2020-2021学年高一数学人教A版必修2第二章第8讲空间的垂直同步练习（Word解析版）

2020-2021学
年
高
一
下
学
期
空
间
的
垂
直
问
题
精
编
1、三棱柱???
?
?1?1?1中，侧棱??1
⊥底面?1?1?1，底面三角形?1?1?1是正三角形，?是??中
点，则下列叙述正确的是（
）．
A.
??1与?1?是异面直线
B.
??
⊥平面???1?1
C.
??，?1?1为异面直线，且??
⊥
?1?1
D.
?1?1//平面??1?
2、如图，△
???是等腰直角三角形，其中∠?
=
90°，且??
⊥
??，∠???
=
30°，现将△
???折起，使得二面角?
?
??
?
?的平面角为直角，则下列叙述正确的是(
)
①
→
→
；
??
?
??
=
0
②平面???的法向量与平面???的法向量垂直
③异面直线??与??所成的角为60°；
④直线??与平面???所成的角为30°．
A.
①③
B.
①④
C.
①③④
D.
①②③④
3、对于任意的直线?与平面?，在平面?内必有直线?，使?与?（
）．
A.
平行
B.
相交
C.
垂直
D.
互为异面直线
4、三棱锥?
?
???中，侧面???
⊥底面???，∠???
=
45°，??
=
??，??
=
??，则（
）．
A.
??
⊥
??
B.
??
⊥
??
C.
??
⊥
??
D.
??
⊥
??
(
1
)
5、如图，在正四面体?
?
???中，?、?、?分别是棱??、??、??的中点，下面四个结论中不成立的是（
）．
A.
??//平面???
B.
??
⊥平面???
C.
平面???
⊥平面???
D.
平面???
⊥平面???
6、已知??
⊥平面???，??
⊥平面???，△
???为等边三角形，边长为2?，??
=
??
=
2??，?
为??的中点．
(1)
求证：??//平面???；
(2)
求证：平面???
⊥平面???．
7、下列五个正方体图形中，?是正方体的一条体对角线，点?、?、?分别为其所在棱的中点，能得出?
⊥平面???的图形的序号是
．（写出所有符合要求的图形序号）．
8、在正四面体?
?
???中，?，?，?分别是边??，??，??的中点，则下列四个结论中不成立的是
（
）．
A.
??//平面???
B.
??
⊥平面???
C.
平面???
⊥平面???
D.
平面???
⊥平面???
9、如图，??是⊙
?的直径，?是圆周上不同于?，?的任意一点，??
⊥平面???，则四面体?
?
???的四个面中，直角三角形的个数是(
)
A.
4个
B.
3个
C.
2个
D.
1个
10、如图，?为圆锥的顶点，?是圆锥底面的圆心，??为底面直径，??
=
??．△
???是底面圆的内接正三角形，?为??上一点，??
=
√6
??．
6
证明：??
⊥平面???．
11、如图，在三棱柱???
?
?1?1?1中，??1
⊥平面???，?，?，?，?分别为??1，??，?1?1，
??1的中点，??
=
??
=
√5，??
=
??1
=
2．
求证：??
⊥平面???．
12、如图，在底面是菱形的四棱锥?
?
????中，∠???
=
60°，??
=
??
=
?，??
=
??
=
√2?，点?在??上，且??:
??
=
2:
1．
(1)
证明：??
⊥平面????．
在棱??上是否存在一点?，使三棱锥?
?
???是正三棱锥？证明你的结论．
13、如图，在正方形??1?2?3中，?，?分别是?1?2，?2?3的中点，?是??的中点，现在沿??，
??及??把这个正方形折成一个四面体，使?1，?2，?3三点重合，重合后的点记为?，那么在四面体?
?
???中，必有（
）．
A.
??
⊥△
???所在平面
B.
??
⊥△
???所在平面
C.
??
⊥△
???所在平面
D.
??
