人教新课标B版数学选修1-1学案（Word版，共409页，附解析）

世界文学名著《唐·吉诃德》中有这样一个故事：
唐·吉诃德的仆人桑乔·潘萨跑到一个小岛上，成了这个岛的国王．他颁布了一条奇怪的法律：每一个到达这个岛的人都必须回答一个问题：“你到这里来做什么？”如果回答对了，就允许他在岛上游玩，而如果答错了，就要把他绞死．
对于每一个到岛上来的人，或者是尽兴地玩，或者是被吊上绞架．有多少人敢冒死到这岛上去玩呢？
一天，有一个胆大包天的人来了，他照例被问了这个问题，而这个人的回答是：“我到这里来是要被绞死的．”请问桑乔·潘萨是让他在岛上玩，还是把他绞死呢？
如果应该让他在岛上游玩，那就与他说“要被绞死”的话不相符合，这就是说，他说“要被绞死”是错话．既然他说错了，就应该被处绞刑．但如果桑乔·潘萨要把他绞死呢？这时他说的“要被绞死”就与事实相符，从而就是对的，既然他答对了，就不该被绞死，而应该让他在岛上玩．
小岛的国王发现，他的法律无法执行，因为不管怎么执行，都使法律受到破坏．他思索再三，最后让卫兵把他放了，并且宣布这条法律作废．
1.1　命题及其关系
1.1.1　命　题
Q　
著名的“理发师悖论”是伯特纳德·罗素提出的：一个理发师的招牌上写着：“城里所有不自己刮脸的男人都由我给他们刮脸，我也只给这些人刮脸．”日常生活中也经常出现类似的逻辑错误，因此逻辑用语的学习是很有必要的．
我们接下来就从命题开始学习．
X　
1．一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以__判断真假__的陈述句叫做命题．
2．判断为真的语句叫__真命题__，判断为假的语句叫__假命题__.
3．数学中的定义、公理、公式、定理都是命题，但命题不一定都是定理，因为命题有__真假__之分，而定理是__真___命题．
4．命题常写成“__若p，则q___”的形式，其中命题中的p叫做命题的__条件___，q叫做命题的__结论___.
Y　
1．(2016·山东潍坊高二月考)下列语句是命题的是(　B　)
A．“参加2016年里约热内卢奥运会的全体运动员”可以组成一个集合吗？
B．100101是整数
C．请解关于x的方程x2－x＋m＝0
D．今天的天真蓝呀！
[解析]　根据命题的定义知，选项B是命题．
2．语句“若a>b，则a＋c>b＋c”是(　B　)
A．不是命题
B．真命题
C．假命题
D．不能判断真假
[解析]　a>b?a＋c>b＋c成立，故选B．
3．由命题“能被6整除的整数，一定能被3整除”改写的命题正确的是(　B　)
A．若一个数不能被6整除，则这个数不一定被3整除
B．若一个数能被6整除，则这个数一定能被3整除
C．若一个数能被6整除，则这个数不一定能被3整除
D．若一个数不能被6整除，则这个数一定能被3整除
[解析]　由命题“能被6整除的整数，一定能被3整除”改写为“若p，则q”的形式为：若一个数能被6整除，则这个数一定能被3整除，故选B．
4．(2016·河南郑州高二月考)命题“第二象限角的余弦值小于0”的条件是(　C　)
A．余弦值
B．第二象限
C．一个角是第二象限角
D．没有条件
[解析]　命题可改写为：若一个角是第二象限角，则它的余弦值小于0，故选C．
5．(2016·安徽芜湖高二检测)下列语句：
①mx2－x＋1＝0是一元二次方程；
②你是高中生吗？
③互相包含的两个集合相等；
④全等三角形的面积相等；
⑤抛物线x2－mx－1＝0与x轴至少有一个交点；
⑥又大又圆的红苹果真招人喜欢！
其中是命题的序号为__①③④⑤___；真命题的序号为__③④⑤.
[解析]　由命题的定义可知①③④⑤是命题．①中当m＝0时，方程mx2－x＋1＝0不是一元二次方程，故为假命题；③④是真命题；⑤中Δ＝m2＋4>0，所以抛物线x2－mx－1＝0与x轴有两个交点，故为真命题．
H　
命题方向1　?命题概念的理解
典例1　判断下列语句是否是命题，并说明理由．
(1)求证：是无理数；
(2)x2＋4x＋4≥0；
(3)你是高一的学生吗？
(4)并非所有的人都喜欢苹果.
[思路分析]　由题目可获取以下主要信息：①给定一个语句，②判定其是否为命题并说明理由．解答本题要严格验证该语句是否符合命题的概念．
[解析]　(1)是祈使句，不是命题．
(2)x2＋4x＋4＝(x＋2)2≥0，对于x∈R，可以判断为真，它是命题．
(3)是疑问句，不涉及真假，不是命题．
(4)是命题，可以判断为真．人群中有的人喜欢苹果，也存在着不喜欢苹果的人．
『规律方法』　判定一个语句是否为命题，主要把握以下两点：
1．必须是陈述语句．祈使句、疑问句、感叹句都不是命题．
2．其结论可以判定真或假．含义模糊不清，不能辨其真假的语句，不是命题．另外，并非所有的陈述语句都是命题，凡是在陈述语句中含有比喻、形容等词的词义模糊不清的，都不是命题．
〔跟踪练习1〕
判断下列语句是不是命题，并说明理由．
(1)函数f(x)＝3x(x∈R)是指数函数；
(2)x2－3x＋2＝0；
(3)函数y＝cos
x是周期函数吗？
(4)集合{a，b，c}有3个子集．
[解析]　(1)是命题，满足指数函数的定义．
(2)不是命题，不能判断真假．
(3)不是命题，是疑问句．
(4)是命题．符合命题的定义．
命题方向2　?命题真假的判断
　典例2　判断下列命题的真假：
(1)形如a＋b的数是无理数；
(2)负项等差数列的公差小于零；
(3)关于x的方程ax＋1＝x＋2有惟一解．
[思路分析]　运用数学中的定义、定理、公理、公式等知识进行判断．
[解析]　(1)假命题．如当a＝1，b＝时，a＋b是有理数．
(2)假命题．如数列－10，－8，－6，－4，－2，它的公差是2.
(3)假命题．关于x的方程ax＋1＝x＋2即(a－1)x＝1，当a＝1时，方程无解；当a≠1时，方程有惟一解，所以是假命题．
『规律方法』　1.命题真假的判定方法
真命题的判定过程实际就是利用命题的条件，结合正确的逻辑推理方法进行正确逻辑推理的一个过程．可以根据已学过的定义、定理、公理，已知的正确结论和命题的条件进行正确的逻辑推理进行判断．
要说明一个命题是假命题，只需举一个反例即可．
2．一个命题的真假与命题所在环境有关．对其进行判断时，要注意命题的前提条件，如“若a⊥c，b⊥c，则a∥b”在平面几何中是真命题，而在立体几何中却是假命题．
3．从集合的观点看，我们建立集合A、B与命题中的p、q之间的一种联系：设集合A＝{x|p(x)成立}，B＝{x|q(x)成立}，就是说，A是能使条件p成立的全体对象x所构成的集合，B是能使条件q成立的全体对象x所构成的集合，此时，命题“若p，则q”为真，当且仅当A?B时满足．
〔跟踪练习2〕
给出下列几个命题：
①若x、y互为相反数，则x＋y＝0；
②若a>b，则a2>b2；
③若x>－3，则x2＋x－6≤0；
④若a、b是无理数，则ab也是无理数．
其中的真命题有__1___个．
[解析]　①是真命题．②设a＝1>b＝－2，a>b，但a2－3，但x2＋x－6＝14>0，假命题．④设a＝()，b＝，则ab＝()2＝2是有理数，假命题．
命题方向3　?命题结构分析
典例3　指出下列命题的条件与结论．
(1)负数的平方是正数；
(2)正方形的四条边相等.
[思路分析]　由题目可获取以下主要信息：①给出了命题的一般简略形式．②找出命题的条件和结论．
解答本题的关键是正确改变命题的表述形式．
[解析]　(1)可表述为“若一个数是负数，则这个数的平方是正数”条件为：“一个数是负数”；结论为：“这个数的平方是正数”．
(2)可表述为：“若一个四边形是正方形，则这个四边形的四条边相等”．
条件为：“一个四边形是正方形”；
结论为：“这个四边形的四条边相等”．
『规律方法』　1.数学中的命题大多是：“若p，则q”的形式，其中p叫做命题的条件，q叫做命题的结论．而数学中的有些命题从形式上看，不是“若p，则q”的形式，但是将它的表述作适当改变，也可以写成“若p，则q”的形式，因此，在研究命题时，不要受其形式的影响．
2．“若p，则q”形式的命题中，p和q本身也可为一个简单命题．
3．并非所有的命题都可写成“若p，则q”型，如“是有理数”，“5>3”．
〔跟踪练习3〕
把下列命题表示为“若p，则q”的形式，并判断真假．
(1)相似三角形的面积相等；
(2)平行于同一个平面的两平面平行；
(3)正弦函数是周期函数．
[解析]　(1)若两个三角形相似，则它们的面积相等．假命题．
(2)若两个平面平行于同一个平面，则这两个平面平行．真命题．
(3)若一个函数为正弦函数，则它是周期函数．真命题．
Y　　命题条件不明致误
典例4　将命题“已知c>0，当a>b时，ac>bc.”改写为“若p，则q”的形式.
[错解]　若c>0，a>b，则ac>bc.
[错解分析]　错误的根本原因是将“c>0”作为已知条件，实际上“已知c>0”是大前提，条件应是“a>b”，不能把它们全认为是条件．
[正解分析]　已知c>0是大前提．
[正解]　已知c>0，若a>b，则ac>bc.
〔跟踪练习4〕
把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假，且指出p和q分别指什么．
(1)乘积为1的两个实数互为倒数．
(2)奇函数的图象关于原点对称．
[解析]　(1)“若两个实数乘积为1，则这两个实数互为倒数”，它是真命题．
p：两个实数乘积为1；q：两个实数互为倒数．
(2)“若一个函数为奇函数，则它的图象关于原点对称”．它是真命题．
p：一个函数为奇函数；q：函数的图象关于原点对称．
X　　命题及其关系的应用
数学来源于生活，反之又应用于生活，即数学对生活有很大的指导意义．数学中命题真假的判断是生活中逻辑推理的重要依据．
典例5　同住一个房间的四名女生，她们在某天下午课外活动时间中，有一人在看书，有一人在梳头发，有一人在听音乐，另外一人在修剪指甲．有以下五个命题：
(1)A既不在修剪指甲，也不在看书；
(2)B既不在听音乐，也不在修剪指甲；
(3)若C在修剪指甲，则A在听音乐；
(4)D既不在看书，也不在修剪指甲；
(5)C既不在看书，也不在听音乐．
若上面的命题都是真命题，问：她们各自在干什么？
[解析]　由于以上五个命题都是真命题，我们可以列表如下：
修剪指甲
A不在做
B不在做
D不在做
看书
A不在做
D不在做
C不在做
梳头发
听音乐
B不在做
C不在做
由表格看出：C在修剪指甲，B在看书．又由命题(3)若C在修剪指甲，则A在听音乐，可知A在听音乐，最后我们确定出D在梳头发．
『规律方法』　此题条件较多，并且错综复杂，我们可借助表格来整理出其中的关系，再作出判断．
K　
1．下列四个语句是命题的是(　B　)
①2＋是无理数；②1＋1>2；③奇数的平方仍是奇数；④连接A，B两点．
A．①③
B．①②③　
C．④
D．②④
[解析]　①∵2＋是无理数，故是命题；②1＋1＝2，故是命题；③是真命题，故是命题；④不能判断真假，故不是命题，故选B．
2．下列命题是真命题的是(　A　)
A．若≠，则x≠y
B．若x2>1，则x>1
C．若x2＝y2，则＝
D．若x[解析]　B中，x2>1，∴x<－1或x>1，C中x<0时，无意义，D中，当x＝－2，y＝2时，x2＝y2，故选A．
3．把命题“当x＝2时，x2－3x＋2＝0”改写成“若p，则q”的形式：__若x＝2，则x2－3x＋2＝0___.
