5.3简单的轴对称图形（第一课时） 等腰三角形的性质(含解析）

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北师大版2020﹣2021学年度下学期七年级数学下册第五章生活中的轴对称
5.3
简单的轴对称图形
第一课时
等腰三角形的性质
【知识清单】
等腰三角形的性质：
1.等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴；
2.等腰三角形顶角的平分线、底边上的高、底边的中线重合(也称为“三线合一”)，它们所在的直线都是对称轴；
3.等腰三角形的两个底角相等；
【经典例题】
例题1、在等腰三角形中，两个内角的比为4:1，则顶角为(　　)
A.
22.5°
B.
C.45°或
D.
45°或
【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理．
【分析】题目给出了两个内角的比为3:2，由于等腰三角形的顶角和底角不确定，因此要分类讨论．
【解答】设两个内角的度数为3α，2α；
当底角为3α时，则3α+3α+2α=180°，∴α=22.5°，则顶角为45°；
当底角为2α时，则2α+2α+3α=180°，∴α=，则顶角为；
故选D．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理的应用；在已知中有比值出现时，往往是根据比值设出每一部分，再利用三角形的内角和定理求解，这是一种非常重要的方法，要注意掌握．分类讨论的应用是解答本题的关键．
例题2、如果等腰三角形的两边长是12cm和6cm，那么它的周长为______．
【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．?
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为12cm和6cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】当腰为6cm时，6+6=12，不能构成三角形，因此这种情况不成立．
当腰为12cm时，12?6<12<12+6，能构成三角形；
此时等腰三角形的周长为12+12+6=30cm．
故答案为：30cm．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将给定三个数相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．
【夯实基础】
1．下列图形中不是轴对称图形的是：
A．有一个角等于45°的直角三角形
B．有两个角分别等于39°和102°的三角形
C．有两个角相等的三角形
D．有一个角是36°的直角三角形
2．已知等腰三角形的底边长为6cm，则这个等腰三角形的腰长不可能是
(　　)
A．3
cm
B．4
cm
C．5
cm
D．10
cm
3．等腰三角形的一个角为50°，则它一腰上的高与底边的夹角为(
)
A．25°
B．40°
C．25°或40°
D．25°或30°
4．如图，△ABC中，AB=AC=6.5
cm，∠BAC=140°，AD是∠BAC平分线，且BC=12cm，
则∠ADE=10°，则AE的长为(
)
A．2
cm
B．1.5
cm
C．1
cm
D．0.5
cm
5．(1)若等腰三角形的一个外角为70°，则它的底角为
度；
(2)若等腰三角形的一个角比另一个角的2倍多20°，这个等腰三角形顶角的度数为
.
6．(1)若等腰三角形一边长为24cm，且腰长是底边长的?，则这个三角形的周长为
；
(2)若a，b是等腰三角形的两边，且满足，则这个三角形的周
长为
．
7．如图，AB=AC，FD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E.若∠AFD=145°，求∠EDF的度数.
8．
如图，在△ABC中，点D、E在边BC上，且AB=AC，AD=AE，请说明BD=CE的理由．
9．如图，已知P为等腰△ABC的底边BC上一动点，过P作PE⊥BC垂足为点P，EP交AB于D，交CA的延长线于E.
(1)试探究∠E与∠ADE的大小关系？说明理由；
(2)若P在BC延长线上，其余条件不变，上题的结论是否成立？若不成立，说明理由；若成立，画出图形并给予证明．
【提优特训】
10．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则这个等腰三角形的顶角为(
)
A．50°
B．40°
C．50°
或40°
D．50°
或130°
11．如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠A=46°，将△ABC沿DE的折叠，使点A与点B重合，
则∠CBE的度数为(　　)
A．20°
B．21°
C．31°
D．46°
12．如等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分成15cm和12cm两部分．则等腰三角形的底边长(
)
A．7cm或11cm
B．17cm或19cm
C．7cm
D．11cm
13．在如图所示的网格纸中，有A、B两个格点，试取格点C，使得△ABC是等腰三角形，则这样的格点C的个数是(
)
A．6个
B．4个
C．8个
D．10个
14．定义：等腰三角形的顶角与一个底角的度数的比值称为这个等腰三角形的“特征值”，记作k，等腰△ABC中，若∠A
=36°，则它的特征值k=
．
15．(1)如图，在△ABC
中，BD平分∠ABC，且
AD=BD=BC，则∠A=
.
