人教新课标B版数学必修4学案（Word版，共480页，附答案）

　　到过海边的人都知道，海水有涨潮和落潮现象，涨潮时，海水上涨，波浪滚滚，景色十分壮观；退潮时，海水悄然退去，露出一片海滩．在我国，有闻名中外的钱塘江涨潮，当潮流涌来时，潮端陡立，水花四溅，像一道高速推进的直立水墙，形成“滔天浊浪排空来，翻江倒海山为摧”的壮观景象．科学地讲，潮汐是海水在月球和太阳引潮力作用下发生的周期性运动，是海洋中常见的自然现象之一．实际上，现实中的许多运动变化都有着循环反复、周而复始的现象，这种变化规律称为周期性．在唐代诗人王湾的《次北固山下》中有这样的诗句：“客路青山外，行舟绿水前．潮平两岸阔，风正一帆悬
.海日生残夜，江春入旧年．”诗中生动地描述了潮汐运动、昼夜交替的周期性变化规律．如何用数学的方法来刻画这种周期性的变化规律呢？本章将要学习的三角函数就是刻画这种变化规律的数学模型．通过本章的学习，我们将知道：三角函数是怎样的一种函数？具有哪些特有的性质？在解决周期性变化规律的问题中能发挥哪些重要作用？
1．1　任意角和弧度制
1.1.1　任意角
Q　
在花样滑冰比赛中，运动员的动作是那么优美！尤其是原地转身和空中翻转动作都让我们叹为观止．
运动员在原地转身的动作中，仅仅几秒内就能旋转十几圈，甚至二十几圈，因此，花样滑冰美丽而危险．
你能算出他们在一次原地转身三圈的动作中转过的角度吗？
X　
1．任意角的概念
(1)角的概念
角可以看成平面内一条射线绕着__端点__从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
(2)角的表示
如图所示：
①始边：射线的起始位置OA．
②终边：射线的终止位置OB．
③顶点：射线的端点O．
④记法：图中的角α可记为“角α”或“∠α”或“∠AOB”．
(3)正角、负角、零角
类型
定义
图示
正角
按__逆时针__方向旋转形成的角
负角
按__顺时针__方向旋转形成的角
零角
射线从起始位置OA没有作__任何旋转__，终止位置OB与起始位置OA重合，称这样的角为零度角，又称零角
这样，我们就把角的概念推广到任意角，包括正角、负角和零角．
[知识点拨](1)角的概念推广后，角度的范围不再限于0°～360°(0°～360°是指0°≤α<360°)．
(2)确定任意角的度数关键看终边旋转的方向和圈数：
①表示角时，箭头的方向代表角的正负，因此箭头不能丢掉；顺时针旋转形成负角常常容易被忽视．
②当角的始边相同时，若角相等，则终边相同；终边相同，而角不一定相等．始边和终边重合的角不一定是零角，只有没作任何旋转，始边与终边重合的角才是零角．
2．象限角
使角的顶点与__原点__重合，角的始边与__x__轴的非负半轴重合．那么，角的__终边__(除原点外)在第几象限，就说这个角是第几__象限角__，即象限角的终边在第一或第二或第三或第四象限内，不与__坐标轴__重合．
如果角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限．
[知识点拨]要正确区分锐角、0°～90°的角、小于90°的角、第一象限角．锐角是0°<α<90°的角；0°～90°的角是0°≤α<90°的角；小于90°的角是α<90°的角(包括零角、负角)；第一象限角是{α|k·360°<α<90°＋k·360°，k∈Z}所表示的角．这四个概念不能混淆．
3．终边相同的角
(1)研究终边相同的角的前提条件是：角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．
(2)终边相同的角的集合：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝__α＋k·360°__，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
[知识点拨]理解集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}要注意以下几点：
(1)式中角α为任意角；
(2)k∈Z这一条件必不可少；
(3)k·360°与α之间是“＋”，如k·360°－30°应看成k·360°＋(－30°)，即与－30°角终边相同；
(4)当α与β的终边相同时，α－β＝k·360°(k∈Z)．反之亦然．
[拓展]1.象限角与轴线角(终边在坐标轴上的角)的集合表示
(1)象限角：
象限角
集合表示
第一象限角
{α|k·360°<α第二象限角
{α|k·360°＋90°<α第三象限角
{α|k·360°＋180°<α第四象限角
{α|k·360°＋270°<α(2)轴线角：
角的终边的位置
集合表示
终边落在x轴的非负半轴上
{α|α＝k·360°，k∈Z}
终边落在x轴的非正半轴上
{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}
终边落在y轴的非负半轴上
{α|α＝k·360°＋90°，k∈Z}
终边落在y轴的非正半轴上
{α|α＝k·360°＋270°，k∈Z}
终边落在y轴上
{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}
终边落在x轴上
{α|α＝k·180°，k∈Z}
终边落在坐标轴上
{α|α＝k·90°，k∈Z}
Y　
1．将射线OM绕端点O按逆时针方向旋转120°所得的角为(　A　)
A．120°　　
B．－120°　
C．60°　
　
D．240°
2．(2018·济南外国语期中)下列各角中，与－1110°的角终边相同的角是(　D　)
A．60°　　　　　　　　　　　
B．－60°
C．30°
D．－30°
[解析]　－1110°＝－3×360°－30°，所以与－30°的角终边相同．
3．下列说法正确的是(　B　)
A．三角形的内角必为第一、二象限角
B．始边相同而终边不同的角一定不相等
C．第四象限角是负角
D．钝角比第三象限角小
[解析]　对于A，当内角为90°时，不是第一、二象限角；根据角的含义，始边相同终边不同的角一定不相等，故B正确；第四象限角不一定是负角，如330°是第四象限角；又第三象限的角的集合为{α|k·360°＋180°<α4．若－30°角的始边与x轴的非负半轴重合，现将－30°角的终边按逆时针方向旋转2周，则所得角是__690°__．
H　
命题方向1　?任意角
典例1　写出图(1)、(2)中的角α、β、γ的度数．
[思路分析]　1.弄清角的始边与终边．
2．弄清逆时针还是顺时针．
[解析]　图(1)中，α＝360°－30°＝330°；图(2)中，β＝－360°＋60°＋150°＝－150°；
γ＝360°＋60°＋(－β)＝360°＋60°＋150°＝570°．
〔跟踪练习1〕如图，射线OA绕顶点O逆
时针旋转45°到OB位置，并在此基础上顺时针旋转120°到达OC位置，则∠AOC＝__－75°__．
[解析]　由角的定义可得∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝45°＋(－120°)＝－75°．
命题方向2　?终边相同的角
典例2　已知角α＝2
016°．
(1)把α改写成k·360°＋β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式，并指出它是第几象限角；
(2)求θ，使θ与α终边相同，且－360°≤θ<720°．
[思路分析]　先求出β，判断角α所在的象限；用终边相同的角表示θ满足的不等关系，求出k和θ．
[解析]　(1)由2016°除以360°，得商为5，余数为216°．
∴取k＝5，β＝216°，α＝5×360°＋216°．
又β＝216°是第三象限角，∴α为第三象限角．
(2)与2016°终边相同的角为k·360°＋2016°(k∈Z)．
令－360°≤k·360°＋2016°<720°(k∈Z)．
解得－6≤k<－3(k∈Z)．所以k＝－6，－5，－4．
将k的值代入k·360°＋2016°中，得角θ的值为－144°，216°，576°．
『规律总结』　1.把任意角化为α＋k·360°(k∈Z，且0°≤α<360°)的形式，关键是确定k，可以用观察法(α的绝对值较小)，也可用除法．
2．要求适合某种条件且与已知角终边相同的角时，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值．
〔跟踪练习2〕若将例题中“角α＝2
016°”改为“α＝－315°”，其他条件不变，结果如何？
[解析]　(1)∵α＝－360°＋45°，∴α是第一象限角．
(2)与－315°终边相同的角为k·360°－315°(k∈Z)，
令－360°≤k·360°－315°<720°(k∈Z)，
解得－≤k<(k∈Z)，所以k＝0,1,2．
将k值代入k·360°－315°中，得所求角为－315°，45°和405°．
命题方向3　?终边在某条直线上的角的集合
典例3　写出终边在如图所示的直线上的角的集合．
[思路分析]　首先确定0°～360°范围内终边在所给直线上的两个角，然后分别写出与两个角终边相同的角的集合，最后写出两个集合的并集即可。
[解析]　(1)在0°～360°范围内，终边在直线y＝0上的角有两个，即0°和180°，又所有与0°角终边相同的角的集合为S1＝{β|β＝0°＋k·360°，k∈Z}，所有与180°角终边相同的角的集合为S2＝{β|β＝180°＋k·360°，k∈Z}，于是，终边在直线y＝0上的角的集合为S＝S1∪S2＝{β|β＝k·180°，k∈Z}．
(2)由图形易知，在0°～360°范围内，终边在直线y＝－x上的角有两个，即135°和315°，因此，终边在直线y＝－x上的角的集合为S＝{β|β＝135°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝
315°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝135°＋k·180°，k∈Z}．
(3)由教材例题知终边在直线y＝x上的角的集合为{β|β＝45°＋k·180°，k∈Z}，结合(2)知所求角的集合为S＝{β|β＝45°＋k·180°，k∈Z}∪{β|β＝135°＋k·180°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋2k·90°，k∈Z}∪{β|β＝45°＋(2k＋1)·90°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋k·90°，k∈Z}．
『规律总结』　求解终边在某条直线上的角的集合的思路
1．若所求角β的终边在某条射线上，则集合的形式为{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．
2．若所求角β的终边在某条直线上，则集合的形式为{β|β＝k·180°＋α，k∈Z}．
〔跟踪练习3〕若α＝45°＋k·180°(k∈Z)，则α的终边在第几象限(　A　)
A．第一或第三　　　　
B．第二或第三
C．第二或第四
D．第三或第四
[解析]　分k为奇数，偶数讨论角α的终边所在象限．
命题方向4　?区域角的表示
典例4　若角α的终边在下图中阴影所表示的范围内，则α角组成的集合为　{α|k·360°＋60°≤α≤k·360°＋150°，k∈Z}　．
[解析]　在0°～360°范围内，终边落在阴影范围内的角是60°≤α≤150°，故满足条件的角的集合为{α|k·360°＋60°≤α≤k·360°＋150°，k∈Z}．
『规律总结』　区域角是指终边落在坐标系的某个区域内的角．其写法可分为三步：
(1)先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；
(2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°到360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α(3)起始、终止边界对应角α、β再加上360°的整数倍，即得区间角集合．
〔跟踪练习4〕写出图中阴影区域所表示角α的集合(包括边界)．
[解析]　(1){α|k·360°＋30°≤α≤k·360°＋90°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°≤α≤k·360°＋270°，k∈Z}或写成{α|k·180°＋30°≤α≤k·180°＋90°，k∈Z}．
(2){α|k·360°－45°≤α≤k·360°＋45°，k∈Z}．
X　　分角、倍角所在角限的判断思路
1．已知角α终边所在的象限，确定nα终边所在的象限时，可根据角α的范围求出nα的范围，再直接转化为终边相同角即可．注意不要漏掉nα的终边在坐标轴上的情况．
2．已知角α终边所在的象限，确定终边所在象限时，运用分类讨论法时要对k的取值分k被n整除，k被n整除余1，k被n整除余2，……，k被n整除余n－1进行讨论，然后再下结论；运用几何法时，依据数形结合的思想，简单直观．
典例5　若角α是第一象限角，问－α、2α、是第几象限角？
[思路分析]　解决这类问题有两种方法：分类讨论或几何法．
[解析]　∵α是第一象限角，
∴k·360°<α(1)－k·360°－90°<－α<－k·360°(k∈Z)，
∴－α所在区域与(－90°，0°)范围相同，
故－α是第四象限角．
(2)2k·360°<2α<2k·360°＋180°(k∈Z)，
∴2α所在区域与(0°，180°)范围相同，
故2α是第一、二象限角或终边落在y轴的非负半轴．
(3)k·120°<方法一：(分类讨论)当k＝3n(n∈Z)时，
n·360°<∴是第一象限角；当k＝3n＋1(n∈Z)时，
n·360°＋120°<∴是第二象限角；
当k＝3n＋2(n∈Z)时，
n·360°＋240°<∴是第三象限角．
综上可知：是第一、二或第三象限角．
方法二：(几何法)如右图，先将各象限分成3等份，再从x轴的正向的上方起，依次将各区域标上1、2、3、4，则标有1的区域即为终边所落在的区域，故为第一、二或第三象限角．
『规律总结』　本题常会出现两种错误：(1)由α是第一象限角，仅得到0°<α<90°，仅得到是第一象限角，而丢掉是二、三象限的情况．
(2)2α的范围包括y轴的非负半轴，容易遗漏．
〔跟踪练习5〕若φ是第二象限角，那么和90°－φ都不是(　B　)
A．第一象限角　　
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
