粗加工,加工后出售共可获利200000元.
即
x+y=15,
3x+8y=70.
①
②
①×3,得
3x+3y=45,
3x+8y=70.
②
③
②- ③,得
5y=25,
y=5.
把y=5代入①,得
x+ =15,
5
x=10.
所以
有大小两种货车，2辆大车与3辆小车
一次可以运货15.50吨，5辆大车与6辆小
车一次可以运货35吨。
求：3辆大车与5辆小车一次可以运货
多少吨
分析：要解决这个问题的关键是求每辆
大车和每辆小车一次可运货多少吨
解决此题的
关键是什么？
小结
用方程(组)解实际问题的过程:
问题
方程(组)
解答
分析
抽象
求解
检验
分析和抽象的过程包括:
(1)审题，弄清题目中的数量关系，找出未知数，
用x、y表示所要求的两个未知数。
(2)找到能表示应用题全部含义的两个等量关系;（ 找等量关系的重要途径：列表法、画图法）
(3)根据两个等量关系，列出方程组。
列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、找、列、解、答”五步，即：
（1）审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数，并用字母表示其中的两个未知数；
（2）找：找出能够表示题意两个相等关系；
（3）列：根据这两个相等关系列出必需的代数式，从 而列出方程组；
（4）解：解这个方程组，求出两个未知数的值；
（5）答：在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案
1. 22名工人按定额完成了1400件产品,其中三级工每人每天定额200件,二级工每人每天定额50件.若这22名工人只有二级工与三级工,问二级工与三级工各有多少名
分析
二级工人数+三级工人数=22(人)
二级工定额完成产品件数
+
三级工定额完成产品件数
=1400(件)
解:
设二级工有 名,三级工有 名.根据题意,有
=22,
+
+
=1400.
①
②
即
解这个方程组,得
答:二级工有20名,三级工有2名.
2.为 改善富春河的周围环境,县政府决定,将该河上游A地的一部分牧场改为林场.改变后,预计林场和牧场共有162公顷,牧场面积是林场面积的20%.请你算一算,完成后林场、牧场的面积各为多少公顷
林场
牧场
(公顷)
（公顷）
解:设完成后林场面积为 公顷,牧场面积为 公顷,
根据题意,有
①
②
解这个方程组,
将②代入①,得
②,得
答:完成后林场面积为135公顷,牧场面积为27公顷.
3.某船的载重为260吨,容积这1000米3 .现有甲、乙两种货物要运，其中甲种货物每吨体积为8米3 ，乙种货物每吨体积为2米3 ，若要充分利用这艘船的载重与容积，甲、乙两种货物应各装多少吨？（设装运货物时无任何空隙）
载重(吨)
容积(米3 )
甲
乙
x
y
8x
2y
甲载重+乙载重=
260(吨)
甲容积+乙容积=
1000(米3 )
x
y
8x
2y
解:甲、乙两种货物应分别装x吨、y吨,
根据题意,有
②
①
②-①，得
①，得
答：甲、乙两种货物应分别装80吨、180吨.
列方程（组）解应用题
明确各类应用题中的基本数量关系，是正确列出方程的关键.常遇到的几类应用题及其基本关系如下：
1.行程问题：基本关系式为:速度×时间=距离
2.工程问题：基本关系式为:工作效率×工作时间=工作总量
计划数量×超额百分数=超额数量
计划数量×实际完成百分数=实际数量
3.混合物问题：基本关系式为:各种混合物重量之和=混合后的总重量
混合前纯物重量=混合后纯物重量
混合物重量×含纯物的百分数=纯物的重量
4.航行问题：基本关系式为:静水速度+水速=顺水速度
静水速度-水速=逆水速度
5.数字问题要注意各数位上的数字与数位的关系.
6.倍比问题，要注意一些基本关系术语，如：倍、分、大、小等.
作业
寄语：阿基米德说，
给我一个支点，
我能撑起整个地球；
我们说，
学会了方程，
一切问题都将在我的脚下。
做一做:课本31页第2、3、4题
2.第一小组的同学分铅笔若干枝.若其中有4人每各取4枝,其余的人每人取3枝,则还剩16枝;若有1人只取2枝,则其余的人恰好每人各可得6枝,问同学有多少人 铅笔有多少枝
解:设同学有x人,铅笔有y枝,
根据题意,有
y=4×4+3(x-4)+16,
y=1×2+6(x-1).
即
y=3x+20,
y=6x-4.
答:设同学有8人,铅笔有44枝.
①
②
②代入①,得
3x+20,
6x-4=
6x-3x=
20+4,
3x=24,
x=8.
把x=8代入①,得
y=44.
做一做:课本31页第2、3、4题
3.有一批机器零件共418个,若甲先做2天,乙再加入合作,则再做2天可超产2个;若乙先做3天, 然后两人再共做2天,则还有 8个未完成.问甲、乙两人每天各做多少个零件？
(1)甲先做2天,乙再加入合作共做2天,可超产2个
(2)乙先做3天, 然后两人再共做2天,还有8个未完成
(甲共做4天)
(乙共做2天)
4x
2y
(乙共做5天)
(甲共做2天)
2x
5y
甲完成个数
乙完成个数
甲完成个数
乙完成个数
+
= 418 + 2
+
= 418 - 8
解:设甲每天做 x 个零件,乙每天做 y 个零件,
根据题意,有
①
②
做一做:课本31页第2、3、4题
( )
作业
作业精编P30-31