8.4.1 平面-课件（共20张PPT）

第8章 立体几何初步
8.4.1 平 面
高中数学人教A版（2019）必修第二册
平面的概念与画法
【直观理解】课桌面、黑板面、教室平面、平静的水面都给我们以平面
的直观感觉，但它们都不是平面，而是平面的一部分.
【抽象理解】平面是平的，是无限延展的，没有厚薄，大小之分
平面的概念
平面与平面图形的区别和联系
平面是不可度量的；是无限延展，无厚薄，无大小的理想的面
我们日常接触到的是平面图形，如三角形，正方形，圆等，它们有大小之分，它们都不是平面，而是平面的一部分
我们可以用平面图形来表示平面
探究新知
平面的概念与画法
平面的画法
如果一个平面被另一个平面遮挡，那么被遮挡部分一般用虚线画出或者不画.
在立体几何中，平面通常画成一个平行四边形，当平面水平放置时，通常将平行四边形的锐角化成45°，且使横边长等于其邻边长的2倍；当平面竖直放置时，通常将平行四边形的一组对边画成铅垂线.
????
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????
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平面的概念与画法
平面的画法
相交平面示意图
立体几何画图或作辅助线的原则——
看得见的画成实线，看不见的画成虚线.即眼见为实，眼不见为虚.
平面的概念与画法
平面的表示
通常用平行四边形来表示平面.有时候也会用其他图形来表示平面，如三角形，矩形，梯形，圆等等.
①常用希腊字母 ????,????,???? 等表示平面，如平面 ????、
平面 ????、平面 ???? 等等.
?
②用大写英文字母表示平面，如对角线字母表
示平面，比如平面AC，平面BD等等.
③用平行四边形的四个顶点字母来表示平面，
如平面ABCD
④用平面内不共线的三个点来表示平面,如平面PHQ
用希腊字母α,β,γ等表示平面时，若已知条件说明了平面α，平面β，则之后可以省略“平面”二字；用大写英文字母表示的时候则不能省略.
?
点、直线、平面之间的位置关系
???? 在 ???? 上
?
文字语言
符号语言
图形语言
???? 在 ???? 外
?
???? 在 α 内
?
???? 在 α 外
?
????∈????
?
????
?
????
?
?????????
?
????
?
????
?
α
?
????∈α
?
????
?
?????α
?
α
?
????
?
探究新知
点、直线、平面之间的位置关系
???? 与 ???? 平行
?
文字语言
符号语言
图形语言
????,?????相交于?????
?
???? 与 ???? 异面
?
???? 在 α 内
?
?????//?????
?
????
?
????
?
?????∩?????=????
?
????
?
????
?
α
?
?????α
?
α
?
????
?
????
?
????
?
????
?
点、直线、平面之间的位置关系
???? 与 α 平行
?
文字语言
符号语言
图形语言
????,α?相交于?????
?
α,???? 相交于 ????
?
α 与 ???? 平行
?
?????//?α
?
????
?
?????∩α=????
?
????
?
α?//?????
?
????
?
α
?
α
?
α∩????=????
?
????
?
α
?
????
?
α
?
????
?
点、直线、平面之间的位置关系
文字语言，符号语言，图形语言的关系——
“点”可看做集合的元素，“直线”，“平面”均可看做点的集合.由此用符号表示时，点与直线、平面的关系用“∈”“?”表示；直线与平面的关系用“?”“?”表示.
?
①文字语言表述具体，易懂；符号语言简洁，易操作；图形语言形象生动
②三种语言可以互相转换，适用不同的情境
③用符号语言表示位置关系时，符号虽然来源于集合，但表达的仍是几何
意义.如“????∈????”表示的是“点????? 在直线 ???? 上”
?
平面的基本性质
图形语言——
符号语言—— ????,????,???? 三点不共线 ? 存在唯一的 ????，使 ????,????,????∈????
?
(1)基本事实①的条件为“过不在一条直线上的三点”，如果改为“过三个点”，则可能
存在无数个平面
基本事实①
过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面
????
?
????
?
????
?
α
?
应用——确定平面；判定两平面是否重合；证明点线共面
对基本事实①的理解
(2)基本事实①的结论为“有且只有一个平面”，“有”指存在性，“只有”指唯一性
探究新知
平面的基本性质
图形语言——
符号语言—— ????∈????,????∈????,且?????∈????,????∈??????????????