4．若“方程ax2－3x＋2＝0有两个相等的实数根”是真命题，则a＝_____.
5．下列语句是命题的是__(3)(4)___.
(1)证明x2＋2x＋1≥0；
(2)你是团员吗？
(3)一个正数不是素数就是合数；
(4)若x∈R，则x2＋4x＋7>0.
[解析]　(1)(2)不是命题，(1)是祈使句，(2)是疑问句；而(3)(4)是命题，其中(3)是假命题，如正数既不是素数也不是合数；(4)是真命题，x2＋4x＋4＝(x＋2)2≥0恒成立，x2＋4x＋7＝(x＋2)2＋3>0恒成立．故选(3)(4)．
A级　基础巩固
一、选择题
1．下列语句中，是命题的是(　A　)
A．π是无限不循环小数
B．3x≤5
C．什么是“绩效工资”
D．今天的天气真好呀！
[解析]　由命题的定义可知，选项A正确．
2．下列命题为真命题的是(　A　)
A．若＝，则x＝y
B．若x2＝1，则x＝1
C．若x＝y，则＝
D．若x[解析]　B中，若x2＝1，则x＝±1；C中，若x＝y<0，则与无意义；D中，若x＝－2，y＝－1，满足xy2，故选A．
3．下列语句中，不能成为命题的是(　B　)
A．5>12
B．x>0
C．已知a、b是平面向量，若a⊥b，则a·b＝0
D．三角形的三条中线交于一点
[解析]　A是假命题；C、D是真命题，B中含变量x，未指定x的取值范围，无法判断真假，故不是命题．
4．下列命题正确的是(　D　)
A．三点确定一个平面
B．两条直线确定一个平面
C．四边形确定一个平面
D．不共面的四点可以确定四个平面
[解析]　因为四点不共面，所以任意三点不共线，又不共线的三点确定一个平面，所以不共面的四点可以确定四个平面．
5．下列四个命题中，真命题是(　D　)
A．a>b，c>d?ac>bd
B．aC．b
D．a>b，cb－d
[解析]　∵c－d，又∵a>b，∴a－c>b－d，故选D．
6．给定下列命题：①若k>0，则方程x2＋2x－k＝0有实数根；②若a>b>0，c>d>0，则ac>bd；③对角线相等的四边形是矩形；④若xy＝0，则x、y中至少有一个为0.其中是真命题的是(　B　)
A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．②③④
[解析]　①中Δ＝4－4(－k)＝4＋4k>0，所以①为真命题；②由不等式的乘法性质知命题正确，所以②为真命题；③如等腰梯形对角线相等，不是矩形，所以③是假命题；④由等式性质知命题正确，所以④是真命题，故选B．
二、填空题
7．给出下列命题
①若ac＝bc，则a＝b；
②方程x2－x＋1＝0有两个实数根；
③对于实数x，若x－2＝0，则(x－2)(x＋1)＝0；
④若p>0，则p2>p；
⑤正方形不是菱形．
其中真命题是__③___，假命题是__①②④⑤___.
[解析]　c＝0时，①错；方程x2－x＋1＝0的判别式Δ＝－3<0，∴方程x2－x＋1＝0无实根；p＝0.5>0，但p2>p不成立；正方形的四条边相等，是菱形．因此①②④⑤都是假命题．
对于③，若x－2＝0，则x＝2，∴(x－2)(x＋1)＝0，故正确．
8．(2018·北京文，11)能说明“若a＞b，则＜”为假命题的一组a，b的值依次为__1，－1(答案不唯一)___
[解析]　只要保证a为正b为负即可满足要求．
当a＞0＞b时，＞0＞.
三、解答题
9．判断下列语句是否为命题，并说明理由.
(1)指数函数是增函数吗？
(2)x>；
(3)x＝2和x＝3是方程x2－5x＋6＝0的根；
(4)请把窗户关上；
(5)8>7；
(6)这是一棵大树．
[解析]　(1)是疑问句，所以不是命题．
(2)(6)不能判断真假，不是命题．
(3)(5)是陈述句且能判断真假，是命题．
(4)是祈使句，不是陈述句，所以不是命题．
B级　素养提升
一、选择题
1．“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》诗，在这4句诗中，可作为命题的是(　A　)
A．红豆生南国
B．春来发几枝
C．愿君多采撷
D．此物最相思
[解析]　A为可判断真假的陈述句，所以是命题；而B为疑问句，C为祈使句，D为感叹句，所以均不是命题．
2．下列命题中的真命题是(　A　)
A．二次函数的图象是一条抛物线
B．若一个四边形的四条边相等，则这个四边形是正方形
C．已知m、n∈R，若m2＋n2≠0，则mn≠0
D．平行于同一直线的两个平面平行
[解析]　A是真命题；B中四边形可以是菱形，故B是假命题；C中当m＝0，n＝1时，m2＋n2≠0，而mn＝0，故C是假命题；D中两平面可以相交，故D是假命题．
3．有下列命题：
①若xy＝0，则|x|＋|y|＝0；②若a>b，c≠0，则ac>bc；③矩形的对角线互相垂直．
其中真命题共有(　A　)
A．0个
B．1个　
C．2个
D．3个
[解析]　①中，当x＝1，y＝0时，xy＝0，|x|＋|y|＝1，故①错误；②中，若a＝2，b＝1，c＝－1，则ac＝－2，bc＝－1，ac4．下列命题中的假命题是(　B　)
A．若log2x<2，则0B．若a与b共线，则a与b的夹角为0°
C．已知非零数列{an}满足an＋1－2an＝0，则该数列为等比数列
D．点(π，0)是函数y＝sin
x图象上一点
[解析]　B中当a与b共线，但方向相反时，a与b的夹角为180°，所以B是假命题．
5．(2017·鹰潭高二检测)在下列给出的命题中，所有正确命题的个数为(　C　)
①函数y＝x2－3x＋1的图象关于x＝对称；②若实数x，y满足x2＋y2＝1，则的最大值为；③若△ABC为锐角三角形，则sin
A>cos
B.
A．1个
B．2个　
C．3个
D．0个
[解析]　①由y＝2－知①正确，②表示平面直角坐标系中(x，y)与(－2,0)两点所在直线的斜率，由数形结合知②正确，③由三角形中的性质知③正确，故应选C．
二、填空题
6．设a、b、c是空间的三条直线，下面给出四个命题：
①若a⊥b，b⊥c，则a∥c；
②若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则a、c也是异面直线；
③若a和b相交，b和c相交，则a和c也相交；
④若a和b共面，b和c共面，则a和c也共面．
其中真命题的个数是__0___.
[解析]　∵垂直于同一直线的两条直线不一定平行，
∴命题①不正确；
∵与同一直线均异面的两条直线的位置关系可以共面，也可以异面，∴命题②不正确；
∵与同一直线均相交的两条直线在空间中可以相交，也可以平行或异面，∴命题③不正确；
∵当两平面的相交直线为直线b时，两平面内分别可以作出直线a与c，即直线a与c不一定共面，∴命题④不正确．
综上所述，真命题的个数为0.
7．下列语句中是命题的有__①③④⑤___，其中是真命题的有__①④___(填序号).
①“等边三角形难道不是等腰三角形吗？”
②“垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？”
③“一个数不是正数就是负数”；
④“在一个三角形中，大角所对的边大于小角所对的边”；
⑤“若x＋y为有理数，则x、y都是有理数”；
⑥作一个三角形．
[解析]　①通过反义疑问句(即反问句)对等边三角形是等腰三角形作出判断，是真命题．
②疑问句，没有对垂直于同一直线的两条直线是否平行作出判断，不是命题．
③是假命题，数0既不是正数也不是负数．
④是真命题，在同一个三角形中，大边对大角，大角对大边．
⑤是假命题，如x＝，y＝－.
⑥祈使句，不是命题．
三、解答题
8．在△ABC中，若·>0，则△ABC是什么三角形.
[解析]　∵·>0，∴·<0，∴∠B为钝角，
∴△ABC是钝角三角形．
C级　能力提高
1．把下列命题写成“若p，则q”的形式，并判断真假．
(1)当ac>bc时，a>b；
(2)当m>时，方程mx2－x＋1＝0无实根；
(3)当abc＝0时，a＝0或b＝0或c＝0；
(4)当x2－2x－3＝0时，x＝3或x＝－1；
(5)正三角形的重心、内心、外心、垂心重合．
[解析]　(1)若ac>bc，则a>b.假命题．
(2)若m>，则方程mx2－x＋1＝0无实根．真命题．
(3)若abc＝0，则a＝0或b＝0或c＝0.真命题．
(4)若x2－2x－3＝0，则x＝3或x＝－1.真命题．
(5)若一个三角形为正三角形，则这个三角形的重心、内心、外心、垂心重合．真命题．
2．将命题“已知a、b为正数，当a>b时，有>”写成“若p，则q”的形式，并指出条件和结论.
[解析]　根据题意，“若p，则q”的形式为：
已知a、b为正数，若a>b，则>.
其中条件p：a>b，结论q：>.
1.1.2　四种命题
1.1.3　四种命题间的相互关系
Q　
汉语是世界上美丽的语言．对于同样的几个字、几个词，不同的排列方式，往往产生不同的效果．在我们的校园里有着这样的宣传语：为了一切的孩子、为了孩子的一切、一切为了孩子，每一种表述有着不一样的意义．同样地，数学也是美丽的语言，这其中是否也有着同样的文字，但不同的排列含义不一样呢？
X　
1．一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做__互逆命题___，其中一个命题叫做__原命题___，另一个叫做原命题的__逆命题___.
2．一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，我们把这样的两个命题叫做__互否命题___，其中一个命题叫做__原命题___，另一个叫做原命题的__否命题___.
3．一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，我们把这样的两个命题叫做__互为逆否命题___，其中一个命题叫做__原命题___，另一个叫做原命题的__逆否命题___.
4．四种命题的相互关系
5．(1)原命题为真，它的逆命题__不一定___为真．
(2)原命题为真，它的否命题__不一定___为真．
(3)原命题为真，它的逆否命题__一定___为真．
即互为逆否的命题是等价命题，它们同__真___同__假___，同一个命题的逆命题和否命题是一对互为__逆否___的命题，它们同__真___同__假___.
