第二章 平行线与相交线

第二章 平行线与相交线
回顾与思考
山东省济南二十七中学 朱艳
学生起点分析：
积极因素：学生已经完成了平行线与相交线有关的知识学习，并能初步应用这些知识解决一些简单的问题；在相关知识的学习过程中，学生通过教科书提供的多种活动能够进行一定的几何表达；同时经历了一系列的数学活动，并积累了一定的活动经验；对数形结合的数学思想和类比、转化、归纳等数学方法有了一定的了解；具备了一定的合情说理的能力。
消极因素：本章的内容较抽象，而学生的有条理的思考及观察、概括、表达能力还比较薄弱，不能很好的用语言表述理由，对知识之间的联系理解还比较肤浅，从而易造成概念模糊，理解不深透；特别是对于“三线八角”的理解。
教学任务分析
平行线、相交线在现实生活中随处可见，同时，它们又构成平面内两条直线的基本位置关系。学习平行、垂直的有关内容，不仅是“空间与图形”内容的基础和必经途径，而且是积累学生空间与图形的活动经验、掌握平面图形的基础知识、学习简单而初步的说理、推理等内容所必需的。学生在七年级（上）中已经学习了有关直线、线段、角、平行与垂直的简单内容，积累了初步的观察、操作等活动经验，在此基础上，本章将进一步直观探究平行、垂直的有关内容，并在其中学习简单的说理；本章内容是七年级“第四章平面图形及其位置关系”的进一步发展，如果说上次的学习以直观和操作活动为主，那么，本次的学习虽以数学活动为主线，但已经逐步穿插说理和简单推理（一步推理），要求学生进行有简单说明理由的推断，而不是仅仅得到结论。在教学中，教师可以采取灵活的方式，一是引导学生通过自己的思考将有关内容条理化，二是交流各自在本章学习中的体会和感受，尤其是，自己的成功体验，三是将本章问题的特点，尤其是，在探究中进行适当的说理、绝大多数问题都要求说明理由的特点加以明确和强化。教科书基于学生对本章知识的认识，提出了本课的具体学习任务：
1．掌握平行线与相交线的相关知识，梳理本章内容，建立一定的知识体系；并能够综合运用这些知识解决相关的问题。
2．在丰富的情景中，抽象出平行线、相交线等几何模型，通过讨论角与角之间的关系，进一步认识平行线和相交线。
3．在认识操作基础上锻炼学生的语言表达能力以及逻辑思维能力。
教学设计分析
本节课按知识点分类设计了八个教学环节：课前准备、知识梳理、活动单元一、活动单元二、活动单元三、综合提高、课堂小结、布置作业。
第一环节 课前准备
活动内容：（1） 让学生课前独立回顾所学内容，并尝试回答教科书提出的问题。在独立思考的基础上，开展小组交流和自评活动，并让学生自己尝试着建立知识框架图。（2）对于在复习中出现的困惑的问题，进行记录并与同学进行交流。对于无法解决的问题，可以课堂上师生共同探讨
活动目的：让学生自己小结，有利于培养学生的概括能力，使学生自主构建知识体系，养成良好的学习习惯。通过第一个活动，希望学生能学会自己总结和反思，培养学生条例的进行思考和独立解决问题的能力。而在第2个活动中，在培养学生解决问题的能力的同时，更注重学生提出问题的能力。让学生养成善于思考、肯于钻研的精神。同时培养学生与他人合作交流的意识；这两个活动中学生的思考成果会为下面的学习奠定良好的基础，必将极大地激发了学生学习的积极性与主动性。
实际教学效果：学生由于个人认识水平和能力的不同，对于课本问题的解答和提出的困惑问题的水平就会不同，但只要是合理的解答和学生确实存在的问题，教师都应该给与肯定和解答。使不同的学生在学习上有不同的发展和收获。
第二环节 知识梳理
活动内容:请同学们展示自己的知识网络图，开展小组交流和全班交流，使学生在反思和交流的过程中逐渐建立完整的知识体系，师生共同总结，完成活动单元一。
活动目的：回顾和思考为学生的自评提供了机会，使学生在反思和交流的过程中逐渐建立完整的知识体系。同时，更好的理解各部分知识之间的关系。自然得出本章知识的重点和难点。
实际教学效果：在知识框架图的形成过程中，应边总结边强调每个知识点的注意事项。例如：直线平行线的性质和判定的区别。
第三环节：活动单元一-----相交线
活动内容:
如图1，直线AB，CD，EF相交于O，∠AOE的对顶角
是 ，邻补角是 ，∠COF的对顶角是 ，
邻补角是 。
2．如图2，∠BDE的同位角是 ，内错角是 ，同旁内角是 ；∠ADE与∠DGC是直线 被 所截
成的 角。
3．如图3，三条直线a，b，c交于一点O，∠1=45°，∠2=60°，∠3= 。
4．如图4，∠1=105°，∠2=95°，∠3=105°，∠4= 。
5．当两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角时，就说这两条直线 ，它们的交点叫做 。
活动目的：直线、射线、线段和角，了解了它们的有关性质，这些都是学习本章的基础．垂线是相交线的特殊情况，两条直线互相垂直时，相交线所成的四个角中有一个是直角即可。垂线在生产和生活中应用很广泛，垂线的概念和性质以及三线八角也是今后学习的基础知识，要注意让学生理解和掌握．
实际教学效果：邻补角和对顶角的概念都是结合图形描述。对顶角是两条相交直线构成的，这是一个前提条件，其中有公共顶点没有公共边（相对）的两个角，互为对顶角．邻补角和对顶角的名称也反映了它们的本质特征，要注意，邻补角不一定是两条直线相交形成的，每个角的邻补角有两个
第四环节：活动单元二-----平行线
活动内容:
1．填写下列表格，并思考二者有何区别和练行线的特征 直线平行的条件
两直线平行，同位角相等 同位角相等，两直线平行
两直线平行，内错角相等 内错角相等，两直线平行
两直线平行，同旁内角互补 同旁内角互补，两直线平行
2、比武擂台
（1）如图，∵AC∥ED（已知）
