第五节 宇宙航行
题组一 宇宙速度
1．人造卫星绕地球做匀速圆周运动，其速度是下列的( )
A．一定等于7.9 km/s
B．等于或小于7.9 km/s
C．一定大于7.9 km/s
D．介于7.9和11.2 km/s之间
解析：7.9 km/s是人造卫星在近地圆形轨道上的运行速度，若轨道半径增大，则速度减小．
答案：B
2．已知地球半径为R，地球的表面重力加速度为g，不考虑地球自转的影响．
(1)推导第一宇宙速度v1的表达式；
(2)若卫星绕地球做匀速圆周运动，运行轨道距离地面高度为h，求卫星的运行周期T.
解析：(1)设卫星的质量为m，地球的质量为M，地球表面附近满足G＝mg，得
GM＝R2g.①
卫星做圆周运动的向心力等于它受到的万有引力
m＝G.②
①式代入②式，得到v1＝.
(2)结合①式，卫星受到的万有引力为
F＝G＝.③
由牛顿第二定律F＝m(R＋h)，④
③、④联立解得T＝.
答案：(1)v1＝ (2)
3．已知物体从地球上的逃逸速度(第二宇宙速度)v＝，其中G、ME、RE分别是万有引力常量，地球的质量和半径．已知G＝6.67×10－11N·m2/kg2，c＝2.9979×108 m/s，求下列问题：
(1)逃逸速度大于真空中光速的天体叫做黑洞，设某黑洞的质量等于太阳的质量M＝1.98×1030kg，求它的可能最大半径(这个半径叫Schwarzchild半径)．
(2)在目前天文观测范围内，物质的平均密度为10－27kg/m3，如果认为我们的宇宙是这样一个均匀大球体，其密度使得它的逃逸速率大于光在真空中的速度c，因此任何物质都不能脱离宇宙，问宇宙半径至少多大？
解析：(1)由题目提供的信息可知，任何天体均存在其所对应的逃逸速度v＝，其中M、R为天体的质量和半径，对于黑洞模型来说，其逃逸速度大于真空中的光速，即v>c，所以R<＝km＝2.94 km.
即质量为1.98×1030 kg的黑洞的最大半径为2.94 km.
(2)把宇宙视为一普通天体，则其质量为M＝ρV＝ρ·πr3.①
其中r为宇宙的半径，ρ为宇宙的密度，
则宇宙对应的逃逸速度为v2＝.②
由于宇宙密度使得其逃逸速度大于光速c，即v2>c.③
由①②③式可得r>＝4.23×1010光年．
即宇宙的半径至少为4.23×1010光年．
答案：(1)2.94 km (2)4.23×1010光年
题组二 人造地球卫星
4．(2010·高考安徽卷)为了对火星及其周围的空间环境进行探测，我国预计于2011年10月发射第一颗火星探测器“萤火一号”．假设探测器在离火星表面高度分别为h1和h2的圆轨道上运动时，周期分别为T1和T2.火星可视为质量分布均匀的球体，且忽略火星的自转影响，引力常量为G.仅利用以上数据，可以计算出( )
A．火星的密度和火星表面的重力加速度
B．火星的质量和火星“萤火一号”的引力
C．火星的半径和“萤火一号”的质量
D．火星表面的重力加速度和火星对“萤火一号”的引力
解析：本题主要考查天体运动知识，意在考查考生对天体运动中的一些基本公式的理解和应用．由G＝m(R＋h1)及G＝m(R＋h2)可求出火星的半径R和质量M，再由G＝mg及M＝ρ·πR3可求出火星的密度和表面的重力加速度，A项对．
答案：A
5．据报道，我国数据中继卫星“天链一号01星”于2008年4月25日在西昌发射中心发射升空，经过4次变轨控制后，于5月1日成功定点在东经77°赤道上空的同步轨道。关于成功定点后的“天链一号01星”，下列说法正确的是( )
A．运行速度大于7.9 km/s
B．离地面高度一定，相对地面静止
C．绕地球运行的角速度比月球绕地球运行的角速度大
D．向心加速度与静止在赤道上物体的向心加速度大小相等
解析：卫星的最大环绕速度为7.9 km/s，不会大于它，A错；因为是同步卫星，所以相对地面静止，高度一定，B对；同步卫星的周期小于月球的运转周期，根据ω＝知C对；根据a＝ω2·r，知同步卫星的角速度与赤道上的物体相同，但半径r比地球上的物体大，所以D错．
答案：BC
6．据观测，某行星外围有一模糊不清的环，为了判断该环是连续物还是卫星群，又测出了环中各层的线速度v的大小与该层至行星中心的距离R，则以下判断中正确的是( )
A．若v与R成正比，则环是连续物
B．若v与R成反比，则环是连续物
C．若v2与R成正比，则环是卫星群
D．若v2与R成反比，则环是卫星群
解析：若环为连续物，则角速度ω一定，由v＝Rω，知v与R成正比，所以A选项正确．若环为卫星群，由G＝m，得v＝，v2与R成反比， 所以D选项正确．
答案：AD
图6－5－8
7．(2010·四川卷)a是地球赤道上一幢建筑，b是在赤道平面内做匀速圆周运动、距地面9.6×106 m的卫星，c是地球同步卫星，某一时刻b、c刚好位于a的正上方(如图6－5－8所示)，经过48 h，a、b、c的大致位置是图6－5－9中的(取地球半径R＝6.4×106 m，地球表面重力加速度g＝10 m/s2，π＝)( )
A． B． C． D.