⊥△
???所在平面
14、如图，在梯形????中，??//??，??
=
??
=
??
=
1，∠???
=
120°，四边形????为矩形，平面????
⊥平面????，??
=
1．
求证：??
⊥平面????．
15、设?，?是两条不同的直线，?，?，?是三个不同的平面，给出下列四个命题：
①若?
⊥
?，?//?，则?
⊥
?
②若?//?，?//?，?
⊥
?，则?
⊥
?
③若?//?，?//?，则?//?
④若?
⊥
?，?
⊥
?，则?//?
其中正确命题的序号是(
)
A.
①和②
B.
②和③
C.
③和④
D.
①和④
16、如图，四棱柱????
?
?1?1?1?1的底面????是平行四边形，??
⊥
??，侧面?1???1
⊥底面
????，?,
?分别是??,
?1?的中点．
(1)
求证：??//平面?1???1．
(2)
求证：??
⊥
??．
(3)
在线段??上是否存在点?，使得??
⊥平面?1?1?？并说明理由．
17、如图，在三棱柱???
?
?1?1?1中，??
=
??
=
??1
=
2，??1
⊥平面???，??1
⊥
??，?，
?分别是??，?1?1的中点．
(1)
证明：??
⊥
?1?1．
(2)
证明：??//平面??1?1?．
18、在如图所示的几何体中，四边形????是正方形，??
⊥平面????，??//MA，?，?，?分别为??，??，??的中点，且??
=
??
=
2??．
(1)
求证：平面???
⊥平面???．
(2)
求三棱锥?
?
???与四棱锥?
?
????的体积之比．
19、已知平面?与平面?相交，直线?
⊥
?，则(
)
?内必存在直线与?平行，且存在直线与?垂直
?内不一定存在直线与?平行，也不一定存在直线与?垂直
?内不一定存在直线与?平行，但必存在直线与?垂直
?内必存在直线与?平行，但不一定存在直线与?垂直
20、如图，在四棱锥?
?
????中，??
⊥平面????，底面????为矩形，??
=
??
=
4，??
=
2，?为??的中点．
(1)
求证：??
⊥平面???．
(2)
求三棱锥?
?
???的体积．
在线段??上是否存在一点?，使得??//平面???，若存在，求出??的长．若不存在，请说明理由．（本题不能使用空间向量解题）
21、如图所示，在四棱锥?
?
????中，??//??，??
⊥
??，侧面???为等边三角形．??
=
??
=
2，??
=
??
=
1．
(1)
证明：??
⊥平面???．
(2)
求??与平面???所成角的正弦值．
22、如图所示，正方形????和四边形????所在的平面互相垂直．??//??，??
=
√2，
??
=
??
=
1．
(1)
求证：??//平面???．
(2)
求证：??
⊥平面???．
23、在三棱柱???
?
?1?1?1中，??
⊥
??，?1?
⊥平面???，?，?分别是??，?1?的中点．
(1)
求证：??//平面??1?1．
(2)
求证：平面??1?
⊥平面???1．
24、如图，在正方体????
?
?1?1?1?1中，?为棱??1的中点，?为线段??的中点．
(1)
证明：直线??1//平面???．
求异面直线??和??1所成角的余弦值．
证明：?1?
⊥
??．（本题不能使用空间向量解题）
25、如图，在四棱锥?
?
????中，底面????为等腰梯形，??//??且??
=
2??
=
4，??
=
??
=
??
=
√5，?为??的中点，?为??的中点．
(1)
求证：??//平面???．
(2)
若平面???
⊥平面????，求证：??
⊥
??．
26、三棱柱???
?
?1?1?1被平面?1?1?截去一部分后得到如图所示几何体，??1
⊥平面???，
∠???
=
90°，??
=
??1，?为棱?1?上的动点(不包含端点)，平面???交?1?于点?．
(1)
求证：??//??．
(2)
若点?为?1?中点，求证：平面???