∴∠A=_________（ ）
（2）如图，∵AC∥ED（已知）
∴∠EDF=_________（ ）
（3）如图，∵AB∥FD（已知）
∴∠A+_______ =1800（ ）
（4）如图，∵AB∥FD（已知）
∴∠EDF+______=1800（ ）
（5）如图，∵BD∥EC（已知）
∴∠DBA=_________（ ）
∵∠C=∠D （已知）
∴∠DBA=_________（ ）
∴FD∥________（ ）
∴∠A=∠F （ ）
（6）如图，AB∥CD ,EG平分∠BEF , ∠EFG=500 ， ∠EGF=____
（7）如图，DC∥AB ,E为AB上一点，AD∥EC，∠A=700，
∠ECB=400，∠BCD=______
（8）如图， AB∥CD , EG⊥ AB于G , ∠CFK=500 ，∠E=_____
2．思维拓广：已知AB∥CD，E为平面内一点（E不在AB和CD上），连接AE，CE，探索∠E与∠A，∠C之间的关系。
3．中考链接：如图，一条公路修在湖边，需拐弯绕湖而行，如果第一次拐过的角A是1200，第二次拐过的角B是1500，那么第三次拐过的角C是多少度时，恰好能使拐弯后的道路和拐弯前的道路平行？为什么？
活动目的：知道平行公理及其推论;会识别同位角、内错角、同旁内角，探索平行线的性质和判定方法；能初步应用本章所学的知识解释生活中的现象及解决简单的实际问题，体会研究几何图形的意义；在观察、操作、相像、说理、交流的过程中，发展空间观念，初步形成积极参与数学活动、与他人合作交流的意识，激发学习空间与图形的兴趣。练习3是为了让学生认识一些变式图形，打破思维局限了解平行线的概念。
实际教学效果：说理、推理的内容是本章的教学难点，教科书中注意对学生循序渐进地进行训练．由于学生的认知能力有差别，基础也不同，所以教学中一方面要按要求有计划地组织好教学，另一方面要注意因材施教．对于学习有困难的学生，一定要一步一步地使每阶段的训练到位，不要急于求成；对接受能力强的学生，要及时调整教学要求，保护他们学习的积极性，满足他们的求知欲，对于要求说明理由的习题，也可以要求他们把推理的过程用相对符号化的语言表示出来．
第五环节：活动单元三-----尺规作图
活动内容:（操作与解释）如图，以点B为顶点,射线BC为一边，利用尺规作∠EBC，使得∠EBC=∠A，EB与AD一定平行吗？
活动目的：通过这组练习，掌握画平行线这一基本技能。既复行线的画法及平行公理的推论，又以探究的形式将知识进一步延伸，拓广了学生的思维，同时为以后学习埋下了伏笔。
实际教学效果：学生能根据问题需要进行恰当的操作、画简单的尺规图形或简单说理，并用自己的语言加以表达、交流。
第六环节：综合提高
活动内容:1．潜望镜中的两面镜子是平行放置的，如图所示，光线经镜子反射后，∠1=∠2，∠3=∠4。你能从数学的角度解释一下进入潜望镜的光线和离开潜望镜的光线为什么是平行的吗？
2．有一条长方形纸带，按如图所示沿AB折叠时，当∠1=30°求纸带重叠部分中∠CAB的度数。
活动目的：通过拓广探索，让学生将所学知识运用到生活中，服务于生活。
实际教学效果：这种设计意图，旨在进一步深化学生对角、相交线、平行线及其一些简单特性的理解，以及对识图和简单画图技能的掌握，同时进一步丰富学生的数学活动经验和体验，并在学习中有意识地培养学生积极的情感、态度，促进良好数学观的养成.
第七环节：课堂小结
活动内容: 师生交流共同总结本节课所学的知识
活动目的：课堂小结并不只是课堂知识点的回顾，要尽量学生畅谈自己的切身感受，教师对于发言进行鼓励，对于所涉及的数学思想、方法，更要有所思考，达到对所学知识巩固的目的
实际教学效果：由于本节课是复习课，，数学思想方法和符号意识也在逐步加强，题目的综合性加强了许多，在解答过程中对学生的辨析能力要求高了，学生肯定有不少收获和感想，需要与他人交流，因而在小结时，留出比平时小结稍多一点的时间。在小结中，让学生谈出自己学习的体会，其中有能够掌握的，也有掌握不好的，掌握不好的可以结合相关习题进行点拨。
第八环节：布置作业
活动内容：
1．复习题。
2．独立完成一份小结，用自己的语言梳理本章内容，并回顾自己在本章学习中的收获、困难和需要改进的地方。
教学设计反思
1．有意识地培养学生有条例的思考和表达。
对于推理能力的培养，本套教科书按照“说点儿理”“说理”“简单推理”“用符号表示推理”等不同层次分阶段逐步加深地安排．本章对于推理的要求还处在入门阶段，只是结合知识的学习，识图、画图、几何语言的训练从“说理”过渡到“简单推理”．因此本节复习课，采用了用语言叙述的方式进行“说理”，各个过程中，都没有采用“已知……，求证……，证明”的形式逻辑格式，而是用说理的方式展示推理的过程，但强调让学生经历推理的过程，感受推理论证的作用，使说理、推理作为观察、实验、探究得出结论的自然延续．因此教学中要注意准确把握教学要求，对推理能力的培养要有一个循序渐进逐步提高的过程，要鼓励学生用自己的语言说明理由，在书写格式上不作统一要求，可以用自然语言，可以结合图形进行说明，可以用箭头等形式表明自己的思路，也可以用数学符号语言表示说理、简单推理的过程，等等．总之，要注意逐步提高、不要急于要求学生用数学符号语言书写，不能操之过急。
2．注重对“基础知识”的理解和“基本技能”的掌握，注重对学生创新能力的培养。
本节课通过设置反馈练习来巩固两条直线的位置关系、平行公理及平行线的画法等基础知识和基本技能，为以后的学习打下基础。同时通过设置探究题来培养学生的实践能力和创新能力。本节课整体上采取阶梯式的实际方法。从整节课而言，由易到难；而每一个环节的设计也遵循这个规律。在复习课中又有新的知识和方法的收获，使学生有一种不断攀登，不断进步之感。
