第五章
分式与分式方程章重难点提升卷
考试时间：100分钟；满分：100分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号
一
二
三
总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题）
评卷人
得
分
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2020春?上蔡县期末）下列各式，，，，，分式有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
2．（3分）（2020春?侯马市期末）新型冠状病毒“COVID﹣19”的平均半径约为50纳米（1纳米＝10﹣9米），这一数据用科学记数法表示，正确的是（ ）
A．50×10﹣9米
B．5.0×10﹣9米
C．5.0×10﹣8米
D．0.5×10﹣7米
3．（3分）（2020春?历下区期末）如果分式中的x、y都扩大为原来的10倍，那么下列说法中，正确的是（ ）
A．分式的值不变
B．分式的值缩小为原来的
C．分式的值扩大为原来的10倍
D．分式的值扩大为原来的100倍
4．（3分）（2020春?濉溪县期末）若分式的值为0，则x的值为（ ）
A．±1
B．﹣1
C．1
D．±2
5．（3分）（2020春?金山区期中）用换元法解方程，设y，那么换元后，方程可化为整式方程正确的是（ ）
A．3y
B．2y2﹣7y+2＝0
C．3y2﹣7y+1＝0
D．6y2﹣7y+2＝0
6．（3分）（2020春?西湖区期末）已知分式A，B，其中x≠±2，则A与B的关系是（ ）
A．A＝B
B．A＝﹣B
C．A＞B
D．A＜B
7．（3分）（2019秋?富锦市期末）若分式3，则的值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
8．（3分）（2020春?织金县期末）甲、乙两地相距360km，新修的高速公路开通后，在甲、乙两地间行驶的长途客运车平均车速提高了50%，而从甲地到乙地的时间缩短了2h，设原来的平均速度为xkm/h，根据题意：下列所列方程中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（3分）（2020春?安吉县期末）对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号Max{a，b}表示a，b中的较大的值，如Max{2，4}＝4，按照这个规定，方程Max{，}＝1的解是（ ）
A．x＝4
B．x＝5
C．x＝4或x＝5
D．无实数解
10．（3分）（2019秋?南岸区校级期末）已知关于x的分式方程无解，关于y的不等式组的整数解之和恰好为10，则符合条件的所有m的和为（ ）
A．
B．
C．
D．
第Ⅱ卷（非选择题）
评卷人
得
分
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2020春?南海区期末）已知分式，当x＝1时，分式无意义，则a＝
．
12．（3分）（2020春?宣州区校级月考）已知a＝﹣0.32，b＝﹣3﹣2，c＝（）﹣2，d＝（）0，用“＜”连接a、b、c、d为
．
13．（3分）（2020秋?海淀区校级期中）已知a2﹣4a﹣1＝0．则a3
．
14．（3分）（2020春?长清区期中）小丽在化简分式时，
部分不小心滴上了墨水，请你推测，
部分的代数式应该是
．
15．（3分）（2020春?青岛期末）小颖在解分式方程2时，△处被污染看不清，但正确答案是：此方程无解．请你帮小颖猜测一下△处的数应是
．
16．（3分）（2020春?双流区校级期末）若关于x的分式方程有正整数解，则整数m为
．
评卷人
得
分
三．解答题（共6小题，满分52分）
17．（8分）（2020春?江都区期末）解方程：
（1）4；
（2）1．
18．（8分）（2019秋?襄汾县校级期末）（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中a＝﹣2，b．
19．（8分）（2020?潍坊三模）关于x的方程：1．
（1）当a＝3时，求这个方程的解；
（2）若这个方程有增根，求a的值．
20．（8分）（2020秋?延庆区期中）一般情况下，不成立，但有些数可以使得它成立，例如：a＝1，b＝2．我们称使得成立的一对数a，b为“有效数对”，记为（a，b）．