⊥平面?1?1?．
27、如图，四棱锥?
?
????的底面为平行四边形，点?、?分别在??、??上，?为??中点，且
??
⊥平面????．
(1)
若??
⊥
??，求证：平面???
⊥平面???；
(2)
求证：??//平面???．
28、如图，?为圆锥的顶点，?是圆锥底面的圆心，△
???是底面的内接正三角形，?为??上一点，
∠???
=
90°．
(1)
证明：平面???
⊥平面???．
(2)
设??
=
√2，圆锥的侧面积为√3?，求三棱锥?
?
???的体积．
29、如图，在直角梯形????中，??//??，∠???
=
?，??
=
??
=
1
??
=
?，?是??的中点，
2
2
?是??与??的交点．将△
???沿??折起到如图2中△
?1??的位置，得到四棱锥?1
?
????．
(1)
证明：??
⊥平面?1??．
(2)
当平面?1??
⊥平面????时，四棱锥?1
?
????的体积为36√2，求?的值．
30、如图，四棱锥?
?
????中，??
⊥平面???，??//??，??
=
??
=
1
??，?，?分别为线段
2
??，??的中点．
(1)
求证：??//平面???．
(2)
求证：??
⊥平面???．
2021
春季第
8
讲空间的垂直问题姣姐精编题解析
、
C
【解析】
A
选项
:
??1
与?1?
都在平面??1?1?
内，故不是异面直线，A错误；
B
选项
:
若??
⊥
平面???1?1
，又??
?平面???1?1，∴??
⊥
??
，
由题干知三角形?1?1?1
是正三角形，∴??
与??
成60°
矛盾，B
错误；
C
选项
:
由题图可知??
，?1?1
为异面直线，
∵?
是??
中点，三角形???
为正三角形，∴??
⊥
??
，
又??//?1?1
，∴??
⊥
?1?1
，C正确；
D
选项
:
若?1?1//平面??1?
，∵??//?1?1
，∴??//
平面??1?
，
而??与平面??1?相交
，矛盾，D
错误．
、
B
→
→
【解析】
∵平面???
∩平面???
=
??，??
⊥
??，∴
??
⊥平面???，∴
??
⊥
??，∴
??
?
??
=
0，故①正确；∵平面???
⊥平面???，∴平面???与平面???不垂直，∴平面???的法向量与平面
???的法向量不垂直，故②错误；分别取??、??、??中点?、?、?，连接??、??、??、
??．∵
??//??，??//??，∴
∠???或其补角为直线??与??所成的角．设??
=
2，则??
=
2√3，??
=
??
=
√6，∴
??
=
√3．∴
??
=
√10，∴
??
=
√
10．∵直角三角形???中，∠???
=
2
5
17
90°，??
=
1，??
=
√
30，∴
??
=
√34，∴
cos
∠???
=
3+2?
2
=
?
√30
∴
??与??所
2
2
2
3×√
10
，
异面直线
10
√
2
成的角为arccos
√
30，故③错误；∵
??
⊥平面???，∴
∠???为直线??与平面???所成的角，∴直
10
线??与平面???所成的角为30°，故④正确．综上，选
B．
、
C
【解析】
对于任意的直线?与平面?，分两种情况：
（1）若直线?
?
?，则?与?是共面直线，则存在直线?
⊥
?或?//?；
（2）?不在平面?内，且?
⊥
?，则平面?内任意一条直线都垂直于?；若?与?不垂直，则它的射影在平面?内为一条直线，在平面?内必存在直线?垂直于它的射影，则?与?垂直；若?//?，则存在直线?
⊥
?．
综上所述，对于任意的直线?和平面?，在平面?内必有直线?，使?与?垂直．故选C．
、
C
【解析】
A
选项
:
∵∠???
=
45?，??
=
??，∴∠???
=
∠???
=
45?．故A错误．
B
选项
:
若??
