华师大版八下数学 19.3.2正方形的判定 教案

正方形的判定
教学目标:：
知道正方形的判定方法，会运用平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定条件进行有关的论证和计算。
经历探究正方形判定条件的过程，发展学生初步的综合推理能力，主动探究的学习习惯，逐步掌握说理的基本方法。
理解特殊的平行四边形之间的内在联系，培养学生辩证看问题的观点。
教学重点：掌握正方形的判定条件。
教学难点：合理恰当地利用特殊平行四边形的判定进行有关的论证和计算。
教学过程：
新授
议一议：你有什么方法判定一个四边形是正方形？
探索正方形的判定条件：
学生活动：四人一组进行讨论研究，老师巡回其间，进行引导、质疑、解惑，通过分析与讨论，师生共同总结出判定一个四边形是正方形的基本方法。
（1）直接用正方形的定义判，即先判定一个四边形是平行四边形，若这个平行四边形有一个角是直角，并且有一组邻边相等，那么临就可以判定这个平行四边形是正方形；
（2）先判定一个四边形是矩形，再判定这个矩形是菱形，那么这个四边形是正方形；
（3）先判定四边形是菱形，再判定这个菱形是矩形，那么这个四边形是正方形。
后两种判定均要用到矩形和菱形的判定定理。矩形和菱形的判定定理是判定正方形的基础。这三个方法还可写成：有一个角是直角，且有一组邻边相等的四边形是正方形；有一组邻边想的相等的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形。
上述三种判定条件是判定四边形是正方形的一般方法，可当作判定定理用，但由于判定平行四边形、矩形、菱形的方法各异，所给出的条件各不相同，所以判定一个四边形是不是正方形的具体条件也相应可作变化，在应用时要仔细辨别后才可以作出判断。
正方形判定条件的应用
例题 如图:△ABC中, ∠ACB=90°,CD平分∠ACB,　DE ⊥BC,DF ⊥AC,垂足分别为E,F.　　　　　求证: 四边形CFDE是正方形.
分析：要证明四边形CFDE是正放形,可以先证四边形CFDE是矩形,然后再证明有一组邻边相等;也可以先证四边形CFDE是菱形,然后再证有一个角是直角.
证明：∵CD平分∠ACB, DE⊥BC,DF ⊥AC
∴DE=DF(角平分线上的点到角的两边的距离相等）
又∵ ∠ DEC= ∠ ECF= ∠ CFD =90°,
∴四边形 CFDE是矩形
(有三个角是直角的四边形是矩形)
∴四边形 CFDE是正方形
(有一组邻边相等的矩形是正方形)
讨论
老师给学生一个任务: 从一张彩色纸中剪出一个正方形.
小明剪完后,这样检验它: 他比较了边的长度,发现4条边是相等的,小明就判定他完成了这个任务.这种检验可信吗?
小兵用另一种方法检验: 他量的不是边,而是对角线,发现对角线是相等的,小兵就认为他正确地剪出了正方形.这种检验对吗?
小英剪完后,比较了由对角线相互分成的4条线段,发现它们是相等的.按照小英的意见,这说明剪出的四边形是正方形.你的意见怎样?
你认为应该如何检验，才能又快又准确呢？
习题20.4参考
1.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD平分∠ACB, DE⊥BC, DF⊥AC,垂足分别E、F,试证明四边形CFDE为正方形.
证明：∵ DE⊥BC, DF⊥AC,垂足分别E、F
∴∠CED=∠CFD= 90°
∵ ∠ACB=90°
∴四边形CFDE为矩形
∵ CD平分∠ACB,DE⊥BC, DF⊥AC,垂足分别E、F
∴DE=DF(角平分线上的点到角两边距离相等)
∴四边形CFDE为正方形(有一组邻边相等的矩形是正方形)
2.已知：如图点A' 、 B' 、 C'、D'分别是正方形ABCD四条边上的点，并且AA'=BB'=CC'=DD'
求证：四边形A'B'C'D'是正方形
证题思路分析
① 由已知正方形证三角形全等；
② 证得菱形；
③ 再证直角；
④ 是正方形
① 证明是正方形就先证是 菱形即证四边相等
② 再证又是矩形即只证明有个角是直角
3. 如图,在正方形ABCD中,CE⊥DF.求证: CE＝DF.
证明：∵ CE⊥DF
∴∠BCE= 90°-∠CFD
∵ABCD是正方形
∴∠CDF= 90°-∠CFD
∴∠BCE=∠CDF
∵ABCD是正方形
∴BC=CD, ∠B=∠DCF= 90°
∴⊿BEC≌⊿CFD(ASA)
∴CE＝DF．
练习
课本练习3。
通过练习进一步巩固正方形的判定方法的应用。
（三）小结
师生共同总结，归纳得出正方形的判定方法，同时展示下图，通过直观感受进一步加深理解正方形判定方法的应用。