5.7 生活中的圆周运动 学案（人教版必修2）
1．火车转弯时实际是在做圆周运动，因而具有____________，需要__________．
如果转弯时内外轨一样高，则由____________________提供向心力，这样，铁轨和车轮
易受损．
如果转弯处外轨略高于内轨，火车转弯时铁轨对火车的支持力不再是竖直向上的，而是
________________，它与重力的合力指向________，为火车提供了一部分向心力，减轻
了轮缘与外轨的挤压．适当设计内外轨的高度差，使火车以规定的速度行驶时，转弯需
要的向心力几乎完全由________________________提供．[]
2．当汽车以相同的速率分别行驶在凸形桥的最高点和凹形桥的最低点时，汽车对桥的压
力的区别如下表所示.
内容项目 凸形桥 凹形桥
受力分析图
以a方向为正方向，根据牛顿第二定律列方程 mg－FN1＝mFN1＝mg－m FN2－mg＝mFN2＝mg＋m
牛顿第三定律 FN1′＝FN1＝mg－m FN2′＝FN2[]＝mg＋m[]
讨论 v增大，FN1′减小；当v增大到时，FN1′＝0 v增大，FN2′增大，只要v≠0，FN1′
由列表比较可知，汽车在凹形桥上行驶对桥面及轮胎损害大，但在凸形桥上，最高点速
率不能超过________．当汽车以v≥的速率行驶时，将做__________，不再落到桥面
上．
3．(1)航天器中的物体做圆周运动需要的向心力由__________提供．
(2)当航天器的速度____________时，航天器所受的支持力FN＝0，此时航天器及其内部
的物体处于__________状态．
4．(1)离心现象：如果一个正在做匀速圆周运动的物体在运动过程中向心力突然消失或
合力不足以提供所需的向心力时，物体就会沿切线方向飞出或________圆心运动，这就
是离心现象．离心现象并非受“离心力”作用的运动．
(2)做圆周运动的物体所受的合外力F合指向圆心，且F合＝，物体做稳定的
________________；所受的合外力F合突然增大，即F合>mv2/r时，物体就会向内侧移动，
做________运动；所受的合外力F合突然减小，即F合做________运动，所受的合外力F合＝0时，物体做离心运动，沿切线方向飞出．
5．匀速圆周运动、离心运动、向心运动比较：
匀速圆周运动 离心运动 向心运动
受力特点 ________等于做圆周运动所需的向心力 合外力__________或者________提供圆周运动所需的向心力 合外力________做圆周运动所需的向心力
图示
力学方程 F____mrω2 F____mrω2(或F＝0) F____mrω2
【概念规律练】
知识点一 火车转弯问题
1．在某转弯处，规定火车行驶的速率为v0，则下列说法中正确的是( )
A．当火车以速率v0行驶时，火车的重力与支持力的合力方向一定沿水平方向
B．当火车的速率v>v0时，火车对外轨有向外的侧向压力[]
C．当火车的速率v>v0时，火车对内轨有向内的挤压力
D．当火车的速率v2．修铁路时，两轨间距是1 435 mm，某处铁路转弯的半径是300 m，若规定火车通过
这里的速度是72 km/h.请你运用学过的知识计算一下，要想使内外轨均不受轮缘的挤压，
内外轨的高度差应是多大？
知识点二 汽车过桥问题
3．汽车驶向一凸形桥，为了在通过桥顶时，减小汽车对桥的压力，司机应( )
A．以尽可能小的速度通过桥顶
B．适当增大速度通过桥顶
C．以任何速度匀速通过桥顶
D．使通过桥顶的向心加速度尽可能小[]
4．如图1所示，
图1
质量m＝2.0×104 kg的汽车以不变的速率先后驶过凹形桥面和凸形桥面，两桥面的圆弧
半径均为20 m．如果桥面承受的压力不得超过3.0×105 N，则：
(1)汽车允许的最大速率是多少？
(2)若以所求速度行驶，汽车对桥面的最小压力是多少？(g取10 m/s2)
[]
知识点三 圆周运动中的超重、失重现象
5．在下面所介绍的各种情况中，哪种情况将出现超重现象( )
①小孩荡秋千经过最低点 ②汽车过凸形桥 ③汽车过凹形桥 ④在绕地球做匀速圆周
运动的飞船中的仪器
A．①② B．①③ C．①④ D．③④
知识点四 离心运动
6．下列关于离心现象的说法正确的是( )
A．当物体所受的离心力大于向心力时产生离心现象
B．做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都突然消失后，物体将做背离圆心的圆
周运动
C．做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都突然消失后，物体将沿切线方向做匀
速直线运动
D．做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都突然消失后，物体将做曲线运动
7.
图2
如图2所示，光滑水平面上，小球m在拉力F作用下做匀速圆周运动，若小球运动到P
点时，拉力F发生变化，下列关于小球运动情况的说法正确的是( )
A．若拉力突然消失，小球将沿轨迹Pa做离心运动
B．若拉力突然变小，小球将沿轨迹Pa做离心运动
C．若拉力突然变小，小球将可能沿轨迹Pb做离心运动
D．若拉力突然变大，小球将可能沿轨迹Pc做向心运动
【方法技巧练】
竖直平面内圆周运动问题的分析方法
8．如图3所示，
图3
小球m在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，下列说法中正确的是( )
A．小球通过最高点时的最小速度是v＝
B．小球通过最高点时的最小速度为0
C．小球在水平线ab以下的管道中运动时内侧管壁对小球一定无作用力
D．小球在水平线ab以上的管道中运动时外侧管壁对小球一定无作用力
图4
9．杂技演员在做“水流星”表演时，用一根细绳系着盛水的杯子，抡起绳子，让杯子在
竖直面内做圆周运动．如图4所示，杯内水的质量m＝0.5 kg，绳长l＝60 cm.求：
(1)在最高点水不流出的最小速率．
(2)水在最高点速率v＝3 m/s时，水对杯底的压力大小．
参考答案
课前预习练
1．向心加速度 向心力 外轨对轮缘的弹力 斜向弯道的内侧 圆心 重力G和支持力FN的合力
2. 平抛运动
3．(1)万有引力 (2)等于 完全失重
4．(1)远离 (2)匀速圆周运动 向心 离心
5．合外力 突然消失 不足以 大于 ＝ < >
课堂探究练
1．ABD
2．0.195 m
解析 火车在转弯时所需的向心力由火车所受的重力和轨道对火车支持力的合力提供的，如图所示，图中h为两轨高度差，d为两轨间距，mgtan α＝m，tan α＝，又由于轨道平面和水平面间的夹角一般较小，可近似认为：tan α≈sin α＝.
因此：＝，则h＝＝ m＝0.195 m.[]
点评 近似计算是本题的关键一步，即当角度很小时：sin α≈tan α.