⊥
??，又??
?平面???，??
?平面???，平面???
⊥
平面???，则??
⊥
平面
???，与∠???
=
45?矛盾，故B错误．
C
选项
:
取??边中点?，连接??，??．
∵??
=
??，??
=
??．∴??
⊥
??，??
⊥
??．
又??
?平面???，??
?平面???，??
∩
??
=
?，
∴??
⊥
平面???，又??
?平面???，∴??
⊥
??．故C正确．
D
选项
:
若??
⊥
??，又??
?平面???，??
?平面???，平面???
⊥平面???．
则??
⊥
平面???，与∠???
=
45?矛盾，故D错误．
、
C
【解析】
正四面体?
?
???中，?、?分别为边??、??的中点，显然??//??，所以??//平面
???；假设?点在底面的射影为点?，则??
⊥
??，而??
⊥
??，所以??
⊥平面???；因为??
⊥
平面???，而??与平面???相交，故平面???与平面???不垂直；?点在直线??上，则平面
???
⊥平面???．
、
【解析】
(1)
如图，取??中点?，连接??，??．
因为??
⊥平面???，??
⊥平面???，所以??//??．
1
又因为?为??中点，所以??//??，且??
=
1
??，
2
即有??//??．因为??
=
??，所以??
=
??．
2
所以四边形????为平行四边形，??//??．
又??
?平面???，??
?平面???，所以??//平面???．
(2)
∵△
???为正三角形，∴??
⊥
??．
∵??
⊥平面???
又??
?平面???，∴??
⊥
??．
又??
⊥
??，??
∩
??
=
?，∴??
⊥平面???．
又??//AF，∴??
⊥平面???．
又∵??
?平面???，∴平面???
⊥平面???．
7
、
①④⑤
【解析】
设定正方体的顶点如图，连接??，??，
∵
?，?分别为??、??中点，
∴
??//AC，
∵四边形????为正方形，
∴
??
⊥
??，
∵
??′
⊥平面????，??
?平面????，
∴
??′
⊥
??，
∵
??′
∩
??
=
?，??′
?平面???′，??
?平面???′，
∴
??
⊥平面???′，
∵
??′
?平面???′，
∴
??
⊥
??′，
∵
??//AC，
∴
??′
⊥
??，
同理可证??′
⊥
??，??′
⊥
??，
∵
??
∩
??
=
?，??
?平面???，??
?平面???，
∴
??′
⊥平面???，即?垂直于平面???，故①正确，
④中由①中证明可知?
⊥
??，
∵
??//AC，
??
⊥
?，
∴
?
⊥
??，
∴
?
⊥平面???，
同理可证明⑤中?
⊥平面???．
、
C
【解析】
A选项，如图所示，
因为点?，?分别为线段??，??的中点，
所以有??//??，且??
?平面???，
所以??//平面???，所以A项不符合题意；
B选项，如图所示，
因为?
?
???是正四面体，
所以△
???，△
???为正三角形，且点?为??中点，故??
⊥
??，??
⊥
??，
又由A选项得知??//??，所以??
⊥
??，??
⊥
??，且??
∩
??
=
?，
所以??
⊥平面???，所以B项不合题意；
C选项，如图所示，
过点?作底面???的垂线，
根据正四面体的性质，可知垂足?为△
???的重心，即??
⊥平面???，
根据三角形重心的性质，可知?点不在??上，
所以直线??与平面???相交于?点，
所以平面???与平面???不垂直，所以选项C符合题意；
D选项，如图所示，
由C项和正三角形的性质可知点?在线段??上，且??
⊥平面???．
而??
?平面???，??
?平面???，
所以平面???
⊥平面???，所以D项不合题意．
、
A
【解析】
∵
??是圆?的直径，
∴
∠???
=
90°，即??
⊥
??，三角形???是直角三角形，
又∵
??
