人教版高中三年级利用法向量求点到平面的距离

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利用法向量求
点到平面的距离
一、复习引入
三、归纳小结
五、反馈总结
二、探索新知
四、巩固迁移
六、反思作业
问题1
则
设
一、复习引入
若A(x1 , y1 , z1), B(x2 , y2 , z2) , 则
AB
=
(x2-x1, y2-y1, z2-z1)
(2) 若M（x，y，z）是线段AB的中点，则
(1)
问题2
平面的法向量
如果n ,那么向量n叫做平面 的法向量.
问题3

如果 是平面 的法向量,
那么
②向量a在轴l上或在e方向（e是l上同方向的单位向量）上的投影:
l
O
A
B
问题4
①设
则
l
B
A
O
A
o
B
二、探索新知


已知平面 ,点A , 设 是平面 的
法向量，则点 A到 的距离AO的长如
何表示呢
例 如图，已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，求点B到平面EFG的距离．
D
C
A
B
G
F
E
解 :
三、归纳小结
用法向量求点到平面距离的一般过程是:
(1)建立适当的空间直角坐标系,求出需要的点的坐标;
(2)求出平面的法向量 ;
(3)作向量 (点A为平面外一定点,点B为平面内任一点);
(4)求向量 在法向量 上的射影的长度
( 其中 是与 同方向的单位法向量)
说明：
利用法向量求点到平面的距离，常常不必作出垂线段，利用平面的法向量，把点A到平面 的距离 看成点A与平面 内的任意一点B所构成的向量 在法向量 方向上的射影的长度，此种方法具有程序化，不需 技巧，可以人人学会。
变式题 ：已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，求点A 到平面A1C1D的距离．
B
C
C1
D
B1
A1
D1
A
x
z
四、巩固迁移
y
迁移题 如图，已知 ABC是等腰三角形，AB=BC=2a,∠ABC=120°,且SA⊥平面ABC, SA= 3a, 求点A 到平面SBC的距离．
A
C
S
B
x
y
z
五、反馈总结
(2)在求法向量的过程中,解方程组之后,
不能令x或y或z 为0;
(1)建立空间直角坐标系是关键,求点的
坐标要准确;
(3)点到平面的距离公式 中,
点A为平面 外一定点,点B为平面 内任一点, 为平面 的法向量.
(4)公式实质为
六、反思与作业
在棱长为２的
正方体 中，
E、F分别是棱
的中点． 试用向量方法
求点 到平面EFBD的距离.
反思: 通过本节课谈谈自己的收获
是什么
作业:
B
C
C1
D
B1
A1
D1
A
E
F
在棱长为２的
正方体 中，
E、F分别是棱
的中点． 试用向量方法
求点 到平面EFBD的距离.
作业:
B
C
C1
D
B1
A1
D1
A
E
F
欢迎指导 谢谢！
欢 迎 指 导
谢谢！
A
o
B