3．B
4．(1)10 m/s (2)105 N
解析 (1)汽车在凹形桥底部时对桥面压力最大，由牛顿第二定律得：
FN－mg＝m.
代入数据解得vmax＝10 m/s.
(2)汽车在凸形桥顶部时对桥面压力最小，由牛顿第二定律得：
mg－FN′＝.
代入数据解得FN′＝105 N.
由牛顿第三定律知汽车对桥面的最小压力等于105 N.
点评 (1)汽车行驶时，在凹形桥最低点，加速度方向竖直向上，汽车处于超重状态，故对桥面的压力大于重力；在凸形桥最高点，加速度方向竖直向下，处于失重状态，故对桥面的压力小于重力．
(2)汽车在拱形桥的最高点对桥面的压力小于或等于汽车的重力．
①当v＝时，FN＝0.
②当v>时，汽车会脱离桥面，发生危险．
③当0≤v<时，05．B [物体在竖直平面内做圆周运动，受重力和拉力(支持力)的作用，若向心加速度向下，则mg－FN＝m，有FNmg，物体处于超重状态；若mg＝m，则FN＝0.]
点评 物体在竖直平面内做圆周运动时，在最高点处于失重状态；在最低点处于超重状态．
6．C [物体之所以产生离心现象是由于F合＝F向7．ACD [由F＝知，拉力变小，F不能提供所需向心力、r变大、小球做离心运动；反之，F变大，小球做向心运动．]
8．BC [小球沿管道做圆周运动的向心力由重力及管道对小球的支持力的合力沿半径方向的分力提供．由于管道的内、外壁都可以提供支持力，因此过最高点的最小速度为0，A错误，B正确；小球在水平线ab以下受外侧管壁指向圆心的支持力作用，C正确；在ab线以上是否受外侧管壁的作用力由速度大小决定，D错误．]
9．(1)2.42 m/s (2)2.6 N[][]
解析 (1)在最高点水不流出的条件是水的重力不大于水做圆周运动所需要的向心力，即mg≤m，则所求最小速率v0＝＝ m/s＝2.42 m/s.
(2)当水在最高点的速率大于v0时，只靠重力已不足以提供向心力，此时水杯底对水有一竖直向下的力，设为FN，由牛顿第二定律有FN＋mg＝m
即FN＝m－mg＝2.6 N
由牛顿第三定律知，水对杯底的作用力FN′＝FN＝2.6 N，方向竖直向上．
方法总结 对于竖直面内的圆周运动，在最高点的速度v＝往往是临界速度，若速度大于此临界速度，则重力不足以提供所需向心力，不足的部分由向下的压力或拉力提供；若速度小于此临界速度，侧重力大于所需向心力，要保证物体不脱离该圆周，物体必须受到一个向上的力．5.2平抛运动 学案（人教版必修2）
1．以一定的速度将物体水平抛出，物体只在重力的作用下所做的运动称为________运动，
做平抛运动的物体只受________作用，其加速度等于______________．
2．平抛运动可以分解为水平方向的____________运动和竖直方向的____________运动，
其水平分速度vx＝________，水平位移x＝________，竖直分速度vy＝________，竖直
位移y＝________.
3．平抛运动的物体在竖直方向和水平方向上的位移关系式为y＝____________，由公式
可以看出物体做平抛运动的轨迹是一条________线．
4．关于抛体运动，下列说法正确的是( )
A．将物体以某一初速度抛出后的运动
B．将物体以某一初速度抛出，只在重力作用下的运动
C．将物体以某一初速度抛出，满足合外力为零的条件下的运动
D．将物体以某一初速度抛出，满足除重力和空气阻力外其他力的合力为零的条件下的
运动
5．下列关于平抛运动的说法正确的是( )
A．平抛运动是非匀变速运动
B．平抛运动是匀变速曲线运动
C．做平抛运动的物体，每秒内速率的变化相等
D．水平飞行的距离只与初速度大小有关
6．以初速度为v0做平抛运动的物体在某时刻的水平分位移与竖直分位移大小相等，下
列说法错误的是( )
A．该时刻物体的水平分速度与竖直分速度相等
B．该时刻物体的速率等于v0
C．物体运动的时间为
D．该时刻物体的位移大小等于
【概念规律练】
知识点一 平抛运动的概念
1．关于平抛运动，下列说法中正确的是( )
A．平抛运动是匀变速曲线运动
B．做平抛运动的物体，在任何相等的时间内速度的变化量都是相等的
C．平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动
D．落地时间和落地时的速度只与抛出点的高度有关[]
2．对于平抛运动，下列说法中正确的是( )
A．飞行时间由初速度和高度共同决定
B．水平射程由初速度和高度共同决定
C．速度和加速度都时刻在变化
D．平抛运动是匀变速曲线运动
知识点二 平抛运动的规律
3．物体在做平抛运动的过程中，下列哪些量是不变的( )
①物体运动的加速度 ②物体沿水平方向运动的分速度 ③物体沿竖直方向的分速度
④物体运动的位移方向[]
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
4．滑雪运动员以20 m/s的速度从一平台水平飞出，落地点与飞出点的高度差为3.2 m．不
计空气阻力，g取10 m/s2.运动员飞过的水平距离为s，所用时间为t，则下列说法正确的
是( )
A．s＝16 m，t＝0.5 s B．s＝16 m，t＝0.8 s
C．s＝20 m，t＝0.5 s D．s＝20 m，t＝0.8 s
知识点三 斜抛物体的运动
5．关于物体做斜抛运动的下列说法，正确的是( )
A．斜抛运动是匀变速运动
B．斜抛运动是非匀变速运动[]
C．斜上抛运动的上升过程与下降过程所需的时间相同
D．斜上抛运动的射程只决定于抛射初速度的大小
【方法技巧练】
一、平抛运动的研究方法
6．一个物体以初速度v0水平抛出，落地时速度为v，那么物体运动时间为( )[]
A. B.
C. D.
7.