(2)如图，点D为△ABC边AB的中点，将沿经过点D直线折叠，使点A刚好落在BC边上的点处，则直线DE与直线BC的位置关系为
.
16．
如图，在第1个△ABA1中，∠B=20°，AB=A1B，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得A1A2=A1C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得A2A3=A2D；…，按此作法进行下去，第n个三角形的以An为顶点的内角的度数为
．
17．如图，在△ABC中，点D，E在边BC上，若BA=BE，CA=CD，
(1)若∠BAC=110°，求∠x的度数；
(2)探究∠x=(∠B+∠C)，并说明理由.
18．如图，在五边形ABCDE中，点F是CD的中点，且AB=AE，BC=ED，∠B=∠E，
试探究AF与CD的位置关系？
19．如图(1)，是两个全等的直角三角形(直角边分别为a，b，斜边为c)．用这样的两个三角形构造成如图(2)的图形(A，E，B三点在一条直线上)，利用这个图形，探究直角三角形三边a，b，c的等量关系.
【中考链接】
20．(2020年?毕节)已知等腰三角形两边的长分别为3和7，则此等腰三角形的周长为(
)
A．13
B．17
C．13或17
D．13或10
21．(2020年?青海)等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是(
)
A．55°，55°
B．70°，40°或70°，55°
C．70°，40°
D．55°，55°或70°，40°
22．(2020年?福建)如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD=5，则CD等于(
)
A．10
B．5
C．4
D．3
23．(2020年?临沂)
如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，CD∥AB，则∠BCD=(
)
A．40°
B．50°
C．60°
D．70°
24．(2020年?滨州)在等腰△ABC中，AB=AC，∠B=50°，则∠A的大小为
．
25．(2020年?齐齐哈尔)
等腰三角形的两条边长分别为3和4，则这个三角形的周长是
.
参考答案
1、D
2、A
3、C
4、D
5、(1)35；(2)28°或100°
6、(1)60cm或80cm；(2)15
10、D
11、B
12、A
13、C
14、或3
15、(1)36°；(2)平行
16、
20、B
21、D
22、B
23、D
24、80°
25、10或11
7．如图，AB=AC，FD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E.若∠AFD=145°，求∠EDF的度数.
解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠AFD=145°，
∴∠DFC=180°?∠AFD=35°
∵FD⊥BC，
∴∠FDC=∠FDB=90°，
∴∠C+∠DFC=90°，
∴∠C
=55°，
∴∠B=∠C=55°，
∵DE⊥AB，
∴∠BED=90°，
∴∠B+∠BDE=90°，
∴∠BDE=90°?∠B=35°，
∵∠EDF+∠BDE=90°，
∴∠EDF=90°?∠BDE=55°.
8．
如图，在△ABC中，点D、E在边BC上，且AB=AC，AD=AE，请说明BD=CE的理由．
解：方法一：如图(1)∵AB=AC，AD=AE，
∴∠ABC=∠ACB，∠ADC=∠AEB(等边对等角)，
∵∠ADE=∠ABC
+∠BAD，∠AED=∠ACB
+∠CAE，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
∵，
∴△ABD≌△ACE
(SAS)，
∴BD=CE；
∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)．
方法二：
如图(2)过点A作AF⊥BC，垂足为点F，
∵AB=AC，AD=AE，
∴BF=CF，DF=EF，
∴BF?DF=CF?EF，
即BD=CE.
9．如图，已知P为等腰△ABC的底边BC上一动点，过P作PE⊥BC垂足为点P，EP交AB于D，交CA的延长线于E.
