8.5 空间直线、平面的平行（2）课件（共19张PPT）

第8章 立体几何初步
8.5 空间直线、
平面的平行(2)
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高中数学人教A版（2019）必修第二册
三种平行关系
空间中的平行关系是一种重要的特殊关系，一般以证明题的形式出现，总结如下：
基本事实④(平行线的传递性)：????//????,????//?????????//????
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线线平行的定义：在同一平面内，永不相交的两条直线叫做平行线
平面几何知识：证明共面的两条直线平行.主要有三角形中位线定理；平行四边形的性质；平行线分线段成比例定理；梯形一组对边平行；同位角相等或同旁内角互补两直线平行；向量共线等等
【1】直线与直线平行的判定方法
探究新知
三种平行关系
空间中的平行关系是一种重要的特殊关系，一般以证明题的形式出现，总结如下：
面面平行的性质定理：????//????,????∩????=????,????∩????=????,????//????
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线面平行的性质定理：????//????,?????????,????∩????=????,????//????
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线面垂直的性质定理：????⊥????,????⊥?????????//????
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反证法
【1】直线与直线平行的判定方法
三种平行关系
空间中的平行关系是一种重要的特殊关系，一般以证明题的形式出现，总结如下：
线面平行的判定定理：?????????,?????????,????//?????????//????
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线面平行的定义：直线与平面没有公共点
面面平行的性质：????//????,??????????????//????
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【2】直线与平面平行的判定方法
反证法
三种平行关系
空间中的平行关系是一种重要的特殊关系，一般以证明题的形式出现，总结如下：
面面平行的判定定理：a//α,b//α,a∩b=P,a?β,b?β?α//β
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面面平行的定义：两个平面没有公共点
面面平行的判定定理的推论：a?β,b?β,a∩b=P,a′?α,b′?α, a′∩b′=P′,a//a′,b//b′ ?α//β
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【3】平面与平面平行的判定方法
面面平行的传递性：a//γ,β//γ?α//β
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反证法
三种平行关系
空间中的平行关系是一种重要的特殊关系，一般以证明题的形式出现，总结如下：
【4】三种平行之间的转化关系
线面平行
线线平行
面面平行
判定定理
判定定理
性质定理
性质定理
判定定理
性质定理
由左图可以看出，三者之间可以进行适当的转化，即由两条相交直线和平面平行，可以判定两个平面平行，同样由两个平面平行的性质，也可以推出直线和平面平行，直线与直线平行.直线与直线，直线与平面，平面与平面平行的这种相互转化关系，体现了知识间相互依赖的关系
正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE，BD上各有一点P，Q.且AP=DQ，求证：PQ//平面BCE.
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如图，在平面????????????????内，过点????作????????//????????，交????????于点????，连接????????，∴ ?????????//平面????????????
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∵ ?????????//????????,∴????????????????=????????????????.又∵????????=????????,????????=????????,∴????????=????????
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∴????????????????=????????????????,∴????????????????=????????????????.即????????//????????.又????????//?????????,∴ ????????//????????
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∵ ?????????平面????????????,?????????平面????????????,∴????????//平面????????????,又????????∩????????=????,
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∴平面????????????//平面????????????.又?????????平面????????????, ∴?????????//平面????????????
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例题讲解
判定定理条件罗列不全而出错
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，PA=AD=1，E，F分别是AB和PD的中点.求证：直线AF//平面PEC.
如图，过点????作????????//????????, 交????????于点????,连接????????.
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∵点????为????????的中点，∴????????=????????????????.
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∵点????为????????的中点，∴????????=????????????????=????????.
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又∵点????????//????????, ∴四边形????????????????为平行四边形.
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∴ ????????//????????. ∵ ?????????平面????????????,?????????平面????????????
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∴ 直线????????//平面????????????
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证明平行四边形时忘记四点共面
如图，已知????,????分别是正方体?????????????????????????????????????????????????的棱????????1,????????????的中点，求证：四边形????????????1????是平行四边形.
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∵ 平面????????????1????1//平面????????????1????1，
平面????????????1????1?∩ 平面????????????1????=????????，
平面????????????1????1?∩平面????????????1????=????1????，
∴ ?????????//????1????，同理得????????1//????????，
∴四边形????????????1????为平行四边形
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空间三点一定共面，四点不一定共面.题中没有说B,E,D1, F四点共面，如果要用，则需要证明
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证明平行四边形时忘记四点共面
如图，已知????,????分别是正方体?????????????????????????????????????????????????的棱????????1,????????????的中点，求证：四边形????????????1????是平行四边形.
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证明：如图，取????????1的中点????，连接????????,????????