图1
如图1所示，以v0＝9.8 m/s的水平初速度抛出的物体，飞行一段时间后，垂直地撞在倾
角θ＝30°的斜面上．可知物体完成这段飞行所用的时间是( )
A. s B. s
C. s D．2 s
二、平抛运动的实例分析
8．一架飞机水平匀速飞行．从飞机上每隔1 s释放一个铁球，先后共释放4个，若不计
空气阻力，则4个铁球( )
A．在空中任何时刻总是排成抛物线，它们的落地点是等间距的
B．在空中任何时刻总是排成抛物线，它们的落地点是不等间距的[]
C．在空中任何时刻总是在飞机正下方排成竖直的直线，它们的落地点是等间距的
D．在空中任何时刻总是在飞机正下方排成竖直的直线，它们的落地点是不等间距的
9．一架装载抗洪救灾物资的飞机，在距地面500 m的高处，以80 m/s的水平速度飞行．为
了将救援物资准确地投到目的地，飞行员应在距目的地水平距离多远的地方投出物资？
(不计空气阻力，g取10 m/s2)
参考答案
课前预习练
1．平抛 重力 重力加速度g[]
2．匀速直线 自由落体 v0 v0t gt gt2
3.x2 抛物
4．B
5．B [平抛运动是一种理想化的运动模型，不考虑空气阻力，且只受重力的作用，加速度大小为g，方向竖直向下，所以平抛运动是匀变速曲线运动，A错，B对；因为Δv＝g·Δt，所以做平抛运动的物体在相等的时间内速度的变化(包括大小和方向)相等，但每秒内速率的变化不相等，C错；据y＝gt2得t＝，所以得x＝v0t＝v0，由此可见，平抛运动的水平位移由初速度v0和下落高度y共同决定，D错．]
6．A [设物体的运动时间为t，根据题意可列方程v0t＝gt2，解得t＝，可知C项正确；t＝时，竖直分速度vy＝gt＝2v0≠v0，由于vx＝v0，该时刻物体瞬时速度的大小为v＝＝v0，可见选项A错误，B正确；t＝时，物体的水平位移与竖直位移相等，x＝v0t＝＝y.则该时刻物体的位移大小为s＝＝，选项D也正确．]
课堂探究练
1．ABC
2．BD [平抛运动可分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，其加速度恒为g，故C错误，D正确；由平抛运动的规律h＝gt2得t＝，飞行时间仅由高度决定，A错误；又x＝v0t＝v0，B正确．]
3．A [做平抛运动的物体，只受重力作用，所以运动过程中的加速度始终为g；水平方向不受力，做匀速直线运动，速度不变，所以A正确；竖直方向做自由落体运动，v＝gt，速度持续增加，位移也时刻变化，故C、D错误．][]
4．B
点评 (1)初速度水平，只受重力作用的物体的运动是平抛运动．
(2)平抛运动可看成水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动的合运动．
5．AC
点评 物体做斜上抛运动时，可以看作是水平方向的匀速直线运动和竖直方向的匀变速直线运动．
水平方向：vx＝v0cos θ
竖直方向：vy＝v0sin θ
在空中运动的时间t＝2
上升的最大高度y＝g()2＝
水平距离：x＝vxt＝
当θ＝45°时xmax＝
落地速度大小v＝v0.
6．C [竖直方向的速度：vy＝，由vy＝gt，知：t＝＝，故C正确．]
7．C [
根据题意，可知物体与斜面相撞时的速度vt跟竖直方向的夹角等于θ(θ＝30°)，如图所示．根据平抛运动性质，将vt分解成水平分量和竖直分量：vt·sin θ＝v0，vt·cos θ＝gt
可知物体在空中飞行的时间
t＝ cot θ＝ s．选项C正确．]
方法总结 研究平抛运动通常采用“化曲为直”的方法
(1)分解速度
设平抛运动的初速度为v0，在空中运动时间为t，则平抛运动在水平方向的速度为vx＝v0，在竖直方向的速度为vy＝gt，合速度为v＝，合速度与水平方向夹角为θ＝arctan .
(2)分解位移
平抛运动在水平方向的位移为x＝v0t，在竖直方向的位移为y＝gt2，对抛出点的位移(合位移)为s＝.
8．C [不计空气阻力时，从飞机上每隔1 s释放下来的铁球的运动都是水平方向上的匀速直线运动与竖直方向上的自由落体运动的合运动．[]
由于铁球在水平方向上匀速运动的速度跟飞机水平飞行的速度(v)相等，因此4个铁球在空中的位置，总是处在飞机的正下方，分布在同一条竖直线上；4个铁球先后落地的时间间隔(Δt＝1 s)相等，落地点间的间距(Δx＝vΔt)也相等．选项C正确．]
9．800 m
解析 如图所示，在地面上的观察者看来，从飞机上落下的物资在离开飞机前具有与飞机相同的水平速度．由于不计空气阻力，物资在离开水平飞行的飞机后仍保持与飞机相同的速度在水平方向上做匀速直线运动；由于竖直方向无初速度，而且只受重力作用，因此离开飞机的物资在竖直方向做自由落体运动．
物资在空中飞行的时间t取决于竖直高度．
由H＝gt2得，t＝＝ s＝10 s
设投出物资处距目标的水平距离为s，由于物资在水平方向做匀速运动，则s＝v0t＝80×10 m＝800 m[]
即飞行员应在距目的地水平距离为800 m远的地方投出救援物资．
方法总结 (1)研究平抛运动时要先分析物体在水平和竖直两个方向上的运动情况，根据运动的等时性和矢量关系列方程．
(2)研究竖直方向的运动时，利用自由落体运动的一些推论会起到事半功倍的效果．[]5.3 实验：研究平抛运动 学案（人教版必修2）
1．描绘平抛运动的轨迹常用的有以下几种方法：
(1)利用实验室的斜面小槽等器材．钢球从斜槽上滚下，冲过水平槽飞出后做__________
运动，每次钢球都应从斜槽上的____________滚下．用铅笔描出小球经过的________．通
过多次实验，在竖直白纸上记录钢球所经过的________，连起来就得到钢球做平抛运动
的轨迹．
(2)用细水柱显示平抛运动的轨迹．水从________的管口喷出，在空中形成弯曲的细水柱，
设法把细水柱所显示的________运动的轨迹描在纸上．
(3)用________相机或________摄像机记录平抛运动的轨迹．
2．判断平抛运动的轨迹是不是抛物线的方法：用刻度尺测量某点的x、y两个坐标，代
入________，求出a的数值，再选取其他的点，进一步求a的______，若求得的结果相
同，则说明平抛运动的轨迹是__________．
3．利用描迹法描出小球的运动轨迹，建立坐标系，测出轨迹曲线上某一点的坐标x和y，
根据公式：x＝__________和y＝________，就可求得v0＝x，即为小球做平抛运动
的初速度．
4．在做“研究平抛运动”的实验时，可以通过描点法画出小球的平抛运动轨迹，并求出
平抛运动的初速度．实验装置如图1所示．
图1
(1)实验时将固定有斜槽的木板放在实验桌上，实验前要检查木板是否水平，请简述你的
检查方法：____________________________________.