图6－5－9
解析：本题考查万有引力与人造地球卫星，意在考查考生对同步卫星运动特点的理解，并能正确利用卫星做圆周运动所需的向心力即卫星所受的万有引力解答卫星运动问题．对b有G＝m()2(R＋h)，而G＝mg，所以b的运动周期Tb＝2π，即Tb＝2.0×104 s＝h.故b经48 h转过的圈数为n＝＝8.64圈．而c的周期与地球的自转周期相同，即a与c都转过2圈，回到原处，所以答案应为B.
答案：B
题组三 人造卫星的发射和变轨
8．航天飞机在进入绕地球做匀速圆周运动的轨道后，有一个宇航员缓慢走出机外，他将( )
A．向着地球中心方向落向地球
B．做平抛运动
C．由于惯性做匀速直线运动
D．仍沿原轨道做匀速圆周运动
解析：航天飞机和宇航员均由地球对其万有引力提供向心力．所以宇航员仍沿原轨道做匀速圆周运动．
答案：D
9．宇宙飞船在半径为R1的轨道上运行，变轨后的半径为R2，R1＞R2.宇宙飞船绕地球做匀速圆周运动，则变轨后宇宙飞船的( )
A．线速度变小 B．角速度变小
C．周期变大 D．向心加速度变大
解析：根据G＝m＝mω2r＝m＝m a向，得v＝，可知变轨后飞船的线速度变大，A错．角速度变大，B错．周期变小，C错．向心加速度变大，D正确．
答案：D
10．两颗卫星在同一轨道平面绕地球做匀速圆周运动，地球半径为R，卫星a离地面的高度等于R，卫星b离地面的高度为3R，则
(1)a、b两卫星周期之比Ta∶Tb是多少？
(2)若某时刻两卫星正好同时通过地面同一点的正上方，则a至少经过多少个周期两卫星相距最远？
解析：(1)由卫星运动规律知
Ta∶Tb＝Ra∶Rb＝1∶2.
(2)Ta＜Tb，当二者相距最远时，即a比b多转半圈，即－＝0.5，则t＝≈0.77Ta.
答案：(1)1∶2 (2)0.77第二节 太阳与行星间的引力
题组一 太阳与行星间的引力
1．地球对月球具有相当大的万有引力，可它们没有靠在一起，这是因为( )
A．不仅地球对月球有万有引力，而且月球对地球也有万有引力，这两个力大小相等，方向相反，互相抵消了
B．不仅地球对月球有万有引力，而且太阳系中的其他星球对月球也有万有引力，这些力的合力为零
C．地球对月球的引力还不算大
D．地球对月球的万有引力不断改变月球的运动方向．使得月球围绕地球运动
答案：D
2．假设行星绕太阳在某轨道上做匀速圆周运动，下列有关说法正确的是( )
A．行星受到太阳的引力和向心力
B．太阳对行星有引力，行星对太阳没有引力
C．太阳与行星之间有相互作用的引力
D．太阳对行星的引力与行星的质量成正比
解析：由于向心力是效果力，它是由物体所受外力提供的，A错误；太阳与行星间是相互吸引的，故B错误，C正确；太阳对行星的引力与行星的质量成正比，D正确．
答案：CD
3．设想人类开发月球，不断把月球上的矿藏搬运到地球上，假定经过长时间开采后，地球仍可看做是均匀的球体，月球仍沿开采前的圆周轨道运动．则与开采前相比( )
A．地球与月球的引力将变大
B．地球与月球的引力将变小
C．月球绕地球运动的周期将变长
D．月球绕地球运动的周期将变短
解析：因为地球的质量变大，月球的质量变小，由F＝G知道当M、m的和为定值时，M、m之间的数值差别越大，则M、m的乘积将越小，所以，当将矿藏从月球搬到地球上后，地球与月球的万有引力将变小，月球受到的引力变小后，月球绕地球运动的周期将变短．
答案：BD
4．2009年2月11日，俄罗斯的“宇宙－2251”卫星和美国的“铱－33”卫星在西伯利亚上空约805 km处发生碰撞．这是历史上首次发生的完整在轨卫星碰撞事件．碰撞过程中产生的大量碎片可能会影响太空环境．假定有甲、乙两块碎片，绕地球运动的轨道都是圆，甲的运行速率比乙的大，则下列说法中正确的是( )