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∵ ????是????????1的中点， ????是????????1的中点，
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∴ ????????//????????,????????=????????.由正方体的性质知
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????????//????????,????????=????????,?∴ ????????//????????,????????=????????,
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∴ 四边形????????????????是平行四边形，∴ ????????//????????,??????=?????????①
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又∵????,????分别是????????1?和????????1?的中点，∴????1????//????????,????1????=????????
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∴ 四边形????1????????????是平行四边形，∴????1????//????????,????1????=???????? ②
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由①②得????1????//????????, ????1????=????????,?∴四边形????????????1????是平行四边形
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如图，已知在棱长为????的正方体?????????????????????????????????????????????????中， ????,????分别是棱????????,????????的中点，求证：四边形????????????1????1是梯形.
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题①
——平面基本事实④和等角定理的应用
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如图，连接????????，在Δ????????????中，∵ ????,????分别是棱????????,????????的中点，∴ ????????是Δ????????????的中位线.
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∴ ????????//????????,????????=12????????. 由正方体的性质得????????//????1????1 ,????????=????1????1
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∴ ????????//????1????1?,且????????=12????1????1?,∴ ????????≠????1????1
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易知????????1与????????1不平行，∴四边形????????????1????1是梯形
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如图，在直三棱柱?????????????????????????????????????中， ????是????????的中点，求证：????????1 //平面????1????????.
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题②
——直线与平面平行的判定
如图，连接????????1交????1?????于点????，连接????????.
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∴ 四边形????????1????1????为矩形，∴ 点????是????????1的中点
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又∵ 在Δ????????????1中，????是????????的中点，∴ ????????1 //????????
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∵ ?????????平面????1????????,????????1?平面????1????????
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∴ ????????1 //平面????1????????
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下列说法正确的是（ ）
A. 若????,????是两条直线，且????//????，则????平行于经过????的任何平面
B. 若直线????和平面????满足????//????，则????与????内的任一直线都平行
C. 若????,????直线和平面????满足?????//????， ?????// ?????，则????//????
D.若????,????直线和平面????满足?????//????， ?????// ?????，?????????，则????//????
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题③
——直线与平面平行的性质
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如图，在正方体?????????????????????1????1????1????1中，????,????,????,????分别是
????1????1,????1????1,????1????1,????1????1的中点，求证:????,????, ????,????四点共面.
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题④
——平面与平面平行的判定
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如图，连接????1????1
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∵ ????,????分别是????1????1,????1????1的中点，
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∴ ????????//????1????1
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由正方体的性质可知∴????????//????1????1
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∴ ????????//????????,即????,????, ????,????四点共面.
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如图，????????,????????是夹在两个平行平面????,????之间的线段，????,????分别是????????,????????的中点，求证: ?????????//????.
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题⑤
——平面与平面平行的性质
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若????????,????????在同一平面内，则平面????????????????与的????,????交线分别为????????, ????????.
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∵?????//????，∴ ?????????// ????????
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∵ ????,????分别是????????,????????的中点，∴ ?????????// ????????
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又∵?????????????,?????????????, ∴ ?????????//????
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如图，????????,????????是夹在两个平行平面????,????之间的线段，????,????分别是????????,????????的中点，求证: ?????????//????.
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题⑤
——平面与平面平行的性质
????
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????
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????
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????
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????
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若????????,????????异面，如图，过点????作????????//????????交????于点????，取????????的中点????，连接????????,????????,????????,????????. ∵????????//?????????，∴????????,????????确定平面????????????????，且与的????,????交线分别为????????,????????.
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∵????//????,∴????????//????????,?又∵????,????分别是????????,????????的中点，∴ ????????//????????
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∵?????????????,?????????????, ∴?????????//????,同理可证?????????//????
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∵????????∩????????=????, ????????,?????????平面????????????,∴平面?????????????//????
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又∵?????????平面????????????,∴ ?????????//????
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如图所示，在正方体?????????????????????1????1????1????1中，????为底面的中心，????是????????1的中点，????是????????1上的动点.问：当????点在什么位置时，平面????1?????????//平面????????????？
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题⑥
——线面平行、面面平行的探索性问题
当????为????????1的中点时，平面????1?????????//平面????????????.
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如图，连接????????,????????，则????为????????的中点.
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∵ ????为????????1的中点， ????是????????1的中点，∴????????//????????,????????=????????
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又∵????????//????????,????????=????????,∴ ????????//????????,????????=????????,
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∴四边形????????????????为平行四边形，∴????????//????????
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又∵?????????平面????????????,?????????平面????????????,∴ ????????//平面????????????
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∵????为????????的中点， ????是????????1的中点，∴????????//????1????,又∵ ?????????平面????????????,????1?????平面????????????
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∴ ????1?????//平面????????????.∵ ????1????,?????????平面????1????????,????1????∩????????=????
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∴平面????1?????????//平面????????????
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谢谢聆听