（1）判断数对①（﹣2，1），②（3，3）中是“有效数对”的是
；（只填序号）
（2）若（k，﹣1）是“有效数对”，求k的值；
（3）若（4，m）是“有效数对”，求代数式的值．
21．（10分）（2020秋?东城区期中）阅读：
对于两个不等的非零实数a，b，若分式的值为零，则x＝a或x＝b．又因为x（a+b），所以关于x的方程xa+b有两个解，分别为x1＝a，x2＝b．
应用上面的结论解答下列问题：
（1）方程x6有两个解，分别为x1＝
，x2＝
．
（2）关于x的方程x的两个解分别为x1，x2（x1＜x2），若x1与x2互为倒数，则x1＝
，x2＝
；
（3）关于x的方程2x2n的两个解分别为x1，x2（x1＜x2），求的值．
22．（10分）（2020春?中原区校级期中）在防疫新冠状病毒期间，市民对医用口罩的需求越来越大．某药店第一次用2000元购进医用口罩若干个，第二次又用2000元购进该款口罩，但第二次每个口罩的进价是第一次进价的1.25倍，购进的数量比第一次少200个．
（1）求第一次和第二次分别购进的医用口罩数量为多少个？
（2）药店第一次购进口罩后，先以每个3元的价格出售，卖出了a个后购进第二批同款罩，由于进价提高了，药店将口罩的售价也提升至每个3.5元继续销售卖出了b个后，两次共收入4800元．因当地医院医疗物资紧缺，药店决定将剩余的口罩全部捐赠给医院．请问药店捐赠口罩至少有多少个？第五章
分式与分式方程章重难点提升卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2020春?上蔡县期末）下列各式，，，，，分式有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【分析】根据分式的定义看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式，即可得出答案．
【解答】解：的分母中含有字母，属于分式，共有1个分式．
故选：A．
【点睛】本题主要考查分式的定义，注意π不是字母，是常数，不是分式，是整式．
2．（3分）（2020春?侯马市期末）新型冠状病毒“COVID﹣19”的平均半径约为50纳米（1纳米＝10﹣9米），这一数据用科学记数法表示，正确的是（ ）
A．50×10﹣9米
B．5.0×10﹣9米
C．5.0×10﹣8米
D．0.5×10﹣7米
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：50纳米＝50×10﹣9米＝5.0×10﹣8米．
故选：C．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3．（3分）（2020春?历下区期末）如果分式中的x、y都扩大为原来的10倍，那么下列说法中，正确的是（ ）
A．分式的值不变
B．分式的值缩小为原来的
C．分式的值扩大为原来的10倍
D．分式的值扩大为原来的100倍
【分析】先根据题意列出算式，再根据分式的基本性质进行化简即可．
【解答】解：10?，
即如果分式中的x、y都扩大为原来的10倍，那么分式的值扩大为原来的10倍，
故选：C．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，能根据分式的基本性质进行化简是解此题的关键．
4．（3分）（2020春?濉溪县期末）若分式的值为0，则x的值为（ ）
A．±1
B．﹣1
C．1
D．±2
【分析】直接利用分式的值为零则分子为零分母不为零进而得出答案．
【解答】解：分式的值为0，
则x2﹣1＝0且x2﹣2x+1≠0，
解得：x＝﹣1．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了分式的值为零条件，正确掌握相关定义是解题关键．
5．（3分）（2020春?金山区期中）用换元法解方程，设y，那么换元后，方程可化为整式方程正确的是（ ）
A．3y
B．2y2﹣7y+2＝0
C．3y2﹣7y+1＝0
D．6y2﹣7y+2＝0
【分析】先根据已知进行换元，再进行变形，即可得出答案．
【解答】解：，
设y，
则原方程化为3y，
即6y2﹣7y+2＝0，
故选：D．
【点睛】本题考查了用换元法将分式方程转化为整式方程，能够正确换元是解此题的关键．
6．（3分）（2020春?西湖区期末）已知分式A，B，其中x≠±2，则A与B的关系是（ ）
A．A＝B
B．A＝﹣B
C．A＞B
D．A＜B