[解析]　∵φ是第二象限角，∴k·360°＋90°<φY　　集合概念理解错误
典例6　已知集合A＝{α|α＝k·180°±45°，k∈Z}，集合B＝{β|β＝k·90°＋45°，k∈Z}，则A与B的关系正确的是(　　　)
A．A?B　　　　　
B．B?A　　　
C．A＝B　　　　　
D．A?B且B?A
[错解]　∵k＝0时，集合A中角α＝±45°，集合B中角β＝45°，∴B?A，故选B．
[辨析]　错解对集合概念理解错误．应从集合中角的终边所在位置随k的变化入手解决，或用列举法解决．
[正解]　当k为偶数时，集合A中角α的终边为一、四象限角的平分线，当k为奇数时，集合A中角α的终边为二、三象限角的平分线，角α的终边如图所示，故可以表示为k·90°＋45°，∴A＝B，故选C．
『规律总结』　(1)可直接用列举法A＝{……－225°，－135°，－45°，45°，135°，225°，……}，B＝{……－135°，－45°，45°，135°，225°，……}，∴A＝B．
(2)可从分析两集合中相等的角入手解决．由k·180°±45°＝n·90°＋45°得，n＝2k或n＝2k－1，∵k∈Z，n∈Z，∴A＝B．
〔跟踪练习6〕已知集合A＝{α|k·180°＋30°<α[解析]　如下图所示，A∩B中的角的始边和终边对应30°和45°角的终边，
∴A∩B＝{α|k·360°＋30°<αK　
1．与－457°角终边相同的角的集合是(　C　)
A．{α|α＝k·360°＋457°，k∈Z}
B．{α|α＝k·360°＋97°，k∈Z}
C．{α|α＝k·360°＋263°，k∈Z}
D．{α|α＝k·360°－263°，k∈Z}
[解析]　－457°与－97°角终边相同，又－97°角与263°角终边相同，又263°角与k·360°＋263°角终边相同，∴应选C．
2．－215°是(　B　)
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
[解析]　由于－215°＝－360°＋145°，而145°是第二象限角，则－215°也是第二象限角．
3．下列各组角中，终边相同的是(　B　)
A．390°，690°
B．－330°，750°
C．480°，－420°
D．3000°，－840°
4．如图所示，终边落在阴影部分的角的集合是(　C　)
A．{α|－45°≤α≤120°}
B．{α|120°≤α≤315°}
C．{α|k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z}
D．{α|k·360°＋120°≤α≤k·360°＋315°，k∈Z}
[解析]　如题图所示，终边落在阴影部分的角的取值是k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z，故选C．
5．(2018·济南外国语学校期中)已知θ是第二象限角，且|cos|＝－cos，则是第__三__象限角．
[解析]　当θ为第二象限角时，应位于第一或第三象限，又|cos|＝－cos，∴cos<0，∴是第三象限角．
A级　基础巩固
一、选择题
1．下列各角中，与60°角终边相同的角是(　A　)
A．－300°
B．－60°
C．600°
D．1
380°
[解析]　与60°角终边相同的角α＝k·360°＋60°，k∈Z，令k＝－1，则α＝－300°，故选A．
2．射线OA绕端点O逆时针旋转120°到达OB位置，由OB位置顺时针旋转270°到达OC位置，则∠AOC＝(　B　)
A．150°
B．－150°
C．390°
D．－390°
[解析]　各角和的旋转量等于各角旋转量的和．
∴120°＋(－270°)＝－150°，故选B．
3．下列说法正确的个数是(　A　)
①小于90°的角是锐角　②钝角一定大于第一象限的角
③第二象限的角一定大于第一象限的角　④始边与终边重合的角为0°
A．0
B．1
C．2
D．3
[解析]　①错，负角小于90°，但不是锐角，②错，390°是第一象限的角，大于任一钝角α(90°<α<180°)，③错，第二象限角中的－210°小于第一象限角中的30°，④错，始边与终边重合的角是k·360°(k∈Z)，故选A
．
4．若角α和角β的终边关于x轴对称，则角α可以用角β表示为(　B　)
A．k·360°＋β(k∈Z)
B．k·360°－β(k∈Z)
C．k·180°＋β(k∈Z)
D．k·180°－β(k∈Z)
[解析]　因为角α和角β的终边关于x轴对称，所以α＋β＝k·360°(k∈Z)，
所以α＝k·360°－β(k∈Z)．故选B．
5．把－1485°转化为α＋k·360°(0°≤α<360°，k∈Z)的形式是(　D　)
A．45°－4×360°
B．－45°－4×360°
C．－45°－5×360°
D．315°－5×360°
[解析]　－1485°＝315°－5×360°．
6．若α是第三象限角，则是(　D　)
A．第一或第三象限角
B．第二或第三象限角
C．第一或第三象限角
D．第二或第四象限角
[解析]　∵α是第三象限角，
∴k·360°＋180°<α∴k·180°＋90°<当k为偶数时，是第二象限角；
当k为奇数时，是第四象限角．
二、填空题
7．将90°角的终边按顺时针方向旋转30°所得的角等于__60°__．
8．若α、β两角的终边互为反向延长线，且α＝－120°，则β＝　k·360°＋60°，k∈Z　．
[解析]　先求出β的一个角，β＝α＋180°＝60°．
再由终边相同角的概念知：β＝k·360°＋60°，k∈Z．
三、解答题
9．已知α＝－1910°．
(1)把α写成β＋k·360°(k∈Z,0°≤β≤360°)的形式，并指出它是第几象限角；
(2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ<0°．
[解析]　(1)设α＝β＋k·360°(k∈Z)，
则β＝－1910°－k·360°(k∈Z)．
令－1910°－k·360°≥0，解得k≤－＝－5．
k的最大整数解为k＝－6，求出相应的β＝250°，
于是α＝250°－6×360°，它是第三象限角．
(2)令θ＝250°＋n·360°(n∈Z)，
取n＝－1，－2就得到符合－720°≤θ<0°的角．
250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°．
故θ＝－110°或θ＝－470°．
10．已知，如图所示．
(1)分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合．
(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．
[解析]　(1)终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}；终边落在OB位置上的角的集合为{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}．
(2)由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于[－30°，135°]之间的与之终边相同的角组成的集合，故该区域可表示为{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}．
B级　素养提升
一、选择题
1．已知A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，那么A、B、C的关系是(　B　)
A．B＝A∩C
B．B∪C＝C
C．A?C
D．A＝B＝C
[解析]　A＝{第一象限角}＝{θ|k·360°<θ<90°＋k·360°，k∈Z}，B＝{锐角}＝{θ|0<θ<90°}，C＝{小于90°的角}＝{θ|θ<90°}，故选B．
2．已知角2α的终边在x轴上方，那么角α的范围是(　C　)
A．第一象限角的集合
B．第一或第二象限角的集合
C．第一或第三象限角的集合
D．第一或第四象限角的集合
[解析]　由题意得：360°·k<2α<360°·k＋180°，k∈Z．
∴180°k<α<180°k＋90°，k∈Z，故选C．
3．如果角α与x＋45°具有同一条终边，角β与x－45°具有同一条终边，则α与β的关系是(　D　)
A．α＋β＝0
B．α－β＝0
C．α＋β＝k·360°(k∈Z)
D．α－β＝k·360°＋90°(k∈Z)
[解析]　∵α＝(x＋45°)＋k1·360°(k1∈Z)，
β＝(x－45°)＋k2·360°(k2∈Z)，
∴α－β＝(k1－k2)·360°＋90°＝k·360°＋90°(k∈Z)．
4．集合A＝{α|α＝k·90°－36°，k∈Z}，B＝{β|－180°<β<180°}，则A∩B等于(　C　)
A．{－36°，54°}
B．{－126°，144°}
C．{－126°，－36°，54°，144°}
D．{－126°，54°}
[解析]　当k＝－1时，α＝－126°∈B；
当k＝0时，α＝－36°∈B；当k＝1时，α＝54°∈B；
当k＝2时，α＝144°∈B．
二、填空题
5．已知θ为小于360°的正角，这个角的4倍角与这个角的终边关于x轴对称，那么θ＝__72°，144°，216°，288°__．
[解析]　依题意，可知角4θ与角－θ终边相同，故4θ＝－θ＋k·360°(k∈Z)，故θ＝k·72°(k∈Z)．
又0°<θ<360°，
故令k＝1,2,3,4得θ＝72°，144°，216°，288°．
6．已知角β的终边在图中阴影所表示的范围内(不包括边界)，那么β∈　{α|n·180°＋30°<α[解析]　在0°～360°范围内，终边落在阴影内的角α的取值范围为30°<α<150°与210°<α<330°，所以所有满足题意的角α的集合为{α|k·360°＋30°<α三、解答题
7．已知角β的终边在直线x－y＝0上．
①写出角β的集合S；②写出S中适合不等式－360°≤β<720°的元素．
[解析]　①如图，直线x－y＝0过原点，倾斜角为60°，在0°～360°范围内，终边落在射线OA上的角是60°，终边落在射线OB上的角是240°，所以以射线OA、OB为终边的角的集合为：
S1＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}，S2＝{β|β＝240°＋k·360°，k∈Z}，
所以，角β的集合S＝S1∪S2
＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋180°＋k·360°，k∈Z}
＝{β|β＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}
＝{β|β＝60°＋n·180°，n∈Z}．
②由于－360°≤β<720°，即－360°≤60°＋n·180°<720°，n∈Z，
解得－≤n<，n∈Z，所以n＝－2、－1、0、1、2、3．
所以S中适合不等式－360°≤β<720°的元素为：
60°－2×180°＝－300°；
60°－1×180°＝－120°；
60°－0×180°＝60°；
60°＋1×180°＝240°；
60°＋2×180°＝420；
60°＋3×180°＝600°．
8．在角的集合{α|a＝k·90°＋45°，k∈Z}中．
(1)有几种终边不相同的角？
(2)有几个落在－360°～360°之间的角？
(3)写出其中是第二象限的一般表示方法．
[解析]　(1)当k＝4n(n∈Z)时，α＝n·360°＋45°与45°角终边相同；
当k＝4n＋1(n∈Z)时，α＝n·360°＋135°与135°的终边相同；
当k＝4n＋2(n∈Z)时，α＝n·360°＋225°与225°的终边相同；
当k＝4n＋3(n∈Z)时，α＝n·360°＋315°与315°的终边相同．
所以，在给定的角的集合中共有4种终边不相同的角．
(2)由－360°又k∈Z.故k＝－4，－3，－2，－1,0,1,2,3．
所以，在给定的角的集合中落在－360°～360°之间的角共有8个．
(3)其中，第二象限可表示为α＝k·360°＋135°，k∈Z．
C级　能力拔高
集合M＝{x|x＝±45°，k∈Z}，P＝{x|x＝±90°，k∈Z}，则M，P之间的关系为__M?P__．
[解析]　对集合M来说，x＝(2k±1)×45°，即45°的奇数倍；对集合P来说，x＝(k±2)×45°，即45°的倍数．
1.1.2　弧度制
Q　
炎炎夏日，用纸扇驱走闷热，无疑是一种好办法．扇子在美观设计上，可考虑用料、图案和形状．若从数学角度看，我们能否用黄金比例(0.618)去设计一把富有美感的纸扇？要探索这个问题首先要认识一种新的角度单位——弧度．
X　
1．弧度制
(1)定义：以__弧度__为单位度量角的单位制叫做弧度制．
(2)度量方法：长度等于__半径长__的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．如图所示，圆O的半径为r，的长等于r，∠AOB就是1弧度的角．
[知识点拨]　一定大小的圆心角α的弧度数是所对弧长与半径的比值，是唯一确定的，与半径大小无关．
(3)记法：弧度单位用符号　rad　表示，或用“弧度”两个字表示．在用弧度制表示角时，单位通常省略不写．
2．弧度数
一般地，正角的弧度数是一个__正__数，负角的弧度数是一个__负__数，零角的弧度数是__0__．
如果半径为r的圆的圆心角α
所对弧的长为l，那么角α的弧度数的绝对值是|α|＝　　．
[知识点拨]　对于角度制和弧度制，在具体的应用中，两者可混用吗？如何书写才是规范的？
角度制与弧度制是两种不同的度量制度，在表示角时不能混用，例如α＝k·360°＋(k∈Z)，β＝2kπ＋60°(k∈Z)等写法都是不规范的，应写为α＝k·360°＋30°(k∈Z)，β＝2kπ＋(k∈Z)．
3．弧度与角度的换算公式
(1)周角的弧度数是2π，而在角度制下的度数是360，于是360°＝2π
rad，即
根据以上关系式就可以进行弧度与角度的换算了．
弧度与角度的换算公式如下：
若一个角的弧度数为α，角度数为n，则α
rad＝()°，n°＝n·
rad．
(2)常用特殊角的弧度数
0°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
270°
360°
0
　　
　　
　　
　　
　　
　　
π
　　
__2π__
[知识点拨]角度制与弧度制是两种不同的度量单位，在表示角时，二者不可混用.