3．需要注意的地方
（1）在小组讨论之前，应该留给学生充分的独立思考的时间，不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考，掩盖了其他学生的疑问。教师应对小组讨论给予适当的指导，包括知识的启发引导、学生交流合作中注意的问题及对困难学生的帮助等，使小组合作学习更具实效性。
（2）本课设计的内容较为丰富，在实际使用时，可根据教学班的实际情况进行选取。解题之后要进行反思——改变命题的条件，或将命题的条件和结论互换，或将图形进行变化，会有什么结果？这样可以培养发散思维能力，提高应变能力。
平面内两条直线的位置关系
两线四角
平行公理及推论
相交线
对顶角
邻补角
三线八角
平行线
平行线的性质
平行线的判定
同旁内角
内错角
同位角
斜线
垂线及性质
1
2
3
4
A
B
C
1
2
3
4
E
F第二章 平行线与相交线
2．探索直线平行的条件（二）
山东省济南第二十七中学 褚爱华
学生起点分析：
学生的知识技能基础：在第一课时的学习中学生已经初步经历了探索直线平行条件的过程，并得到了“同位角相等，两直线平行”的结论，初步具有了利用角的大小关系来判断直线位置关系的意识，认识了三线八角的基本图形，为本节课的继续探究打下基础，因此本课的设计应充分利用学生已有的认知基础，使其成为上节课探究的延续，较好的完成本单元的学习。
学生的活动经验基础：在第一课时的学习中，为学生提供了大量生动有趣的现实情境，通过观察、画图、操作、折纸等活动，认识到了探索直线平行的必要性及基本方法，获得了初步的数学活动经验和体验。同时在活动中也培养了学生良好的情感态度，具备了一定的主动参与、合作意识和初步的观察、分析、抽象概括的能力。
教学任务分析：
在第一课时已经得到同位角相等，两直线平行的基础上，本课时主要教学任务是认识内错角、同旁内角，并探索出利用内错角和同旁内角的大小关系来判断两直线平行的有关结论。由于学生对于三线八角的认识还不够深入，对内错角、同旁内角的识别比同位角要略为复杂一些，所以本节课的难点之一就是让学生认识两种角，并能在不同的图形中正确识别。另外，在第一课时中，对于同位角相等，两直线平行的结论只要求学生能正确应用即可，对说理要求不高，但是在本节课中就要有目的的引导学生从直观和推理两方面来探索，既要结合实际图形发现规律，又要尽可能的引导学生采用推理的形式加以说明，把内错角相等、同旁内角互补转化为同位角相等来得出结论，因此本节课的教学目标是：
1．会识别由“三线八角”构成的内错角合同旁内角。
2．经历探索直线平行条件的过程，掌握利用同位角相等、同旁内角互补判别直线平行的结论，并能解决一些问题。
3．经历观察、操作、想象、图利、交流等活动，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程，进一步发展空间想象、推理能力和有条理表达的能力。
4．使学生在积极参与探索、交流的数学活动中，进一步体验数学与实际生活的密切联系。
教学设计分析：
本节课共设计了五个环节：立足基础，温故知新、创设情境，提出问题、大胆探究，各抒己见、及时巩固，深化提高、归纳小结，反思提高。
第一环节：立足基础，温故知新
活动内容：
1．通过以下问题带领学生在复习“三线八角”基本图形和同位角的基础上，进一步学习内错角和同旁内角。
问题1：如图，直线a，b被直线c所截，数一数图中有几个角（不含平角）？
问题2：写出图中的所有同位角，并用自己的语言说明什么样的角是同位角？
引导学生从角与截线与被截线的位置关系的角度来描述同位角。
问题3：它们具备什么关系能够判断直线a∥b？你的依据是什么？
问题4：图中∠3与∠5，∠4与∠6这样位置关系的角有什么特点？∠3与∠6，∠4与∠5这样位置关系的角呢？说说你的理由。
由此引导学生概括得出内错角与同旁内角的概念。
2．巩固练习1：课本随堂练习1：
观察右图并填空：（1）∠1与 是同位角；
（2）∠5与 是同旁内角；
（3）∠2与 是内错角。
练习2：如图，直线AB，CD被EF所截，构成了八个角，
你能找出哪些角是同位角、内错角、同旁内角吗？
活动目的：在第一课时学生已经初步接触了三线八角中的同位角，设计问题1、2的目的是从学生已有的知识入手复习，通过对同位角的进一步复习，再次让学生认识到具备同位角关系的一对角是在被截直线的同一侧，在截线的同一旁，相对位置是相同的，为类比学习内错角和同旁内角做好铺垫。通过问题4，引导学生概括出图中∠3与∠5，∠4与∠6这样位置关系的角，在两条被截直线的内部，在截线的两侧，位置是交错的，这样的角叫做内错角；而像∠3与∠6，∠4与∠5这样位置关系的角，在两条被截直线的内部，在截线的同旁，这样的角叫做同旁内角，由此得到对内错角和同旁内角的初步认识，再通过两个较简单的练习及时巩固，实现本课的第一个教学目标。
实际教学效果：通过教学发现，学生对于变式图形中三种角的识别确实存在问题，特别是在图中不出现平行线的情况下，更加困难，个别学生认为同位角就一定相等，忽略了直线平行。通过练习1，2，帮助学生澄清了认识。问题4中引导学生类比对同位角的描述来发现和描述内错角、同旁内角的位置关系，绝大多数学生能够较清晰的表述，对此应不做较高要求，主要目的是以此加深学生对于这两种的识别，实践证明，这样处理学生较易掌握。然后通过练习及时进行了巩固训练，效果较好，教学时可根据学生情况适当增加变式图形的练习，但不易过难。
第二环节：创设情境，提出问题
活动内容：
给出实际问题：小明有一块小画板，他想知道它的上下边缘是否