【分析】先把B式进行化简，再判断出A和B的关系即可．
【解答】解：∵B，
∴A和B互为相反数，即A＝﹣B．
故选：B．
【点睛】本题考查的是分式的加减法，解这类题的方法是：先化简再判断．
7．（3分）（2019秋?富锦市期末）若分式3，则的值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式
∵y﹣x＝3xy，
∴原式
＝4，
故选：D．
【点睛】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题基础题型．
8．（3分）（2020春?织金县期末）甲、乙两地相距360km，新修的高速公路开通后，在甲、乙两地间行驶的长途客运车平均车速提高了50%，而从甲地到乙地的时间缩短了2h，设原来的平均速度为xkm/h，根据题意：下列所列方程中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】设原来的平均速度为xkm/h，则提速以后的平均速度为（1+50%）xkm/h，根据提速以后时间缩短了2h，列出方程即可．
【解答】解：设原来的平均速度为xkm/h，则提速以后的平均速度为（1+50%）xkm/h，
由题意得，2．
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列出方程．
9．（3分）（2020春?安吉县期末）对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号Max{a，b}表示a，b中的较大的值，如Max{2，4}＝4，按照这个规定，方程Max{，}＝1的解是（ ）
A．x＝4
B．x＝5
C．x＝4或x＝5
D．无实数解
【分析】根据与的大小关系，取与中的最大值化简所求方程，求出解即可．
【解答】解：当，即x＜0时，方程为1，
去分母得：1＝x﹣3，
解得：x＝4（舍去），
当，即x＞0时，方程为1，
去分母得：2＝x﹣3，
解得：x＝5，
经检验，x＝5是分式方程的解．
故选：B．
【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
10．（3分）（2019秋?南岸区校级期末）已知关于x的分式方程无解，关于y的不等式组的整数解之和恰好为10，则符合条件的所有m的和为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，由分式方程无解确定出m的值，不等式组整理后表示出解集，由整数解之和恰好为10确定出m的范围，进而求出符合条件的所有m的和即可．
【解答】解：分式方程去分母得：mx+2x﹣12＝3x﹣9，
移项合并得：（m﹣1）x＝3，
当m﹣1＝0，即m＝1时，方程无解；
当m﹣1≠0，即m≠1时，解得：x，
由分式方程无解，得到3或6，
解得：m＝2或m，
不等式组整理得：，即0≤y＜m，
由整数解之和恰好为10，得到整数解为0，1，2，3，4，
可得4＜m5，即m，
则符合题意m的值为1和，之和为．
故选：C．
【点睛】此题考查了分式方程的解，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2020春?南海区期末）已知分式，当x＝1时，分式无意义，则a＝ 3 ．
【分析】把x＝1代入分式，根据分式无意义得出关于a的方程，求出即可．
【解答】解：把x＝1代入得：，
此时分式无意义，
∴a﹣3＝0，
解得a＝3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了分式的加减和分式无意义的条件，能得出关于a的方程是解此题的关键．
12．（3分）（2020春?宣州区校级月考）已知a＝﹣0.32，b＝﹣3﹣2，c＝（）﹣2，d＝（）0，用“＜”连接a、b、c、d为 b＜a＜d＜c ．
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：a＝﹣0.32＝﹣0.09，b＝﹣3﹣2，
c＝（）﹣2＝9，d＝（）0＝1，
则b＜a＜d＜c．
故答案为：b＜a＜d＜c．
【点睛】此题主要考查了负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质，正确化简各数是解题关键．
13．（3分）（2020秋?海淀区校级期中）已知a2﹣4a﹣1＝0．则a3 76 ．