角度制
用度作为单位来度量角的单位制
角的大小与半径无关
单位“°”不能省略
角的正负与方向有关
六十进制
弧度制
用弧度作为单位来度量角的单位制
角的大小与半径无关
单位“rad”可以省略
角的正负与方向有关
十进制
(3)角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起__一一对应__关系：每一个角都有唯一的一个__实数__(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，任一个实数也都有唯一的一个__角__(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．
4．弧长公式与扇形面积公式
(1)弧长公式
在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角大小为α，则|α|＝，变形可得l＝|α|r，此公式称为弧长公式，其中α的单位是弧度．
(2)扇形面积公式
由圆心角为1
rad的扇形面积为＝r2，而弧长为l的扇形的圆心角大小为
rad，故其面积为S＝×＝lr，将l＝|α|r代入上式可得S＝lr＝|α|r2，此公式称为扇形面积公式．
(3)弧长公式及扇形面积公式的两种表示
名称
角度制
弧度制
弧长公式
l＝
l＝__|α|r__
扇形面积公式
S＝
S＝　r2　＝　lr　
注意事项
r是扇形的半径，n是圆心角的角度数
r是扇形的半径，α是圆心角的弧度数，l是弧长
点拨：弧长公式与扇形的面积公式在角度制与弧度制下形式不同，解题时要看清角的度量制，选用相应的公式，切不可混淆．
Y　
1．下列表述中正确的是(　D　)
A．一弧度是一度的圆心角所对的弧
B．一弧度是长度为半径的弧
C．一弧度是一度的弧与一度的角之和
D．一弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小，它是角的一种度量单位
2．－300°化为弧度是(　B　)
A．－　　　　　　　　　　　
B．－
C．－
D．－
3．已知半径为10
cm的圆上，有一条弧的长是40
cm，则该弧所对的圆心角的弧度数是__4__．
4．α＝－2
rad，则α的终边在(　C　)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
[解析]　∵1
rad≈＝57.30°，∴－2
rad≈－114.60°.故α的终边在第三象限．
H　
命题方向1　?有关“角度”与“弧度”概念的理解
典例1　下列命题中，正确的命题是__①③④__．
①1°的角是周角的，1
rad的角是周角的；
②1
rad的角等于1度的角；
③180°的角一定等于π
rad的角；
④“度”和“弧度”是度量角的两种单位．
[思路分析]　从两种度量制的定义上，把握解题角度，从弧度制和角度制的定义出发解题．
[解析]　对于④，“度”与“弧度”是度量角的两种不同单位，故④正确；对于①，因为1°＝，1＝，所以①正确；
对于③，由弧度制规定知π
rad＝180°，故③正确．
『规律总结』　弧度与角度的概念的区别与联系
区别
(1)定义不同．(2)单位不同：弧度制以“弧度”为单位，角度制以“度”为单位．
联系
(1)不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的值．(2)“弧度”与“角度”之间可以相互转化.
〔跟踪练习1〕在半径不等的圆中，半径长的弦所对的圆心角(　D　)
A．为1弧度
B．各不相等，半径长则圆心角大
C．各不相等，半径长则圆心角小
D．都相等，为弧度
命题方向2　?角度制与弧度制的转化
典例2　(1)将下列各角化为弧度：①112°30′；②－315°；
(2)将下列各弧度化为角度：①－
rad；②π．
[思路分析]　eq
\o(―――――――――→,\s\up17(1°＝
rad，1
rad＝??°))―→
[解析]　(1)①∵1°＝
rad，∴112°30′＝×112.5
rad＝
rad．
②－315°＝－315×＝－．
(2)①∵1
rad＝()°，
∴－
rad＝－°＝－75°．
②π＝(π×)°＝1140°．
『规律总结』　角度制与弧度制互化的关键与方法：
(1)关键：抓住互化公式π
rad＝180°是关键；
(2)方法：度数×＝弧度数；弧度数×()°＝度数；
(3)角度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度；
(4)角度化为弧度时，其结果写成π的形式，没特殊要求不必化成小数．
〔跟踪练习2〕设α1＝－570°、α2＝750°、β1＝、β2＝－．
(1)将α1、α2用弧度制表示出来，并指出它们各自所在的象限；
(2)将β1、β2用角度制表示出来，并指出它们各自所在象限．
[解析]　(1)∵180°＝π
rad，
∴－570°＝－＝－，
∴α1＝－＝－2×2π＋，
α2＝750°＝＝＝2×2π＋．
∴α1在第二象限，α2在第一象限．
(2)β1＝＝×180°＝108°，
β2＝－＝－60°，∴β1在第二象限，β2在第四象限．
命题方向3　?用弧度制表示区域角
典例3　用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如下图)．
[思路分析]　1.观察阴影部分图形．
2．确定角的始边和终边．
3．写出角的集合．
[解析]　(1)如图①，以OA为终边的角为＋2kπ(k∈Z)；以OB为终边的角为－＋2kπ(k∈Z)．
∴阴影部分内的角的集合为
．
(2)如图②，以OA为终边的角为＋2kπ(k∈Z)；以OB为终边的角为＋2kπ(k∈Z)；不妨设右边阴影部分所表示的集合为M1，左边阴影部分所表示的集合为M2，则
M1＝，
M2＝．
∴阴影部分所表示的集合为：
M1∪M2＝．
『规律总结』　(1)根据已知图形写出区域角的集合的步骤：
①仔细观察图形．
②写出区域边界作为终边时角的表示．
③用不等式表示区域范围的角．
(2)注意事项：用不等式表示区域角的范围时，要注意角的集合形式是否能够合并，这一点容易出错．
〔跟踪练习3〕用弧度制表示顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在阴影部分的角的集合
(不包括边界)，如图所示．
[解析]　(1)330°和60°的终边分别对应－和，所表示的区域位于－与之间且跨越x轴的正半轴，所以终边落在阴影部分的角的集合为{θ|2kπ－<θ<2kπ＋，k∈Z}．
(2)210°和135°的终边分别对应－和，所表示的区域位于－与之间且跨越x轴的正半轴，所以终边落在阴影部分的角的集合为{θ|2kπ－<θ<2kπ＋，k∈Z}．
(3)30°＝，210°＝，所表示的区域由两部分组成，即终边落在阴影部分的角的集合为{θ|2kπ<θ<2kπ＋，k∈Z}∪{θ|2kπ＋π<θ<2kπ＋，k∈Z}＝{θ|2kπ<θ<2kπ＋，k∈Z}∪{θ|(2k＋1)π<θ<(2k＋1)π＋，k∈Z}＝{θ|nπ<θX　　求扇形面积最值的函数思想
当扇形周长一定时，其面积有最大值，最大值的求法是把面积S转化为r的函数，函数思想、转化为方程的思想是解决数学问题的常用思想．
典例4　已知一扇形的周长为40
cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
[思路分析]　正确使用扇形弧长公式及面积公式．
[解析]　设扇形的圆心角为θ，半径为r，弧长为l，面积为S，则l＋2r＝40，∴l＝40－2r.(0∴S＝lr＝×(40－2r)r＝20r－r2＝－(r－10)2＋100．
∴当半径r＝10
cm时，扇形的面积最大，最大值为100
cm2，
此时θ＝＝＝2(rad)．
『规律总结』　本题主要借助于弧长和面积公式，构造出二次函数，然后求解二次函数的最值及相关的量，并将数学问题的解还原为实际问题的解，这是解应用类问题时的一般思路．同时，我们还应该注意所构造出函数的定义域除使解析式有意义外，还要考虑它的实际意义．
〔跟踪练习4〕(1)已知扇形的周长为20
cm，面积为9
cm2，求扇形圆心角的弧度数；
(2)一个扇形的周长为20
cm，当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求出这个扇形的最大面积．
[解析]　(1)设扇形的半径为r，弧长为l，圆心角为θ，
则l＋2r＝20，∴l＝20－2r，
由lr＝9，得(20－2r)r＝9，
∴r2－10r＋9＝0，
∴(r－1)(r－9)＝0，∴r＝1或r＝9，
当r＝1时，l＝18，则θ＝＝＝18>2π(舍)．
当r＝9时，l＝2，则θ＝＝，
即扇形圆心角的弧度数为．
(2)设扇形的半径为r
cm，则弧长为l＝(20－2r)
cm．
由0于是扇形的面积为S＝(20－2r)r＝－(r－5)2＋25(当r＝5时，l＝10，α＝2，S取到最大值，此时最大值为25
cm2．
故当扇形的圆心角α等于2弧度时，这个扇形的面积最大，最大面积是25
cm2．
Y　　角度和弧度混用致错
典例5　求终边在如图所示阴影部分(不包括边界)内的角的集合．
[错解一]　　{α|k·360°＋330°<α[错解二]　　{α|2kπ－30°<α<2kπ＋60°，k∈Z}．
[错因分析]　　错解一中，若给k赋一个值，集合中不等式右边的角反而小于左边的角．错解二中，同一不等式中混用了角度制与弧度制．
[正解]　　{α|2kπ－<α<2kπ＋，k∈Z}，也可写成{α|k·360°－30°<α[误区警示]同一个问题(或题目)中使用的度量单位要统一，要么用角度制单位，要么用弧度制单位，不能将两者混用．
〔跟踪练习5〕把角－585°化为2kπ＋α(0≤α<2π)的形式为(　D　)
A．－3π－π
B．－4π＋135°
C．－3kπ－45°
D．－4π＋π
K　
1．在不等圆中1
rad的圆心角所对的是(　D　)
A．弦长相等　　　　　　　
B．弧长相等
C．弦长等于所在圆的半径
D．弧长等于所在圆的半径
[解析]　根据弧度制的定义，因为1弧度的角就是弧长与半径之比等于1的角，所以1
rad的圆心角所对弧长等于所在圆的半径，故选D．
2．－转化为角度是(　B　)
A．－300°
B．－600°
C．－900°
D．－1200°
[解析]　∵1
rad＝()°，
∴－＝－(×)°＝－600°．
3．圆弧长度等于圆弧所在圆的内接正三角形的边长，则圆弧所对圆心角的弧度数为(　C　)
A．
B．π
C．
D．2
[解析]　设圆的半径为R，则圆的内接正三角形的边长为R，弧长等于R的圆心角的弧度数为α＝＝，故选C．
4．(2018·沈阳铁路中学期末)已知扇形面积为π，半径是1，则扇形的圆心角是(　C　)
A．π
B．π
C．π
D．π
[解析]　设扇形圆心角为α，则S＝αR2＝π，∴α＝π．
5．与－π终边相同的角的集合是(　D　)
A．{－}