(1)试探究∠E与∠ADE的大小关系？说明理由；
(2)若P在BC延长线上，其余条件不变，上题的结论是否成立？若不成立，说明理由；若成立，画出图形并给予证明．
解：
(1)如图①∠E=∠ADE：
理由如下：
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵EP⊥BC，
∴∠EPB=∠EPC=90°，
∴∠B+∠BDP=90°，∠C+∠E=90°，
∴∠BDP
=∠E，
∵∠ADE=∠BDP，
∴∠E=∠ADE；
(2)如图②成立：
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵∠ACB=∠ECP，
∴∠B=∠ECP，
∵EP⊥BC，
∴∠EPB=∠DPB=90°，
∴∠B+∠BDE=90°，∠ECP
+∠E=90°，
∴∠BDE=∠E，
即∠ADE=∠E．
17．如图，在△ABC中，点D，E在边BC上，若BA=BE，CA=CD，
(1)若∠BAC=110°，求∠x的度数；
(2)探究∠x=(∠B+∠C)，并说明理由.
解：(1)
∵∠BAC=110°，
∴∠1+∠x+∠2=110°
①，
∴∠B+∠C=180°?∠BAC=70°，
∵BA=BE，CA=CD，
∴∠BAE=∠BEA=(180°?∠B),
∠CDA=∠CAD=(180°?∠C),
∴∠BAE+∠CAD=(180°?∠B)+
(180°?∠C),
∴∠1+∠x+∠2+∠x=(180°?∠B)+
(180°?∠C),
即∠1+2∠x+∠2=180°?(∠B+∠C)
=180°?×70°=145°
②，
∴②?①得∠x=145°?110°=35°.
(2)
∵∠BAC=110°，
∴∠1+∠x+∠2=∠BAC=180°?（∠B+∠C）
①，
∵BA=BE，CA=CD，
∴∠BAE=∠BEA=(180°?∠B)，∠CDA=∠CAD=(180°?∠C)，
∴∠BAE+∠CAD=(180°?∠B)+
(180°?∠C)，
∴∠1+∠x+∠2+∠x=(180°?∠B)+
(180°?∠C)，
即∠1+2∠x+∠2=180°?(∠B+∠C)
②，
②?①得∠x=180°?(∠B+∠C)?
[180°?（∠B+∠C）]
=(∠B+∠C).
18．如图，在五边形ABCDE中，点F是CD的中点，且AB=AE，BC=ED，∠B=∠E，
试探究AF与CD的位置关系？
解：连接AC，AD，
在△ABC和△AED中
∵，
∴△ABD≌△ACE
(SAS)，
∴AC=AE，
∵点F是CD的中点，
∴CF=DF，
在△ACF和△ADF中
∵，
∴△ACF≌△ADF
(SSS)，
∴∠1=∠2，
∵∠1+∠2=180°，
∴∠1=∠2=90°，
∴AF⊥CD.
19．如图(1)，是两个全等的直角三角形(直角边分别为a，b，斜边为c)．用这样的两个三角形构造成如图(2)的图形(A，E，B三点在一条直线上)，利用这个图形，探究直角三角形三边a，b，c的等量关系.
解：∵Rt△AED≌Rt△BCE
∴∠AED
=∠BCE，∠ADE
=∠BEC，
∵△AED是直角三角形，
∴∠AED+∠ADE=90°，
∴∠AED+∠BEC
=90°，
∴∠DEC=180°?(∠AED+∠BEC)
=180°?90°
=90°.
∵S梯形ABCD=(a+b)(a+b)，
S梯形ABCD=
S△AED+
S△DEC+
S△CBE
=a·b+c·c+a·b=(2ab+c2)，
∴(a+b)(a+b)=(2ab+c2)，
∴
(a+b)(a+b)=
(2ab+c2)，
即a2+2ab+b2=2ab+c2,
∴a2+b2=c2.
第18题图
第15题图(2)
第4题图
第19题图(1)
第17题图
第8题图(1)
第7题图
第15题图(1)
第23题图
第11题图
第13题图
第22题图
第16题图
第19题图(2)
第19题图(2)
第19题图(1)
第18题图
第18题图
第17题图
第9题图②
第9题图①
第9题图①
第8题图(2)
第8题图(1)
第7题图
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