平行，于是他在两个边缘之间画了一条线段AB（如图所示）。小明只有
一个量角器，他通过测量某些角的大小就能知道这个画板的上下边缘是
否平行，你知道他是怎样做的吗？
2． 画板上下边缘是否平行能利用同位角来判断吗？如果不能，是否可以利用其他角来判断？请你先自主探索，再与同伴交流。
设计目的：创设这个情境的目的在于引导学生思考，当用同位角不能直接判断直线是否平行时，应该怎么办？由此激发学生进一步去探索直线平行的条件。教学时教师鼓励学生充分操作和思考，探索还有哪些角可以用来判断直线是否平行。这样设计，使得探索活动成为解决实际问题的需要，进一步渗透数学的应用价值。在解决问题2的过程中，由于有了第一环节的铺垫，学生的探究方向比较明确。
实际教学效果：测量画板边缘是否平行问题，与学生的生活实际联系密切，所以学生表现出来比较有兴趣，能积极进行观察和操作。因为通过前面的教学，学生能够较快的想到探索内错角的关系来判断两直线平行，但是主动考虑到去测量同旁内角的不多，教师可以适时地对学生进行启发。应注意通过此例教学，只是让学生得到一个初步的猜想，引导下一步的探究，由于度量不可避免的会产生一定的误差，所以只要学生能够通过度量得出猜想即可。
第三环节：大胆探究，各抒己见
活动内容：依次完成以下几个步骤，引导学生从实践到理论探索直线平行的条件
1．课本议一议：（1）内错角满足什么关系时，两直线平行？为什么？
（2）同旁内角满足什么关系时，两直线平行？为什么？
请你先独立思考，采用你认为适当的方式来说明理由，然后再与同学交流。
2．观察课件中的三线八角，内错角的变化和同旁内角的变化，得出结论：
内错角相等，两直线平行。
同旁内角互补，两直线平行。
3．挑战自我：你能结合图形用推理的方式来说明以上两个结论成立的理由吗？
如图，直线a，b被直线c所截，
当（1）∠1=∠2,（2）∠1+∠3=180°时，说明a∥b的理由。
活动目的：本环节的教学是重点，鉴于学生在第一课时已有了探究的经验和方法，本课的第一环节又学会了识别内错角和同旁内角，所以将此探究先放给学生。由于探究的方式较多，具有一定的开放性，给学生留有充分的探究空间。本环节选取了课本的议一议，采取的方式是先独立思考、探究，再讨论交流，目的是充分发挥每一个学生的积极性，尽可能的找到多种方法，这样合作交流才有了更充分的内容，才能够互相启发，博采众长。在学生交流的基础上，教师再利用课件展示，进一步验证结论，从而引导学生得出结论。这样设计，避免了多媒体展示取代学生的思考的弊端。以上探索所运用的是合情推理的方式，作为较高要求，设计了问题3，引导学生用推理的方法来说明理由，目的是逐步渗透推理的意识，教学时可根据学生情况处理。
实际教学效果：由于学生表现出不同的思维习惯和水平，在探究中采取了不同的方法，主要有：利用教具实验、测量、计算、剪纸拼接，能力较强的学生采用了推理的方式，发现了当内错角相等（或同旁内角互补）时，两直线平行。教学时，教师鼓励学生说明这一发现的理由，只要能运用自己的语言说清楚即可，教师不急于评判各种方法的优劣，而是鼓励学生之间进行充分的交流，引导学生在与他人交流中获益。通过课件的展示，更加使学生认识到所探究结论是正确的。最后的问题3，学生在书面表达方面还有些欠缺，教师可通过板书为学生进行示范，为今后学习较严格的推理论证打基础。通过以上循序渐进的探究活动，学生的思维不断得到促进，较好的实现了教学目标。
第四环节：及时巩固，深化提高
活动内容：
1．做一做：三个相同的三角尺拼接成一个图形，
请找出图中的一组平行线，并说明你的理由。
2．图中各角分别满足下列条件时，你能判断哪两条直线平行吗？
（1）∠1＝∠4；（2）∠2＝∠4；（3）∠1+∠3=180°
3．看图填空：
（1）如右图，∵∠1＝∠2
∴ ∥ ，
∵∠2＝
∴ ∥ ，同位角相等，两直线平行
∵∠3＋∠4＝180°
∴ ∥ ，
∴AC∥FG，
（2）如右图，∵∠2= ，
∴DE∥BC
∵∠B＋ ＝180°，
∴DB∥EF
∵∠B＋∠5＝180°
∴ ∥ ， 。
活动目的：通过练习及时巩固所学知识，并学会灵活应用。练习1，2的目的在于直接应用直线平行的条件来寻找平行线，并用自己的语言说明理由。教学时要注重使不同的学生都能得到发展，对于学习程度较好的学生要增加思维深度，分析图中角与角之间的关系，尽可能找出所有的平行线，鼓励学习有困难的学生利用拼摆三角板，发现在拼摆过程中某些角之间的大小关系，至少找出一组平行线。教学时鼓励学生运用自己的语言说明理由，教材呈现了两种说理方式，一种是自然语言，一种是利用框图的形式，目的是表现出说理方式的多样性，教学时可根据学生实际选择适当的方式。练习3是通过填空的形式降低了难度，帮助学生加深对所学结论的认识，初步训练数学语言。
实际教学效果：学生通过观察、思考、回答问题，进一步加强了学生的说理和简单推理的意识，同时也训练了学生的动手操作能力以及对知识的灵活应用。以上题目也可以适当加深难度，增加开放性，例如，可以将第2题改为：当哪两个角相等时，直线a∥b？等。通过练习发现，学生初步了解同位角、内错角和同旁内角，但在三线八角图中，同时找同位角、内错角、同旁内角就有些混乱，个别学生出现“同旁内角相等，两直线平行”的错误。在后面学习中还要结合具体问题帮助学生辨析。
第五环节：归纳小结，反思提高
活动内容：师生以谈话交流的形式对本节课所学知识进行总结：
到目前为止，我们共学习了几种判断直线平行的方法？它们之间有何区别与联系？
学生可用自己的语言归纳总结本节课的内容，指导学生总结本节课的知识要点：鼓励学生积极发言，在总结过程中，让学生熟记：
① 同位角相等，两直线平行； ② 内错角相等，两直线平行；③ 同旁内角互补，两直线平行.