Y　
1．(2015·山东文)设m∈R，命题“若m＞0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是(　D　)
A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m＞0
B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0
C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m＞0
D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0
[解析]　当原命题的条件和结论分别否定并交换时为逆否命题．
2．(2016·山东滨州高二检测)当命题“若p，则q”为真时，下列命题中一定是真命题的是(　C　)
A．若q，则p
B．若?p，则?q
C．若?q，则?p
D．若?p，则q
[解析]　∵“若p，则q”为真，∴其逆否命题“若?q，则?p”一定为真．
3．(2016·浙江宁波高二检测)若命题p的逆命题是q，命题p的否命题是r，则命题q是命题r的(　C　)
A．逆命题
B．否命题
C．逆否命题
D．以上都不对
[解析]　同一个命题的逆命题和否命题互为逆否命题，故选C．
4．(2016·浙江宁波高二检测)命题“对于正数a，若a>1，则lg
a>0”及其逆命题、否命题、逆否命题四种命题中，真命题的个数为(　D　)
A．0
B．1　
C．2
D．4
[解析]　原命题“对于正数a，若a>1，则lg
a>0”是真命题；逆命题“对于正数a，lg
a>0，则a>1”是真命题；否命题“对于正数a，若a≤1，则lg
a≤0”是真命题；逆否命题“对于正数a，若lg
a≤0，则a≤1”是真命题．
5．命题“如果m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是真命题吗？证明你的结论.
[解析]　是真命题．证明如下：
解法一：∵m>0，∴Δ＝1＋4m>0，
∴方程x2＋x－m＝0有实根，
故原命题“如果m>0，则x2＋x－m＝0有实根”是真命题．
又∵原命题与它的逆否命题同真假，
∴命题“如果m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题也是真命题．
解法二：原命题“如果m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题为“如果x2＋x－m＝0无实根，则m≤0”．
∵x2＋x－m＝0无实根，∴Δ＝1＋4m<0，m<－≤0，
故原命题的逆否命题为真命题．
H　
命题方向1　?命题的四种形式之间的转换
典例1　写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题．
(1)负数的平方是正数；
(2)正方形的四条边相等.
[思路分析]　此题的题设和结论不很明显，因此首先将命题改写成“若p，则q”的形式，然后再写出它的逆命题、否命题与逆否命题．
[解析]　(1)改写成“若一个数是负数，则它的平方是正数”．
逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数．
否命题：若一个数不是负数，则它的平方不是正数．
逆否命题：若一个数的平方不是正数，则它不是负数．
(2)原命题可以写成：若一个四边形是正方形，则它的四条边相等．
逆命题：若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．
否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等．
逆否命题：若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形．
『规律方法』　关于原命题的逆命题、否命题和逆否命题的写法：
首先：把原命题整理成“若p，则q”的形式．
其次：(1)“换位”(即交换命题的条件与结论)得到“若q，则p”，即为逆命题；
(2)“换质”(即将原命题的条件与结论分别否定后作为条件和结论)得到“若非p，则非q”即为否命题；
(3)既“换位”又“换质”(即把原命题的结论否定后作为新命题的条件，条件否定后作为新命题的结论)得到“若非q，则非p”即为逆否命题．
关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写．
〔跟踪练习1〕
写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题．
(1)若x2＋y2＝0，则x、y全为0；
(2)若a＋b是偶数，则a、b都是偶数．
[解析]　(1)逆命题：若x、y全为0，则x2＋y2＝0；
否命题：若x2＋y2≠0，则x、y不全为0；
逆否命题：若x、y不全为0，则x2＋y2≠0.
(2)逆命题：若a、b都是偶数，则a＋b是偶数；
否命题：若a＋b不是偶数，则a、b不都是偶数；
逆否命题：若a、b不都是偶数，则a＋b不是偶数．
命题方向2　?四种命题的关系及真假判断
典例2　写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断真假.
(1)若A∩B＝A，则A?B；
(2)垂直于同一条直线的两直线平行；
(3)若ab＝0，则a＝0或b＝0.
[思路分析]　找准原命题的条件和结论，依照定义写出另外三种命题．
[解析]　(1)逆命题：若A?B，则A∩B＝A.真命题；
否命题：若A∩B≠A，则AB.真命题；
逆否命题：若AB，则A∩B≠A.真命题．
(2)逆命题：若两条直线平行，则它们垂直于同一条直线．真命题；
否命题：若两条直线不垂直于同一条直线，则它们不平行．真命题；
逆否命题：若两条直线互相不平行，则它们不垂直于同一条直线．假命题．
(3)逆命题：若a＝0或b＝0，则ab＝0.真命题；
否命题：若ab≠0，则a≠0且b≠0.真命题；
逆否命题：若a≠0，且b≠0，则ab≠0.真命题．
『规律方法』　1.由原命题写出其他三种命题，关键是要分清原命题的条件与结论，尤其是写否命题和逆否命题时，要注意对原命题中条件和结论的否定，这种否定要从条件和结论的真假性上进行否定，而不是仅仅加上一个“不”字，为此可根据“互为逆否关系的命题同真假”进行检验．
2．当一个命题是否定性命题且不易判断真假时，可通过判断其逆否命题的真假以达到目的．
〔跟踪练习2〕
(2016·北京昌平区高二检测)如果一个命题的逆命题是真命题，那么以下结论正确的是(　A　)
A．该命题的否命题是真命题
B．该命题的否命题是假命题
C．该命题的原命题是假命题
D．该命题的逆否命题是真命题
[解析]　根据一个命题的逆命题和否命题同真同假，选项A正确．
命题方向3　?正难则反，等价转化思想
我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题．
典例3　证明：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a、b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.
[思路分析]　已知函数f(x)的单调性，可将自变量的大小与函数值的大小关系相互转化，本题中条件较复杂，而结论比较简单，故转化为证明其逆否命题．
[解析]　原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a、b∈R，若a＋b<0，则f(a)＋f(b)证明如下：
若a＋b<0，则a<－b，b<－a，
又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
∴f(a)∴f(a)＋f(b)即逆否命题为真命题．
∴原命题为真命题．
〔跟踪练习3〕
判断命题“已知a、x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2>0的解集是R，则a<”的逆否命题的真假．
[解析]　先判断原命题的真假如下：
∵a、x为实数，关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2>0的解集为R，且抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的开口向上，所以Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7<0，
∴a<.所以原命题是真命题．
又∵互为逆否命题的两个命题同真同假，∴原命题的逆否命题为真命题．
Y　　分清命题的条件与结论
典例4　写出命题“已知a、b、c、d是实数，如果a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d”的逆命题、否命题，并判断它们的真假.
[错解]　逆命题：如果a＋c＝b＋d，则a、b、c、d是实数，且a＝b，c＝d.假命题．
否命题：如果a、b、c、d不是实数，a≠b，c≠d，则a＋c≠b＋d.假命题．
[错解分析]　上述解法没有弄清命题的条件，将大前提“a、b、c、d是实数”充当了条件．
[正解分析]　“a、b、c、d是实数不是条件，是大前提．”
[正解]　逆命题：已知a、b、c、d是实数，如果a＋c＝b＋d，则a＝b，c＝d.假命题．
否命题：已知a、b、c、d是实数，如果a≠b，或c≠d，则a＋c≠b＋d.假命题．
〔跟踪练习4〕
(2017·厦门高二检测)给出命题：已知a，b为实数，若a＋b＝1，则ab≤.在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是(　C　)
A．3
B．2　
C．1
D．0
[解析]　逆命题：已知a，b为实数，若ab≤，则a＋b＝1.假命题．
否命题：已知a，b为实数，若a＋b≠1，则ab>.假命题．
逆否命题：已知a，b为实数，若ab>，则a＋b≠1.真命题．故选C．
X　　命题的间接证明
当一个命题的真假不容易证明时，常借助它的逆否命题的真假来证明；利用原命题与逆否命题，逆命题与否命题的等价关系进行判断．
典例5　关于命题“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，则{x|ax2＋bx＋c<0}≠?”的逆命题、否合题、逆否命题的真假性，下列结论成立的是(　D　)
A．都真
B．都假
C．否命题真
D．逆否命题真
[解析]　原命题“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，则{x|ax2＋bx＋c<0}≠?”为真命题；逆命题“若{x|ax2＋bx＋c<0}≠?，则抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下”为假命题，因为抛物线的开口也可能向上(a>0)；根据命题间的等价关系可知其否命题为假，逆否命题为真．故选D．
『规律方法』　由于原命题与其逆否命题是等价的，因此当我们证明或判断原命题感到困难时，可考虑证明它的逆否命题成立，这样也能达到证明原命题成立的目的．这种证法叫做逆否证法．
K　
1．命题“若a>0，则a>1”的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是(　C　)
A．0
B．1　
C．2
D．3
[解析]　逆命题：若a>1，则a>0，真命题．
否命题：若a≤0，则a≤1，真命题．
逆否命题：若a≤1，则a≤0，假命题．故应选C．
2．命题“若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的Δ＝b2－4ac<0，则方程无实根”的否命题的逆否命题是(　B　)
A．若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的Δ＝b2－4ac≥0，则方程有两个实根
B．若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实根，则其Δ<0
C．若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个实根，则其Δ≥0
D．以上均不对
3．如果一个命题的否命题是真命题，那么这个命题的逆命题是(　A　)
A．真命题
B．假命题
C．不一定是真命题
D．不一定是假命题
[解析]　命题的逆命题与否命题同真同假．
4．命题“若∠C＝90°，则△ABC是直角三角形”的否命题的真假性为__假命题___.
5．写出命题“已知a，b∈R，若a2>b2，则a>b”的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假.
[解析]　逆命题：已知a，b∈R，若a>b，则a2>b2；
否命题：已知a，b∈R，若a2≤b2，则a≤b；
逆否命题：已知a，b∈R，若a≤b，则a2≤b2.
因为原命题是假命题，所以逆否命题也是假命题．
因为逆命题是假命题，所以否命题也是假命题．
A级　基础巩固
一、选择题
1．设a、b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是(　D　)
A．若a≠－b，则|a|≠|b|
B．若a＝－b，则|a|≠|b|
C．若|a|≠|b|，则a≠－b
D．若|a|＝|b|，则a＝－b
[解析]　将原命题的条件改为结论，结论改为条件，即得原命题的逆命题．
2．命题：“若x2<1，则－1A．若x2≥1，则x≥1，或x≤－1
B．若－1C．若x>1，或x<－1，则x2>1
D．若x≥1，或x≤－1，则x2≥1
[解析]　－1x2<1的否定为x2≥1，
故逆否命题为“若x≤－1或x≥1，则x2≥1”，故选D．
3．命题“若c<0，则方程x2＋x＋c＝0有实数解”，则(　C　)
A．该命题的逆命题为真，逆否命题也为真
B．该命题的逆命题为真，逆否命题也假
C．该命题的逆命题为假，逆否命题为真
D．该命题的逆命题为假，逆否命题也为假
[解析]　如：当c＝0时，方程x2＋x＋c＝0有实数解，
该命题的逆命题“若方程x2＋x＋c＝0有实数解，则c<0”是假命题；
若c<0，则Δ＝1－4c>0，命题“若c<0，则方程x2＋x＋c＝0有实数解”是真命题，故其逆否命题是真命题．
4．已知一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题，在这四个命题中(　B　)
A．真命题个数一定是奇数
B．真命题个数一定是偶数
C．真命题个数可能是奇数，也可能是偶数
D．以上判断都不对
[解析]　因为原命题是真命题，则它的逆否命题一定是真命题，一个命题的逆命题是真命题，则它的否命题一定是真命题，故选B．
0?0?5.对于实数a、b、c，下列命题中是真命题的是(　B　)
A．若a>b，则ac>bc
B．若ac2>bc2，则a>b
C．若a>b，则ac2>bc2
D．若a>b，则<
[解析]　∵ac2>bc2，∴c2>0，∴a>b.