⊥圆?所在的平面，
∴△
???，△
???是直角三角形．
且??在这个平面内，
∴
??
⊥
??，因此
??垂直于平面???中两条相交直线，
∴
??
⊥平面???，
∴△
???是直角三角形.
从而△
???，△
???，△
???，△
???是直角三角形，∴在四面体?
?
???中直角三角形的个数是4．
故选：A．
、
【解析】
设??
=
?，由题设可得??
=
√
6
?，??
=
√
3
?，??
=
?，??
=
??
=
??
=
√
2
?，
6
3
2
因此??2
+
??2
=
??2，从而??
⊥
??，
又??2
+
??2
=
??2，故??
⊥
??，
所以??
⊥平面???．
、
【解析】
∵??
=
??，且?是??的中点，
∴??
⊥
??，
∵在三棱柱???
?
?1?1?1中，?，?分别是??，?1?1的中点，
∴??//??1
∵??1
⊥平面???，
∴??
⊥平面???，
∵??
?平面???，
∴??
⊥
??，
∵??，??
?平面???，??
∩
??
=
?，
∴??
⊥平面???．
、
【解析】
(1)
∵底面????是菱形，∠???
=
60°，
∴??
=
??
=
??
=
?．
在△
???中，由??
=
??
=
?，知??2
+
??2
=
2?2
=
??2，则??
⊥
??．
同理??
⊥
??．
又??
∩
??
=
?，
∴??
⊥平面????．
(2)
在棱??上不存在点?，使三棱锥?
?
???是正三棱锥．
事实上，假设在棱??上存在点?，使三棱锥?
?
???是正三棱锥．
过?作底面???的垂线，垂直为?，则?为△
???的中心，
在平面???内，过?作??//??，交??于?，则??
⊥平面???，
这样，过平面???外一点?，有两条直线??，??与平面???垂直，错误．
故假设不成立，即在棱??上不存在点?，使三棱锥?
?
???是正三棱锥．
13
、
B
【解析】
∵在折叠过程中，始终有??1
⊥
?1?，??3
⊥
?3?，
即??
⊥
??，??
⊥
??，
∴??
⊥平面???．故选B．
、
【解析】
在梯形????中，
∵??//??，??
=
??
=
??
=
1，∠???
=
120°，∴??
=
2．
∴??2
=
??2
+
??2
?
2??
?
??
?
cos
60°
=
3，
∴??2
=
??2
+
??2，∴??
⊥
??．
∵平面????
⊥平面????，平面????
∩平面????
=
??，??
?平面????，??
⊥
??，
∴??
⊥平面????，
∴??
⊥
??，又??
∩
??
=
?，
∴??
⊥平面????．
、
A
【解析】
对于①，因为?//?，所以经过?作平面?，使?
∩
?
=
?，可得?//?，
又因为?
⊥
?，?
?
?，所以?
⊥
?，结合?//?得?
⊥
?．由此可得①是真命题；
对于②，因为?//?且?//?，所以?//?，结合?
⊥
?，可得?
⊥
?，故②是真命题；
对于③，设直线?、?是位于正方体上底面所在平面内的相交直线，
而平面?是正方体下底面所在的平面，
则有?//?且?//?成立，但不能推出?//?，故③不正确；
对于④，设平面?、?、?是位于正方体经过同一个顶点的三个面，
则有?
⊥
?且?
⊥
?，但是?
⊥
?，推不出?//?，故④不正确．
综上所述，其中正确命题的序号是①和②
故选：A．
、
【解析】
(1)
方法一：
取??1中点?，连接??，??．
在△
??1?中，
因为?,
?分别为?1?,
?1?中点，
1
所以??//??，??
=
??．
2
在平行四边形????中，因为??//??，?为??中点，
所以??//??，??
=
??．
所以四边形????是平行四边形．
所以??//??．
又因为??
?平面?1???1，??