B．{}
C．{α|a＝2kπ＋，k∈Z}
D．{α|a＝2kπ＋π，k∈Z}
[解析]　与－π终边相同的角α＝2kπ－π，k∈Z，故a＝(2k－6)π＋6π－π＝(2k－6)π＋，(k∈Z)，故选D．
A级　基础巩固
一、选择题
1．下列各式正确的是(　B　)
A．＝90　　　　　　　　
B．＝10°
C．3°＝
D．38°＝
2．2145°转化为弧度数为(　D　)
A．
B．
C．
D．
[解析]　2145°＝2015×
rad＝π
rad．
3．下列各式不正确的是(　C　)
A．－210°＝－
B．405°＝
C．335°＝
D．705°＝
4．在(0,2π)内，终边与－1035°相同的角是(　B　)
A．
B．
C．
D．
[解析]　∵－1035°＝45°－3×360°．
∴45°角的终边与－1035°角的终边相同．
又45°＝，故在(0,2π)内与－1035°角终边相同的角是．
5．(2016·青岛高一检测)将－1485°化成α＋2kπ(0≤α<2π，k∈Z)的形式是(　D　)
A．－－8π
B．π－8π
C．－10π
D．π－10π
[解析]　∵－1485°＝－5×360°＋315°，
又2π
rad＝360°，315°＝π
rad．
故－1485°化成α＋2kπ(0≤α<2π，k∈Z)的形式是π－10π．
6．圆的半径变为原来的2倍，弧长也增加到原来的2倍，则(　B　)
A．扇形的面积不变
B．扇形的圆心角不变
C．扇形的面积增大到原来的2倍
D．扇形的圆心角增大到原来的2倍
[解析]　α＝＝＝α，故圆心角不变．
二、填空题
7．扇形AOB，半径为2
cm，|AB|＝2
cm，则所对的圆心角弧度数为　　．
[解析]　∵|AO|＝|OB|＝2，|AB|＝2，∴∠AOB＝90°＝．
8．(2016·山东潍坊高一检测)如图所示，图中公路弯道处的弧长l＝__47_m__.(精确到1m)．
[解析]　根据弧长公式，l＝α＝×45≈47(m)．
三、解答题
9．一个半径为r的扇形，如果它的周长等于弧所在圆的周长的一半，那么这个扇形的圆心角是多少弧度？是多少度？扇形的面积是多少？
[解析]　设扇形的圆心角为θ，则弧长l＝rθ，∴2r＋rθ＝πr，∴θ＝π－2＝(π－2)·()°＝(180－)°，扇形的面积S＝lr＝r2(π－2)．
10．(1)把310°化成弧度；
(2)把
rad化成角度；
(3)已知α＝15°、β＝、γ＝1、θ＝105°、φ＝，试比较α、β、γ、θ、φ的大小．
[解析]　(1)310°＝
rad×310＝
rad．
(2)
rad＝°＝75°．
(3)解法一(化为弧度)：
α＝15°＝15×＝.θ＝105°＝105×＝．
显然<<1<.故α<β<
γ<θ＝φ．
解法二(化为角度)：
β＝＝×()°＝18°，γ＝1≈57.30°，
φ＝×()°＝105°．
显然，15°<18°<57.30°<105°．
故α<β<γ<θ＝φ．
B级　素养提升
一、选择题
1．若＝2kπ＋(k∈Z)，则的终边在(　D　)
A．第一象限
B．第四象限
C．x轴上
D．y轴上
[解析]　∵＝2kπ＋(k∈Z)，
∴α＝6kπ＋π(k∈Z)，∴＝3kπ＋(k∈Z)．
当k为奇数量，的终边在y轴的非正半轴上；当k为偶数时，的终边在y轴的非负半轴上．综上，终边在y轴上，故选D．
2．下列表述中不正确的是(　D　)
A．终边在x轴上角的集合是{α|α＝kπ，k∈Z}
B．终边在y轴上角的集合是{α|α＝＋kπ，k∈Z}
C．终边在坐标轴上角的集合是{α|α＝k·，k∈Z}
D．终边在直线y＝x上角的集合是{α|α＝＋2kπ，k∈Z}
[解析]　终边在直线y＝x上角的集合应是{α|α＝＋kπ，k∈Z}，D不正确，其他选项均正确．
3．若2弧度的圆心角所对的弧长为4
cm，则这个圆心角所对的扇形面积是(　A　)
A．4
cm2
B．2
cm2
C．4π
cm2
D．2π
cm2
[解析]　设扇形的半径为r，则由l＝|α|r，得r＝＝2(cm)，∴S＝|α|r2＝×2×22＝4(cm2)，故选A．
4．一个半径为R的扇形，它的周长是4R，则这个扇形所含弓形的面积是(　D　)
A．(2－sin1cos1)R2
B．R2sin1cos1
C．R2
D．R2－R2sin1cos1
[解析]　设弧长为l，则l＋2R＝4R，∴l＝2R，∴S扇形＝lR＝R2.∵圆心角|α|＝＝2，∴S三角形＝·2R·sin1·Rcos1＝R2sin1·cos1，∴S弓形＝S扇形－S三角形＝R2－R2sin1cos1．
二、填空题
5．已知两角和为1弧度，且两角差为1°，则这两个角的弧度数分别是　＋，－　．
[解析]　设两个角的弧度分别为x，y，因为1°＝
rad，
所以有解得
即所求两角的弧度数分别为＋，－．
6．已知θ∈{α|α＝kπ＋(－1)k·，k∈Z}，则θ的终边所在的象限是__第一或第二象限__．
[解析]　当k为偶数时，α＝2mπ＋(m∈Z)，当k为奇数时，α＝(2m－1)π－＝2mπ－(m∈Z)，
∴θ的终边在第一或第二象限．
三、解答题
7．如图所示，用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分的角的集合．
[解析]　(1)将阴影部分看成是由OA逆时针转到OB所形成．故满足条件的角的集合为
{α|＋2kπ<α<＋2kπ，k∈Z}．
(2)若将终边为OA的一个角改写为－，此时阴影部分可以看成是OA逆时针旋转到OB所形成，故满足条件的角的集合为{α|－＋2kπ<α≤＋2kπ，k∈Z}．
(3)将图中x轴下方的阴影部分看成是由x轴上方的阴影部分旋转π
rad而得到，所以满足条件的角的集合为{α|kπ≤α≤＋kπ，k∈Z}．
(4)与第(3)小题的解法类似，将第二象限阴影部分旋转π
rad后可得到第四象限的阴影部分．所以满足条件的角的集合为{α|＋kπ<α<＋kπ，k∈Z}．
8．如图，圆周上点A以逆时针方向做匀速圆周运动．已知点A经过1
min转过θ(0<θ<π)角，2
min到达第三象限，14
min后回到原来的位置，求θ．
[解析]　点A经过2
min转过2
θ，且π<2θ<，14
min后回到原位，∴14θ＝2kπ(k∈Z)，θ＝，且<θ<π，
∴θ＝π或π．
C级　能力拔高
集合A＝{α|α＝，n∈Z}∪{α|α＝2nπ±，n∈Z}，B＝{β|β＝nπ，n∈Z}∪{β|β＝nπ＋，n∈Z}，求A与B的关系．
[解析]　解法一：如图所示．
∴B?A．
解法二：{α|α＝，n∈Z}＝{α|α＝kπ，k∈Z}∪{α|α＝kπ＋，k∈Z}；
{β|β＝，n∈Z}＝{β|β＝2kπ，k∈Z}∪{β|β＝2kπ±，k∈Z}比较集合A、B的元素知，B中的元素都是A中的元素，但A中元素α＝(2k＋1)π(k∈Z)不是B的元素，所以A?B．
1．2　任意角的三角函数
1.2.1　任意角的三角函数
第1课时　三角函数的定义
Q　
唐朝诗人王之涣留给后人的佳作《登鹳雀楼》不仅刻画了祖国的壮丽山河，而且写出了登高望远的襟怀．其中一句“欲穷千里目，更上一层楼”更揭示了“只有站得高，才能看得远”这一生活哲理，成为不朽名句．
如果从数学角度推理，以自己为中心，要看到千里内(方圆五百千米)的景物，应登多少层楼呢？
X　
1．任意角的三角函数的定义
(1)单位圆
在直角坐标系中，我们称以原点为圆心，以__单位长度__为半径的圆为单位圆．
(2)三角函数的定义
①如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：
y叫做α的正弦，记作sinα，即sinα＝y；
x叫做α的余弦，记作cosα，即cosα＝x；
叫做α的正切，记作tanα，即tanα＝(x≠0)．
正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数．
②我们也可以利用角α终边上任意一点的坐标来定义三角函数．
设α是一个任意角，α的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，它与原点的距离是r(r＝>0)，那么：
比值叫做α的正弦，记作sinα，即sinα＝　　；
比值叫做α的余弦，记作cosα，即cosα＝　　；
比值叫做α的正切，记作tanα，即tanα＝　　．
正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数(trigonometric
function)．
[知识点拨](1)在任意角的三角函数的定义中，应该明确：α是一个任意角，其范围是使函数有意义的实数集．
(2)要明确sinα是一个整体，不是sin与α的乘积，它是“正弦函数”的一个记号，就如f(x)表示自变量为x的函数一样，离开自变量的“sin”“cos”“tan”等是没有意义的．
(3)由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应的关系，所以三角函数可以看成是自变量为实数的函数．
(3)定义域：如表所示
三角函数
解析式
定义域
正弦函数
y＝sinx
　R　
余弦函数
y＝cosx
　R　
正切函数
y＝tanx
　{x|x≠kπ＋，k∈Z}　
2．三角函数值的符号
sinα、cosα、tanα在各个象限的符号如下：
[知识点拨]正弦、余弦和正切函数在各象限的符号可用以下口诀记忆：
“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．
其含义是在第一象限各三角函数值全为正，在第二象限只有正弦值为正，在第三象限只有正切值为正，在第四象限只有余弦值为正．
3．公式一(k∈Z)
sin(α＋2kπ)＝__sinα__，
cos(α＋2kπ)＝__cosα__，
tan(α＋2kπ)＝__tanα__．
[知识点拨]该组公式说明：终边相同的角的同名三角函数值相等；如果给定一个角，它的三角函数值是唯一确定的(不存在者除外)，反过来，如果给定一个三角函数值，却有无数多个角与之对应．
Y　
1．有下列命题，其中正确的个数是(　B　)
①终边相同的角的三角函数值相同；
②同名三角函数值相同，角不一定相同；
③终边不相同，它们的同名三角函数值一定不相同；
④不相等的角，同名三角函数也不相同．
A．0　　
　
B．1　　
C．2　　
　
D．3
[解析]　终边相同的角的同名三角函数值相同；同名三角函数值相同，角不一定相同；终边不相同，它们的同名三角函数值也可能相同；不相等的角，同名三角函数值可能相同．故只有②正确．
2．若角α的终边与单位圆相交于点(，－)，则sinα的值为(　B　)
A．
B．－
C．
D．－1
[解析]　x＝，y＝－，则sinα＝y＝－．
3．已知α是第三象限角，设sinαcosα＝m，则有(　A　)
A．m>0
B．m＝0
C．m<0
D．m的符号不确定
4．(2018·江西高安中学期末)已知角α的终边经过P(1,2)，则tanα·cosα等于　　．