(2)关于这个实验，以下说法正确的是( )
A．小球释放的初始位置越高越好
B．每次小球要从同一高度由静止释放
C．实验前要用重垂线检查坐标纸上的竖直线是否竖直
D．小球的平抛运动要靠近但不接触木板
【概念规律练】
知识点一 仪器的选择及操作
1．在做“研究平抛运动”实验时，(1)除了木板、小球、斜槽、铅笔、图钉之外，下列器材中还需要的是________．
A．游标卡尺 B．秒表
C．坐标纸 D．天平
E．弹簧秤 F．重垂线[]
(2)实验中，下列说法正确的是________．
A．应使小球每次从斜槽上相同的位置自由滑下
B．斜槽轨道必须光滑
C．斜槽轨道末端可以不水平
D．要使描出的轨迹更好地反映真实运动，记录的点应适当多一些[]
E．为了比较准确地描出小球运动的轨迹，应该用一条曲线把所有的点连接起来
2．在“探究平抛运动的运动规律”的实验中，可以描绘出小球平抛运动的轨迹，实验简
要步骤如下：
A．让小球多次从__________________位置滚下，记下小球碰到铅笔笔尖的一系列位置．
B．按图2安装好器材，注意____________________________________，记下平抛初位
置O点和过O点的竖直线．[]
图2
C．取下白纸，以O为原点，以竖直线为y轴建立坐标系，用平滑曲线画平抛运动物体
的轨迹．
完成上述步骤，将正确的答案填在横线上．
知识点二 实验注意事项
3．在用斜槽轨道做“研究平抛运动的规律”的实验时，让小球多次沿同一轨道运动，通
过描点法画出小球做平抛运动的轨迹．为了能够较准确地描出其运动轨迹，下面列出了
一些操作要求，其中正确的是( )
A．通过调节斜槽使其末端切线水平[]
B．每次释放小球的位置可以不同
C．每次必须由静止释放小球
D．小球运动时不应与木板上的白纸(或方格纸)相接触
【方法技巧练】
一、平抛运动初速度的求解方法
4.
图3
如图3所示，A、B是两块竖直放置的薄纸片，子弹以水平速度穿过A后再穿过B，在两
块纸片上穿的两个洞高度差为h，A、B间水平距离为L，则子弹穿过A时的速度是：
__________.
5．图4甲是研究平抛运动的实验装置图，图乙是实验后在白纸上作的图和测得的数据．
图4
(1)图乙上标出了O点及Ox、Oy轴，请说明这两条坐标轴是如何作出的；
(2)说明判断槽口切线是否水平的方法；[]
(3)实验过程中需经过多次释放小球才能描绘出小球运动的轨迹，进行这一实验步骤时应
注意什么？
(4)根据图乙给出的数据，计算此平抛运动的初速度v0.
[]
二、创新实验的设计方法
6.
[]
图5
试根据平抛运动原理设计“测量弹射器弹丸出射初速度”的实验方案．提供的实验器材
为弹射器(含弹丸，见图5)、铁架台(带有夹具)、米尺．
(1)画出实验示意图；[]
(2)在安装弹射器时应注意________________________________；
(3)实验中需要测量的量(并在示意图中用字母标出)为______________；
(4)由于弹射器每次射出的弹丸初速度不可能完全相等，在实验中应采取的方法是
________________________________________________________________________；
(5)计算公式为_________________________________________________．
7．如图6所示，用底部带孔的玻璃试管和弹簧可以组装一个简易“多功能实验器”，利
用该实验器，一方面能测弹簧的劲度系数，另一方面可测量小球做平抛运动的初速度．
图6
(1)用该装置测量弹簧劲度系数k时需要读出几次操作时的________________和
________________，然后由公式____________________求出k的平均值．
(2)使用该装置测量小球的初速度时，需要多次将弹簧的右端压到______(填“同一”或
“不同”)位置．然后分别测出小球几次飞出后的____________和________________，再
由公式________________求出初速度的平均值．
参考答案
课前预习练[]
1．(1)平抛 同一位置 位置 位置 (2)水平 平抛 (3)数码 数码
2．y＝ax2 值 抛物线
3．v0t gt2
4．(1)将小球放在槽的末端任一位置(或木板上)，看小球能否静止(或用水平仪检查木板是否水平) (2)BCD
解析 (1)小球放在槽的末端任一位置都静止，说明末端切线水平．
(2)下落高度越大，初速度越大，一是位置不好用眼捕捉观察估测，二是坐标纸上描出的轨迹图线太靠上边，坐标纸利用不合理，A错误；每次从同一高度释放，保证小球每次具有相同的水平速度，B正确；木板要竖直且让球靠近但不接触木板，以减少碰撞和摩擦，C、D正确．
课堂探究练
1．(1)CF (2)AD[]
解析 本题考查的是仪器的选择和实验的注意事项．实验还需要的器材是坐标纸和重垂线，描出的轨迹在坐标纸上，方便数据处理，重垂线是用来确定竖直木板是否竖直并确定纵坐标的．做平抛运动的实验时，斜槽末端必须水平，以保证小球做平抛运动，使小球每次从斜槽上相同的位置自由滑下，以使小球在斜槽末端速度相同；在描画小球运动轨迹时，应用平滑的曲线连点，偏离轨迹较远的点可舍去．
点评 注意事项口诀：斜槽末端要水平，每次放球位置同，确定小球位置准，描得轨迹方才行．
2．A.斜槽上的相同 B．斜槽末端切线水平，方木板竖直且与小球运动轨迹所在竖直面平行
解析 为保证小球的运动轨迹相同，应使小球每次做平抛运动的初速度相同，所以应让小球每次都从斜槽上的相同位置滚下，安装器材时应注意使斜槽末端水平，方木板竖直且板面与斜槽末端切线平行紧靠斜槽末端放置．
3．ACD [因为平抛运动要求物体在抛出时必须只具有水平方向的速度，因此必须保证斜槽末端水平，故A正确；在用描点法做平抛运动的轨迹时，每次只能描出一个点，应让小球多次沿同一轨道做同样的平抛运动，因此每次必须从同一位置由静止释放小球，故B错误而C正确；小球在下落过程中不能与白纸(或方格纸)相接触，否则由于摩擦或碰撞会改变小球平抛运动的轨迹，所以D正确．]
4．L
解析 子弹在两纸片间做平抛运动．因此：L＝vt，h＝gt2.解方程可得：v＝L.
点评 根据平抛运动的分运动的等时性，将两个分运动联立求解即可求得初速度v.
5．见解析
解析 (1)利用拴在槽口处的重垂线作出Oy轴，Ox轴与Oy轴垂直，O点在槽口上方r(小球半径)处．
(2)将小球放在槽口的水平部分，小球既不向里滚也不向外滚，说明槽口末端是水平的．
(3)应注意使小球每次都从轨道同一位置由静止释放．
(4)利用B点进行计算，由y＝，代入数据得：
t＝＝0.30 s，v0＝＝1.6 m/s.
6．见解析
解析 根据研究平抛运动的实验和平抛运动的原理，可知使弹丸做平抛运动，通过测量下落高度可求出时间，再测出水平位移可求出平抛的初速度．
(1)实验示意图如图所示：
(2)弹射器必须保持水平；
(3)弹丸下降高度y和水平射程x；
(4)在不改变高度y的条件下进行多次实验，测量水平射程x，得出水平射程x的平均值，以减小误差；
(5)因为y＝gt2，所以t＝
又因x＝v0t，故v0＝＝＝.