?平面?1???1，
所以??//平面?1???1．
方法二：
取??的中点?，连接??，??．
在△
??1?中
因为?,
?分别为?1?,
??的中点，
所以??//??1．
在平行四边形????中，?,
?分别为??,
??的中点，
所以??//??．
又因为??
∩
??
=
?，??,
??
?平面???，??1
∩
??
=
?，??1,
??
?平面?1???1，
所以平面???//平面?1???1．
又因为??
?平面???，
所以??//平面?1???1．
(2)
因为平面?1???1
⊥平面????
，平面?1???1
∩平面????
=
??，
??
⊥
??，??
?平面????，
所以??
⊥平面?1???1．
由(1)知??//平面?1???1，??
?平面?1???1，
所以??
⊥
??．
(3)
在线段??上不存在点?使得??
⊥平面?1?1?．
假设存在点?使得??
⊥平面?1?1?，
因为?1?1
?平面?1?1?，
所以??
⊥
?1?1．
而??与?1?1不垂直，矛盾．
所以在线段??上不存在点?使得??
⊥平面?1?1?．
、
【解析】
(1)
因为??1
⊥平面???，??
?平面???，
所以??1
⊥
??．
因为??1
⊥
??，??1
∩
??1
=
?，??1，??1
?平面??1?1，
所以??
⊥平面??1?1．
因为?1?1
?平面??1?1，
所以??
⊥
?1?1．
(2)
取?1?1的中点?，连接??、??．
(
1
)因为?、?分别是?1?1、?1?1的中点，
所以??//?1?1，且??
=
2
?1?1．
1
在三棱柱???
?
?1?1?1中，??//?1?1，且??
=
2
?1?1，
所以??//??，且??
=
??，
所以四边形????是平行四边形，
所以??//??．
又??
?平面??1?1?，??
?平面??1?1?，
所以??//平面??1?1?．
、
【解析】
(1)
因为??
⊥平面????，??//MA，
所以??
⊥平面????．
又??
?平面????，
所以??
⊥
??．
因为四边形????为正方形，所以??
⊥
??．
又??
∩
??
=
?，
因此??
⊥平面???
在△
???中，因为?，?分别为??，??的中点，所以??//BC，因此??
⊥平面???．
又??
?平面???，所以平面???
⊥平面???．
(2)
因为??
⊥平面????，四边形????为正方形，不妨设??
=
1，则??
=
??
=
2，
?
1
8
所以
??????
=
3
?正方形????
?
??
=
3．
由于??
⊥平面???，且??//MA，
所以??即为点?到平面???的距离，
?
1
所
以
?????
=
3
?△???
?
??
=
1
×
3
1
×
1
×
2
×
2
=
2．
2
3
所以??????:
???????
=
1:
4．
、
C
【解析】
若?内存在直线?与?平行，由?
⊥
?知?
⊥
?，从而?
⊥
?，但?与?相交却不一定垂直，
矛盾．又设?
∩
?
=
?，由?
⊥
?知?
⊥
?，从而?内必有直线与?垂直．
、
【解析】
(1)
??
⊥平面????，
∴??
⊥
??，
∵????是矩形，
∴??
⊥
??，
∵??
∩
??
=
?，
∴??
⊥平面???，
∴??
⊥
??．
又∵??
=
??，?为??中点，
∴??
⊥
??，
∵??
∩
??
=
?，
∴??
⊥平面???．
(2)
?
=
?
1
1
1
1
1
1
1
8．
?????
?????
=
2
??????
=
2
??????
=
2
×
3
?
?△???
?
|??|
=
2
×
2
×
4
×
2
×
4
×
3
=
3
(3)
存在，当?为??中点时，??//面???，
此时??
=
1
??
=
2
1
√42
2
+
22
=
√5．
证明：∵?、?分别是??、??中点，
∴??//??，
∵??
?面???，
??
?面???，
∴??//面???．
、
【解析】
(1)
证明：如图所示，取??的中点?，连接??，则四边形????为矩形，
??