[解析]　由三角函数的定义，tanα＝＝2，cosα＝＝，∴tanα·cosα＝．
H　
命题方向1　?利用三角函数的定义求三角函数值
典例1　已知角的终边落在直线y＝2x上，求sinα、
cosα、tanα的值．
[思路分析]　注意终边落在直线y＝2x上的角有两类，分两种情况进行讨论．
[解析]　当角的终边在第一象限时，在角的终边上取点P(1,2)，由r＝|OP|＝＝，得sinα＝＝，cosα＝＝，tanα＝＝2．
当角的终边在第三象限时，在角的终边上取点Q(－1，－2)，
由r＝|OQ|＝＝，得：
sinα＝＝－，cosα＝＝－，tanα＝＝2．
『规律总结』　(1)已知角α的终边在直线上的问题时，常用的解题方法有以下两种：
①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值．
②注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上任意一点坐标(a，b)，则对应角的正弦值sinα＝，余弦值cosα＝，正切值tanα＝．
(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．
〔跟踪练习1〕已知角θ的终边经过点P(a，a)(a≠0)，求sinθ，cosθ，tanθ．
[解析]　当a>0时，r＝＝a，
得sinθ＝＝，cosθ＝＝，tanθ＝＝1；
当a<0时，r＝＝－a，得
sinθ＝＝－，cosθ＝＝－，tanθ＝＝1．
即a>0时，sinθ＝，cosθ＝，tanθ＝1；
a<0时，sinθ＝－，cosθ＝－，tanθ＝1．
命题方向2　?三角函数在各象限内符号的应用
典例2　确定下列各式的符号：
(1)sin105°·cos230°；
(2)sin·tan；
(3)cos6·tan6．
[思路分析]　先确定角所在象限，进而确定各式的符号．
[解析]　(1)∵105°、230°分别为第二、第三象限角，
∴sin105°>0，cos230°<0．
于是sin105°·cos230°<0．
(2)∵<<π，
∴是第二象限角，则sin>0，tan<0．
∴sin·tan<0．
(3)∵<6<2π，∴6是第四象限角．
∴cos6>0，tan6<0，则cos6·tan6<0．
『规律总结』　(1)能准确判定角的终边位置是判断该角的三角函数值符号的关键；(2)要熟记三角函数值在各象限的符号规律．
〔跟踪练习2〕(1)判断下列各式的符号：
①sin3·cos4·tan5；
②α是第二象限角，sinα·cosα．
(2)若cosθ<0且sinθ>0，则是第(　C　)象限角．
A．一　　　　　
B．三
C．一或三
D．任意象限角
[解析]　(1)①<3<π，π<4<，<5<2π，
∴sin3>0，cos4<0，tan5<0，∴sin3·cos4·tan5>0．
②∵α是第二象限角，
∴sinα>0，cosα<0，∴sinαcosα<0．
(2)由cosθ<0且sinθ>0，知θ是第二象限角，所以是第一或三象限角．
命题方向3　?诱导公式(一)的应用
典例3　求下列各式的值．
(1)cosπ＋tan(－π)；
(2)sin810°＋tan765°－cos360°．
[思路分析]　利用诱导公式(一)，将任意角的三角函数转化为0～2π(或0°～360°)角的三角函数．
[解析]　(1)原式＝cos(8π＋)＋tan(－4π＋)＝cos＋tan＝＋1＝．
(2)原式＝sin(2×360°＋90°)＋tan(2×360°＋45°)－cos(360°＋0°)＝1＋1－1＝1．
『规律总结』　利用诱导公式(一)求三角函数值：
(1)解此类问题的方法是先借助于终边相同的角的诱导公式把已知角化归到[0,2π)之间，然后利用公式化简求值．在问题的解答过程中，重在体现数学上的化归(转化)思想；
(2)要熟记特殊角的三角函数值，这是解题的基础．
〔跟踪练习3〕求值：
(1)sin(－1
740°)cos1
470°＋cos(－660°)sin750°＋tan405°；
(2)sin2＋tan2(－)tan．
[解析]　(1)原式＝sin(60°－5×360°)cos(30°＋4×360°)＋cos(60°－2×360°)sin(30°＋2×360°)＋tan(45°＋360°)＝sin60°cos30°＋cos60°sin30°＋tan45°＝×＋×＋1＝2．
(2)原式＝sin2(＋4π)＋tan2(－2π)tan(＋2π)＝sin2＋tan2tan＝()2＋()2×1＝＋＝．
X　　分类讨论思想在化简三角函数式中的应用
典例4　设角α的终边不在坐标轴上，求函数y＝＋＋的值域．
[解析]　当α是第一象限角时，sinα，cosα，tanα均为正值，
∴＋＋＝3．
当α是第二象限角时，sinα为正值，cosα，tanα为负值，
∴＋＋＝－1．
当α是第三象限角时，sinα，cosα为负值，tanα为正值，
∴＋＋＝－1．
当α是第四象限角时，sinα，tanα为负值，cosα为正值，
∴＋＋＝－1．
综上可知，函数y的值域为{－1,3}．
『规律总结』　对于多个三角函数符号的判断问题，要进行分类讨论．
〔跟踪练习4〕若sinθcosθ>0，则θ的终边在(　B　)
A．第一或第二象限　　　
B．第一或第三象限
C．第一或第四象限
D．第二或第四象限
Y　　三角函数定义理解中的误区
典例5　已知角α的终边过点P(－3m，m)(m≠0)，则sinα＝____________________．
[错解一]　由题意可得：|OP|＝＝m，
所以sinα＝＝．
故填．
[错解二]　由题意可得，|OP|＝＝m，
所以sinα＝＝－.故填－．
[错因分析]　错解一误认为只有m>0的情况而得到，错解二对正弦与余弦函数定义中比的顺序颠倒而得sinα＝＝－．
[正解]　由题意可得，
|OP|＝＝|m|．
当m>0时，|OP|＝|m|＝m，
则sinα＝＝．
当m<0时，|OP|＝|m|＝－m，
则sinα＝＝－．
故填或－．
『点评』　1.准确理解定义
要从定义的内涵和外延准确把握定义，同时对三角函数的定义的形式要准确记忆，如本题中的sinα＝和cosα＝不能混淆．
2．分类讨论的意识
在化简过程中，对字母参数要注意分类讨论，做到不重不漏．如本题中对字母参数m的讨论．
〔跟踪练习5〕已知角α的终边上一点P(4t，－3t)(t≠0)，求α的各三角函数值．
[解析]　因为点P的坐标是(4t，－3t)且t≠0，
所以r＝|PO|＝＝5|t|．
当t>0时，α是第四象限角，r＝|PO|＝5t．
sinα＝＝＝－，cosα＝＝＝，tanα＝＝＝－；
当t<0时，α是第二象限角，r＝|PO|＝－5t，
sinα＝＝＝，cosα＝＝＝－，tanα＝＝＝－．
K　
1．角α的终边上有一点P(1，－1)，则sinα的值是(　B　)
A．
B．－
C．±
D．1
[解析]　利用三角函数定义知：
sin＝＝＝－．
2．在△ABC中，若sinA·cosB·tanC<0，则△ABC是(　C　)
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．锐角或钝角三角形
[解析]　∵A、B、C是△ABC的内角，∴sinA>0．
∵sinA·cosB·tanC<0，∴cosB·tanC<0．
∴cosB和tanC中必有一个小于0．
即B、C中必有一个钝角，选C．
3．sinπ等于(　A　)
A．
B．
C．－
D．－
[解析]　由诱导公式一及特殊角的三角函数知：sin＝sin(4π＋)＝sin＝．
4．若sinα>0，tanα<0，则α为(　B　)
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
[解析]　由sinα>0知α终边在第一、二象限或在y轴正半轴上；由tanα<0知α终边在第二、四象限．综上知α为第二象限角．
5．利用定义求sin、cos、tan的值．
[解析]　如图所示，在坐标系中画出角π的终边．
设角的终边与单位圆的交点为P，
则有P(－，－)．
∴tan＝＝1，sin＝－，cos＝－．
A级　基础巩固
一、选择题
1．若角α的终边上有一点是A(0,2)，则tanα的值是(　D　)
A．－2
B．2
C．1
D．不存在
[解析]　∵点A(0,2)，在y轴正半轴上，
∴tanα不存在，故选D．
2．已知sinα＝，cosα＝－，则角α所在的象限是(　B　)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
[解析]　由sinα＝>0得角α的终边在第一或第二象限；由cosα＝－<0得角α的终边在第二或第三象限．综上，角α所在的象限是第二象限．
3．若sinα<0且tanα>0，则α的终边在(　C　)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
[解析]　由于sinα<0，则α的终边在第三或四象限，又tanα>0，则α的终边在第一或三象限，所以α的终边在第三象限．
4．若角α的终边过点(－3，－2)，则(　C　)
A．sinαtanα>0
B．cosαtanα>0
C．sinαcosα>0
D．sinαcosα<0
[解析]　∵角α的终边过点(－3，－2)，
∴sinα<0，cosα<0，tanα>0，
∴sinαcosα>0，故选C．
5．sin585°的值为(　A　)
A．－
B．
C．－
D．
[解析]　sin585°＝sin(360°＋225°)＝sin225°．
由于225°是第三象限角，且终边与单位圆的交点为
(－，－)，所以sin225°＝－．
6．若三角形的两内角α、β满足sinαcosβ<0，则此三角形必为(　B　)
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．以上三种情况都有可能
[解析]　∵sinαcosβ<0，∴cosβ<0，∴β是钝角，故选B．
二、填空题
7．sin90°＋2cos0°－3sin270°＋10cos180°＝__－4__．
[解析]　原式＝1＋2＋3－10＝－4．
8．函数y＝tan(x－)的定义域是　{x|x≠kπ＋π，k∈Z}　．
[解析]　x－≠kπ＋(k∈Z)，即x≠kπ＋π(k∈Z)．
三、解答题
9．计算下列各式的值：
(1)cos(－)＋sin·tan6π；
(2)sin420°cos750°＋sin(－330°)cos(－660°)．
[解析]　(1)原式＝cos(－2π＋)＋sin·tan0
＝cos＋0＝．
(2)原式＝sin(360°＋60°)·cos(720°＋30°)＋sin(－360°＋30°)·cos(－720°＋60°)
＝sin60°·cos30°＋sin30°·cos60°
＝×＋×＝＋＝1．
10．已知角α的终边在直线y＝－3x上，求10sinα＋的值．
[解析]　设角α的终边上任一点为P(k，－3k)(k≠0)，