6．有下列四个命题：
(1)“若x＋y＝0，则x、y互为相反数”的否命题；
(2)“对顶角相等”的逆命题；
(3)“若x≤－3，则x2－x－6>0”的否命题；
(4)“直角三角形的两锐角互为余角”的逆命题．
其中真命题的个数是(　B　)
A．0
B．1　
C．2
D．3
[解析]　(1)“若x＋y≠0，则x与y不是相反数”是真命题．
(2)“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”是假命题．
(3)原命题的否命题是“若x>－3，则x2－x－6≤0”，解不等式x2－x－6≤0可得－2≤x≤3，当x＝4时，x>－3而x2－x－6＝6>0，故是假命题．
(4)“若一个三角形的两锐角互为余角，则这个三角形是直角三角形”，真命题．
二、填空题
7．命题“若x＝3，y＝5，则x＋y＝8”的逆命题是__逆命题：若x＋y＝8，则x＝3，y＝5___；否命题是__否命题：若x≠3或y≠5，则x＋y≠8___，逆否命题是__逆否命题：x＋y≠8，则x≠3或y≠5___.
8．命题“若a>b，则2a>2b”的否命题是__若a≤b，则2a≤2b___，为__真___(填“真”或“假”)命题.
[解析]　指数函数y＝2x在R上为增函数，所以其否命题为真．
三、解答题
9．写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题．
(1)如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直于这个平面；
(2)如果x>10，那么x>0；
(3)当x＝2时，x2＋x－6＝0.
[解析]　(1)逆命题：如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的两条相交直线；
否命题：如果一条直线不垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线不垂直于这个平面；
逆否命题：如果一条直线不垂直于一个平面，那么这条直线不垂直于这个平面内的两条相交直线．
(2)逆命题：如果x>0，那么x>10；
否命题：如果x≤10，那么x≤0；
逆否命题：如果x≤0，那么x≤10.
(3)逆命题：如果x2＋x－6＝0，那么x＝2；
否命题：如果x≠2，那么x2＋x－6≠0；
逆否命题：如果x2＋x－6≠0，那么x≠2.
B级　素养提升
一、选择题
1．命题“如果a、b都是奇数，则ab必为奇数”的逆否命题是(　B　)
A．如果ab是奇数，则a、b都是奇数
B．如果ab不是奇数，则a、b不都是奇数
C．如果a、b都是奇数，则ab不是奇数
D．如果a、b不都是奇数，则ab不是奇数
[解析]　命题“如果a、b都是奇数，则ab必为奇数”的逆否命题是“如果ab不是奇数，则a、b不都是奇数”．
2．若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s、p的逆命题为t，则s是t的(　C　)
A．逆否命题
B．逆命题
C．否命题
D．原命题
[解析]　解法一：特例：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，
p：若∠A＝∠B，则a＝b，
r：若∠A≠∠B，则a≠b，
s：若a≠b，则∠A≠∠B，
t：若a＝b，则∠A＝∠B.故s是t的否命题．
解法二：如图可知，s与t互否．
3．命题：“若a2＋b2＝0(a、b∈R)，则a＝0且b＝0”的逆否命题是(　D　)
A．若a≠b≠0(a、b∈R)，则a2＋b2≠0
B．若a＝b≠0(a、b∈R)，则a2＋b2≠0
C．若a≠0且b≠0(a、b∈R)，则a2＋b2≠0
D．若a≠0或b≠0(a、b∈R)，则a2＋b2≠0
[解析]　命题中的条件及结论的否定分别是a2＋b2≠0，a≠0或b≠0(a、b∈R)，所以命题的逆否命题是“若a≠0或b≠0(a、b∈R)，则a2＋b2≠0”．
4．(2016·山东济南高二检测)原命题“圆内接四边形是等腰梯形”，则下列说法正确的是(　C　)
A．原命题是真命题
B．逆命题是假命题
C．否命题是真命题
D．逆否命题是真命题
[解析]　原命题可改写为：若一个四边形是圆内接四边形，则该四边形是等腰梯形，为假命题；逆命题为：若一个四边形是等腰梯形，则该四边形是圆内接四边形，是真命题；原命题的否命题是真命题，逆否命题为假命题，故选C．
5．给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是(　C　)
A．3
B．2　
C．1
D．0
[解析]　由题意，知原命题为真命题，则逆否命题为真命题．
逆命题为“若函数y＝f(x)的图象不过第四象限，则函数y＝f(x)是幂函数”．若f(x)＝3x2，假命题．则否命题也为假命题．
二、填空题
6．(2016·山东枣庄高二检测)有下列三个命题：
①“全等三角形的面积相等”的否命题；
②“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆命题；
③“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题．
其中所有真命题的序号为__②___.
[解析]　命题①可考虑“全等三角形的面积相等”的逆命题：“面积相等的三角形是全等三角形”，是假命题，因此命题①是假命题；命题②是“若x2＋2x＋q＝0有实根，则q≤1”，是真命题；命题③是假命题．
7．已知命题“若m－1[解析]　由已知得，若1∴，∴1≤m≤2.
8．已知p(x)：x2＋2x－m>0，若p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值范围为__[3,8)___.
[解析]　因为p(1)是假命题，所以1＋2－m≤0，解得m≥3；又p(2)是真命题，所以4＋4－m>0，解得m<8.故实数m的取值范围是[3,8)．
C级　能力提高
1．(2016·山东菏泽高二检测)设原命题为“已知a、b是实数，若a＋b是无理数，则a、b都是无理数”．写出它的逆命题、否命题和逆否命题，并分别说明它们的真假.
[解析]　逆命题：已知a、b为实数，若a、b都是无理数，则a＋b是无理数．
如a＝，b＝－，a＋b＝0为有理数，故为假命题．
否命题：已知a、b是实数，若a＋b不是无理数，则a、b不都是无理数．
由逆命题为假知，否命题为假．
逆否命题：已知a、b是实数，若a、b不都是无理数，则a＋b不是无理数．
如a＝2，b＝，则a＋b＝2＋是无理数，故逆否命题为假．
2．(2016·山西太原高二检测)在等比数列{an}中，前n项和为Sn，若Sm，Sm＋2，Sm＋1成等差数列，则am，am＋2，am＋1成等差数列.
(1)写出这个命题的逆命题、否命题、逆否命题；
(2)判断这个命题的逆命题何时为假，何时为真，并给出证明．
[解析]　(1)这个命题的逆命题是在等比数列{an}中，前n项和为Sn，若am，am＋2，am＋1成等差数列，则Sm，Sm＋2，Sm＋1成等差数列．
否命题是：在等比数列{an}中，前n项和为Sn，若Sm，Sm＋2，Sm＋1不成等差数列，则am，am＋2，am＋1不成等差数列．
逆否命题是：在等比数列{an}中，前n项和为Sn，若am，am＋2，am＋1不成等差数列，则Sm，Sm＋2，Sm＋1不成等差数列．
(2)设等比数列{an}的公比为q，则当q＝1时，这个命题的逆命题为假，证明如下：
易知am＝am＋2＝am＋1＝a1≠0，若am，am＋2，am＋1成等差数列，则Sm＋2－Sm＝2a1，Sm＋1－Sm＋2＝－a1，显然Sm＋2－Sm≠Sm＋1－Sm＋2.
当q≠1时，这个命题的逆命题为真，证明如下：
因为am＝a1qm－1，am＋2＝a1qm＋1，am＋1＝a1qm，
若am，am＋2，am＋1成等差数列，则a1qm－1＋a1qm＝2a1qm＋1，
即1＋q＝2q2，也就是1－q2＝q2－q，
又Sm＋2－Sm＝－＝，
Sm＋1－Sm＋2＝－
＝＝，
即Sm＋2－Sm＝Sm＋1－Sm＋2.
1.2　充分条件与必要条件
1.2.1　充分条件与必要条件
Q　
古代有一次考画师的题目是“深山藏古寺”，考生的画面上有的是崇山峻岭，松柏深处有座寺庙；有的是山峦之间露出寺庙的一角……而有一个考生的画面上只有起伏的山峦，密密的松林，一个和尚正从山脚下沿着一股小道担水上山，却没有寺庙．最后，这幅画被评为第一名．
和尚担水上山与深山古寺之间有什么逻辑关系呢？(如果有和尚担水上山，那么山里就有庙……)
X　
1．如果命题“若p，则q”为真，则记为__p?q___，“若p则q”为假，记为__p_q___.
2．如果已知p?q，则称p是q的__充分条件___，q是p的__必要条件___.
3．如果既有p?q，又有q?p，则p是q的__充要条件___，记为__p?q___.
4．如果pq且qp，则p是q的__既不充分也不必要条件___.
5．如果p?q且qp，则称p是q的__充分不必要___条件．
6．如果pq且q?p，则称p是q的__必要不充分___条件．
Y　
1．对任意实数a、b、c，在下列命题中，真命题是(　B　)
A．“ac>bc”是“a>b”的必要条件
B．“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件
C．“ac>bc”是“a>b”的充分条件
D．“ac＝bc”是“a＝b”的充分条件
[解析]　a＝b?ac＝bc.
即ac＝bc是a＝b的必要条件，故选B．
2．在下列横线上填上“充分”或“必要”.
(1)a>1是a>2的__必要___条件．
(2)a<1是a<2的__充分___条件．
3．(2016·四川文)设p：实数x、y满足x>1且y>1，q:
实数x、y满足x＋y>2，则p是q的(　A　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析]　若x>1且y>1，则有x＋y>2成立，所以p?q；反之由x＋y>2不能得到x>1且y>1.所以p是q的充分不必要条件．
4．(2016·北京昌平区高二检测)设点P(x，y)，则“x＝－3，y＝1”是“点P在直线l：x－y＋4＝0上”的(　A　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析]　由x＝－3，y＝1?x－y＋4＝0成立，而由x－y＋4＝0
x＝－3，y＝1成立，故选A．
5．(2015·湖南文)设x∈R，则“x>1”是“x3>1”的(　C　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析]　∵x>1，∴x3>1；又x3>1，则x3－1>0，(x－1)(x2＋x＋1)>0，∴x>1，∴“x>1”是“x3>1”的充要条件，选C．
H　
命题方向1　?充分条件的判断
典例1　下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？
(1)若x>1，则－3x<－3；
(2)若x＝1，则x2－3x＋2＝0；
(3)若f(x)＝－，则f(x)为减函数；
(4)若x为无理数，则x2为无理数；
(5)若l1∥l2，则k1＝k2.