A．甲的运行周期一定比乙的长
B．甲距地面的高度一定比乙的高
C．甲的向心力一定比乙的小
D．甲的加速度一定比乙的大
解析：碎片绕地球做圆周运动的向心力由地球的引力提供，则由G＝，得v＝.因为v甲＞v乙，所以r甲＜r乙，B项错误；由＝ma，得a＝，所以a甲＞a乙，D项正确；由＝mr()2，得T＝，所以T甲＜T乙，A项错误；因为不知m甲与m乙的大小关系，所以C项不能确定．
答案：D
5．2008年9月27日“神舟七号”宇航员翟志刚顺利完成出舱活动任务，他的第一次太空行走标志着中国航天事业全新时代的到来．“神舟七号”绕地球作近似匀速圆周运动，其轨道半径为r，若另有一颗卫星绕地球做匀速圆周运动的半径为2r，则可以确定( )
图6－2－1
A．卫星与“神舟七号”的加速度大小之比为1∶4
B．卫星与“神舟七号”的线速度大小之比为1∶
C．翟志刚出舱后不再受地球引力
D．翟志刚出舱任务之一就是取回外挂的实验样品，假如不小心实验样品脱手，则它做自由落体运动
解析：由＝ma，得a卫∶a飞＝r飞2∶r卫2＝1∶4，A项正确；由＝m，得v＝，v卫∶v飞＝∶＝1∶，B项正确；翟志刚出舱后仍然受地球引力的作用，C项错误；实验样品脱手后，受地球引力作用要做圆周运动，D项错误．
答案：AB
6．陨石落向地球是因为( )
A．陨石对地球的吸引力远小于地球对陨石的吸引力，所以陨石落向地球
B．陨石对地球的引力和地球对陨石的引力大小相等，但陨石质量小、加速度大，所以改变运动方向落向地球
C．太阳不再吸引陨石，所以陨石落向地球
D．陨石是在受到其他星球斥力作用下落向地球的
解析：两个物体间的引力是一对作用力与反作用力，它们的大小相等，且在任何情况下都存在，它们的大小与两物体的质量和距离有关，故A、C、D不对；陨石落向地面是由于陨石的质量和地球相比很小，故运动状态容易改变，且加速度大，所以B项正确．
答案：B
题组二 天体之间引力大小的计算
7．把行星运动近似看作匀速圆周运动以后，开普勒第三定律可写为T2＝，则可推得( )
A．行星受太阳的引力为F＝k
B．行星受太阳的引力都相同
C．行星受太阳的引力为F＝
D．质量越大的行星受太阳的引力一定越大
解析：行星受太阳的引力提供其绕太阳做匀速圆周运动的向心力，则F＝，又v＝，结合T2＝可得出F的表达式F＝.另外，向心力F与m、r都有关系，故A、B、D项错，C项正确．
答案：C
8．地球的质量约为月球质量的n倍，一飞行器处在地球与月球之间，当它受到地球和月球的引力合力为零时，该飞行器距地心的距离与距月心的距离之比是__________．
解析：根据公式F＝G，月球与地球对飞行器的引力合力为零，设此时物地间距为r1，物月间距为r2.
则G＝G，所以＝＝.
答案：
图6－2－2
9．2009年7月22日，我国出现了500年一遇的大日食奇观．其日全食带覆盖了中国人口最稠密的地区之一——长江流域．本次日食，是从1814年～2009年在中国境内全食持续时间最长的一次日全食．日食，又作日蚀，是一种天文现象，只在月球运行至太阳与地球之间时发生．这时，对地球上的部分地区来说，月球位于地球前方，因此来自太阳的部分或全部光线被月球挡住，所以看起来好像是太阳的一部分或全部消失了．若已知太阳的质量为M，地球的质量为m1，月球的质量为m2，当发生日全食时，太阳、月亮、地球几乎在同一直线上，且月亮位于太阳与地球之间，如图6－2－2所示．设月亮到太阳的距离为a，地球到月亮的距离为b，则太阳对地球的引力F1和对月亮的吸引力F2的大小之比为多少？
解析：由太阳对行星的吸引力满足F＝4π2k，知
太阳对地球的引力F1＝4π2k，
太阳对月亮的引力F2＝4π2k，
故＝.