则x＝k，y＝－3k，r＝＝|k|．
当k>0时，r＝k，α是第四象限角，
sinα＝＝＝－，
＝＝＝，
所以10sinα＋＝10×(－)＋3
＝－3＋3＝0；
当k<0时，r＝－k，α为第二象限角，
sinα＝＝＝，
＝＝＝－，
所以10sinα＋＝10×＋3×(－)
＝3－3＝0．
综上，10sinα＋＝0．
B级　素养提升
一、选择题
1．已知点P(tanα，sinα)在第三象限，则角α的终边在(　D　)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
2．若α为第四象限角，则下列函数值一定是负值的是(　C　)
A．sin
B．cos
C．tan
D．cos2α
[解析]　由α为第四象限角，得2kπ＋<α<2kπ＋2π(k∈Z)，故kπ＋<当k＝2n(n∈Z)时，∈(2nπ＋，2nπ＋π)，
当此，是第二象限角；
当k＝2n＋1(n∈Z)时，∈(2nπ＋，2nπ＋2π)，此时，是第四象限角．
3．下列函数中，与函数y＝定义域相同的函数为(　D　)
A．y＝
B．y＝
C．y＝xex
D．y＝
[解析]　函数y＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，则y＝的定义域为{x|x∈R，且x≠kπ，k∈Z}，y＝的定义域为{x|x≠0且x≠kπ＋，k∈Z}，y＝xex的定义域为R，y＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．故选D．
4．α是第二象限角，P(－，y)为其终边上一点，且cosα＝－，则sinα的值为(　A　)
A．
B．
C．
D．－
[解析]　∵|OP|＝，
∴cosα＝＝－
又因为α是第二象限角，
∴y>0，得y＝，
∴sinα＝＝，故选A．
二、填空题
5．已知角α的终边经过点P(3，－4t)，且sin(2kπ＋α)＝－，其中k∈Z，则t的值为　　．
[解析]　∵sin(2kπ＋α)＝－，∴sinα＝－．
又角α的终边过点P(3，－4t)，
故sinα＝＝－，解得t＝．
6．已知角α的终边在直线y＝x上，则sinα＋cosα的值为　±　．
[解析]　在角α终边上任取一点P(x，y)，则y＝x，
当x>0时，r＝＝x，
sinα＋cosα＝＋＝＋＝，
当x<0时，r＝＝－x，
sinα＋cosα＝＋＝－－＝－．
三、解答题
7．已知角θ的终边上有一点P(－，m)，且sinθ＝m，求cosθ与tanθ的值．
[解析]　由题意可知＝，
∴m＝0或或－．
(1)当m＝0时，cosθ＝－1，tanθ＝0；
(2)当m＝时，cosθ＝－，tanθ＝－；
(3)当m＝－时，cosθ＝－，tanθ＝．
8．已知＝－，且lgcosα有意义．
(1)试判断角α所在的象限；
(2)若角α的终边上一点是M(，m)，且|OM|＝1(O为坐标原点)，求m的值及sinα的值．
[解析]　(1)由＝－
可知sinα<0，
∴α是第三或第四象限角或终边在y轴的负半轴上的角．
由lgcosα有意义可知cosα>0，
∴α是第一或第四象限角或终边在x轴的正半轴上的角．
综上可知角α是第四象限的角．
(2)∵|OM|＝1，
∴()2＋m2＝1，解得m＝±．
又α是第四象限角，故m<0，从而m＝－．
由正弦函数的定义可知
sinα＝＝＝＝－．
C级　能力拔高
函数y＝＋的定义域为__[－4，－π]∪[0，π]__．
[解析]　要使函数式有意义，需由①得－4≤x≤4，由②得2kπ≤x≤2kπ＋π(k∈Z)，故函数的定义域为[－4，－π]∪[0，π]．
第2课时　三角函数线
Q　
江南水乡，水车在清清的河流里悠悠转动，缓缓地把河流里的水倒进水渠，流向绿油油的大地，流向美丽的大自然，在水车转动的瞬间，同学们能想到些什么呢？
X　
单位圆中的三角函数线
1．有向线段
一条线段有两个端点，如果规定其中一个端点为起点，另一个为终点，这条线段被看做带有方向，于是把它叫做有向线段．表示有向线段时，要先写起点的字母，后写终点的字母．当有向线段与数轴平行时，我们可根据此线段的方向(从起点向终点)与数轴的方向相同或相反，分别把它的长度加上正号或负号，这样所得的数，就是此有向线段的数值，它是一个实数，如图所示，有向线段AB＝2，CD＝1，而有向线段BA＝－2，DC＝－1．
2．三角函数线的作法
如图，设单位圆与x轴的正半轴交于点A，与角α的终边交于点P(角α的顶点与原点重合，角α的始边与x轴的非负半轴重合)．
过点P作x轴的垂线PM，垂足为M，过点A作单位圆的切线交OP的延长线(或反向延长线)于T点，这样就有sinα＝__MP__，cosα＝__OM__，tanα＝__AT__.单位圆中的有向线段MP、OM、AT分别叫做角α的__正弦__线、__余弦__线、__正切__线，统称为三角函数线．
[知识点拨]①三角函数线的位置：正弦线为α的终边与单位圆的交点到x轴的垂直线段；余弦线在x轴上；正切线在过单位圆与x轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中正弦线和余弦线在单位圆内，正切线在单位圆外．
②三角函数线的方向：正弦线由垂足指向α的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向切线与α的终边(或反向延长线)的交点．
③三角函数线的正负：三条有向线段凡与x轴正方向或y轴正方向同向的为正值，与x轴正方向或y轴正方向反向的为负值．
④三角函数线的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后．
⑤三角函数线的意义：三角函数线的方向表示三角函数值的符号；三角函数线的长度等于所表示的三角函数值的绝对值．
3．三角函数线的作用
(1)用三角函数线可以比较两数的大小．在代数中，我们经常采用作差、作商、利用函数的单调性等方法比较大小，而三角函数线就表示了三角函数值的大小，所以在比较一些三角函数值的大小时，常采用比较三角函数线的方法，更加方便与直观．
(2)利用三角函数线可以求角或角的范围，即解简单的三角方程或三角不等式．即由三角函数线得三角函数值，再找角的终边，进而找到角的值或取值范围．
Y　
1．如图所示，P是角α的终边与单位圆的交点，PM⊥x轴于M，AT和A′T′均是单位圆的切线，则角α的(　C　)
A．正弦线是PM，正切线是A′T′
B．正弦线是MP，正切线是A′T′
C．正弦线是MP，正切线是AT
D．正弦线是PM，正切线是AT
2．不论角α的终边位置如何，在单位圆中作三角函数线时，下列说法正确的是(　D　)
A．总能分别作出正弦线、余弦线、正切线
B．总能分别作出正弦线、余弦线、正切线，但可能不只一条
C．正弦线、余弦线、正切线都可能不存在
D．正弦线、余弦线总存在，但正切线不一定存在
3．已知α角的正弦线和余弦线是符号相反、长度相等的有向线段，则α的终边在(　C　)
A．第一象限角的平分线上
B．第四象限角的平分线上
C．第二、四象限角的平分线上
D．第一、三象限角的平分线上
[解析]　由题意知sinα＝－cosα＝±，故α角终边在第二、四象限的角平分线上，故选C．
4．设a＝sin，b＝cos，c＝tan，则(　D　)
A．aB．aC．bD．b[解析]　∵<<，作出角的三角函数线如图可知，cosH　
命题方向1　?利用三角函数线比较大小
典例1　利用三角函数线比较下列各组数的大小．
(1)sinπ与sinπ；
(2)tanπ与tanπ；
(3)cosπ与cosπ．
[思路分析]　利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一看三角函数的长度，二看正负．
[解析]　如图所示，画出π与π的正弦线、余弦线、正切线，由图观察可得M1P1>M2P2，AT1OM2，又sinπ＝M1P1，sinπ＝M2P2，tanπ＝AT1，tanπ＝AT2，cosπ＝OM1，cosπ＝OM2，
(1)sinπ>sinπ.(2)tanπ(3)cosπ>cosπ．
『规律总结』　利用三角函数线比较函数值大小的关键及注意点：
(1)关键：在单位圆中作出所要比较的角的三角函数线．
(2)注意点：比较大小，既要注意三角函数线的长短，又要注意方向．
〔跟踪练习1〕(1)在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边．
①sinα＝；②cosα＝－；③tanα＝2；
(2)比较sin1155°与sin(－1654°)的大小．
[解析]　(1)①作直线y＝交单位圆于P、Q两点，则OP与OQ为角α的终边，如图①．
②作直线x＝－交单位圆M、N两点，则OM与ON为角α的终边．如图②．
③在直线x＝1上截取AT＝2，其中点A的坐标为(1,0)，设直线OT与单位圆交于C、D两点，则OC与OD为角α的终边．如图③．
(2)先化为0°～360°间的角的三角函数．
sin1155°＝sin(3×360°＋75°)＝sin75°，
sin(－1654°)＝sin(－5×360°＋146°)＝sin146°．
在单位圆中，分别作出sin75°和sin146°的正弦线M2P2，M1P1(如右图)．
因为M1P1sin(－1654°)．
命题方向2　?利用三角函数线求解不等式
典例2　求函数f(α)＝的定义域．
[思路分析]　要使函数f(α)有意义，则sinα≥，利用三角函数线可得α的取值范围，即函数f(α)的定义域．
[解析]　要使函数f(α)有意义，则sinα≥.如图所示，画出单位圆，作直线y＝，交单位圆于P1，P2两点，连接OP1，OP2，过点P1，P2作x轴的垂线，垂足分别为M1，M2，易知正弦线M1P1＝M2P2＝.在[0,2π)范围内，sin＝sin＝，则点P1，P2分别在，的终边上又sinα≥，结合图形可知，图中阴影部分(包括边界)即满足sinα≥的角α的终边所在的范围，即当α∈[0,2π)时，≤α≤，
故函数f(α)的定义域为{α|2kπ＋≤α≤2kπ＋，k∈Z}．
『规律总结』　
利用三角函数线解sinα≥a，sinα≤a(|a|<1)型不等式的具体方法为：
①如图所示，画出单位圆；
②过y轴上一点M(0，a)作y轴的垂线，交单位圆于P，P′两点，作射线OP，OP′；
③写出射线OP与OP′对应的角；
④图中阴影部分(包括边界)即满足sinα≤a(|a|<1)的角α的终边所在的范围，空白部分(包括边界)即满足sinα≥a(|a|<1)的角α的终边所在的范围．
〔跟踪练习2〕在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合．
(1)sinα≥；(2)cosα≤－．
[解析]　(1)如图(1)所示，作直线y＝交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB
围成的区域(阴影部分)即为角α的终边的范围．