7．(1)弹簧测力计的示数F 弹簧的伸长量Δx k＝
(2)同一 水平位移s 竖直高度h v0＝s5.6 向心力 学案（人教版必修2）
1．做匀速圆周运动的物体具有向心加速度，产生向心加速度的原因一定是物体受到了指
向________的合力，这个合力叫做向心力．向心力产生向心加速度，不断改变物体的速
度________，维持物体的圆周运动，因此向心力是一种________力，它可以是我们学过
的某种性质力，也可以是几种性质力的________或某一性质力的________．[]
2．向心力大小的计算公式为：Fn＝________＝________，其方向指向________．
3．若做圆周运动的物体所受的合外力不沿半径方向，可以根据F产生的的效果将其分
解为两个相互垂直的分力：跟圆周相切的____________和指向圆心方向的____________，
Ft产生________________________，改变物体速度的________；Fn产生_____，改变物
体速度的________．仅有向心加速度的运动是________________，同时具有切向加速度
和向心加速度的圆周运动就是________________．
4．一般曲线运动
运动轨迹既不是________也不是________的曲线运动，可称为一般曲线运动．曲线运动
问题的处理方法：把曲线分割成许多极短的小段，每一段都可以看作一小段________，
这些圆弧上具有不同的________，对每小段都可以采用____________的分析方法进行处
理．
5．关于向心力，下列说法中正确的是( )
A．物体由于做圆周运动而产生一个向心力
B．向心力不改变做匀速圆周运动物体的速度大小
C．做匀速圆周运动的物体的向心力是恒力
D．做一般曲线运动的物体的合力即为向心力
6．如图1所示，
图1
用细绳拴一小球在光滑桌面上绕一铁钉(系一绳套)做匀速圆周运动，关于小球的受力，
下列说法正确的是( )
A．重力、支持力
B．重力、支持力、绳子拉力
C．重力、支持力、绳子拉力和向心力
D．重力、支持力、向心力
7．甲、乙两个物体都做匀速圆周运动，其质量之比为1∶2，转动半径之比为1∶2，在
相同的时间里甲转过60°，乙转过45°，则它们的向心力之比为( )
A．1∶4 B．2∶3 C．4∶9 D．9∶16
【概念规律练】
知识点一 向心力的概念
1．下列关于向心力的说法中正确的是( )
A．物体受到向心力的作用才能做圆周运动
B．向心力是指向弧形轨道圆心方向的力，是根据力的作用效果命名的
C．向心力可以是重力、弹力、摩擦力等各种力的合力，也可以是某一种力或某一种力
的分力
D．向心力只改变物体运动的方向，不改变物体运动的快慢
2．关于向心力，下列说法正确的是( )
A．向心力是一种效果力
B．向心力是一种具有某种性质的力
C．向心力既可以改变线速度的方向，又可以改变线速度的大小
D．向心力只改变线速度的方向，不改变线速度的大小
知识点二 向心力的来源
3．如图2所示，
图2
一小球用细绳悬挂于O点，将其拉离竖直位置一个角度后释放，则小球以O点为圆心做
圆周运动，运动中小球所需向心力是( )
A．绳的拉力
B．重力和绳拉力的合力
C．重力和绳拉力的合力沿绳的方向的分力
D．绳的拉力和重力沿绳方向分力的合力
4．如图3所示，
图3[]
有一个水平大圆盘绕过圆心的竖直轴匀速转动，小强站在距圆心为r处的P点不动，关
于小强的受力，下列说法正确的是( )
A．小强在P点不动，因此不受摩擦力作用[]
B．小强随圆盘做匀速圆周运动，其重力和支持力充当向心力
C．小强随圆盘做匀速圆周运动，盘对他的摩擦力充当向心力
D．若使圆盘以较小的转速转动时，小强在P点受到的摩擦力不变
知识点三 变速圆周运动
5．如图4所示，
图4
长为L的悬线固定在O点，在O点正下方处有一钉子C，把悬线另一端的小球m拉到
跟悬点在同一水平面上无初速度释放，小球到悬点正下方时悬线碰到钉子，则小球的
( )
A．线速度突然增大
B．角速度突然增大
C．向心加速度突然增大
D．悬线的拉力突然增大
【方法技巧练】
一、向心力大小的计算方法
6．一只质量为m的老鹰，以速率v在水平面内做半径为R的匀速圆周运动，则空气对
老鹰作用力的大小等于( )
A．m B．m
C．m D．mg
7．在双人花样滑冰运动中，有时会看到男运动员拉着女运动员离开冰面在空中做圆锥摆
运动的精彩的场面，目测体重为G的女运动员做圆锥摆运动时和水平冰面的夹角为30°，
重力加速度为g，估算该女运动员( )
A．受到的拉力为G B．受到的拉力为2G
C．向心加速度为3g D．向心加速度为2g[]
二、匀速圆周运动问题的分析方法
8.
图5
长为L的细线，拴一质量为m的小球，一端固定于O点．让其在水平面内做匀速圆周
运动(这种运动通常称为圆锥摆运动)，如图5所示．当摆线L与竖直方向的夹角为α时，
求：
(1)线的拉力F；
[]
(2)小球运动的线速度的大小；
(3)小球运动的角速度及周期．
参考答案
课前预习练
1．圆心 方向 效果 合力 分力
2．m mω2r 圆心
3．分力Ft 分力Fn 沿圆周切线方向的加速度 大小 指向圆心的加速度 方向 匀速圆周运动 变速圆周运动
4．直线 圆周 圆弧 半径 圆周运动
5．B [由向心力的概念对各选项作出判断，注意一般曲线运动与匀速圆周运动的区别．
与速度方向垂直的力使物体运动方向发生改变，此力指向圆心命名为向心力，所以向心力不是物体做圆周运动而产生的．向心力与速度方向垂直，不改变速度的大小，只改变速度的方向．做匀速圆周运动的物体的向心力始终指向圆心，方向在不断变化，是个变力．做一般曲线运动的物体的合力通常可分解为切向分力和法向分力．切线方向的分力提供切向加速度，改变速度的大小；法线方向的分力提供向心加速度，改变速度的方向．正确选项为B.]
6．B [向心力是效果力，可以是一个力，也可以是一个力的分力或几个力的合力．]
7．C [由匀速圆周运动的向心力公式Fn＝mrω2＝mr()2，可得＝＝××()2＝.]