即点 A到平面 的距离为

在直角三角形AOB中,得
由
其中, 是平面 的
单位法向量
A
o
B

点A到平面 的距离 可以看成 （点B是平面 内任一点）在平面 的法向量 的方向上的射影的长度:
其中, 是平面 的
单位法向量
A
o
B

重点理解：
B'
1
A
o
B
A
B
d
B'
A'
即向量 在法向量 上的射影的长度
例 如图，已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，求点B到平面EFG的距离．
D
C
A
B
G
F
E
解 :
三、归纳小结
用法向量求点到平面距离的一般过程是:
(1)建立适当的空间直角坐标系,求出需要的点的坐标;
(2)求出平面的法向量 ;
(3)作向量 (点A为平面外一定点,点B为平面内任一点);
(4)求向量 在法向量 上的射影的长度
( 其中 是与 同方向的单位法向量)
说明：
利用法向量求点到平面的距离，常常不必作出垂线段，利用平面的法向量，把点A到平面 的距离 看成点A与平面 内的任意一点B所构成的向量 在法向量 方向上的射影的长度，此种方法具有程序化，不需 技巧，可以人人学会。
变式题 ：已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，求点A 到平面A1C1D的距离．
B
C
C1
D
B1
A1
D1
A
x
z
四、巩固迁移
y
延伸迁移 如图，已知 ABC是等腰三角形，AB=BC=2a,∠ABC=120°,且SA⊥平面ABC, SA= 3a, 求点A 到平面SBC的距离．
A
C
S
B
x
y
z
五、反馈总结
(2)在求法向量的过程中,解方程组之后,
不能令x或y或z 为0;
(1)建立空间直角坐标系是关键,求点的
坐标要准确;
(3)点到平面的距离公式 中,
点A为平面 外一定点,点B为平面 内任一点, 为平面 的法向量.
(4)公式还可化为
六、反思与作业
在棱长为２的
正方体 中，
E、F分别是棱
的中点． 试用向量方法
求点 到平面EFBD的距离.
反思: 通过本节课谈
谈自己的收获是什么
作业:
谢谢指导！
再见．
B
C
C1
D
B1
A1
D1
A
E
F
D
C
A
B
G
F
E
y
z
如图建立空间坐标系，
G（0，4，2）,
F（2, 0, 0）
,E（4, 2, 0）
,
∵
∴
,则
∴
则
设平面的法向量为
解：
x
返回
∴x=-y，z=-3y．
令y=-1，
D
A
B
C
G
F
E
x
y
z
解:如图建立空间直角坐标系，则G(0，O，2)，F(4，2，O)，E(2，4，0)，B(0，4，O)．
=(2,-2,0),
=(2,4,-2),
设面GEF的法向量为
= 0 ,
=0 ,
∴ 2x-2y=0，2x+4y-2z=0，
∴x=y，z=3y．
=(1,1,3).
∴点B到面GEF的距离为
返
回
令y=1，则
=(2,0,0).
x
y
z
法向量的应用：点到面的距离
例2：已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1，E，F分别是B1C1和C1D1的中点，求点A1到平面BDEF的距离。
F
E
D1
C1
B1
A1
D
C
B
A
A
B
d
B'
A'
即向量 在法向量 上的射影的长度
教师引导，学生总结：
法一：设 是平面 的法向量，在 内取一点B, 则点 A到 的距离
法二：设 于O,利用 和点O在 内的向量表示，可确定点O的位置，进而求出 ．
B
A
O
B
A
说明：
用向量法求点到平面的距离，常常不必作出垂线段，利用平面的法向量，把点A到平面 的距离 看成点A与平面 内的任意一点B所构成的向量 在法向量 方向上的射影的长度，此种方法具有程序化，不需技巧，可以人人学会。
点到平面的距离
A
o
B

即点 A到平面 的距离为

在直角三角形AOB中,得
由
点到平面的距离
A
o
B
已知平面 ,点A , 设 是平面 的法向量，过A作AO⊥ 于点O,则 ,在 内取一点B, 则点 A到 的距离AO的长如何表示呢
在直角三角形AOB中,由
得
点到平面的距离
A
o
B
点到平面的距离
A
o
B
其中,点B为平面 内任一点, 为平面 的法向量.
已知平面 ,点A , 设 是平面 的法向量，过A作AO⊥ 于点O,则 ,在 内取一点B, 则点 A到 的距离AO的长如何表示呢
即点 A到平面 的距离为
点A到平面 的距离 可以看成 （点B是平面 内任一点）在平面 的法向量 的方向上的射影的长度:
其中, 是平面 的
单位法向量
A
o
B

重点理解：
五、归纳总结
利用向量方法求解空间距离问题，可以回避此类问题中大量的作图、证明等步骤，而转化为向量间的计算问题 运用平面的法向量求立体几何中的距离问题时，首先要建立适当的坐标系，进而将向量坐标化，求出平面的法向量，再代入公式求解。需要注意的是:
(1)在求法向量的过程中,解方程组之后,不能令x或y或z 为0;
(2)建立空间直角坐标系是关键,求点的坐标要准确;
(3)对点到平面距离公式的推导过程要认真领会,
掌握公式: , 并会应用.