=
??
=
2．
连接??，则??
⊥
??，??
=
√3．
又??
=
1，故??2
=
??2
+
??2，所以∠???为直角．
由??
⊥
??，??
⊥
??，??
∩
??
=
?，得??
⊥平面???，所以??
⊥
??．
又??
∩
??
=
?，所以??
⊥平面???．
(2)
因为??
⊥平面???，且??
?平面????，所以平面????
⊥平面???，
作??
⊥
??，垂足为?，则??
⊥平面????，??
=
??×??
=
√3，
??
2
作??
⊥
??，垂足为?，则??
=
??
=
1．
连接??，则??
⊥
??，
又??
⊥
??，??
∩
??
=
?，故??
⊥平面???，平面???
⊥平面???，
作??
⊥
??，?为垂足，则??
⊥平面???．
于是??
=
??×??
=
√3
=
√21，即?到平面???的距离?为√21，
??
√7
7
7
因为??//??，所以??//平面???，?到平面???的距离?也为√21．
设??与平面???所成的角为?，则sin
?
=
?
??
7
=
√21．
7
、
【解析】
(1)
证明：如图所示，设??与??交于点?．
1
因为??//??，且??
=
1，??
=
??
=
1，所以四边形????为平行四边形，因此??//??．
2
因为??
?平面???，??
?平面???，所以??//平面???．
(2)
证明：如图，连接??．
因为??//??，??
=
??
=
1，且??
=
1，所以平行四边形????为菱形，因此??
⊥
??．
因为四边形????为正方形，所以??
⊥
??．
又因为平面????
⊥平面????，且平面????
∩平面????
=
??，所以??
⊥平面????．
因此??
⊥
??．
又??
∩
??
=
?，所以??
⊥平面???．
、
【解析】
(1)
证明：因为?，?分别是??，?1?的中点．
所以??//??1，
因为??
?平面??1?1，??1
?平面??1?1，
所以??//平面??1?1．
(2)
证明：因为?1?
⊥平面???，??
?平面???，
所以?1?
⊥
??，
又因为??
⊥
??，??
∩
?1?
=
?，??
?平面??1?，?1?
?平面??1?，
所以??
⊥平面??1?，
因为??
?平面???1，
所以平面??1?
⊥平面???1．
、
【解析】
(1)
连接??，∵?，?分别为??1，??中点，
∴??//?1?，
∵??
?平面???，
?1?
?平面???，
∴??1//平面???．
(2)
取??1中点为?，连接??，
则??//??，
∴∠?1??即为??与??1所成的角，
设正方体棱长为2?，则：
?1?
=
2√3?，??
=
√5?，?1?
=
√5?，
cos
∠?
??
=
|12?2+5?2?5?2|
=
√15．
1
2?2√3??√5?
5
(3)
设正方体棱长为2?，
则
?
?
=
√?
?2
+
??2
=
√(2?)2
+
(√2?)2
=
√6?，
1
1
??
=
√2?，
?1?2
+
??2
=
?1?2，
∴?1?
⊥
??．
、
【解析】
(1)
证明：如下图，取??的中点?，连接??，??，
∵
?为??的中点，
∴
??//??，??
=
∵
??//??，??
=
1
??，
2
1
??，
2
∴
??//??，??
=
??，
∴四边形????为平行四边形，
∴
??//??，
又??
?平面???，??
?平面???，
∴
??//平面???．
(2)
证明：连接??，??，
∵
??
=
??，?为??的中点，
∴
??
⊥
??，
∵平面???
⊥平面????，
∴
??
⊥平面????，
∴
??
⊥
??.
在等腰梯形????中，利用??
=
2??
=
4，??
=
√5，
可求得??
=
??
=
2√2，
∴
??2
+
??2
=
??2，
∴
??
⊥
??，
∴
??
⊥平面???，
∴
??