课堂探究练
1．ABCD [向心力是使物体做圆周运动的原因，它可由各种性质力的合力、某一个力或某一个力的分力提供，方向始终从做圆周运动的物体的所在位置指向圆心，是根据力的作用效果命名的，只改变线速度的方向，不改变线速度的大小．]
2．AD [向心力是按力的作用效果命名的，是一种效果力，所以A选项正确，B选项错误；由于向心力始终沿半径指向圆心，与速度的方向垂直，即向心力对做圆周运动的物体始终不做功，不改变线速度的大小，只改变线速度的方向，因此C选项错误，D选项正确．]
点评 由于向心力是一种效果力，所以在受力分析时不要加上向心力，它只能由其他性质的力提供．
3．CD [
[]
如图所示，对小球进行受力分析，它受重力和绳的拉力，向心力由指向圆心O方向的合外力提供，因此，它可以是小球所受合力沿绳方向的分力，也可以是各力沿绳方向分力的合力，故选C、D.]
4．C [由于小强随圆盘一起做匀速圆周运动，一定需要向心力，该力一定指向圆心方向，而重力和支持力在竖直方向上，它们不能充当向心力，因此他会受到摩擦力作用，且充当向心力，A、B错误，C正确；由于小强随圆盘转动的半径不变，当圆盘角速度变小时，由Fn＝mrω2可知，所需向心力变小，故D错误．]
点评 对物体受力分析得到的指向圆心的力提供向心力．向心力可以是某个力、可以是某几个力的合力，也可以是某个力的分力．
在匀速圆周运动中，向心力就是物体所受的指向圆心方向的合外力．在变速圆周运动中，物体所受合外力一般不再指向圆心，可沿切线方向和法线方向分解，法线方向的分力就是向心力．
5．BCD [悬线与钉子碰撞前后瞬间，线的拉力始终与小球的运动方向垂直，不对小球做功，故小球的线速度不变．当半径减小时，由ω＝知ω变大，再由F向＝m知向心加速度突然增大．而在最低点F向＝FT－mg，故悬线的拉力变大．由此可知B、C、D选项正确．]
点评 作好受力分析，明确哪些力提供向心力，找准物体做圆周运动的径迹及位置是解题的关键．
6．A
7．B [[]
如图所示
F1＝Fcos 30°
F2＝Fsin 30°
F2＝G，F1＝ma
a＝g，F＝2G.]
方法总结 用向心力公式解题的思路与用牛顿第二定律解题的思路相似：
(1)明确研究对象，受力分析，画出受力示意图；
(2)分析运动情况，确定运动的平面、圆心和半径，明确向心加速度的方向和大小；
(3)在向心加速度方向上，求出合力的表达式，根据向心力公式列方程求解．
8．(1)F＝ (2)v＝
(3)ω＝ T＝2π
解析
做匀速圆周运动的小球受力如图所示，小球受重力mg和绳子的拉力F.
(1)因为小球在水平面内做匀速圆周运动，所以小球受到的合力指向圆心O′，且是水平方向．由平行四边形定则得小球受到的合力大小为mgtan α，线对小球的拉力大小为：F＝.[]
(2)由牛顿第二定律得：mgtan α＝[]
由几何关系得r＝Lsin α[]
所以，小球做匀速圆周运动线速度的大小为
v＝
(3)小球运动的角速度
ω＝＝＝
小球运动的周期
T＝＝2π.
方法总结 匀速圆周运动问题的分析步骤：
(1)明确研究对象，对研究对象进行受力分析，画出受力示意图．
(2)将物体所受外力通过力的分解将其分解成为两部分，其中一部分分力沿半径方向．
(3)列方程：沿半径方向满足F合1＝mrω2＝m＝，另一方向F合2＝0.
(4)解方程，求出结果．5.5 向心加速度 学案（人教版必修2）
1．圆周运动的速度方向不断改变，一定是________运动，必定有________．任何做匀速
圆周运动的物体的加速度的方向都指向________，这个加速度叫向心加速度．
2．向心加速度是描述物体____________改变________的物理量，其计算公式为an＝
________＝________.
3．关于匀速圆周运动及向心加速度，下列说法中正确的是( )
A．匀速圆周运动是一种匀速运动
B．匀速圆周运动是一种匀速曲线运动
C．向心加速度描述线速度大小变化的快慢
D．匀速圆周运动是加速度方向不断改变的变速运动
4．关于做匀速圆周运动物体的向心加速度的方向，下列说法中正确的是( )
A．与线速度方向始终相同
B．与线速度方向始终相反
C．始终指向圆心
D．始终保持不变[]
5．关于做匀速圆周运动的物体的向心加速度，下列说法正确的是( )
A．向心加速度的大小和方向都不变
B．向心加速度的大小和方向都不断变化
C．向心加速度的大小不变，方向不断变化
D．向心加速度的大小不断变化，方向不变
6．关于质点做匀速圆周运动的下列说法中正确的是( )
A．由a＝可知，a与r成反比
B．由a＝ω2r可知，a与r成正比
C．当v一定时，a与r成反比
D．由ω＝2πn可知，角速度ω与转速n成正比
7．高速列车已经成为世界上重要的交通工具之一，某高速列车时速可达360 km/h.当该
列车以恒定的速率在半径为2 000 m的水平面上做匀速圆周运动时，则( )
A．乘客做圆周运动的加速度为5 m/s2
B．乘客做圆周运动的加速度为0.5 m/s2
C．列车进入弯道时做匀速运动
D．乘客随列车运动时的速度不变[]
【概念规律练】
知识点一 对向心加速度的理解
1．关于向心加速度的物理意义，下列说法正确的是( )
A．它描述的是线速度大小变化的快慢
B．它描述的是线速度方向变化的快慢
C．它描述的是物体运动的路程变化的快慢
D．它描述的是角速度变化的快慢
2．下列关于向心加速度的说法中，正确的是( )
A．向心加速度的方向始终与速度的方向垂直
B．向心加速度的方向始终保持不变
C．在匀速圆周运动中，向心加速度是恒定的
D．在匀速圆周运动中，向心加速度的大小不断变化
知识点二 对向心加速度公式的理解
3．关于匀速圆周运动的向心加速度，下列说法中正确的是( )
A．由于a＝，所以线速度大的物体向心加速度大
B．由于a＝，所以旋转半径大的物体向心加速度小
C．由于a＝rω2，所以角速度大的物体向心加速度大
D．以上结论都不正确
4.
图1[]
如图1所示为质点P、Q做匀速圆周运动时向心加速度随半径变化的图线，表示质点P
的图线是双曲线，表示质点Q的图线是过原点的一条直线，由图线可知( )
A．质点P的线速度大小不变
B．质点P的角速度大小不变
C．质点Q的角速度随半径变化
D．质点Q的线速度大小不变
知识点三 对速度变化量的理解
5．某物体以10 m/s的速率沿周长为40 m的圆做匀速圆周运动，求：[]
(1)物体运动2 s内的位移和速度变化大小．[]
(2)物体运动4 s内的位移和速度变化大小．
(3)物体的向心加速度大小．
[]
[]
【方法技巧练】
一、传动装置中的向心加速度
6.[]
图2
如图2所示，O、O1为两个皮带轮，O轮的半径为r，O1轮的半径为R，且R>r，M点
为O轮边缘上的一点，N点为O1轮上的任意一点．当皮带轮转动时(设转动过程中不打
滑)，则( )
A．M点的向心加速度一定大于N点的向心加速度
B．M点的向心加速度一定等于N点的向心加速度[]
C．M点的向心加速度可能小于N点的向心加速度
D．M点的向心加速度可能等于N点的向心加速度
7.