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：∵a2﹣4a﹣1＝0，且a≠0，
∴a﹣4，
∴a4，
∴a22＝16，
∴a218．
∴a3（a）（a2+1）
＝4×19
＝76．
【点睛】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算，本题属于基础题型．
14．（3分）（2020春?长清区期中）小丽在化简分式时，
部分不小心滴上了墨水，请你推测，
部分的代数式应该是 x2﹣2x+1 ．
【分析】直接将分母分解因式，进而得出答案．
【解答】解：∵，
∴
部分为：（x﹣1）2＝x2﹣2x+1，
故答案为：x2﹣2x+1．
【点睛】此题主要考查了约分，正确掌握分式的性质是解题关键．
15．（3分）（2020春?青岛期末）小颖在解分式方程2时，△处被污染看不清，但正确答案是：此方程无解．请你帮小颖猜测一下△处的数应是 1 ．
【分析】由分式方程无解，得到x﹣3＝0，即x＝3，分式方程去分母转化为整式方程，把x＝3代入计算即可求出所求．
【解答】解：去分母得：x﹣2＝△+2（x﹣3），
由分式方程无解，得到x﹣3＝0，即x＝3，
把x＝3代入整式方程得：△＝1．
故答案为：1．
【点睛】此题考查了解分式方程，以及分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法是解本题的关键．
16．（3分）（2020春?双流区校级期末）若关于x的分式方程有正整数解，则整数m为 0、1 ．
【分析】解分式方程，得x，因为分式方程有正整数解，进而可得整数m的值．
【解答】解：解分式方程，得x，
因为分式方程有正整数解，
所以1，即可m≠3，
则整数m的值是0、1．
故答案为0、1．
【点睛】本题考查了分式方程的解，解决本题的关键是准确求出分式方程的整数解．
三．解答题（共6小题，满分52分）
17．（8分）（2020春?江都区期末）解方程：
（1）4；
（2）1．
【分析】（1）观察可得最简公分母是x（x﹣1），方程两边乘以最简公分母，可以把分式方程化为整式方程，再求解．
（2）观察可得方程最简公分母为x2﹣1，去分母，转化为整式方程求解．结果要检验．
【解答】解：（1）方程的两边同乘x（x﹣1）得，
（x﹣1）（x﹣1）+3x2＝4x（x﹣1），
化简得，2x+1＝0，
解得，
经检验，是原方程的解；
（2）方程的两边同乘x2﹣1，得，
4＝（x+1）2﹣（x2﹣1），
化简得，2x＝2，
解得x＝1，
把x＝1代入原方程分母均为0，
∴x＝1是原方程的增根，
∴原方程无解．
【点睛】本题主要考查了解分式方程，能正确把分式方程转化为整式方程是解答本题的关键．
18．（8分）（2019秋?襄汾县校级期末）（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中a＝﹣2，b．
【分析】（1）根据有理数的乘方、绝对值和负整数指数幂、零指数幂可以解答本题；
（2）根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后将a、b的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：（1）
＝﹣1+3﹣（﹣8）+1
＝﹣1+3+8+1
＝11；
（2）
[]
（）
，
当a＝﹣2，b时，原式．
【点睛】本题考查分式的化简求值、绝对值、负整数指数幂、零指数幂，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．
19．（8分）（2020?潍坊三模）关于x的方程：1．
（1）当a＝3时，求这个方程的解；
（2）若这个方程有增根，求a的值．
【分析】（1）把a的值代入分式方程，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）由分式方程有增根，得到最简公分母为0，求出x的值，代入整式方程即可求出a的值．
【解答】解：（1）当a＝3时，原方程为1，
方程两边同时乘以（x﹣1）得：3x+1+2＝x﹣1，
解这个整式方程得：x＝﹣2，
检验：将x＝﹣2代入x﹣1＝﹣2﹣1＝﹣3≠0，
∴x＝﹣2是原方程的解；
（2）方程两边同时乘以（x﹣1）得ax+1+2＝x﹣1，即（a﹣1）x＝﹣4，
当a≠1时，若原方程有增根，则x﹣1＝0，
解得：x＝1，
将x＝1代入整式方程得：a+1+2＝0，