[思路分析]　判断命题“若p，则q”的真假，从而判定p是否是q的充分条件．
[解析]　由定义知：若p?q(即原命题为真时)，则p是q的充分条件．易知(1)(2)(3)是真命题；当x＝时，x2＝2，所以(4)是假命题；当l1∥l2时，可能斜率都不存在，故(5)为假命题．即命题(1)(2)(3)中的p是q的充分条件．
『规律方法』　1.判断p是q的充分条件，就是判断命题“若p，则q”为真命题．
2．p是q的充分条件说明：有了条件p成立，就一定能得出结论q成立．但条件p不成立时，结论q未必不成立．
例如，当x＝2时，x2＝4成立，但当x≠2时，x2＝4也可能成立，即当x＝－2时，x2＝4也可以成立，所以“x＝2”是“x2＝4”成立的充分条件，“x＝－2”也是“x2＝4”成立的充分条件．
〔跟踪练习1〕
“a＋b>2c”的一个充分条件是(　D　)
A．a>c或b>c
B．a>c或bC．a>c且bD．a>c且b>c
[解析]　a>c且b>c?a＋b>2c，
a＋b>2ca>c且b>c，故选D．
命题方向2　?必要条件
典例2　下列命题中是真命题的是(　D　)
①“x>3”是“x>4”的必要条件；
②“x＝1”是“x2＝1”的必要条件；
③“a＝0”是“ab＝0”的必要条件；
④“函数f(x)的定义域关于坐标原点对称”是“函数f(x)为奇函数”的必要条件．
A．①②　
B．②③
C．②④　
D．①④
[思路分析]　根据必要条件的定义进行判断．
[解析]　x>4?x>3，故①是真命题；x＝1?x2＝1，x2＝1
x＝1，故②是假命题；a＝0?ab＝0，ab＝0
a＝0，故③是假命题；函数f(x)的定义域关于坐标原点对称
函数f(x)为奇函数，函数f(x)为奇函数?函数f(x)的定义域关于坐标原点对称，故④是真命题，∴选D．
『规律方法』　1.判断p是q的必要条件，就是判断命题“若q，则p”成立；
2．p是q的必要条件理解要点：
①有了条件p，结论q未必会成立，但是没有条件p，结论q一定不成立．
②如果p是q的充分条件，则q一定是p的必要条件．
真命题的条件是结论的充分条件；真命题的结论是条件的必要条件．假命题的条件不是结论的充分条件，但是有可能是必要条件．例如：命题“若p：x2＝4，则q：x＝－2”是假命题．p不是q的充分条件，但q?p成立，所以p是q的必要条件．
因此只有一个命题“若p，则q”是真命题时，才能说p是q的充分条件，q是p的必要条件．
3．推出符号“?”只有当命题“若p，则q”为真命题时，才能记作“p?q”．
〔跟踪练习2〕
(2016·安徽合肥高二检测)函数f(x)＝a－为奇函数的必要条件是__a＝1___.
[解析]　∵函数f(x)＝a－为奇函数，定义域为R.
∴f(0)＝0，即a－＝0，解得a＝1.
命题方向3　?充要条件
典例3　函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是(　A　)
A．m＝－2
B．m＝1
C．m＝－1
D．m＝1
[解析]　∵f(x)＝x2＋mx＋1的图象的对称轴为x＝－，∴－＝1，∴m＝－2，故选A．
『规律方法』　1.充要条件
一般地，如果有p?q，那么p是q的充分条件；如果还有q?p，那么p又是q的必要条件，则称p是q的充要条件．显然p和q能互相推出，所以q也是p的充要条件．记为：p?q(“?”表示p与q等价)．
2．充分条件、必要条件、充要条件与命题的真假之间关系：
条件p与结论q关系
结论
p?q，但qp
p是q成立的充分不必要条件
q?p，但pq
p是q成立的必要不充分条件
p?q，q?p，即p?q
p是q成立的充要条件
pq，qp
p是q成立的既不充分也不必要条件
〔跟踪练习3〕
在平面直角坐标系xOy中，直线x＋(m＋1)y＝2－m与直线mx＋2y＝－8互相垂直的充要条件是m＝__－___.
[解析]　x＋(m＋1)y＝2－m与mx＋2y＝－8互相垂直?1·m＋(m＋1)·2＝0?m＝－.
命题方向4　?充要条件的证明
典例4　求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.
[思路分析]　第一步，审题，分清条件与结论：
“p是q的充要条件”中p是条件，q是结论；“p的充要条件是q”中，p是结论，q是条件．本题中条件是“a＋b＋c＝0”，结论是“关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1”．
第二步，建联系确定解题步骤．
分别证明“充分性”与“必要性”
先证充分性：“条件?结论”；再证必要性：“结论?条件”．
第三步，规范解答．
[解析]　必要性：∵关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，
∴x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0.
∴a×12＋b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.
充分性：
∵a＋b＋c＝0，∴c＝－a－b，代入方程ax2＋bx＋c＝0中可得ax2＋bx－a－b＝0，即(x－1)(ax＋a＋b)＝0.
因此，方程有一个根为x＝1.
故关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.
〔跟踪练习4〕
(2016·山东济南高二检测)已知ab≠0，证明：a＋b＝1成立的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.
[解析]　充分性：
若a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，则
(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0，
∴(a＋b－1)[(a－)2＋b2]＝0，
由ab≠0，得a＋b－1＝0，
∴a＋b＝1，充分性得证．
必要性：
若a＋b＝1，则由以上对充分性的证明知a3＋b3＋ab－a2－b2＝(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0，
故必要性得证．
综上可知，a＋b＝1成立的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.
Y　　忽视隐含条件致误
典例5　在△ABC中，A、B、C分别为三角形三边所对的角，则“A>B”是“sin
A>sin
B”的(　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[错解]　A>Bsin
A>sin
B，如：
A＝150°，B＝60°；sin
A>sin
B
A>B，
如：sin
45°>sin
150°
45°>120°，故选D．
[错解分析]　错解的原因是忽视了A、B是△ABC的内角这一条件.
[正解分析]　A＋B<180°且A，B是△ABC的内角．
[正解]　在△ABC中，设角A、B所对的边分别为a、b，则A>B?a>b?2Rsin
A>2Rsin
B(其中R为△ABC外接圆的半径)?sin
A>sin
B，故选C．
〔跟踪练习5〕
(2015·北京高考)设a，b是非零向量，“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的(　A　)
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析]　a·b＝|a||b|cos〈a，b〉∴cos＝1，∴＝0，∴a∥b.而当a∥b时，〈a，b〉还可能是π，此时a·b＝－|a|·|b|，故“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的充分而不必要条件．
X　　求参数的值或取值范围的关键
先合理转化条件，常通过有关性质、定理、图象将恒成立问题和有解问题转化为最值问题等，得到关于参数的方程或不等式(组)，再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或取值范围．
典例6　已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围.
[解析]　由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，
∴P＝{x|－2≤x≤10}，
由x∈P是x∈S的必要条件，知S?P.
则∴0≤m≤3.
所以当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，
即所求m的取值范围是[0,3]．
『规律方法』　先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．
注意：把充分条件或必要条件转化为集合间的关系后，集合端点处的等号易错．
K　
1．设x∈R，则x>的一个必要条件是(　A　)
A．x>
B．x<1　
C．x>2
D．x<2
2．若a∈R，则“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的(　A　)
A．充分条件
B．必要条件
C．既不是充分条件，也不是必要条件
D．无法判断
3．设向量a＝(2，x－1)，b＝(x＋1,4)，则“x＝3”是“a∥b”的(　A　)
A．充分条件
B．必要条件
C．既不是充分条件，又不是必要条件
D．无法判断
4．从“充分条件”“必要条件”中选出适当的一种填空：
(1)“ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根”是“ac<0”的__必要条件___.
(2)“△ABC≌△A′B′C′”是“△ABC∽△A′B′C′”的__充分条件___.
5．判断命题p：|x－2|≤5是q：x≥－1或x≤5的什么条件，说明理由.
[解析]　p是q的充分条件．
因为p：|x－2|≤3的解集为P＝{x|－3≤x≤7}；
q：x≥－1或x≤5就是实数集R.
所以P?R，也就是p?q，
故p是q的充分条件．
A级　基础巩固
一、选择题
1．设x∈R，则x>2的一个必要不充分条件是(　A　)
A．x>1
B．x<1　
C．x>3
D．x<3
[解析]　首先要分清“条件p”(此题中是选项A或B或C或D)和“结论q”(此题中是“x>2”)，p是q的必要不充分条件，即p不能推出q且q?p，显然只有A满足．
2．下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的充分条件的是(　A　)
A．若＝，则x＝y
B．若x2＝1，则x＝1
C．若x＝y，则＝
D．若x[解析]　B项中，x2＝1?x＝1或x＝－1；C项中，当x＝y<0时，，无意义；D项中，当xy2，所以B，C，D中p不是q的充分条件．
3．(2016·福建厦门高二检测)下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的充分条件的命题个数为(　B　)
①若f(x)是周期函数，则f(x)＝sin
x；
②若x>5，则x>2；
③若x2－9＝0，则x＝3.
A．0
B．1　
C．2
D．3
[解析]　①中，周期函数还有很多，如y＝cos
x，所以①中p不是q的充分条件；很明显②中p是q的充分条件；③中，当x2－9＝0时，x＝3或x＝－3，所以③中p不是q的充分条件．所以p是q的充分条件的命题个数为1，故选B．
4．(2016·广西南宁高二检测)“x(2x－1)＝0”是“x＝0”的(　B　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析]　由x(2x－1)＝0，得x＝0或x＝，故x(2x－1)
x＝0一定成立，而x＝0?x(2x－1)＝0成立，
∴“x(2x－1)＝0”是“x＝0”的必要不充分条件．
5．“a＝－2”是“直线l1：(a＋1)x＋y－2＝0与直线l2：ax＋(2a＋2)y＋1＝0互直垂直”的(　A　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析]　由l1⊥l2，得a(a＋1)＋2a＋2＝0，解得a＝－1或a＝－2，故选A．
6．(2016·天津文)设x>0，y∈R，则“x>y”是“x>|y|”的(　C　)
A．充要条件
B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件
D．既不充分也不必要条件
[解析]　由x>y推不出x>|y|，由x>|y|能推出x>y，所以“x>y”是“x>|y|”的必要而不充分条件．
二、填空题
7．已知p：x＝3，q：x2＝9，则p是q的__充分不必要___条件．(填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要)
[解析]　x＝3?x2＝9，x2＝9
x＝3，
故p是q的充分不必要条件．
8．已知a、b是实数，则“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的__充要___条件.
[解析]　a>0且b>0?a＋b>0且ab>0，a＋b>0且ab>0?a>0且b>0，故填充要．
三、解答题
9．下列各题中，p是q的什么条件？
(1)p：x＝1；　q：x－1＝；
(2)p：－1≤x≤5；　q：x≥－1且x≤5；
(3)p：三角形是等边三角形；
q：三角形是等腰三角形．
[解析]　(1)充分不必要条件
当x＝1时，x－1＝成立；
当x－1＝时，x＝1或x＝2.