答案：
10．已知太阳光从太阳射到地球需要500 s，地球绕太阳的公转周期约为3.2×107 s，地球的质量约为6×1024kg，求太阳对地球的引力为多大．(结果只需保留一位有效数字)
解析：地球绕太阳做椭圆运动，由于椭圆非常接近圆轨道，所以可将地球绕太阳的运动看成匀速圆周运动，需要的向心力是由太阳对地球的引力提供的，即F＝mRω2＝mR.因为太阳光从太阳射到地球用的时间为500 s，所以太阳与地球间的距离R＝ct(c为光速)，故F＝Aπ2cmt/T2，代入数据得F＝3×1022N.
答案：3×1022N第一节 行星的运动
题组一 开普勒第一定律
1．最先发现行星是绕太阳做椭圆运动的科学家是( )
A．亚里士多德 B．伽利略
C．第谷 D．开普勒
解析：开普勒研究了第谷的观测数据，经过刻苦计算发现行星绕太阳做椭圆运动．
答案：D
2．日心说的代表人物是( )
A．托勒密 B．哥白尼
C．布鲁诺 D．第谷
解析：本题要求同学们熟悉物理学史的有关知识，日心说的代表人物是哥白尼，而布鲁诺是宣传日心说的代表人物．
答案：B
题组二 开普勒第二定律
3．哈雷彗星绕太阳运动的轨道是比较扁的椭圆，下面说法中不正确的是( )
A．彗星在近日点的速率大于在远日点的速率
B．彗星在近日点的角速度大于在远日点的角速度
C．彗星在近日点的向心加速度大于在远日点的向心加速度
D．若彗星周期为75年，则它的半长轴是地球公转半径的75倍
解析：根据开普勒第二定律，为使相等时间内扫过的面积相等，则应保证在近日点与远日点相比在相同时间内走过的弧长要大．因此线速度(即速率)、角速度都较大，故A、B正确．而向心加速度a＝，在近日点，v大、R小，因此a大，故C正确．根据开普勒第三定律＝k，则＝＝752，即a1＝a2，D错误．
答案：D
图6－1－5
4．某行星绕太阳运行的椭圆轨道如图6－1－5所示，F1和F2是椭圆轨道的两个焦点，行星在A点的速率比在B点的大，则太阳是位于( )
A．F2 B．A
C．F1 D．B
解析：根据开普勒第二定律，知太阳和行星的连线在相等的时间内扫过相同的面积．因为行星在A点的速率比在B点的速率大，所以太阳和行星的连线必然是行星与F2的连线，故太阳位于F2.
答案：A
题组三 开普勒第三定律
图6－1－6
5．地球围绕太阳公转的椭圆轨道如图6－1－6所示，由开普勒定律可知( )
A．太阳处于此椭圆的一个焦点上
B．地球在此椭圆轨道上运动时速度大小不变
C．若地球的公转周期为T，则＝常量
D．若地球的公转周期为T，则＝常量
解析：由开普勒第一定律可知A正确，因为地球的运动轨道为椭圆，故由开普勒第二定律可知选项B错误．由开普勒第三定律可知R应是椭圆半长轴，选项C正确，选项D错误．
答案：AC
6．目前的航天飞机的飞行轨道都是近地轨道，一般在地球上空300～700 km飞行，绕地球飞行一周的时间为90 min左右．这样，航天飞机里的宇航员在24 h内可以见到日落日出的次数应为( )
A．0.38 B．1
C．2.7 D．16
解析：航天飞机绕行到地球向阳的区域，阳光能照射到它时为白昼，当飞到地球背阳的区域，阳光被地球挡住时就是黑夜．因航天飞机绕地球一周所需时间为90 min，而地球昼夜交替的周期是24×60 min，所以，航天飞机里的宇航员在绕行一周的时间内，看到的日落日出次数n＝＝16.
答案：D
7．某一人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为月球绕地球运转的轨道半径的，则此人造卫星运行的周期大约是在( )
A．1～4天之间 B．4～8天之间
C．8～16天之间 D．16～20天之间
解析：因人造地球卫星和月球都绕地球运转，故对它们应用开普勒第三定律有＝，其中＝，T2≈27天，可以解得人造卫星的周期约为T1＝天＝5.2天．
答案：B
8．月球环绕地球运行的轨道半径约为地球半径的60倍，运行周期约为27天．应用开普勒定律计算：在赤道平面内离地面多高，人造地球卫星可以随地球一起转动，就像停留在天空中不动一样？
解析：月球和人造地球卫星都在环绕地球运动，根据开普勒第三定律，它们运行轨道半径的三次方跟圆周运动周期的二次方的比值都是相等的．
设人造地球卫星运行半径为R，周期为T，根据开普勒第三定律有k＝.