教师要在思想方法方面进一步提升，扩大学生的认知结构，发展能力，从而使课堂教学真正落实到学生的发展上。
布置作业： 课本习题2.3.
教学设计反思：
1．依据学生认知基础，恰当确立教学起点。从课的一开始，教师就为学生营造一个生动活泼、主动求知的学习环境，并从学生的生活出发，以实例引入问题，较好的激发学生的兴趣。充分体现了以学生为主体，以培养学生思维能力为重点的教学思想，教师以探索任务引导学生自主探究，在经历知识产生和发展的过程中，培养学生的操作、观察、探究、合作、归纳的能力。
2．整合教材，重视建构完整的知识结构。根据学生实际，为更好的达到本节课的教学目的，在学生的最近发展区内，针对教材内容进行了补充和调整，适当增加教学深度，扩展了学生的知识结构，例如对三线八角的认识、推理能力的初步渗透等，发展了学生的能力，有利于学生对知识的掌握，实现了新课改多维目标的发展。
c
a
b
a
n
m
b
3
4
5
2
1
4
1
2
3
5
6
7
8
Ｄ
Ｃ
Ｂ
E
Ａ
F
a
b
c
1
3
2
A
E
D
C
B
n
b
a
l
m
4
3
2
1
1
2
3
4
A
B
C
D
E
F
G
A
B
C
D
E
F
4
3
2
1
5本套教材中一共学习哪些尺规作图，分别安排在哪几册？
本套教材从七年级下册开始正式学习尺规作图，主要要求学生会做：
作一条线段等于已知线段（七下）
作一个角等于已知角（七下）
已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形（七下）
已知三角形两角及其夹边，求作这个三角形（七下）
已知三角形的三边，求作这个三角形（七下）
用尺规作线段的垂直平分线（九上）
用尺规作角的平分线（九上）第二章 平行线与相交线
1.余角与补角
山东省济南实验初级中学 孙晓雯
学生起点分析
学生的知识技能基础：学生在小学已经接触认识过平行线、相交线，在七年级上学期，已经直观认识了角、平行与垂直。这些知识储备为学生本节课的学习奠定了良好的知识技能基础。
学生活动经验基础：在前面知识的学习过程中，学生已经经历了一些探索、发现的数学活动，积累了初步的数学活动经验。具备了一定的图形认识能力和借助图形分析和解决问题的能力；并初步学习了在直观认识的基础上进行合情说理，将直观与简单说理相结合的方法；初步感受到推理说明的必要性和作用；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。
二、教学任务分析
教科书提出本课的具体学习任务：了解补角、余角、对顶角的概念及其性质并能够进行简单的应用。但这仅仅是这堂课外显的具体教学目标，或者说是一个近期目标。数学教学由一系列相互联系而又渐次梯进的课堂组成，因而具体的课堂教学也应满足于整个数学教学的远期目标，或者说，数学教学的远期目标，应该与具体的课堂教学任务产生实质性联系。本课内容从属于“空间与图形”这一数学学习领域，因而必须服务于几何知识教学的远期目标：“让学生经历观察、操作、推理、想象等探索过程，发展学生的空间观念及推理能力”，同时也应力图在学习中逐步达成学生的有关情感态度目标。为此，本节课的教学目标是：
1．在具体情境中了解余角与补角，知道余角和补角的性质，通过练习掌握余角和补角的概念及性质，并能运用它们解决一些简单的实际问题。
2．经历观察、操作、推理、交流等活动，进一步发展空间观念、推理能力和有条理地表达的能力；经历探索余角、补角、对顶角的性质的过程。
3．通过学生动手操作、观察、合作、交流，进一步感受学习数学的意义，培养其主动探索、合作以及解决问题的能力。
教学设计分析
本节课设计了八个教学环节：情境引入、探索研究一、小诊所、探索研究二、巩固练习、 游戏时间、课堂小结、布置作业。
第一环节 情境引入
活动内容：搜集生活中常见的图片，让学生从中找出相交线和平行线。
活动目的：平行线、相交线在生活中随处可见，同时它们又是构成同一平面内两条直线的基本位置关系。本节课作为章头起始课，应让学生对本章所学知识有一个大体的了解，同时体会本章内容的重要性和在生活中的广泛应用。在课堂中用源于生活真实的图片让学生观察和发现，会极大地激发学生的学习兴趣，为进入新课做好准备。
活动注意事项：在每张图片中的相交线与平行线不只是课件中显现出的几条， 在实际教学中可让学生自由寻找，充分发表自己的意见。
第二环节 探索发现
活动内容：参照教材p59光的反射实验提出下列问题：
（1） 模拟试验：通过模拟光的反射的试验，为学生提供生动有趣的问题情景，将其抽象为几何图形，为下面的探索做好准备。
（2）利用抽象出的几何图形分三个层次提出问题，进行探究。
i 说出图中各角与∠3的关系。将学生的回答分类总结，从而得到余角、补角的定义。
ii 图中还有哪些角互补？哪些角互余？在巩固刚刚得到的概念的同时，为下一个问题作好铺垫。
iii 图中都有哪些角相等？由此你能够得到什么样的结论？在学生充分探究、交流后，得到余角、补角的性质。