故满足条件的角α的集合为{α|2kπ＋≤α≤2kπ＋，k∈Z}．
(2)如图(2)所示，作直线x＝－交单位圆于C，D两点，连接OC与OD，则OC与OD围成的区域(阴影部分)即为角α的终边的范围．
故满足条件的角α的集合为{α|2kπ＋≤α≤2kπ＋，k∈Z}．
X　　利用三角函数线证明几何结论
典例3　设α是锐角，利用单位圆和三角函数线证明：sinα<α[思路分析]　sinα、tanα分别用正弦线、正切线表示出来，α用它所对的弧表示出来，从而使关系式得证．
[证明]　如图所示，设角α的终边交单位圆于P，过点P作PM垂直于x轴，垂足为M.过点A(1,0)作单位圆的切线交OP于点T，连接PA，则sinα＝MP，tanα＝AT，
∵S△OAP∴|OA|·|MP|<α|OA|2<|OA|·|AT|．
又|OA|＝1，∴|MP|<α<|AT|，即MP<α∴sinα<α『规律总结』　解答利用三角函数线求解不等式这类题目时，一般先根据三角函数值的范围找出角的终边所在的区域，在找角的终边所在的区域时，注意对正弦要找单位圆上的纵坐标，对余弦应在单位圆上找横坐标，根据这些坐标找出单位圆上满足要求的弧，即可找到角的终边所在的区域，再根据角的终边所在的区域写出角的范围．
〔跟踪练习3〕已知α是锐角，求证：1[解析]　设角α的终边与单位圆交于P(x，y)，过P作PQ⊥OA，PR⊥OB，Q、R为垂足，连接PA、PB，如图所示．
∵|PQ|＝y＝sinα，|OQ|＝x＝cosα，
又∵在△OPQ中，|QP|＋|OQ|>|OP|，
∴sinα＋cosα>1．
∴S△OAP＝|OA|·|QP|＝y＝sinα，
S△OBP＝|OB|·|RP|＝x＝cosα，
S扇形OAB＝×12＝．
又∵S△OAP＋S△OBP∴sinα＋cosα<，即sinα＋cosα<．
综上可知1Y　　错解函数的定义域
典例4　求函数y＝＋lg(2sinx＋)的定义域．
[错解]　要使函数有意义，则需满足1＋2cosx≥0且2sinx＋>0，即cosx≥－，且sinx>－.所以2kπ＋≤x≤2kπ＋且2kπ－[错因分析]　因两个不等式中的k各自独立，因此上述两集合是有公共部分的，如图所示．
[思路分析]　解三角不等式组时，先解每个三角不等式，再取它们的交集．取交集时，要注意各自解集中k的独立性．
[正解]　要使函数有意义，则需同时满足1＋2cosx≥0且2sinx＋>0，
即cosx≥－，且sinx>－．
由cosx≥－，知2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z．
由sinx>－，知2nπ－∴x的取值范围是{x|2kπ－[点评](1)求两个不等式的交集时，因周期均为2kπ，故可先求
的交集，最后加上2kπ．
(2)对角的范围求交集时容易出错，求解时一定要注意等号能否取到．
〔跟踪练习4〕求函数y＝lg(1－cosx)＋的定义域．
[解析]　如图所示，
∵，
∴－≤cosx<，
∴x∈(2kπ＋，2kπ＋]∪[2kπ＋，2kπ＋)(k∈Z)，即x∈(kπ＋，kπ＋)或x＝2kπ＋π或x＝2kπ＋π，(k∈Z)，
函数定义域为{x|kπ＋K　
1．下列四个命题：①α一定时，单位圆中的正弦线一定；②单位圆中，有相同正弦线的角相等；③α和α＋π有相同的正切线；④具有相同正切线的两个角终边在同一直线上．其中不正确的有(　B　)
A．0个　　　
B．1个　
C．2个　　　
D．3个
[解析]　②有相同正弦线说明角的终边相同，但角不一定相等，所以②错，①③④均正确．
2．已知角α是第四象限角，则角α的正弦线MP是下图中的(　A　)
3．已知MP，OM，AT分别为60°角的正弦线、余弦线和正切线，则下列结论正确的是(　B　)
A．MPB．OMC．ATD．OM4．若角α的余弦线长度为，且方向与x轴负方向相同，则cosα＝　－　．
A级　基础巩固
一、选择题
1．下列各式正确的是(　B　)
A．sin1>sin　　　　　
B．sin1C．sin1＝sin
D．sin1≥sin
[解析]　1和的终边均在第一象限，且的正弦线大于1的正弦线，则sin12．使sinx≤cosx成立的x的一个变化区间是(　A　)
A．[－π，]
B．[－，]
C．[－π，π]
D．[0，π]
[解析]　当x的终边落在如图所示的阴影部分时，满足sinx≤cosx．
3．若MP和OM分别是角α＝的正弦线和余弦线，那么下列结论中正确的是(　D　)
A．MPB．OM>0>MP
C．OMD．MP>0>OM
[解析]　作出单位圆中的正弦线、余弦线，比较知D正确．
4．如图所示，角α的终边与单位圆交于点P，过点P作PM⊥x轴于点M，过点A作单位圆的切线AT交OP的反向延长线至点T，则有(　D　)
A．sinα＝OM，cosα＝PM
B．sinα＝MP，tanα＝OT
C．cosα＝OM，tanα＝AT
D．sinα＝MP，tanα＝AT
5．在[0,2π]上，满足sinx≥的x的取值范围是(　B　)
A．[0，]
B．[，]
C．[，]
D．[，π]
[解析]　如图易知选B．
6．若tanx＝，且－πA．{，}
B．{，}
C．{，，－}
D．{，，－}
[解析]　∵tanx＝，在单位圆中画出正切线AT＝的角的终边为直线OT(如图)，
∴x＝kπ＋，k∈Z，又因为－π所以x＝－，，．
二、填空题
7．若角α的余弦线长度为0，则它的正弦线的长度为__1__．
[解析]　由余弦线长度为0知，角的终边在y轴上，所以正弦线长度为1．
8．若角α的正弦线的长度为，且方向与y轴的正方向相反，则sinα的值为　－　．
[解析]　由题意知|sinα|＝，且方向与y轴正方向相反，∴sinα＝－．
9．在单位圆中画出满足cosα＝的角α的终边，并写出α组成的集合．
[解析]　如图所示，作直线x＝交单位圆于M、N，连接OM、ON，则OM、ON为α的终边．由于cos＝，cos＝，则M在的终边上，N在的终边上，则α＝＋2kπ或α＝＋2kπ，k∈Z．
所以α组成的集合为S＝{α|α＝＋2kπ或α＝＋2kπ，k∈Z}．
10．解不等式组
[解析]　由得
在直角坐标系中作单位圆，如图所示，
由三角函数线可得
解集恰好为图中阴影重叠的部分，故原不等式组的解集为{x|2kπ≤x<2kπ＋，k∈Z}．
B级　素养提升
一、选择题
1．已知的正弦线为MP，正切线为AT，则有(　A　)
A．MP与AT的方向相同
B．|MP|＝|AT|
C．MP>0，AT<0
D．MP<0，AT>0
[解析]　三角函数线的方向和三角函数值的符号是一致的．MP＝sin<0，AT＝tan<0．
2．已知α角的正弦线与y轴正方向相同，余弦线与x轴正方向相反，但它们的长度相等，则(　A　)
A．sinα＋cosα＝0
B．sinα－cosα＝0
C．tanα＝0
D．sinα＝tanα
[解析]　∵sinα>0，cosα<0，
且|sinα|＝|cosα|
∴sinα＋coα＝0．
3．已知sinα>sinβ，那么下列命题成立的是(　D　)
A．若α、β是第一象限角，则cosα>cosβ
B．若α、β是第二象限角，则tanα>tanβ
C．若α、β是第三象限角，则cosα>cosβ
D．若α、β是第四象限角，则tanα>tanβ
[解析]　如图(1)，α、β的终边分别为OP、OQ，sinα＝MP>NQ＝sinβ，此时OM如图(2)，OP、OQ分别为角α、β的终边，MP>NQ，
∴AC如图(3)，角α、β的终边分别为OP、OQ，MP>NQ即sinα>sinβ，∴ON>OM，即cosβ>cosα，故C错，∴选D．
4．y＝的定义域为(　B　)
A．
B．
C．
D．(以上k∈Z)
[解析]　∵，∴2kπ二、填空题
5．不等式cosx>0的解集是　{x|2kπ－[解析]　如图所示，OM是角x的余弦线，则有cosx＝OM>0，
∴OM的方向向右．
∴角x的终边在y轴的右方．
∴2kπ－6．已知点P(tanα，sinα－cosα)在第一象限，且0≤α≤2π，则角α的取值范围是　∪　．
[解析]　∵点P在第一象限，
∴
由(1)知0<α<或π<α<，(3)
由(2)知sinα>cosα，
作出三角函数线知，在[0,2π]内满足sinα>cosα的
α∈，(4)
由(3)、(4)得α∈∪．
三、解答题
7．求下列函数的定义域．
(1)y＝sinx＋tanx；(2)y＝．
[解析]　(1)要使函数有意义，必须使sinx与tanx有意义，
∴
∴函数y＝sinx＋tanx的定义域为{x|x≠kπ＋，k∈Z}．
(2)要使函数有意义，必须使tanx有意义，且tanx≠0，
∴
∴函数y＝的定义域为{x|x≠，k∈Z}．
8．求下列函数的定义域：
(1)y＝；　(2)y＝lg(3－4sin2x)．
[解析]　(1)如图(1)．
∵2cosx－1≥0，∴cosx≥．
∴函数定义域为(k∈Z)．
(2)如图(2)．
∵3－4sin2x>0，∴sin2x<，∴－∴函数定义域为∪，(k∈Z)，即(k∈Z)．
C级　能力拔高
利用三角函数线证明：若0<α<β<，则β－α>sinβ－sinα．
[解析]　如图所示，单位圆O与x轴正半轴交于点A，与角β，α的终边分别交于点P，Q，过P，Q分别作OA的垂线，垂足分别是M，N，则sinα＝NQ，sinβ＝MP.过点Q作QH⊥MP于H，则HP＝MP－NQ＝sinβ－sinα.连接PQ，由图可知HP－α，即β－α>sinβ－sinα．
1.2.2　同角三角函数的基本关系
Q　
“物以类聚，人以群分”，之所以“分群”、“分类”，是因为同类之间有很多共同点，彼此紧密地联系．
我们现在研究的三角函数，同角的正弦、余弦、正切之间有什么关系呢？
X　
同角三角函数的基本关系式
1．公式
(1)平方关系：　sin2α＋cos2α＝1.　
(2)商数关系：　＝tanα.　
2．公式推导
如图，以正弦线MP、余弦线OM和半径OP的长作为直角三角形三边长，而且OP＝1．
由勾股定理，得OM2＋MP2＝1，因此x2＋y2＝1，
即sin2α＋cos2α＝1．
根据三角函数的定义，当α≠kπ＋(k∈Z)时，有＝tanα．
这就是说，同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切．
[知识点拨]对同角三角函数基本关系式的理解
(1)注意“同角”，这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，即与角的表达形式无关，如sin23α＋cos23α＝1成立，但是sin2α＋cos2β＝1就不一定成立．
(2)sin2α是(sinα)2的简写，读作“sinα的平方”，不能将sin2α写成sinα2，前者是α的正弦的平方，后者是α2的正弦，两者是不同的，要弄清它们的区别，并能正确书写．
(3)同角三角函数的基本关系式是针对使三角函数有意义的角而言的，sin2α＋cos2α＝1对一切α∈R恒成立，而tanα＝仅对α≠＋kπ(k∈Z)成立．
3．常用的等价变形
sin2α＋cos2α＝1?
tanα＝?