图3
如图3所示，O1为皮带传动的主动轮的轴心，轮半径为r1，O2为从动轮的轴心，轮半径
为r2，r3为固定在从动轮上的小轮的半径．已知r2＝2r1，r3＝1.5r1.A、B、C分别是3个
轮边缘上的点，则质点A、B、C的向心加速度之比是(假设皮带不打滑)( )
A．1∶2∶3 B．2∶4∶3
C．8∶4∶3 D．3∶6∶2
二、向心加速度与其他运动规律的结论
8．如图4所示，
图4
定滑轮的半径r＝2 cm，绕在滑轮上的细线悬挂着一个重物，由静止开始释放，测得重
物以加速度a＝2 m/s2匀加速运动，在重物由静止下落1 m的瞬间，滑轮边缘上的点的角
速度ω＝______ rad/s，向心加速度an＝______ m/s2.
9.
图5
一个圆盘在水平面内匀速转动，角速度是4 rad/s，盘面上距盘中心0.01 m的位置有一个
质量为0.1 kg的小物体能够随盘一起转动，如图5所示．求物体转动的向心加速度的大
小和方向．
[]
参考答案
课前预习练
1．变速 加速度 圆心
2．速度方向 快慢 ω2r
3．D [匀速圆周运动的速度方向时刻改变，是一种变速曲线运动，A、B错；匀速圆周运动的加速度大小不变，方向时刻在改变，且加速度的大小描述了做匀速圆周运动的物体线速度方向变化的快慢，故C错，D对．]
4．C 5.C 6.CD
7．A [乘客随列车以360 km/h的速率沿半径为2 000 m的圆周运动，向心加速度a＝＝ m/s2＝5 m/s2，A对，B错；乘客随列车运动时的速度大小不变，方向时刻变化，C、D错．]
课堂探究练
1．B [向心加速度描述了线速度方向变化的快慢，故选B.]
点评 由于向心加速度始终与速度垂直，故向心加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小，故向心加速度的大小表示线速度方向改变的快慢．
2．A [向心加速度方向始终指向圆心，与速度方向垂直，方向时刻在变化，故选项A正确，B错误；在匀速圆周运动中向心加速度的大小不变，方向时刻变化，故选项C、D错误．]
3．D [研究三个物理量之间的关系时，要注意在一个量一定时，研究另两个量的关系，比如a＝只有在r一定的前提下，才能说速度v越大，加速度a越大．]
4．A [由图象知，质点P的向心加速度随半径r的变化曲线是双曲线，因此可以判定质点P的向心加速度ap与半径r的积是一个常数k，即apr＝k，ap＝，与向心加速度的计算公式ap＝对照可得v2＝k，即质点P的线速度v＝，大小不变，A选项正确；同理，知道质点Q的向心加速度aQ＝k′r与a＝ω2r对照可知ω2＝k′，ω＝(常数)，质点Q的角速度保持不变．因此选项B、C、D皆不正确．]
点评 正确理解图象所表达的物理意义是解题的关键，搞清向心加速度公式an＝和an＝ω2r的适用条件．
5．(1)12.7 m 20 m/s (2)0 0 (3)15.7 m/s2
解析 (1)经2 s的时间，物体通过的路程s＝10×2 m＝20 m，即物体通过了半个圆周，此时物体的位置与原出发位置关于圆心对称，故其位移大小x＝2r＝ m＝12.7 m，物体的速度变化大小Δv＝2v＝20 m/s.
(2)经4 s的时间，物体又回到出发位置，位移为零，速度变化为零．
(3)物体的向心加速度大小
a＝＝ m/s2＝15.7 m/s2
点评 ①速度变化量是矢量，它有大小，也有方向．当物体沿直线运动且速度增大时，Δv的方向与初速度方向相同；当物体沿直线运动且速度减小时，Δv的方向与初速度方向相反，如图所示：
②如果物体做曲线运动，我们把初速度v1移到末速度v2上，使v1、v2的箭尾重合，则从v1的箭头指向v2箭头的有向线段就表示Δv，如图所示．
6．A [因为两轮的转动是通过皮带传动的，而且皮带在传动过程中不打滑，故两轮边缘各点的线速度大小一定相等．在大轮边缘上任取一点Q，因为R>r，所以由an＝可知，aQaN，因此A选项正确．]
方法总结 涉及传动装置问题时，先找出哪些点线速度相等，哪些点角速度相等，然后相应地应用an＝、an＝ω2r进行分析．
7．C [因皮带不打滑，A点与B点的线速度大小相同，根据向心加速度公式：an＝，
可得aA∶aB＝r2∶r1＝2∶1.
B点、C点是固定在一起的轮上的两点，所以它们的角速度相同，根据向心加速度公式：an＝rω2，可得
aB∶aC＝r2∶r3＝2∶1.5.
所以aA∶aB∶aC＝8∶4∶3，故选C.]
方法总结 (1)向心加速度的公式an＝rω2＝中，都涉及三个物理量的变化关系，因此必须在某一物理量不变时，才可以判断另外两个物理量之间的关系．
(2)对于皮带传动、链条传动等装置，要先确定轮上各点v、ω的关系，再进一步确定向心加速度a的关系．
8．100 200
解析 由题意知，滑轮边缘上的点的线速度与物体的速度相等，由推论公式2ax＝v2，得v＝2 m/s.又因v＝rω，所以ω＝100 rad/s，an＝vω＝200 m/s2.