活动目的：通过生动有趣的活动情景，为学生提供了观察、操作、推理、交流等丰富的数学活动，使学生在自主学习的过程中，学会余角、补角的概念及其性质。同时发散学生思维，让学生尽可能用多种方法来说明自己猜测的正确性，培养学生合情说理的能力。并在这个过程中，培养学生抽向几何图形进行建模的能力。
活动注意事项： 本环节的三个问题是层层递进提出来的，每一个问都为下个问题作好准备。应注意（1）学习的过程中，时刻不能忘记学生是主体，一切教学活动都应当从学生已有的认知角度出发，问题环节设计跨越性不能太强，让学生在不断的探索过程中得到不同程度的感悟，自己能够主动地去探究问题的实质，有成功的体验。（2）要充分发散学生的思维，鼓励学生大胆发表自己与他人不同的意见，敢于质疑；（3）要培养学生用合情说理的方法进行说明，进一步培养学生的推理能力。
第三环节 小诊所
活动内容：判断下列说法是否正确
（1）300 ，700 与800 的和为平角，所以这三个角互余。（ ）
（2）一个角的余角必为锐角。 （ ）
（3）一个角的补角必为钝角。 （ ）
（4）900 的角为余角。 （ ）
（5）两角是否互补既与其大小有关又与其位置有关（ ）
总结提示：互余与互补是指两个角之间的数量关系，与它们的位置关系无关。
活动目的：以判断题的形式引导学生逐步加深对余角、补角的概念及其性质的理解。澄清学生对概念和性质模糊的地方。用温馨提示的方式总结学生易错之处。
活动注意事项： 学生可能会认为概念和性质不难理解，但认识中却存在不清晰的地方。此处应给学生充分的讨论与思考的时间，可以分组讨论合作，也可以现场辩论，充分发挥学生的作用，让他们之间思维互相碰撞，充分展示他们的思维过程。在争论中发现问题要比盲目的接受知识更有意义，特别是学生之间通过合作学来的知识更能在脑海中留下深刻的印象。
第四环节 议一议（探索发现对顶角的概念和性质）
活动内容：参照教材剪子的实验，抽象出几何图形后提出下列问题：
（1）用剪子剪东西时，哪对角同时变大或变小？你能说明理由吗？（在复习巩固上面刚刚得出的性质的同时，为下一个问题作好铺垫。）
（2）你能发现这样的两个角有怎样的位置关系吗？（通过学生观察，总结，得出对顶角的概念。）
（3）在图2中，还有相等的角吗？这几组相等的角在位置上有什么样的关系，你能试着描述一下吗？（总结得出对顶角的性质。）
活动目的：通过再次创设生动有趣的活动情景，提供了观察、操作、推理、交流等丰富的数学活动，使学生在自主学习的过程中，学会对顶角的概念及其性质。同时进一步培养学生抽象几何图形进行建模的能力。
活动注意事项：应将活动过程充分放手给学生，同时培养学生抽象几何图形的能力，合情说理的能力，观察分析的能力，总结归纳的能力等。这个环节应是培养学生各种数学活动能力的良好的素材，使学生积累起更多的数学活动经验。
第五个环节 牛刀小试
活动内容：回答下列问题
1．你能举出生活中包含对顶角的例子吗？
2．下图中有对顶角吗？若有，请指出，若没有，请说明理由。
3．议一议：如上图所示，有一个破损的扇形零件，利用图中的量角器可以量出这个扇形零件的圆心角的度数吗？你能说出所量角是多少度吗？你的根据是什么？
活动目的：分层次巩固训练对顶角知识的理解和应用。
活动注意事项：本环节的三个问题是由浅入深提出来的。在第1个问题中充分发散学生的思维，让学生举出尽可能多的例子，在这个过程中加深对知识的理解，感受数学知识的无处不在。在第2个问题中，让学生充分说出理由，暴露思维，澄清模糊之处。第3个问题是教材中的议一议，通过一个实际问题，进一步加深学生对知识的理解。此问题解答方法不唯义，应鼓励学生大胆表述自己的意见，说出与他人不同的见解。
第六环节 游戏时间
活动内容：通过两个以游戏为背景的题目，进一步拓展思路，加深理解。
1．你玩过“抓老鼠”的游戏吗？游戏是：一个小伙伴将照射到室内的光线（图中DO）用平面镜反射到墙上，另一个小伙伴去抓射到墙上的影子（图中OE），平面镜移动，影子也随之移动，这里的∠1=∠2，它们是对顶角吗？∠1和∠BOC呢？你能说出图中与∠1相等和互补的角吗？
2．你知道吗？打台球的游戏中，台球击到桌沿又反弹回来的路线，就和光的反射定律中入射光线与反射光线的路线是一样的。
下图中是一个经过改造的台球桌面示意图，图中的阴影为6个袋孔，如果一球按图示方向击出去，最后落入第几个袋孔？
活动目的：这个环节是对知识的又一个应用高度。以学生熟悉喜爱的两个游戏为背景，让学生在问题情境中应用知识，让学生学会建模，进一步加深对知识的理解，并进行灵活运用，培养学生灵活运用知识的能力。
活动注意事项：这一环节可视课堂的实际情况而定，不作全面的要求，让学有余力的学生解决问题，让不同的学生得到不同的发展。
第七环节 课堂小结
活动内容：师生互相交流本堂课上应该掌握的知识和方法，教师对课堂上发现的学生掌握不好的地方给以强调。
活动目的：课堂小结并不只是课堂知识点的回顾，要尽量学生畅谈自己的切身感受，教师对于发言进行鼓励，对于两个知识点整合，更要有所思考，达到对所学知识巩固的目的。
活动注意事项：在小结中，让学生谈出自己学习的体会，其中有能够掌握的，也有掌握不好的，掌握不好的可以结合相关习题进行点拨。
第八个环节 布置作业
活动内容
1．习题2.1数学理解1，2
习题2.1问题解决1，2