(2)充要条件
∵－1≤x≤5?x≥－1且x≤5.
(3)充分不必要条件
∵等边三角形一定是等腰三角形，而等腰三角形不一定都是等边三角形．
B级　素养提升
一、选择题
1．(2015·北京理)设α、β是两个不同的平面，m是直线且m?α，“m∥β”是“α∥β”的(　B　)
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析]　由面面平行的判定定理可知，由m∥β
α∥β，故充分性不成立；而α∥β?m∥β，必要性成立．
2．(2016·重庆八中高二检测)已知命题p：x＋y＝－2；命题q：x、y都等于－1，则p是q的(　B　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析]　x＋y＝－2
x＝－1，y＝－1；x＝－1，y＝－1?x＋y＝－2，故p是q的必要不充分条件．
3．(2016·山东潍坊高二期中)命题甲：“x≠2或y≠3”是命题乙：“x＋y≠5”的(　C　)
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
[解析]　若x≠2或y≠3时，如x＝1，y＝4，
则x＋y＝5，即x＋y≠5不成立，故命题甲：x≠2或y≠3?命题乙：x＋y≠5为假命题；若x＝2，y＝3成立，则x＋y＝5一定成立，即x＝2，y＝3?x＋y＝5为真命题，根据互为逆否命题真假性相同，故命题乙：x＋y≠5?命题甲：x≠2或y≠3也为真命题．故甲是乙的必要不充分条件．
4．“a＝1”是“函数f(x)＝x2－4ax＋3在区间[2，＋∞)上为增函数”的(　B　)
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析]　由函数f(x)＝x2－4ax＋3在区间[2，＋∞)上为增函数，得2a≤2，即a≤1，故选B．
5．若p：|x|＝x，q：x2＋x≥0，则p是q的(　A　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析]　设p：{x||x|＝x}＝{x|x≥0}＝A，
q：{x|x2＋x≥0}＝{x|x≥0或x≤－1}＝B，
∵A?B，
∴p是q的充分不必要条件．故选A．
二、填空题
6．下列不等式：①
x<1；②
0[解析]　由于x2<1，即－17．“k>4，b<5”是“一次函数y＝(k－4)x＋b－5的图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴”的__充要___条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)
[解析]　当k>4，b<5时，函数y＝(k－4)x＋b－5的图象如图所示．
由一次函数y＝(k－4)x＋b－5的图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴时，即x＝0，y＝b－5<0，∴b<5.
当y＝0时，x＝>0，
∵b<5，∴k>4.故填“充要”．
8．命题p：sin
α＝sin
β，命题q：α＝β，则p是q的__必要不充分___条件.
[解析]　sin
α＝sin
β
α＝β，α＝β?sin
α＝sin
β，故填必要不充分．
C级　能力提高
1．指出下列各组命题中，p是q的什么条件.
(用“充分条件”或“必要条件”作答)
(1)向量a＝(x1，y1)、b＝(x2，y2)，p：＝，q：a∥b；
(2)p：|x|＝|y|，q：x＝－y；
(3)p：直线l与平面α内两条平行直线垂直，q：直线l与平面α垂直；
(4)f(x)、g(x)是定义在R上的函数，h(x)＝f(x)＋g(x)，p：f(x)、g(x)均为偶函数，q：h(x)为偶函数．
[解析]　(1)由向量平行公式可知：p?q，
但当b＝0时，a∥b不能推出＝，即q不能推出p，
∴p是q的充分条件．
(2)∵|x|＝|y|?x＝±y，∴p不能推出q，但q?p，
∴p是q的必要条件．
(3)由线面垂直的判定定理可知：p不能推出q，但由线面垂直的定义可知：q?p，∴p是q的必要条件．
(4)若f(x)、g(x)均为偶函数，则h(－x)＝f(－x)＋g(－x)＝f(x)＋g(x)＝h(x)，∴p?q，但q不能推出p，∴p是q的充分条件．
2．求证：关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个负实根的充要条件是m≥2.
[解析]　(1)充分性：∵m≥2，∴Δ＝m2－4≥0，方程x2＋mx＋1＝0有实根，
设x2＋mx＋1＝0的两根为x1、x2，
由韦达定理知：x1x2＝1>0，∴x1、x2同号，
又∵x1＋x2＝－m≤－2，∴x1、x2同为负根．
(2)必要性：∵x2＋mx＋1＝0的两个实根x1，x2均为负，且x1·x2＝1，
需Δ＝m2－4≥0且x1＋x2＝－m<0，即m≥2.
综上可知，命题成立．
1.2.2　充要条件习题课
Q　
某居民的卧室里安有一盏灯，在卧室门口和床头各有一个开关，任意一个开关都能够独立控制这盏灯，这就是电器上常用的“双刀”开关．A开关闭合时B灯一定亮吗？B灯亮时A开关一定闭合吗？
X　
1．x<13是x<5的__必要不充分___条件．
2．x>2是x2－3x＋2>0的__充分不必要___条件．
3．设与命题p对应的集合为A＝{x|p(x)}，与命题q对应的集合为B＝{x|q(x)}，
若A?B，则p是q的__充分___条件，q是p的__必要___条件；
若A＝B，则p是q的__充要___条件．
若A?B，则p是q的__充分不必要___条件．q是p的__必要不充分___条件．
若AB，则p不是q的__充分___条件，q不是p的__必要___条件．
4．p是q的充要条件是说，有了p成立，就__一定有___q成立．p不成立时，__一定有___q不成立．
Y　
1．已知p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，那么p是q的(　A　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
[解析]　图示法：peq
\o(\s\up7(?),\s\do5())
r?s?q，
故q
p，否则q?p?r?q?p，则r?p，故选A．
2．已知a、b、c为同一平面内的非零向量，甲：a·b＝a·c，乙：b＝c，则(　B　)
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
[解析]　a·b＝a·c?a·(b－c)＝0
b＝c，而b＝c?a·(b－c)＝0，则甲是乙的必要不充分条件，故选B．
3．(2015·安徽文)设p：x<3，q：－1A．充分必要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
[解析]　若－14．“lgx>lgy”是“>”的__充分不必要___条件.
[解析]　由lgx>lgy?x>y>0?>，充分条件成立．
又由>成立，当y＝0时，lgx>lgy不成立，必要条件不成立．
5．(2016·山东昌平高二检测)已知条件p：A＝{x|x2－(a＋1)x＋a≤0}，条件q：B＝{x|x2－3x＋2≤0}，当a为何值时，
(1)p是q的充分不必要条件；
(2)p是q的必要不充分条件；
(3)p是q的充要条件．
[解析]　A＝{x|x2－(a＋1)x＋a≤0}＝{x|(x－1)(x－a)≤0}，B＝{x|x2－3x＋2≤0}＝{x|1≤x≤2}，
(1)因为p是q的充分不必要条件，所以A?B，而当a＝1时，A＝{1}，显然成立，当a>1，A＝[1，a]，需1综上可知1≤a<2时，p是q的充分不必要条件．
(2)因为p是q的必要不充分条件，所以B?A，
故A＝[1，a]，且a>2，
所以a>2时，p是q的必要不充分条件．
(3)因为p是q的充要条件，所以A＝B，故a＝2.
H　
命题方向1　?利用图示法进行充分、必要条件判断
典例1　已知p、q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件．那么：
(1)s是q的__充要___条件？
(2)r是q的__充要___条件？
(3)p是q的__必要___条件？
[解析]　根据题意得关系图，如图所示．
(1)由图知：∵q?s，s?r?q，
∴s是q的充要条件．
(2)∵r?q，q?s?r，
∴r是q的充要条件．
(3)∵q?s?r?p，
∴p是q的必要条件．
『规律方法』　对于多个有联系的命题(或两个命题的关系是间接的)，常常作出它们的有关关系图表，根据定义，用“?”、“?”、“?”建立它们之间的“关系链”，直观求解，称作图示法．
〔跟踪练习1〕
已知p是r的充分条件而不是必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，现有下列命题：
①s是q的充要条件；
②p是q的充分条件而不是必要条件；
③r是q的必要条件而不是充分条件；
④r是s的充分条件而不是必要条件．
则正确命题的序号是(　B　)
A．①④
B．①②
C．②③④
D．②④
[解析]　由题意知，
故①②正确；③④错误．
命题方向2　?利用集合法进行充分、必要条件的判断
典例2　设p、q是两个命题，p：
(|x|－3)>0，q：x2－x＋>0，则p是q的(　A　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[思路分析]　p、q都是不等式的解集，解不等式可得其解集，利用集合之间的子集关系即可判断出p是q的什么条件．
[解析]　由
(|x|－3)>0得，0<|x|－3<1，
∴3<|x|<4，∴3由x2－x＋>0得x<或x>，
显然(3,4)∪(－4，－3)?(－∞，)∪(，＋∞)，
∴p是q的充分不必要条件．故选A．
『规律方法』　如果条件p与结论q是否成立都与数集有关(例如方程、不等式的解集、参数的取值范围等)，常利用集合法来分析条件的充分性与必要性，将充要条件的讨论转化为集合间的包含关系讨论，可借助数轴等工具进行．
〔跟踪练习2〕
设命题甲为0A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析]　由|x－2|<3得－1令A＝{x|0∴A?B，∴甲是乙的充分不必要条件．
命题方向3　?利用充要性求参数范围
典例3　(2016·天津高二检测)已知p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a<0；q：实数x满足x2－x－6≤0或x2＋2x－8>0，且p是q的充分条件，求a的取值范围.
[思路分析]　先分别求出命题p、q中x的取值范围，再探求符合条件的a的取值范围．
[解析]　p：由x2－4ax＋3a2<0，其中a<0得，3aq：由x2－x－6≤0或x2＋2x－8>0，得x<－4或x≥－2.
∵p是q的充分条件，
∴a≤－4或，
∴a≤－4或－≤a<0.
综上可知a的取值范围是a≤－4或－≤a<0.
『规律方法』　利用条件的充要性求解参数问题，关键是将条件属性转化为适当的解题思路，如数集类问题，一般是将条件属性转化为集合包含关系，借助数轴列出不等式(组)，从而求解．
〔跟踪练习3〕
已知p：－1≤≤3，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
[解析]　由p：－1≤≤3得－2≤x≤10，
由q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)得－m≤x－1≤m，
∴1－m≤x≤1＋m.
∵p是q的必要不充分条件，
∴，∴m≤3，
又∵m>0，∴0Y　　转化要保持等价性
典例4　已知方程x2－2(m＋2)x＋m2－1＝0有两个大于2的根，试求实数m的取值范围.
[错解]　由于方程x2－2(m＋2)x＋m2－1＝0有两个大于2的根，设这两个根为x1、x2，则有
，解得m>.
所以当m∈(，＋∞)时，方程x2－2(m＋2)x＋m2－1＝0有两个大于2的根．
[错解分析]　若x1>2，x2>2，则有，成立；
但若，则不一定有x1>2，x2>2成立，
即，是x1>2，x2>2的必要不充分条件．
[正解分析]　，才是x1>2，x2>2的充要条件．
[正解]　由于方程x2－2(m＋2)x＋m2－1＝0有两个大于2的根，设这两个根为x1、x2，则有
，
结合，解得m>5.