[拓展]变形公式的应用要注意哪些方面？
(1)使用变形公式sinα＝±，cosα＝±时，“±”号是由α的终边所在的象限确定的，而对于其他形式的变形公式就不必考虑符号问题．
(2)对这些关系式不仅要牢牢掌握，还要能灵活运用(正用、逆用、变形应用)．
Y　
1．已知sinα＝，cosα＝，则tanα等于(　D　)
A．　
　
B．　
C．　
　
D．
[解析]　因为tanα＝＝＝．
故选D．
2．(2015·福建文)若sinα＝－，且α为第四象限角，则tanα的值等于(　D　)
A．　
B．－
C．
D．－
[解析]　因为sinα＝－，且α为第四象限角，所以cosα＝，所以tanα＝－，故选D．
3．化简＝__cos80°__．
[解析]　原式＝
＝＝＝|cos80°|＝cos80°．
4．化简sin2α＋sin2β－sin2αsin2β＋cos2αcos2β＝__1__．
[解析]　原式＝sin2α(1－sin2β)＋sin2β＋cos2αcos2β＝sin2αcos2β＋cos2αcos2β＋sin2β＝cos2β(sin2α＋cos2α)＋sin2β＝1．
H　
命题方向1　?根据同角三角函数关系求值
典例1　(1)已知sinα＝，求cosα，tanα的值；
(2)已知cosα＝－，求sinα，tanα的值．
[解析]　(1)∵sinα＝>0，∴α是第一或第二象限角．
当α为第一象限角时，cosα＝＝＝，tanα＝＝；
当α为第二象限角时，cosα＝－，tanα＝－．
(2)∵cosα＝－<0，∴α是第二或第三象限角．
当α是第二象限角时，sinα>0，tanα<0，
∴sinα＝＝＝，tanα＝＝－；
当α是第三象限角时，sinα<0，tanα>0，
∴sinα＝－＝－＝－，tanα＝＝．
『规律总结』　在使用开平方关系sinα＝±和cosα＝±时，一定要注意正负号的选取，确定正负号的依据是角α所在的象限，如果角α所在的象限是已知的，则按三角函数在各个象限的符号来确定正负号；如果角α所在的象限是未知的，则需要按象限进行讨论．
〔跟踪练习1〕已知sinα＝－，并且α是第三象限的角，求cosα、tanα的值．
[解析]　∵sin2α＋cos2α＝1，
∴cos2α＝1－sin2α＝1－(－)2＝．
又∵α是第三象限角，∴cosα<0
即cosα＝－＝－，
∴tanα＝＝(－)×(－)＝．
命题方向2　?弦化切求值
典例2　已知tanα＝3．
(1)求sinα和cosα的值；
(2)求的值；
(3)求sin2α－3sinαcosα＋1的值．
[思路分析]　tanα＝3，即sinα＝3cosα，结合sin2α＋cos2α＝1，解方程组可求出sinα和cosα；对于(2)，注意到分子分母都是sinα与cosα的一次式，可分子分母同除以cosα化为tanα的表达式；对于(3)，如果把分母视作1，进行1的代换，1＝sin2α＋cos2α然后运用(2)的方法，分子分母同除以cos2α可化为tanα的表达式，也可以将sinα＝3cosα代入sin2α＋cos2α＝1中求出cos2α，把待求式消去sinα，也化为cos2α的表达式求解．
[解析]　(1)tanα＝3＝>0，
∴α是第一或第三象限角．
当α是第一象限角时，结合sin2α＋cos2α＝1，有
．
当α是第三象限角时，结合sin2α＋cos2α＝1，有
．
(2)∵tanα＝3，∴＝＝．
(3)∵tanα＝3，sin2α＋cos2α＝1，
∴原式＝
＝
＝＝＝1．
『规律总结』　1.若已知tanα＝m，求形如(或)的值，其方法是将分子、分母同除以cosα(或cos2α)转化为tanα的代数式，再求值，如果先求出sinα和cosα的值再代入，那么运算量会很大，问题的解决就会变得繁琐．
2．形如asin2α＋bsinαcosα＋ccos2α通常把分母看作1，然后用sin2α＋cos2α代换，分子、分母同除以cos2α再求解．
〔跟踪练习2〕已知tanα＝－，求下列各式的值：
(1)sinα＋2cosα；
(2)；
(3)；
(4)2sin2α－sinαcosα＋cos2α．
[解析]　(1)tanα＝＝－，∴cosα＝－2sinα
又sin2α＋cos2α＝1，∴sin2α＋4sin2α＝1
∴sin2α＝，∴sinα＝±
当α为第二象限角时，sinα＝，cosα＝－，
sinα＋2cosα＝－，
当α为第四象限角时，cosα＝，sinα＝－，
sinα＋2cosα＝．
(2)＝＝＝．
(3)
＝
＝＝＝．
(4)2sin2α－sinαcosα＋cos2α
＝＝＝．
命题方向3　?化简三角函数式
典例3　(1)；(2)．
[思路分析]　(1)把二次根式中的被开方式化为完全平方式．
(2)中所含角α的三角函数次数相对较高，且分子、分母含常数“1”．解答本题中的(1)、(2)时应充分利用“sin2α＋cos2α＝1”这一条件．
[解析]　(1)原式＝
＝＝＝－1．
(2)解法一：原式＝＝＝．
解法二：原式＝
＝
＝
＝＝．
『规律总结』　三角函数式的化简过程中常用的方法：
(1)化切为弦，即把非正弦、非余弦的函数都化成正弦、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的．
(2)对于含有根号的，常把根号下式子化成完全平方式，然后去根号，达到化简的目的．
(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．
〔跟踪练习3〕已知α是第三象限角，化简：－．
[解析]　－＝－
＝－＝．
∵α是第三象限角，∴|cosα|＝－cosα．
原式＝＝－2tanα，
故－＝－2tanα．
命题方向4　?三角恒等式的证明
典例4　求证：＝．
[思路分析]　思路一　→
思路二　→
[解析]　方法一：∵右边＝＝＝＝＝＝左边，
∴原等式成立．
方法二：∵左边＝＝，
右边＝＝＝＝＝，
∴左边＝右边，原等式成立．
『规律总结』　利用同角三角函数的基本关系证明三角恒等式
三角恒等式的证明方法非常多，其主要方法有：
(1)从左向右推导或从右向左推导，一般由繁到简；
(2)左右归一，即证明左右两边都等于同一个式子；
(3)化异为同法，即针对题设与结论间的差异，有针对地变形，以消除差异；
(4)变更命题法，如要证明＝，可证ad＝bc或证＝等；
(5)比较法，即设法证明“左边－右边＝0”或“＝1”．
〔跟踪练习4〕证明下列三角恒等式：
＝．
[解析]　左边＝
＝＝＝
＝＝右边，所以原等式成立．
X　　sinθ±cosθ，sinθ·cosθ三者的关系及方程思想的运用
sinθ±cosθ，sinθ·cosθ三者的关系：
(1)对于三角函数式sinθ±cosθ，sinθ·cosθ之间的关系，可以通过(sinθ±cosθ)2＝1±2sinθ·cosθ进行转化．
(2)若已知sinθ±cosθ，sinθ·cosθ中三者之一，利用方程思想进一步可以求得sinθ，cosθ的值，从而求出其余的三角函数值．
典例5　已知sinθ＋cosθ＝，θ∈(0，π)，求sinθ，cosθ，sinθ－cosθ，tanθ，sin3θ＋cos3θ的值．
[解析]　本题考查已知三角函数的关系式，求其他三角函数式的值．解题时先根据已知关系式求出角的范围和三角函数值，进而解决问题．
∵sinθ＋cosθ＝，θ∈(0，π)，∴1＋2sinθ·cosθ＝，
∴2sinθ·cosθ＝－<0．
又θ∈(0，π)，sinθ>0，∴cosθ<0，∴θ∈(，π)．
∴sinθ－cosθ>0．
∵(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθ·cosθ＝1＋＝，
∴sinθ－cosθ＝，
∴?
∴tanθ＝＝＝－，sin3θ＋cos3θ＝．
『规律总结』　在解三角函数问题时要注意题目中的隐含条件，本题就是灵活运用了平方关系，列方程求出sinθ，cosθ，使问题得解．
〔跟踪练习5〕已知sinθ、cosθ是方程4x2－4mx＋2m－1＝0的两个根，<θ<2π，求角θ．
[解析]　
∵
代入(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθ·cosθ，得m＝．
又∵<θ<2π.∴sinθ·cosθ＝<0，sinθ＋cosθ＝m＝，∴sinθ＝－，cosθ＝．
又∵<θ<2π，∴θ＝．
Y　　忽略隐含条件致错
典例6　已知θ∈(0，π)，sinθ＋cosθ＝，则tanθ的值为__________．
[错解]　将sinθ＋cosθ＝两边平方，得1＋2sinθcosθ＝1－，即sinθcosθ＝－，易知θ≠．
故sinθcosθ＝＝＝－，
解得tanθ＝－或tanθ＝－．
[错因分析]　题设条件sinθ＋cosθ＝隐含sinθ>－cosθ这一条件，结合所得sinθcosθ＝－<0可进一步得到θ的范围，错解忽略了这一点，从而造成增解．
[正解]　同错解，解得tanθ＝－或tanθ＝－．
∵θ∈(0，π)，sinθcosθ＝－<0，∴θ∈(，π)，由sinθ＋cosθ＝>0可得sinθ>－cosθ，即|sinθ|>|cosθ|，故θ∈(，)，则tanθ<－1，∴tanθ＝－．
[点评]　有些关于三角函数的条件求值问题，表面上角的范围不受条件限制，实际上只要对已知式稍加变形，就会推出三角函数值间的限制关系，这种限制关系本身就隐含了角的取值范围．解题时，同学们如果忽略了对已知条件中三角函数值间限制关系的挖掘，就很可能出错．
〔跟踪练习6〕已知sinαcosα＝，且π<α<，则cosα－sinα的值为　－　．
[解析]　∵(cosα－sinα)2＝1－2sinαcosα＝1－2×＝，且π<α<，
∴cosα∴cosα－sinα＝－＝－．
K　
1．化简的结果是(　C　)
A．cos
B．sin
C．－cos
D．－sin
2．(2018·湖南长沙市中学期末)已知tanα＝，0<α<π，则sinα－cosα＝　－　．
[解析]　由tanα＝>0，知α为锐角，所以sinα＝，cosα＝，∴sinα－cosα＝－．
3．(2016·四川资阳阳安中学月考)已知tanα＝－，则等于(　A　)
A．
B．－
C．－7
D．7
4．化简：(＋)(1－cosα)＝__sinα__．
A级　基础巩固
一、选择题
1．α是第四象限角，cosα＝，则sinα等于(　B　)
A．
B．－
C．
D．－
[解析]　∵α是第四象限角，∴sinα<0．
∵∴sinα＝－．
2．已知cosα＝，则sin2α等于(　A　)
A．
B．±
C．
D．±
[解析]　sin2α＝1－cos2α＝．
3．已知α是第四象限角，tanα＝－，则sinα＝(　D　)
A．
B．－
C．
D．－
[解析]　不妨设α对应的锐角为α′，tanα′＝，构造直角三角形如图，则|sinα|＝sinα′＝，
∵α为第四象限角，∴sinα<0，∴sinα＝－．
4．化简：(1＋tan2α)·cos2α等于(　C　)
A．－1
B．0
C．1
D．2
[解析]　原式＝(1＋)·cos2α
＝cos2α＋sin2α＝1．
5．已知sinα－3cosα＝0，则sin2α＋sinαcosα值为(　B　)
A．
B．
C．3
D．4
[解析]　由sinα－3cosα＝0，∴tanα＝3，
又sin2α＋sinαcosα＝
＝＝＝．
6．已知α是三角形的一个内角，且sinα＋cosα＝，那么这个三角形的形状为(　B　)
A．锐角三角形
B．钝角三角形