同理设月球轨道半径为R′，周期为T′，也有k＝.
由以上两式可得＝，
R＝
＝＝6.67R地．
在赤道平面内离地面高度
H＝R－R地＝6.67R地－R地
＝5.67R地
＝5.67×6.4×106m
＝3.63×104km.
答案：3.63×104 km
9．下表给出了太阳系八大行星平均轨道半径和周期的数值．从表中任选三个行星验证开普勒第三定律，并计算恒量k＝的值．
太阳系八大行星的平均轨道半径和周期
行星 平均轨道半径(m) 周期(s)
水星 5.79×1010 7.60×106
金星 1.08×1011 1.94×107
地球 1.49×1011 3.16×107
火星 2.28×1011 5.94×107
木星 7.78×1011 3.74×108
土星 1.43×1012 9.30×108
天王星 2.87×1012 2.66×109
海王星 4.50×1012 5.20×109
解析：对水星，k1＝＝＝3.36×1018 m3/s2.
对金星，k2＝＝＝3.35×1018 m3/s2.
对地球，k3＝＝＝3.31×1018 m3/s2.
同理，解得
k火星＝3.36×1018 m3/s2，
k木星＝3.37×1018 m3/s2，
k土星＝3.38×1018 m3/s2，
k天王星＝3.34×1018 m3/s2，
k海王星＝3.37×1018 m3/s2.
在实验误差允许的范围内，太阳系八大行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等，k＝R3/T2为定值，开普勒第三定律是正确的．
答案：见解析
图6－1－7
10．飞船沿半径为R的圆周绕地球运动，其周期为T.如果飞船要返回地面，可在轨道上的某一点A处，将速率降低到适当数值，从而使飞船沿着以地心为焦点的椭圆轨道运动，椭圆和地球表面在B点相切，如图6－1－7所示．如果地球半径为R0，求飞船由A点到B点所需要的时间．
解析：开普勒第三定律虽然是根据行星绕太阳的运动总结出来的，但也适用于卫星、飞船绕行星的运动．因此，飞船绕地球作圆周(半长轴和半短轴相等的特殊椭圆)运动时，其轨道半径的三次方跟周期的平方的比值，等于飞船绕地球沿椭圆轨道运行时，其半长轴的三次方跟周期平方的比值．飞船椭圆轨道的半长轴为，设飞船沿椭圆轨道运动的周期为T′，则有
＝.
求得T′＝T·
＝·.
则飞船从A点到B点所需的时间为
t＝＝·.
答案：·第六节 经典力学的局限性
题组一 经典时空观和相对论
1．下列说法中正确的是( )
A．经典力学适用于任何情况下的任何物体
B．狭义相对论否定了经典力学
C．量子力学能够描述微观粒子运动的规律性
D．万有引力定律也适用于强相互作用力
解析：经典力学只适用于宏观、低速、弱引力的情况，A是错误的；狭义相对论没有否定经典力学，在宏观低速情况下，相对论的结论与经典力学没有区别，B是错误的；量子力学更正确地描述了微观粒子运动的规律性，C是正确的；万有引力定律只适用于弱相互作用力，而对于强相互作用力是不适用的，D是错误的．
答案：C
2．下列说法中正确的是( )
A．经典力学是以牛顿的三大定律为基础的
B．经典力学在任何情况下都适用
C．当物体的速度接近光速时，经典力学就不适用了
D．相对论和量子力学的出现，使经典力学失去了意义
答案：AC
3．下列说法中正确的是( )
①当物体运动速度远小于光速时，相对论物理学和经典物理学的结论没有区别；②当物体运动速度接近光速时，相对论物理学和经典物理学的结论没有区别；③当普朗克常量h(6.63×10－34J·s)可以忽略不计时，量子力学和经典力学的结论没有区别；④当普朗克常量h(6.63×10－34J·s)不能忽略不计时，量子力学和经典力学的结论没有区别．
A．①③ B．②④
C．①④ D．②③
答案：A
4．下列说法中正确的是( )
A．根据牛顿的万有引力定律可以知道，当星球质量不变、半 径变为原来的时，引力将变为原来的4倍
B．按照广义相对论可以知道，当星球质量不变、半径变为原来的时，引力将大于原来的4倍
C．在天体的实际半径远大于引力半径时，根据爱因斯坦的引力理论和牛顿的引力理论计算出的力差异很大
D．在天体的实际半径接近引力半径时，根据爱因斯坦的引力 理论和牛顿的引力理论计算出的力差异不大