所以m的取值范围为(5，＋∞)．
〔跟踪练习4〕
已知集合A＝{x|x2－4mx＋2m＋6＝0}，B＝{x|x<0}，若命题“A∩B＝?”是假命题，求实数m的取值范围．
[解析]　因为“A∩B＝?”是假命题，所以A∩B≠?.
设全集U＝{m|Δ＝(－4m)2－4(2m＋6)≥0}，则U＝.
假设方程x2－4mx＋2m＋6＝0的两根x1，x2均非负，则有即
解得m≥.
又集合关于全集U的补集是{m|m≤－1}．
所以实数m的取值范围是(－∞，－1]．
X　　数学中的等价转化
1．证明充要条件一般应分两个步骤，即分别证明“充分性”和“必要性”这两个方面．解题时要避免将充分性当作必要性来证明的错误，这就需要分清条件与结论，若“条件”?“结论”，即是证明充分性，若“结论”?“条件”，即是证明必要性．
2．等价法：就是从条件开始，逐步推出结论，或者是从结论开始，逐步推出结论，或者是从结论开始，逐步推出条件，但是每一步都是可逆的，即反过来也能推出，仅作说明即可，必要性(或者充分性)可以不再重复证明．
典例5　(2014·哈尔滨模拟)已知数列{an}的前n
项和Sn＝aqn＋b(a≠0，q是不等于0和1的常数)，求证：数列{an}为等比数列的充要条件是a＋b＝0.
[解析]　(1)先证充分性：
∵a＋b＝0，∴Sn＝aqn＋b＝aqn－a，
当n＝1时，a1＝S1＝aq－a；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(aqn－a)－(aqn－1－a)
＝a(q－1)·qn－1(n≥2)．
∴a1＝aq－a，a2＝aq2－aq，
∴＝＝q，且＝＝q，n≥2.
故数列{an}是公比为q的等比数列．
(2)再证必要性：
∵数列{an}为等比数列，
∴Sn＝＝－qn.
∵Sn＝aqn＋b，∴a＝－，b＝，∴a＋b＝0.
故数列{an}为等比数列的充要条件是a＋b＝0.
『规律方法』　有关充要条件的证明问题，要分清哪个是条件，哪个是结论，由“条件”?“结论”是证命题的充分性，由“结论”?“条件”是证命题的必要性．证明分为两个环节：一是充分性；二是必要性，证明时，不要认为它是推理过程的“双向书写”，而应该进行由条件到结论，由结论到条件的两次证明．
K　
1．设x∈R，则“x>1”是“x2>1”的(　A　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么
(　A　)
A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件
B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件
C．丙是甲的充要条件
D．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件
3．(2016·温州高二检测)在△ABC中，“A>60°”是“sin
A>”的
(　B　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．已知a，b，c，d为实数，且c>d，则“a>b”是“a－c>b－d”的
(　B　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．下列各题中，p是q的什么条件？说明理由.
(1)p：a2＋b2＝0；q：a＋b＝0.
(2)p：a≤－2或a≥2；q：方程x2＋ax＋a＋3＝0有实根．
(3)p：圆x2＝y2＝r2与直线ax＋by＋c＝0相切；q：c2＝(a2＋b2)r2.
[解析]　(1)因为a2＋b2＝0?a＋b＝0，a＋b＝0a2＋b2＝0，
所以p是q的充分不必要条件．
(2)当a≤－2或a≥2时，如a＝3，则方程x2＋3x＋6＝0无实根，而x2＋ax＋a＋3＝0有实根时，Δ≥0，得a≤－2或a≥6，可推出a≤－2或a≥2.所以p是q的必要不充分条件．
(3)若圆x2＋y2＝r2与直线ax＋by＋c＝0相切，圆心到直线ax＋by＋c＝0的距离等于r，即r＝，从而c2＝(a2＋b2)·r2，反之，也成立．所以p是q的充要条件．
A级　基础巩固
一、选择题
1．(2016·甘肃通渭县高二检测)设p：11，则p是q成立的(　A　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析]　∵11，
而
2x>1
12．一次函数y＝－x＋的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是(　B　)
A．m>1，n<－1
B．mn<0
C．m>0，n<0
D．m<0，n<0
[解析]　先找出原条件的等价条件，因为此一次函数过第一、三、四象限，所以?从而A，B，C，D中只有B满足题意．
3．“x>1”是“(x＋2)<0”的(　B　)
A．充要条件
B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件
D．既不充分也不必要条件
[解析]　
(x＋2)<0＝1，∴x＋2>1
即x>－1，而x>1?x>－1，反之不然．故选B．
4．(2018·浙江，6)已知平面α，直线m，n满足m?α，n?α，则“m∥n”是“m∥α”的(　A　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析]　∵
若m?α，n?α，且m∥n，则一定有m∥α，
但若m?α，n?α，且m∥α，则m与n有可能异面，
∴
“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件．
故选A．
5．已知平面向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，则“m＝1”是“(a－mb)⊥a”的(　C　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析]　∵|a|＝1，|b|＝2，〈a，b〉＝60°，∴a·b＝1×2×cos60°＝1，(a－mb)⊥a?(a－mb)·a＝0?|a|2－ma·b＝0?m＝1，故选C．
6．下列四个条件中，使a>b成立的充分而不必要的条件是(　A　)
A．a>b＋1
B．a>b－1
C．a2>b2
D．a3>b3
[解析]　∵a>b＋1?a－b>1?a－b>0?a>b，
∴a>b＋1是a>b的充分条件．
又∵a>b?a－b>0a>b＋1，
∴a>b＋1不是a>b的必要条件，
∴a>b＋1是a>b成立的充分而不必要条件．
二、填空题
7．若条件p：(x＋1)2>4，条件q：x2－5x＋6<0，则q是p的__充分不必要___条件.
[解析]　因为(x＋1)2>4，所以x<－3或x>1.又x2－5x＋6<0，所以28．已知数列{an}，那么“对任意的n∈N＋，点Pn(n，an)，都在直线y＝2x＋1上”是“{an}为等差数列”的__充分不必要___条件.
[解析]　点Pn(n，an)都在直线y＝2x＋1上，即an＝2n＋1，∴{an}为等差数列，
但是{an}是等差数列却不一定就是an＝2n＋1.
三、解答题
9．(2016·山东济南高二检测)指出下列各题中p是q的什么条件.
(1)p：x－2＝0；q：(x－2)(x－3)＝0；
(2)p：两个三角形相似；q：两个三角形全等；
(3)p：m<－2；q：方程x2－x－m＝0无实根；
(4)p：一个四边形是矩形；q：四边形的对角线相等．
[解析]　(1)因为x－2＝0?(x－2)(x－3)＝0，
而(x－2)(x－3)＝0
x－2＝0，
所以p是q的充分不必要条件．
(2)因为两个三角形相似两个三角形全等，
而两个三角形全等?两个三角形相似，
所以p是q的必要不充分条件．
(3)因为m<－2?方程x2－x－m＝0无实根，
而方程x2－x－m＝0无实根
m<－2，
所以p是q的充分不必要条件．
(4)因为矩形的对角线相等，所以p?q.
而对角线相等的四边形不一定是矩形，所以q
p.
所以p是q的充分不必要条件．
B级　素养提升
一、选择题
1．设{an}是等比数列，则“a1A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析]　若a10，则q>1，此时为递增数列，若a1<0，则02．若命题甲是命题乙的充分不必要条件，命题丙是命题乙的必要不充分条件，命题丁是命题丙的充要条件，则命题丁是命题甲的(　B　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
[解析]　由条件知，甲?乙?丙?丁，
∴甲?丁且丁甲，故选B．
3．(2018·天津文，3)设x∈R，则“x3>8”是“|x|>2”的(　A　)
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析]　由x3>8?x>2?|x|>2，反之不成立，
故“x3>8”是“|x|>2”的充分不必要条件．
故选A．
4．设四边形ABCD的两条对角线为AC、BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的(　A　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析]　菱形的对角线互相垂直，对角线互相垂直的四边形不一定是菱形．故选A．
5．函数f(x)＝有且只有一个零点的充分不必要条件是(　A　)
A．a<0
B．0C．D．a≤0或a>1
[解析]　因为函数f(x)过点(1,0)，所以函数f(x)有且只有一个零点?函数y＝－2x＋a(x≤0)没有零点?函数y＝2x(x≤0)与直线y＝a无交点．数形结合可得，a≤0或a>1，即函数f(x)有且只有一个零点的充要条件是a≤0或a>1，应排除D；当0二、填空题
6．“a＝b”是“直线y＝x＋2与圆(x－a)2＋(y－b)2＝2相切”的__充分不必要___条件.
[解析]　圆心为(a，b)，半径r＝.若a＝b，有圆心(a，b)到直线y＝x＋2的距离d＝r，所以直线与圆相切．若直线与圆相切，有＝，则a＝b或a－b＝－4，所以“a＝b”是“直线与圆相切”的充分不必要条件．
7．已知全集S，若p：A?B，q：?SB??SA，则p是q的__充要___条件.
[解析]　利用集合的图示法，如下图，
A?B??SB??SA，?SB??SA?A?B?S.
∴p是q的充分条件，也是必要条件，
即p是q的充要条件．
8．已知p：2x＋m>0，q：x2－4x>0，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围是__m≤－8___.
[解析]　p：x>－，q：x<0或x>4，由条件知p?q，
∴－≥4，∴m≤－8.
C级　能力提高
1．求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
[解析]　充分性：(由ac<0推证方程有一正根和一负根)
∵ac<0，
∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac>0，
∴方程一定有两不等实根，设为x1、x2，则x1x2＝<0，
∴方程的两根异号．
即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根.
必要性：(由方程有一正根和一负根，推证ac<0)，
∵方程有一正根和一负根，设为x1、x2，
则由根与系数的关系得x1x2＝<0，
即ac<0，
综上可知：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
2．(2016·浙江杭州高二检测)设p：，
q：x2＋y2>r2(x、y∈R，r>0)，若p是q的充分不必要条件，求实数r的取值范围.
[解析]　设A＝，
B＝{(x，y)|x2＋y2>r2，x、y∈R，r>0}．
如图，集合A表示的区域为图中阴影部分，集合B表示以原点为圆心、r为半径的圆的外部．
设原点到直线4x＋3y－12＝0的距离为d，
则d＝＝.
∵p是q的充分不必要条件，∴A?B，∴0∴实数r的取值范围是(0，)．
1.3　简单的逻辑联结词
1.3.1　且(and)
1.3.2　或(or)
Q　
要在某居民楼一楼与二楼的楼梯间安一盏灯，一楼和二楼各有一个开关，使得任意一个开关都能独立控制这盏灯，你能运用“或”、“且”的方法解决吗？
X　
1．一般地，用联结词“且”把命题p和q联结起来，就得到一个新命题，记作__p∧q___，读作__p且q___.