2．思维拓广：如图，先找到长方形纸的宽DC的中点E，将∠C过点E折起任意一个角，折痕是EF，再将∠D过点E折起，使DE与HE重合，折痕是GE，请探索下列问题：
（1）∠GEF是直角吗？为什么？
（2）∠FEH与∠GEH互余吗？为什么？
（3)在上述折纸的图形中，还有哪些角互为余角？还有哪些角互为补角？
活动目的：分层布置作业，让不同程度的学生都能有不同的收获。
教学设计反思
1．阶梯上升，层层递进
教师在教材提供最基本的教学素材的基础上，根据学生的实际情况进行适当调整。环节之间是阶梯上升的，难度逐步加深；每一个环节中的问题之间，也是层层递进，前一个问题的解决都是为下一个知识的学习做好铺垫。使学生感受到一个问题的解决不是学习任务的完成，而是一个新的任务的开始。不断获得新的发现，一直充满挑战的乐趣。
2．创设丰富的问题情景，体现所学内容与现实世界的联系。
立足于学生的生活经验和已有的数学活动经验，创设恰当的问题情景，呈现学习内容，使学生经历现实生活中抽象出模型的过程。问题情景的创设，需要教师进行“教学法的加工”和一定程度的创造。既可以充分利用教材的题材，也可以创设更符合学生的现实的、有趣的情景，使学生充分体会数学知识来源于生活又应用于生活。
3．注意改进的方面
在小组讨论之前，应该留给学生充分的独立思考的时间，不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考，掩盖了其他学生的疑问。教师应对小组讨论给予适当的指导，包括知识的启发引导、学生交流合作中注意的问题及对困难学生的帮助等，使小组合作学习更具实效性。
O
D
B
A
C
C
墙
镜子
A
太阳光
反射光线
D
O
B
E释疑解惑
问题1：怎样理解平行线的特征？
解答：平行线的特征与平行线的条件有如下关系：
平行线的特征是与两直线平行的条件相反的问题。即：
同位角相等
两直线平行 内错角相等
同旁内角互补
两直线平行的条件是由角的数量关系推得直线的位置关系，而平行线的特征是由直线的位置关系推得角的数量关系，二者的思维方向显然是相反的。
问题2：怎样运用平行线的特征？
解答：第一，运用平行线的特征是，首先要先有两条平行线，而且找出这两条平行线同是被哪条直线所截，在此前提条件下才能更快地找出相等或互补的角。
第二，平行线的特征在解决实际问题中非常重要。如在隧道的施工、潜望镜的原理等都与平行线的特征有关，要善于将实际问题抽象成数学模型来解析和应用。
同是在解决问题中，要注意根据已知条件和所求问题灵活应用。
特征
条件第二章 平行线与相交线
3．平行线的特征
山东省济南实验初级中学 孙晓雯
学生起点分析：
学生的知识技能基础：学生在小学已经学行线，对其特征有一定的了解。在本章前面几节课中，又学行线的判定方法，并利用其解决了一些问题；对同位角、内错角、同旁内角的概念及应用有了一定的了解，这些知识储备为学生本节课的学习奠定了良好的知识技能基础。
学生活动经验基础：在前面知识的学习过程中，学生已经经历了一些探索、发现的数学活动，积累了初步的数学活动经验。具备了一定的图形的认识能力和借助图形分析和解决问题的能力；并初步学习了在直观认识的基础上进行合情说理，将直观与简单说理想结合的方法；初步感受到推理说明的必要性和作用；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。
教学任务分析：
教科书基于学生对平行线的认识，提出了本课的具体学习任务：掌握平行线的三个特征，并能够综合运用平行线的特征和两直线平行的条件解决问题。但这仅仅是这堂课外显的具体教学目标，或者说是一个近期目标。数学教学由一系列相互联系而又渐次梯进的课堂组成，因而具体的课堂教学也应满足于整个数学教学的远期目标，或者说，数学教学的远期目标，应该与具体的课堂教学任务产生实质性联系。本课内容从属于“空间与图形”这一数学学习领域，因而必须服务于几何知识教学的远期目标：“让学生经历观察、操作、推理、想象等探索过程，发展学生的空间观念及推理能力”，同时也应力图在学习中逐步达成学生的有关情感态度目标。为此，本节课的教学目标是：
1．经历观察、操作、推理、交流等活动，了解平行线的性质，能运用这些性质进行简单的推理或计算。
2．经历观察、操作、推理、交流等活动，进一步发展空间观念、推理能力和有条理地表达的能力；经历探索平行线的特征的过程。
3．通过学生学习动手操作、观察、合作、交流，进一步感受学习数学的意义，培养其主动探索、合作以及解决问题的能力。
教学设计分析
本节课设计了八个教学环节：复习回顾、情境引入、探究发现、牛刀小试、加深理解、综合应用、颗粒归仓、布置作业。
第一环节：复习回顾
活动内容：复习已学过的同位角、内错角、同旁内角的概念及两直线平行的条件。
∵∠1=∠2 (已知)
∴a∥b（同位角相等，两直线平行）
∵∠3=∠2 (已知)
∴a∥b（内错角相等，两直线平行）
∵∠2+∠4=1800 (已知)
∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行）