解析：只要天体的实际半径远大于它们的引力半径，那么由爱因斯坦和牛顿引力理论计算出的力的差异并不很大；但当天体的实际半径接近引力半径时，这种差异将急剧增大．
答案：AB
5．继哥白尼提出“太阳中心说”、开普勒提出行星运动三定律后，牛顿站在巨人的肩膀上，创立了经典力学，揭示了包括行星在内的宏观物体的运动规律；爱因斯坦既批判了牛顿力学的不足，又进一步发展了牛顿的经典力学，创立了相对论，这说明( )
A．世界无限扩大，人不可能认识世界，只能认识世界的一部分
B．人的意识具有能动性，能够正确地反映客观世界
C．人对世界的每一个正确认识都有局限性，需要发展和深化
D．每一个认识都可能被后人推翻，人不可能获得正确的认识
解析：发现总是来自于认识过程，观点总是为解释发现而提出的，主动认识世界，积极思考问题，追求解决(解释)问题，这是科学研究的基本轨迹．
任何一个人对客观世界的认识都要受当时的客观条件和科学水平的制约，所以所形成的“正确理论”都有一定的局限性，爱因斯坦的相对理论是对牛顿力学的理论的发展和深化，但也有人正在向爱因斯坦理论挑战．
答案：BC
题组二 质量的相对论效应
6．下列说法正确的是( )
A．在经典力学中，物体的质量不随运动状态而改变，在狭义相对论中，物体的质量也不随运动状态而改变
B．在经典力学中，物体的质量随运动速度的增加而减小，在狭义相对论中，物体的质量随物体速度的增大而增大
C．在经典力学中，物体的质量是不变的，在狭义相对论中，物体的质量随物体速度的增大而增大
D．上述说法都是错误的
答案：C
7．日常生活中，我们并没发现物体的质量随物体运动的速度变化而变化，其原因是( )
A．运动中物体无法称量其质量
B．物体的速度远小于光速，质量变化极小
C．物体的质量太大
D．物体的质量不随速度的变化而变化
解析：根据狭义相对论m＝，可知在宏观物体的运动中，v c，所以m变化不大，而不是因为物体的质量太大或无法测量，也不是因为质量不随速度的变化而变化，正确选项为B.
答案：B
8．当物体的速度v＝0.9c(c为光速)时，物体的质量增大到原质量的__________倍．
解析：根据质量与速度的关系，将v＝0.9c代入求得
m＝＝≈2.29m0.
答案：2.29
9．在粒子对撞机中，有一个电子经过高压加速，速度达到光速的0.5倍。试求此时电子的质量变为静止时的多少倍．
解析：由于电子的速度接近光速，所以质量变化明显，根据爱因斯坦狭义相对论中运动质量与静止质量的关系，得
m＝＝＝＝＝1.155m0.
答案：1.155倍
10．为使电子的质量增加到静止质量的两倍，需要多大的速度？
解析：根据物体质量与其速度的关系
m＝，有2m0＝ .
解得电子运动的速度应为
v＝＝×3×108 m/s＝2.60×108 m/s.
答案：2.60×108 m/s第四节 万有引力理论的成就
题组一 天体质量的计算
1．已知引力常量G、月球中心到地球中心的距离R和月球绕地球运动的周期T.仅利用这三个数据，可以估算出的物理量有( )
A．月球的质量
B．地球的质量
C．地球的半径
D．月球绕地球运行速度的大小
答案：BD
2．最近，科学家在望远镜中看到太阳系外某一恒星有一行星，并测得它围绕该恒星运行一周所用的时间为1 200年，它与该恒星的距离为地球到太阳距离的100倍．假定该行星绕恒星运行的轨道和地球绕太阳运行的轨道都是圆周，仅利用以上两个数据可以求出的量有( )
A．恒星质量与太阳质量之比
B．恒星密度与太阳密度之比
C．行星质量与地球质量之比
D．行星运行速度与地球公转速度之比
解析：地球绕太阳转动，由G＝m2R，得太阳质量M＝，同理可求得恒星的质量M′＝.由此可求出，A正确；由于无法计算出太阳、恒星的半径关系，无法计算密度之比，B错误；上述关系式中不能求出地球、行星的质量表达式，无法得到质量之比，C错误；因v＝，由行星、地球的轨道半径、周期关系可求出它们的运行速率之比，D正确．
答案：AD
3．有一星球的密度与地球的密度相同，但它表面处的重力加速度是地面上重力加速度的4倍，则该星球的质量将是地球质量的( )
A. B．4倍
C．16倍 D．64倍
解析：由＝mg，得M＝，
ρ＝＝＝，R＝，
＝·＝＝4.
结合题意，该星球半径是地球半径的4倍
根据M＝得＝·＝64.