2．关于逻辑联结词“且”
(1)“且”的含义与日常语言中的“并且”、“及”、“和”相当，是连词“既……又……”的意思，二者须__同时___成立．
(2)从如图所示串联开关电路上看，当两个开关S1、S2__都闭合___时，灯才能亮；当两个开关S1、S2中一个不闭合或两个都不闭合时，灯都不会亮．
(3)从集合角度理解“且”即集合运算“__交___”．
设命题p：x∈A，命题q：x∈B，
则p∧q?x∈A，且x∈B?x∈(A∩B)．
(4)“p∧q”是这样的一个复合命题：当p、q都是真命题时，p∧q是__真___命题；当p、q两个命题中有一个命题是假命题时，p∧q是__假___命题．
3．一般地，用联结词“或”把命题p和q联结起来，就得到一个新命题，记作__p∨q___，读作__p或q___.
4．关于逻辑联结词“或”
(1)“或”的含义和日常语言中的“或者”相当．是“要么……要么……”的意义，二者中有__一个___成立即可．
(2)从并联开关电路上看，当两个开关S1、S2至少有一个闭合时，灯就亮，只有当两个开关S1和S2__都断开___时，灯才不会亮．
(3)从集合角度理解“或”即集合运算“__并___”．
设命题p：x∈A，命题q：x∈B，
则p∨q?x∈A，或x∈B?x∈(A∪B)．
(4)当p、q两个命题有一个命题是真命题时，p∨q是__真___命题；当p、q两个命题都是假命题时，p∨q是__假___命题．
逻辑联结词“或”与自然语言中的“或者”、“可能”相当，但自然语言中的“或者”有两种用法：一是“不可兼”的“或”；二是“可兼”的“或”，而我们仅研究可兼“或”在数学中的含义．
Y　
1．“xy≠0”是指(　A　)
A．x≠0且y≠0
B．x≠0或y≠0
C．x，y至少一个不为0
D．不都是0
[解析]　xy≠0当且仅当x≠0且y≠0.
2．(2016·贵州六盘水调研)已知命题“正方形的对角线互相垂直平分”，则(　D　)
A．该命题是假命题
B．该命题的条件是对角线互相垂直平分
C．该命题的逆否命题是假命题
D．该命题是“p∧q”形式的命题
[解析]　该命题是p∧q形式的命题，p：正方形的对角线互相垂直；q：正方形的对角形互相平分．
3．下列判断正确的是(　B　)
A．命题p为真命题，命题“p或q”不一定是真命题
B．命题“p且q”是真命题时，命题p一定是真命题
C．命题“p且q”是假命题，命题p一定是假命题
D．命题p是假命题，命题“p且q”不一定是假命题
[解析]　因为p、q都为真命题时，“p且q”为真命题．
4．由下列各组命题构成的新命题“p或q”、“p且q”都为真命题的是(　B　)
A．p：4＋4＝9，q：7>4
B．p：a∈{a，b，c}，q：{a}?{a，b，c}
C．p：15是质数，q：8是12的约数
D．p：2是偶数，q：2不是质数
[解析]　“p或q”“p且q”都为真，则p真q真，故选B．
5．(2016·山东青岛高二检测)将命题p：－1是方程x2＋4x＋3＝0的解，q：－3是方程x2＋4x＋3＝0的解，用联结词“或”联结得到的新命题为__－1或－3是方程x2＋4x＋3＝0的解___，其为__真___命题．(填“真”或“假”)
[解析]　由已知得“p∨q”为：－1或－3是方程x2＋4x＋3＝0的解；∵p、q均为真命题，∴p∨q为真．
H　
命题方向1　?命题的构成形式
典例1　分别指出下列命题的构成形式．
(1)小李是老师，小赵也是老师；
(2)1是合数或质数；
(3)他是运动员兼教练员；
(4)这些文学作品不仅艺术上有缺点，而且政治上有错误.
[思路分析]　本题考查命题的构成形式，是本节课的重点，也是以后学习的基础．
[解析]　(1)这个命题是“p且q”的形式，其中，p：小李是老师；q：小赵是老师．
(2)这个命题是“p或q”的形式，其中，p：1是合数；q：1是质数．
(3)这个命题是“p且q”的形式，其中，p：他是运动员；q：他是教练员．
(4)这个命题是“p且q”的形式，其中，p：这些文学作品艺术上有缺点；q：这些文学作品政治上有错误．
『规律方法』　1.辨别复合命题的构成形式时，应根据组成复合命题的语句中所出现的逻辑联结词，或语句的意义确定复合命题的形式．
2．准确理解语义应注意抓住一些关键词．如“是…也是…”“兼”，“不但…而且…”，“既…又…”，“要么…，要么…”，“不仅…还…”等．
3．要注意数学中和生活中一些特殊表达方式和特殊关系式．
如a≥3是a>3或a＝3；xy＝0是x＝0或y＝0；x2＋y2＝0是x＝0且y＝0.
〔跟踪练习1〕
(2016·浙江绍兴高二检测)下列语句是命题吗？如果是命题，请指出命题的构成形式：
(1)向量既有大小又有方向；
(2)矩形有外接圆或内切圆；
(3)正弦函数y＝sin
x(x∈R)是奇函数或是周期函数．
[解析]　(1)是p∧q形式的命题．其中p：向量有大小，q：向量有方向．
(2)是p∨q形式的命题．其中p：矩形有外接圆，q：矩形有内切圆．
(3)是p∨q形式的命题．其中p：正弦函数y＝sin
x(x∈R)是奇函数，q：正弦函数y＝sin
x(x∈R)是周期函数．
命题方向2　?含有逻辑联结词的复合命题的写法
典例2　分别写出由下列各组命题构成的“p∧q”，“p∨q”形式的命题
(1)p：是无理数，q：大于1；
(2)p：N?Z，q：{0}?N；
(3)p：35是15的倍数，q：35是7的倍数．
[思路分析]　由题目可获取以下主要信息：
①给定两个命题p、q.
②写出由它构成的含有逻辑联结词的复合命题．
解答这类题目的关键是要正确地使用联结词，并注意语法上的要求．
[解析]　(1)p∧q：是大于1的无理数，
p∨q：是无理数或大于1.
(2)p∧q：N?Z且{0}?N，
p∨q：N?Z或{0}?N.
(3)p∧q：35是15与7的公倍数，
p∨q：35是15的倍数或是7的倍数．
『规律方法』　用逻辑联结词“且”、“或”联结两个命题时，关键是正确理解这些词语的意义及在日常生活中的同义词，选择合适的联结词，有时为了语法的要求及语句的通顺也可进行适当的省略和变形．
〔跟踪练习2〕
将下列命题用“且”“或”联结成新命题．
(1)p：三角形两边之和大于第三边，q：三角形两边之差小于第三边；
(2)p：函数y＝在(－∞，0)上递减，q：函数y＝在(0，＋∞)上递减．
[解析]　(1)p或q：三角形两边之和大于第三边或两边之差小于第三边；
p且q：三角形两边之和大于第三边且两边之差小于第三边．
(2)p或q：函数y＝在(－∞，0)或(0，＋∞)上递减；
p且q：函数y＝既在(－∞，0)上递减，又在(0，＋∞)上递减．
命题方向3　?含有逻辑联结词的命题真假的判断
典例3　指出下列命题的真假：
(1)48是16与12的公倍数；
(2)相似三角形的周长相等或对应角相等；
(3)有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形．
[解析]　(1)这个命题是“p∧q”的形式，其中p：48是16的倍数，是真命题；q：48是12的倍数，是真命题，所以“48是16与12的公倍数”是真命题．
(2)这个命题是“p∨q”的形式．其中p：相似三角形的周长相等，是假命题；q：相似三角形的对应角相等，是真命题，所以“相似三角形的周长相等或对应角相等”是真命题．
(3)是“p∧q”形式的命题，其中p：有两个内角是45°的三角形是等腰三角形；q：有两个内角是45°的三角形是直角三角形．“p∧q”是真命题．
『规律方法』　判断“p∧q”、“p∨q”形式复合命题真假的步骤：
第一步，确定复合命题的构成形式；
第二步，判断简单命题p、q的真假；
第三步，根据真值表作出判断．
注意：一真“或”为真，一假“且”为假．
〔跟踪练习3〕
指出下列各命题的构成形式并判断命题的真假．
(1)等腰三角形的顶角平分线垂直平分底边；
(2)4或3是15的约数；
(3)10≤10.
[解析]　(1)这一命题是“p且q”的形式．
其中p：等腰三角形的顶角平分线垂直于底边，
q：等腰三角形的顶角平分线平分底边．
因为p、q都是真命题，所以这一复合命题是一个真命题．
(2)是“p或q”形式的命题，其中p：4是15的约数；
q：3是15的约数．“p或q”为真命题．
(3)是“p或q”形式的命题，其中p：10＝10；q：10<10.“p或q”为真命题．
命题方向4　?求解含逻辑联结词命题中的参数
典例4　已知命题p：关于x的不等式|x－1|>m－1的解集为R，命题q：函数f(x)＝(5－2m)x是R上的增函数，若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围.
[思路分析]　第一步，审题：
审结论明确解题方向：“求实数m的取值范围”，应依据命题p∨q为真，p∧q为假建立关于m的不等式组求解．
审条件挖掘解题信息：由关于x的绝对值不等式|x－1|>m－1的解集为R，知m－1<0；由指数函数f(x)＝(5－2x)x为增函数知5－2m>1；由“p∨q”为真，p∧q为假结合真值表可得p、q的真假．
第二步，探求条件与结论之间的联系，确定解题突破口和解答步骤，先求p为真时m的取值范围，再求q为真时m的取值范围，然后由复合命题真假确定简单命题p、q的真假，并求m的相应取值范围，最后下结论．
第三步，规范解答．
[解析]　不等式|x－1|>m－1的解集为R，须m－1<0，即p是真命题时，m<1；
函数f(x)＝(5－2m)x是R上的增函数，须5－2m>1，即q是真命题时，m<2.
∵p或q为真命题，p且q为假命题，
∴p、q中一个为真命题，另一个为假命题．
(1)当p真，q假时，m<1且m≥2，此时无解；
(2)当p假，q真时，m≥1且m<2，此时1≤m<2，
因此1≤m<2.
『规律方法』　“p∧q”为真，则p真且q真；“p∧q”为假，则p、q至少一假；“p∨q”为真，则p、q至少一真；“p∨q”为假，则p、q都为假．
〔跟踪练习4〕
(2016·山东烟台高二检测)已知p：x2＋mx＋1＝0有两不相等的负实数根，q：方程4x2＋(4m－2)x＋1＝0无实数根．
(1)若p为真，求实数m的取值范围；
(2)若p为假q为真，求实数m的取值范围．
[解析]　(1)由题意，得，
解得m>2.
∴实数m的取值范围为(2，＋∞)．
(2)若q为真，Δ＝(4m－2)2－16<0，
解得－当p为假，q为真时，
有，
∴－综上可知实数m的取值范围为(－，)．
Y　　注意审题时隐含条件的发掘
典例5　已知a>0，设命题p：函数y＝ax在R上单调递增；命题q：不等式x2－ax＋1>0对x∈R恒成立．若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围.
[错解]　∵函数y＝ax在R上单调递增，
∴a>1，∴p：a>1.
∵不等式x2－ax＋1>0对x∈R恒成立，
∴Δ＝a2－4<0，
∴－2∴q：－2