?
(1)直线是平面的真子集
基本事实②
如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.
????
?
????
?
????
?
α
?
应用——判断直线是否在平面内；判断点是否在平面内
对基本事实②的理解
(2)整条直线在平面内，则直线上的所有点都在平面内
平面的基本性质
图形语言——
符号语言—— ????∈????,且?????∈????
?
基本事实③
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
应用——判断直线是否在平面内；
判断点是否在平面内.
????
?
????
?
????
?
????
?
?????∩????=????,且?????∈????
?
①若两个相交平面有两个公共点，则过这两
点的直线就是相交平面的交线；
对基本事实③的理解：
②若两个相交平面有三个公共点，则这三点
共线；
③若两个平面相交，则一个平面内的直线与
另一平面的交点比在两平面的交线上；
④若两个不重合的平面有一个公共点，则这
两个平面相交.
基本事实①和基本事实②的三个推论
图形语言——
符号语言—— ??????????存在唯一的????,使?????∈????,?????????
?
推论①
经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面
文字语言——即相当于基本事实①中不共线三点中的两点连成
一条线与第三个点构成直线与直线外一点确定一
个平面.
????
?
????
?
α
?
探究新知
基本事实①和基本事实②的三个推论
图形语言—
符号语言—— ????∩????=?????存在唯一的????,使??????????,且??????????
?
推论②
经过两条相交直线，有且只有一个平面
文字语言——即相当于基本事实①中不共线三点中的两点连成
一条线与过这两个点中的其中一点和第三个点的
连线构成两条相交直线确定一个平面.
????
?
????
?
α
?
????
?
基本事实①和基本事实②的三个推论
图形语言——
符号语言—— ?????//??????存在唯一的????,使??????????,且??????????
?
推论③
经过两条平行直线，有且只有一个平面
文字语言——即相当于基本事实①中不共线三点中的两点连成
一条线与过第三个点作的与该直线平行的直线构
成两条平行直线确定一个平面.推理过程中直接
运用了两点确定一条直线及基本事实②.
????
?
α
?
????
?
应用基本事实或推论时忽略条件
已知A，B，C，D，E五点中，A，B，C，D共面，B，C，D，E共面，则A，B，C，D，E五点共面吗？为什么？
分两种情况来讨论：
①若B，C，D三点不共线，则它们确定一个平面α .
因为A，B，C，D共面，所以点A在平面α 内.
?
本题解题的时候很容易误认为A，B，C，D共面，所以点A在B，C，D确定的平面内，从而得出五点一定共面的结论. 忽略了“不在一条直线上的三点才能构成一个平面”这个重要条件.
因为B，C，D，E共面，所以点E在平面α内.所以点A，E都在平面α内，所以这五点共面.
?
②若B，C，D三点共线于????，若????∈????, ????∈????,则
A,B,C,D,E这五点一定共面，但平面不唯一.
?
若A，E中有且只有一个在????上，则五点一定共面.
?
若A,E都不在????上，则五点可能共面，可能不共面.
?
根据语句，画出相应的位置关系.
题①
——文字语言，符号语言，图形语言的转化
1A∈α,B?α
?
2?????????,????∩????=????,?????????
?
(1)点A在平面α内，点B不在平面α内，如图：
?
α
?
????
?
????
?
(2)直 ???? 在平面 ???? 内，直线 ???? 与平面 ???? 相交于点 ????，直线 ???? 不过点 ?????，如图：
?
α
?
????
?
????
?
????
?
有下列几个命题：①若ΔABC在平面 ???? 外，它的三条边所在的直线分别交平面 ???? 于 ????,????,????，则 ????,????,???? 三点共线; ②若两条直线 ????,???? 互相平行且分别交直线 ???? 于 ????,????两点，则这三条直线共面.
其中正确的有 ___________
?
题②
——平面性质基本事实及推论的应用
在①中，因为 ????,????,???? 三点既在平面 ???????????? 上，又在平面上，所以这三点比在平面与平面的交线上，即三点共线，①正确；
?
在②中，因为???? // ????,所以与确定一个平面 ????，而 ???? 上有两点????,???? 在该平面上，所以 ?????????，即 ????,????,???? 三线共面于 ????，所以②正确.
?
①
②
谢谢聆听