答案：D
4．设想“嫦娥”号登月飞船贴近月球表面做匀速圆周运动，测得其周期为T.飞船在月球上着陆后，机器人用测力计测得质量为m的仪器重力为P.已知引力常量为G，由以上数据可以求出的量有( )
A．月球的半径
B．月球的质量
C．月球表面的重力加速度
D．月球绕地球做匀速圆周运动的向心加速度
解析：登月飞船在月球表面转动时，满足G＝m()2R，即
GM＝.①
在月球表面，P＝mg′，mg′＝G，即＝②
由①②式可求出月球半径R、月球质量M，A、B正确；由P＝mg′可求出月球表面的重力加速度g′，C正确；上述各式中无法求出月球绕地球做匀速圆周运动的向心加速度，D错误．
答案：ABC
5．地球环绕太阳一周约需365 天，光从太阳射到地面约需8 min 30 s，试估算太阳的质量．
解析：由题意，地球绕太阳公转的轨道半径为
r＝(8×60＋30)×3×108 m
＝1.53×1011 m.
公转周期T为T＝365×86 400 s＝3.15×107 s.
得太阳的质量
M＝
＝ kg
＝2.1×1030 kg.
答案：2.1×1030 kg
6．用火箭把宇航员送到月球上，如果他已知月球的半径，那么他用一个弹簧测力计和一个已知质量的砝码，能否测出月球的质量？应该怎样测定？
解析：将砝码挂在弹簧测力计上，测出弹簧测力计的读数F.
由F＝mg月，得g月＝.①
在月球表面，砝码的重力应等于月球的引力
mg月＝G，则M＝.②
将①代入②，解得M＝＝.
答案：能 测出已知质量的砝码的重力
7．天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星．双星系统在银河系中很普遍．利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量．已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为T，两颗恒星之间的距离为r，试推算这个双星系统的总质量．(引力常量为G)
解析：设两颗恒星的质量分别为m1、m2，做圆周运动的半径分别为r1、r2；角速度分别为ω1、ω2.根据题意有
ω1＝ω2.①
r1＋r2＝r.②
根据万有引力定律和牛顿第二定律，有
G＝m1ω12r1，③
G＝m2ω22r2.④
联立以上各式解得
r1＝.⑤
根据角速度与周期的关系知
ω1＝ω2＝.⑥
联立③⑤⑥式解得
m1＋m2＝r3.
答案：r3
题组二 天体密度的计算
8．(2010·北京卷)一物体静置在平均密度为ρ的球形天体表面的赤道上．已知引力常量为G，若由于天体自转使物体对天体表面压力恰好为零，则天体自转周期为( )
A．() B．()
C．() D．()
解析：本题意在考查考生运用万有引力定律和牛顿第二定律解决天体运动问题的能力．对于物体，根据牛顿第二定律G＝mR和ρ＝，得T＝，选项D正确．
答案：D
9．天文学家新发现了太阳系外的一颗行星．这颗行星的体积是地球的4.7倍，质量是地球的25倍．已知某一近地卫星绕地球运动的周期约为1.4小时，引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，由此估算该行星的平均密度为( )
A．1.8×103 kg/m3 B．5.6×103 kg/m3
C．1.1×104 kg/m3 D．2.9×104 kg/m3
解析：本题考查天体运动的知识．首先根据近地卫星绕地球运动的向心力由万有引力提供G ＝m ，可求出地球的质量．然后根据ρ＝，可得该行星的密度约为2.9×104 kg/m3.
答案：D
10．一物体在某星球表面时受到的吸引力为在地球表面所受吸引力的n倍，该星球半径是地球半径的m倍．若该星球和地球的质量分布都是均匀的，则该星球的密度是地球密度的__________倍．
答案：第三节 万有引力定律
题组一 万有引力定律
1．已知地球半径为R，将一物体从地面移到离地高为h处时，物体所受万有引力减少到原来的四分之一，则h为( )
A．R B．2R
C.R D．(－1)R
解析：物体可视为质点，地球视为均匀球体，由万有引力定律F＝G，知当F减小为原来的四分之一时，半径变为原来的2倍，所以h＝2R－R＝R.