⊥
??．
、
【解析】
(1)
在三棱柱???
?
?1?1?1中，??1//??1，??1
=
??1，
∴四边形???1?1是平行四边形，
∴
??//?1?1，
∵
??
?平面?1?1?，?1?1
?平面?1?1?，
∴
??//平面?1?1?，
又??
?平面????，平面????
∩平面?1?1?
=
??，
∴
??//??．
(2)
∵
??1
⊥平面???，??
?平面???，
∴
??1
⊥
??，
∵
∠???
=
90°即??
⊥
??，
??
∩
??1
=
?，??，??1
?平面??1?，
∴
??
⊥平面??1?，
又??
?平面??1?，
∴
??
⊥
??，
由(1)知??//?1?1，
∴
??
⊥
?1?1，
∵
??
=
??1，点?为?1?的中点，
∴
??
⊥
?1?，
?1?
∩
?1?1
=
?1，?1?，?1?1
?平面?1?1?，
∴
??
⊥平面?1?1?，∵
??
?平面???．
∴平面???
⊥平面?1?1?．
、
【解析】
(1)
因为??
⊥平面????，
??
?平面????，
所以??
⊥
??，
又
??
⊥
??，??
∩
??
=
?，
??
?平面???，
??
?平面???，
所以??
⊥平面???．
又??
?平面???，
所以平面???
⊥平面???．
(2)
连接??交??于?，连接??，
因为四边形????为平行四边形，
所以??
=
??，
又?为??中点，
所以??//PC，
又??
?平面???，
??
?平面???，
所以??//平面???．
、
【解析】
(1)
证明：由题设可知，??
=
??
=
??．
由于△
???是正三角形，故可得△
???
?△
???，△
???
?△
???．
又∠???
=
90°，故∠???
=
90°，∠???
=
90°．
从而??
⊥
??，??
⊥
??，故??
⊥平面???，
所以平面???
⊥平面???．
(2)
设圆锥的底面半径为?，母线长为?．
由题设可得??
=
√3，?2
?
?2
=
2．
解得?
=
1，?
=
√3．
从而??
=
√3．
由(1)可得??2
+
??2
=
??2，故??
=
??
=
??
=
√6．
2
所以三棱锥?
?
???的体积为
1
×
1
3
2
?
??
?
??
?
??
=
1
×
1
3
2
3
×
(√6)
2
=
√6．
8
、
【解析】
(1)
在图1中，
1
因为??
=
??
=
∠???
=
?，
2
所以??
⊥
??，
??
=
?，?是??的中点，
2
即在图2中，??
⊥
?1?，??
⊥
??，
从而??
⊥面?1??，
由??//??，
所以??
⊥面?1??．
(2)
因为平面?1??
⊥平面????，??1
⊥
??，
所以??1
⊥平面????，
即?1?是四棱锥?1
?
????的高，
根据图1得出?
?
=
√
2
??
=
√2
?，
1
2
2
∴平行四边形????的面积?
=
??
?
??
=
?2，
1
1
2
√2
√2
3，
?
=
3
×
?
×
?1?
=
3
×
?
×
?
=
?
2
6
由√2
?3
=
36√2，得出?
=
6．
6
、
【解析】
(1)
证明：如图，连接??，
1
∵
??//??，??
=
??，?为线段??的中点，
2
∴四边形????是平行四边形，四边形????是平行四边形，
设??
∩
??
=
?，连接??，则?是??的中点，
∵
?为线段??的中点，
∴
??//??，
∵
??
?平面???，??
?平面???，
∴
??//平面???．
(2)
∵四边形????是平行四边形，
∴
??//??，
∵
??
⊥平面???，??
?平面???，
∴
??
⊥
??，
∴
??
⊥
??，
∵
??
=
??，四边形????是平行四边形，
∴四边形????是菱形，
∴
??
⊥
??，
∵
??
∩
??
=
?，
∴
??
⊥平面???．