方法总结 抓住同轮边缘各点同一时刻线速度的大小相等，且与物体下降的速度大小相等，再由匀变速运动的规律分析相关问题．
9．0.16 m/s2，方向指向圆心
解析 由an＝rω2得an＝0.01×42 m/s2＝0.16 m/s2.5.4 圆周运动 学案（人教版必修2）
1．描述圆周运动的物理量
物理量 物理意义 定义、公式、单位
线速度 描述物体沿圆周____方向运动的快慢程度 ①物体沿圆周通过的____与时间的比值②v＝________③单位：m/s④方向：沿____________方向
角速度 描述物体绕圆心________的快慢 ①连结运动质点和圆心的半径扫过的________与时间的比值②ω＝________③单位：rad/s
周期和转速 描述匀速圆周运动的______ ①周期T：做匀速圆周运动的物体，转过____所用的时间，公式T＝________，单位：____[]②转速n：物体单位时间内所转过的____，单位：____、____
2.当物体做匀速圆周运动时，线速度大小处处________，方向沿圆周________方向，是一种变速运动．
3．线速度和周期的关系式是________，角速度和周期的关系式是________，线速度和角速度的关系式是________，频率和周期的关系式是________．
4．在分析传动装置的各物理量之间的关系时，要先明确什么量是相等的，什么量是不等的，在通常情况下：
(1)同轴的各点角速度、转速、周期________，线速度与半径成________．
(2)在不考虑皮带打滑的情况下，皮带上各点与传动轮上各点线速度大小________，而角速度与半径成________．
5．下列关于匀速圆周运动的说法中，正确的是( )
A．线速度不变 B．角速度不变
C．加速度为零 D．周期不变
6．关于匀速圆周运动的角速度和线速度，下列说法正确的是( )
A．半径一定，角速度和线速度成反比
B．半径一定，角速度和线速度成正比
C．线速度一定，角速度和半径成反比
D．角速度一定，线速度和半径成正比
【概念规律练】
知识点一 匀速圆周运动的概念
1．对于做匀速圆周运动的物体，下列说法中错误的是( )
A．相等的时间内通过的路程相等[]
B．相等的时间内通过的弧长相等
C．相等的时间内运动的位移相同
D．相等的时间内转过的角度相等
知识点二 描述圆周运动的物理量之间的关系
图1
2．如图1所示，圆环以直径AB为轴匀速转动，已知其半径R＝0.5 m，转动周期T＝4 s，
求环上P点和Q点的角速度和线速度．
知识点三 传动装置问题的分析
3．如图2所示为某一皮带传动装置．主动轮的半径为r1，从动轮的半径为r2.已知主动
轮做顺时针转动，转速为n，转动过程中皮带不打滑．下列说法正确的是( )
图2
A．从动轮做顺时针转动 B．从动轮做逆时针转动
C．从动轮的转速为n D．从动轮的转速为n
4．如图3所示的皮带传动装置(传动皮带是绷紧的且运动中不打滑)中，主动轮O1的半
径为r1，从动轮O2有大小两轮且固定在同一个轴心O2上，半径分别为r3、r2，已知r3
＝2r1，r2＝1.5r1，A、B、C分别是三个轮边缘上的点，则当整个传动装置正常工作时，
A、B、C三点的线速度之比为________；角速度之比为________；周期之比为________．
图3
【方法技巧练】
圆周运动与其他运动结合的问题的分析技巧
5.
[]
图4
如图4所示，半径为R的圆盘绕垂直于盘面的中心轴匀速转动，在其正上方h处沿OB
方向水平抛出一小球，要使球与盘只碰一次，且落点为B，则小球的初速度v＝________，[]
圆盘转动的角速度ω＝________.
6．如图5所示，
图5
有一直径为d的纸制圆筒，使它以角速度ω绕轴O匀速转动，然后使子弹沿直径穿过圆
筒．若子弹在圆筒旋转不到半周时，就在圆筒上先后留下a、b两个弹孔，已知aO、bO
的夹角为φ，求子弹的速度．
参考答案[]
课前预习练
1．切线 ①弧长 ② ④圆弧的切线 转动 ①角度 ② 快慢程度 ①一周 s ②圈数 r/s r/min
2．相等 切线
3．v＝ ω＝ v＝rω f＝
4．(1)相等 正比 (2)相等 反比
5．BD [匀速圆周运动的角速度是不变的，线速度的大小不变，但方向时刻变化，故匀速圆周运动的线速度是改变的，因而加速度不为零．]
6．BCD [由v＝ωr，知B、C、D正确．]
课堂探究练
1．C [匀速圆周运动在任意相等的时间内通过的弧长相等，通过的角度相等，但相等时间段内对应的位移方向不同，故C错．]
2．1.57 rad/s 1.57 rad/s
0．39 m/s 0.68 m/s
解析 P点和Q点的角速度相同，其大小是
ω＝＝ rad/s＝1.57 rad/s
P点和Q点绕AB做圆周运动，其轨迹的圆心不同．P点和Q点的圆半径分别为
rP＝R·sin 30°＝R，rQ＝R·sin 60°＝R.
故其线速度分别为
vP＝ω·rP≈0.39 m/s，vQ＝ω·rQ＝0.68 m/s.
点评 解决此类题目首先要确定质点做圆周运动的轨迹所在的平面及圆心的位置，从而确定半径，然后由v、ω的定义式及v、ω、R的关系式来计算．
3．BC [主动轮顺时针转动时，皮带带动从动轮逆时针转动，A项错误，B项正确；由于两轮边缘线速度大小相同，根据v＝2πrn，可得两轮转速与半径成反比，所以C项正确，D项错误．]
4．4∶4∶3 2∶1∶1 1∶2∶2
解析 因同一轮子(或固定在同一轴心上的两轮)上各点的角速度都相等，皮带传动(皮带不打滑)中与皮带接触的轮缘上各点在相等时间内转过的圆弧长度相等，其线速度都相等．故本题中的B、C两点的角速度相等，即
ωB＝ωC ①
A、B两点的线速度相等，即vA＝vB ②[]
因A、B两点分别在半径为r1和r3的轮缘上，r3＝2r1.[]
故由ω＝及②式[]
可得角速度ωA＝2ωB ③
由①③式可得A、B、C三点角速度之比为
ωA∶ωB∶ωC＝2∶1∶1 ④
因B、C分别在半径为r3、r2的轮缘上，
r2＝r1＝r3
故由v＝rω及①式
可得线速度vB＝vC ⑤
由②⑤式可得A、B、C三点线速度之比为
vA∶vB∶vC＝4∶4∶3 ⑥
由T＝及④式可得A、B、C三点的周期之比为
TA∶TB∶TC＝1∶2∶2. ⑦
点评 ①同一圆盘上的各点角速度和周期相同．②皮带(皮带不打滑)或齿轮传动的两圆盘，与皮带相接触的点或两圆盘的接触点线速度相同．
5．R 2nπ(n＝1,2,3，…)
解析 小球做平抛运动，在竖直方向上有h＝gt2，则运动时间t＝.
又因为水平位移为R，所以小球的初速度
v＝＝R.
在时间t内圆盘转过的角度θ＝n·2π(n＝1,2,3，…)
又因为θ＝ωt，则圆盘转动的角速度ω＝＝＝2nπ(n＝1,2，3，…)
方法总结 由于圆周运动的周期性，解答时要注意各种解的可能性．与平抛运动的结合也是从时间上找突破口，兼顾位移关系．
6.[]
解析 子弹从a穿入圆筒到从b穿出圆筒，圆筒旋转不到半周，故圆筒转过的角度为π－φ，则子弹穿过圆筒的时间为t＝.
在这段时间内子弹的位移为圆筒的直径d，则子弹的速度为v＝＝.
方法总结 两种运动的结合，其结合点是时间，抓住时间的等量关系，此题就可迎刃而解．