答案：A
2．两位体重约为60 kg的人相距1 m，他们之间万有引力的数量级约为( )
A．10－7 N B．107 N
C．10－11 N D．101 N
解析：由万有引力定律公式有F＝G＝6.67×10－11× N≈2.4×10－7 N，所以他们之间万有引力的数量级为10－7 N，A正确．
答案：A
图6－3－2
3．如图6－3－2所示，一质量为M的质点，从两个质量均为m的质点连线的中点出发，沿着垂线逐渐向无穷远处移动，则M受到的这两个质点的万有引力的合力的变化情况是( )
A．逐渐变小直到零
B．逐渐变大
C．先变小后变大
D．先变大后变小
解析：质点M在连线中点时受到两个质点对它的引力，且大小相等、方向相反，合力为零；M沿垂线移到离m无限远时，所受的万有引力也为零，在此移动过程中，M所受两质点的万有引力的合力先变大、后变小，故D正确．
答案：D
图6－3－3
4．如图6－3－3所示，一个质量为M的匀质实心球，半径为R，如果从球的中心挖去一个直径为R的球，放在与该球相距为d的地方，那么两球之间的引力是多少？
解析：设挖出的小球质量为m，则
＝＝.
即m＝M.
所以F＝G－G
＝·(－)＝.
答案：
题组二 万有引力与重力
5．引力常量为G，地球质量为M，把地球当做球体，半径为R，忽略地球的自转，则地球表面的重力加速度大小为( )
A．g＝
B．g＝GR
C．g＝
D．缺少条件，无法算出地球表面的重力加速度
解析：在忽略地球自转的条件下，地球表面上物体所受的重力等于万有引力，由公式G＝mg，得g＝，故C正确．
答案：C
6．某星球的质量约为地球质量的9倍，半径约为地球半径的一半．若从地球上高h处平抛一物体，射程为60 m，则在该星球上，从同样高度、以同样的初速度平抛同一物体，射程应为( )
A．10 m B．15 m
C．90 m D．360 m
解析：物体做平抛运动，由平抛运动规律有x＝v0t，h＝gt2；在星球表面附近，重力等于万有引力，即mg＝G.解得x＝v0，其中h、v0、G相同，即x∝ ，所以＝＝＝，故x星＝，故x星＝x地＝m＝10 m.
答案：A
7．假设地球自转的角速度增大，关于物体所受重力，下列说法正确的是( )
A．放在赤道地面上的物体所受万有引力不变
B．放在两极地面上的物体所受万有引力不变
C．放在赤道地面上的物体所受重力不变
D．放在两极地面上的物体所受重力不变
解析：物体所受万有引力的大小与地球自转无关，所以选项A、B正确，有的同学误认为物体所受重力G＝mg，g不变，所以选项C、D也正确．实际上，重力是万有引力的一个分力，另一个分力是物体随地球自转所需的向心力．在两极，重力与万有引力相同，D正确；在赤道上，重力G＝F引－FN＝F引－mrω2，ω增大，G应减小，C错误．
答案：ABD
8．火星的半径是地球半径的，火星质量是地球质量的，忽略火星和地球的自转．如果地球上质量为60 kg的人到火星上去，则此人在火星表面的质量是__________kg，所受的重力是__________N；在火星表面由于火星的引力产生的加速度是__________m/s2；在地球表面上可举起60 kg杠铃的人，到火星上用同样的力可举起的质量是________kg.(g取9.8 m/s2)
解析：人在地球上质量为60 kg，到火星上质量仍为60 kg.忽略自转时，火星(地球)对物体的引力等于物体在火星(地球)上所受的重力，则人在火星上所受的重力为
mg火＝G＝G＝mg地＝235.2 N.
火星表面的重力加速度为
g火＝g地＝3.92 m/s2.
人在地球表面和火星表面用同样的力，举起物体的重力相等，设在火星上能举起物体的质量为m′，则有
mg地＝m′g火．
则m′＝m＝×60 kg＝150 kg.
人的质量不发生变化；忽略自转，人在地球和火星表面所受的万有引力均等于重力；人在地球上和火星上能举起重物的最大重力是相同的．
答案：60 235.2 3.92 150
9．假设火星和地球都是球体，如果火星的质量M火与地球的质量M地之比M火/M地＝p，火星的半径和地球的半径之比R火/R地＝q，求它们表面处的重力加速度之比．
解析：物体在火星或地球表面所受的重力可以看作等于火星或地球对物体的万有引力，即
mg＝GMm/R2，则g＝GM/R2.
即g∝.
则火星和地球表面处的重力加速度之比为＝＝.
答案：p/q2
10．宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t，小球落回原处；若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t，小球落回原处．(取地球表面重力加速度g＝10 m/s2，空气阻力不计)
(1)求该星球表面附近的重力加速度g′；
(2)已知该星球的半径与地球半径之比为R星∶R地＝1∶4，求该星球的质量与地球质量之比M星∶M地．
解析：(1)设竖直上抛初速度为v0，则
v0＝＝.
所以g′＝g＝2 m/s2.
(2)设小球质量为m，则
mg＝，M＝.
所以M星∶M地＝＝×＝.
答案：(1)2 m/s2 (2)
