函数的单调性与导数

(共31张PPT)
首先我们回忆一下函数的单调性的概念和导数的几何意义.
y
x
0
a
b
c
严格地说,对于给定区间上的函数 f(x), 如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值 x1, x2, 当x1　(1)若f(x1)　(2)若f(x1)>f(x2), 那么f(x)在这个区间上是减函数.
直观地来看,如图从a到b曲线是上升的,说函数f(x)在区间(a,b)上是增函数;
从b到c曲线是下降的,
说函数f(x)在区间(b,c)上
是减函数.
y
x
0
a
b
c
观察曲线上升的时候,每一点的切线的斜率的大小;曲线下降的时候,每一点的切线的斜率的大小,你发现了什么规律
y
x
0
a
b
c
考察函数的单调性与导数的关系：
2
y
x
0
.
.
.
.
.
.
.
观察函数y=x2－4x＋3的图象：
总结:
该函数在区间(－∞,2)上单调递减,切线斜率小于0,即其导数为负;
该函数在区间(2,+∞)上单调递增,切线斜率大于0,即其导数为正.
而当x=2时其切线斜率为0,即导数为0.我们称它为“临界点”(或驻点).
观察下列图象的单调区间,
并求单调区间相应的导数.
图象是单调上升的.
观察y=x
图象是单调上升的.
图象是单调下降的.
在x∈(-∞,0)内
图象是单调下降的.
在x∈( 0,+∞)内
若函数在区间(a,b)内单调递增，我们发现在（a，b）上切线的斜率为正，即
在（a，b）内的每一点处的导数值为正
若函数在区间(a,b)内单调递减，发现在（a，b）上切线的斜率为负，即在(a,b)内的每一点处的导数值为负，
a
b
y=f(x)
x
o
y
y=f(x)
x
o
y
a
b
f '(x)>0
f '(x)<0
如果在某个区间内恒有 ,则 为常数.
分析：从图形看
若函数在区间(a,b)内单调递增，我们发现在（a，b）上切线的斜率为正，
即在（a，b）内的每一点处的导数值为正
若函数在区间(a,b)内单调递减，发现在（a，b）上切线的斜率为负，
即在(a,b)内的每一点处的导数值为负，
函数的单调性与其导函数正负的关系:
当函数y=f (x)在某个区间内可导时，
如果 , 则f (x)为增函数；
如果 , 则f (x)为减函数。
注意：应正确理解 “ 某个区间 ” 的含义,它必是定义域内的某个区间。
例1、已知导函数 的下列信息：
当10;
当x>4,或x<1时， <0;
当x=4,或x=1时， =0.则函数f(x)图象的大致形状是(　　）。
x
y
o
1
4
x
y
o
1
4
x
y
o
1
4
x
y
o
1
4
A
B
C
D
D
例2、判断下列函数的单调性，并求出
单调区间：
(1) f(x)=x3+3x ;
解： =3x2+3=3(x2+1)>0
从而函数f(x)=x3+3x
在x∈R上单调递增，
见右图。
(2) f(x)=x2-2x-3 ;
解： =2x-2=2(x-1)>0
图象见右图。
当 >0，即x>1时，函数单调递增；
当 <0，即x<1时，
函数单调递减；
(3) f(x)=sinx-x ; x∈(0,p)
解： =cosx-1<0
从而函数f(x)=sinx-x
在x∈(0, )单调递减，
见右图。
(4) f(x)=2x3+3x2-24x+1 ;
解： =6x2+6x-24=6(x2+x-4)>0
当 >0，
即 时，
函数单调递增；
图象见右图。
当 <0，
即 时，
函数单调递减；
求函数的单调区间的一般步骤:
(1) 求出函数 f(x)的定义域A；
(2) 求出函数f(x) 的导数 ；
(3)不等式组
的解集为f(x)的单调增区间；
(4)不等式组
的解集为f(x)的单调减区间；
练习：课本93页 1
练习：课本93页 3（4班）
练习：课本93页 4
例3、如图，水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象。
课堂练习
设f/(x)是函数f(x)的导函数,y= /(x)的图象如左图所示,则y= (x)的图象最有可能的是( )
x
y
O
1
2
(B)
x
y
O
1
2
(A)
x
y
O
1
2
y
x
1
2
(C)
O
x
y
O
1
2
(D)
一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图像就比较“陡峭”；反之，函数的图像就“平缓”一些。
课堂练习
设f/(x)是函数f(x)的导函数,y= /(x)的图象如左图所示,则y= (x)的图象最有可能的是( )
x
y
O
1
2
(B)
x
y
O
1
2
(A)
x
y
O
1
2
y
x
1
2
(C)
O
x
y
O
1
2
(D)
练习：课本93页 2