解得：a＝﹣3，
综上，a的值为﹣3．
【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
20．（8分）（2020秋?延庆区期中）一般情况下，不成立，但有些数可以使得它成立，例如：a＝1，b＝2．我们称使得成立的一对数a，b为“有效数对”，记为（a，b）．
（1）判断数对①（﹣2，1），②（3，3）中是“有效数对”的是 ② ；（只填序号）
（2）若（k，﹣1）是“有效数对”，求k的值；
（3）若（4，m）是“有效数对”，求代数式的值．
【分析】（1）把（﹣2，1）和（3，3）代入中求值，再代入1中求值，若所求值相等，即为有效数对，若不相等则不是有效数对；
（2）把（k，﹣1）代入中，化简求解一元一次方程即可得出答案；
（3）把（4，m）代入中，化简可得m2﹣4m＝﹣1，再化简代数式可得，再把m2﹣4m＝﹣1代入即可得出答案．
【解答】解：（1）①把（﹣2，1）代入中，
原式，
又因为110，1≠0，
所以（﹣2，1）不是“有效数对”；
②把（3，3）代入中，
原式，
又因为11，，
所以（3，3）是“有效数对”．
故答案为：②；
（2）把（k，﹣1）代入中，
得，
解得：k＝1；
（3）把（4，m）代入中，
得
化简整理得m2﹣4m＝﹣1，
．
【点睛】本题主要考查了分式的加减，正确理解题目应用分式的加减法则进行计算是解决本题的关键．
21．（10分）（2020秋?东城区期中）阅读：
对于两个不等的非零实数a，b，若分式的值为零，则x＝a或x＝b．又因为x（a+b），所以关于x的方程xa+b有两个解，分别为x1＝a，x2＝b．
应用上面的结论解答下列问题：
（1）方程x6有两个解，分别为x1＝ 2 ，x2＝ 4 ．
（2）关于x的方程x的两个解分别为x1，x2（x1＜x2），若x1与x2互为倒数，则x1＝ ，x2＝ 2 ；
（3）关于x的方程2x2n的两个解分别为x1，x2（x1＜x2），求的值．
【分析】（1）方程变形后，利用题中的结论确定出方程的解即可；
（2）方程变形后，根据利用题中的结论，以及x1与x2互为倒数，确定出x1与x2的值即可；
（3）方程变形后，根据利用题中的结论表示出为x1、x2，代入原式计算即可得到结果．
【解答】解：（1）∵2×4＝8，2+4＝6，
∴方程x6的两个解分别为x1＝2，x2＝4．
故答案为：x1＝2，x2＝4．
（2）方程变形得：x2，
由题中的结论得：方程有一根为2，另一根为，
则x1，x2＝2；
故答案为：；2
（3）方程整理得：2x﹣1n+n﹣1，
得2x﹣1＝n﹣1或2x﹣1＝n，
可得x1，x2，
则原式．
【点睛】此题考查了分式方程的解，弄清题中的规律是解本题的关键．
22．（10分）（2020春?中原区校级期中）在防疫新冠状病毒期间，市民对医用口罩的需求越来越大．某药店第一次用2000元购进医用口罩若干个，第二次又用2000元购进该款口罩，但第二次每个口罩的进价是第一次进价的1.25倍，购进的数量比第一次少200个．
（1）求第一次和第二次分别购进的医用口罩数量为多少个？
（2）药店第一次购进口罩后，先以每个3元的价格出售，卖出了a个后购进第二批同款罩，由于进价提高了，药店将口罩的售价也提升至每个3.5元继续销售卖出了b个后，两次共收入4800元．因当地医院医疗物资紧缺，药店决定将剩余的口罩全部捐赠给医院．请问药店捐赠口罩至少有多少个？
【分析】（1）设第一次购进医用口罩的数量为x个，根据题意给出的等量关系即可求出答案．
（2）由（1）可知两次购进口罩共1800个，由题意可知：3a+3.5b＝4800，所以a＝1600b，根据条件可求出b的最小值，从而可求出药店捐赠的口罩至少有多少个．
【解答】解：（1）设第一次购进医用口罩的数量为x个，
∴第二次购进医用口罩的数量为（x﹣200）个，
∴由题意可知：，
解得：x＝1000，
经检验，x＝1000是原方程的解，且符合题意，
∴x﹣200＝800，
答：第一次和第二次分别购进的医用口罩数量为1000和800个．
（2）由（1）可知两次购进口罩共1800个，
由题意可知：3a+3.5b＝4800，
∴a＝1600b，
∴1800﹣a﹣b＝1800﹣（1600b）﹣b＝200，
∵a≤1000，
∴1600b≤1000，
∴b≥514，
∵a，b是整数，∴b是6的倍数，∴b的最小值是516，∴1800﹣a﹣b≥286，
答：药店捐赠口罩至少有286个．
【点睛】本题考查分式方程，解题的关键是正确找出等量关系，本题属于中等题型．