活动目的:本节课所学知识与前一节课的内容有着密切的 联系，两者既有相通之处又有本质的区别。通过复习已学知识，一方面为本节课的学习奠定好基础，另一方面为“对比发现，加深理解”环节作好铺垫。
活动的注意事项：本节课所学平行线的特征与前面两直线平行的条件，学生在应用时非常容易混淆。因此在本环节中，教师就应强调应用的对象。另外，掌握好判定的几何语言描述，学生可以进一步类比，更好地掌握本节课知识。
第二环节：情境引入
活动内容：通过有趣的实际问题，设置悬念，激发学生的求知欲和好奇心，引入新课
如图，是举世闻名的三星堆考古中发掘出的一个梯形残缺玉片，工作人员从玉片上已经量得∠A=115°，∠D=110°。已知梯形的两底AD//BC，请你求出另外两个角的度数。
活动目的：本题在介绍有关考古知识的同时，提出一个极具趣味性的问题，学生可能通过猜测得到答案，但并不理解其中真正的原因所在，从而激发学生强烈的求知欲和好奇心，引入新课的学习。从中也使学生进一步体会，数学来源于生活又作用于生活。
实际教学效果：学生在观看图片，了解考古知识时，兴趣浓厚；在充满趣味的问题情境中回答问题时，积极性高涨，互相质疑，各抒己见，气氛热烈。为下一个环节的展开奠定了良好的知识和心理基础。
第三环节：探索发现
活动内容：让学生自行画出符合要求的图形后，提出问题：
（1）合作交流一：请找出图中的同位角，并猜测他们有何关系？你能想办法验证你的猜测吗？
（2）合作交流二：请找出图中的内错角，并猜测他们有何关系？你能想办法验证你的猜测吗？
（3）图中还有其他位置关系的角吗？它们有何关系呢？说一说你是怎样得到的结论的。
以上问题在经过学生独立思考后，再进行小组讨论，互相补充，并派代表回答。在此处，还利用Z+Z设计了相应的课件，可以使学生进一步通过操作、观察，得出结论。
（4）由师生共同总结平行线的特征和简记。
活动目的：通过让学生经历观察、操作、推理、想象等探索过程，获得数学活动的经验；发散学生思维，让学生尽可能用多种方法来说明自己猜测的正确性，培养学生合情说理的能力，并在这个过程中，培养学生与人合作交流的能力。
活动注意事项：（1）学习的过程中，时刻不能忘记学生是主体，一切教学活动都应当从学生已有的认知角度出发，问题环节设计跨越性不能太强，让学生在不断的探索过程中得到不同程度的感悟，自己能够主动地去探究问题的实质，有成功的体验。（2）要充分发散学生的思维，鼓励学生大胆发表自己与他人不同的意见，敢于质疑；（3）要培养学生用合情说理的方法进行说明，进一步培养学生的推理能力；（4）对于Z+Z课件的使用，最好是在学生得出结论后，作为验证进行观察，以免抑制学生的思维。
第四环节：牛刀小试
活动内容：1．完成下列填空
（1）∵ AD//BC (已知)
∴ ∠B=∠1 (两直线平行，同位角相等)
（2）∵ AB//CD (已知)
∴ ∠D＝∠1 (两直线平行，内错角相等)
（3）∵ AD//BC (已知)
∴ ∠C＋∠D＝180 (两直线平行，同旁内角互补)
2．如图所示，AB∥CD，AD∥BC,分别找出与∠ADC
相等或互补的角。
3．解决本课之始的引例问题。
4．著名的比萨斜塔建成于12世纪，从建成之日起就一
直在倾斜，目前，它与地面所成的较小的角为85
（如图），它与地面所成的较大的角是多少度？
活动目的：这是教科书中出现的练习题和本节课的引例，目的就是通过其来落实基础，特别是学生刚刚接触到新的知识时，往往应用起来会感到比较生疏，或者说对它的感觉仍旧停留在“雾里看花”状态，这就需要一个过程，也就是对新知识从熟悉到熟练的过程，无论是基本的习题，还是变化的习题，都要以透彻为最终目标。
活动注意事项：第1小题是性质的基本几何语言，也紧扣复习中的判定，以利于下一个环节的进行；第2小题是教材课后题，学生在观察图形时较为困难，在课件中也随附了一个Z+Z课件，可任意去掉某一条直线，从而变为基本图形，有利于学生学会观察基本图，同时有利于学生进一步学会判别截线和被截线（截线和被截线的名词不用告诉学生）；第3，4小题是解决课的引例后的一个巩固练习，有利于学生进一步理解知识，感受数学和生活的联系，仍要注意引导学生观察基本图形。
第五个环节：对比发现，加深理解
活动内容：填写下列表格，并思考二者有何区别和联系：
平行线的特征 直线平行的条件
师生共同总结：
同位角相等
两直线平行 内错角相等
同旁内角互补
活动目的：对比平行线的特征和直线平行的条件，发现其区别和联系，加深理解。
活动注意事项：此处要给学生充分的时间去独立思考，鼓励学生从多个侧面来考虑问题。培养学生观察、分析、对比以及条理的表达自己思维过程的能力。对于学生合理的回答，教师都应给予积极的肯定。
第六个环节：综合应用
活动内容：1．如图所示，一束平行光线AB与DE 射
向一个水平镜面后被反射，此时∠1=
∠2，∠3=∠4。
∠1 ，∠3的大小有什么关系？
∠ 2与∠4呢？
（2）反射光线BC与EF也平行吗？
2．潜望镜中的两面镜子是平行放置的，如图所示，光线经镜子反射后， ∠1=∠2，∠3=∠4。你能从数学的角度解释一下进入潜望镜的光线和离开潜望镜的光线为什么是平行的吗？
活动目的： 两个问题都是关于平行线性质和条件的综合应用，是对上一个环节的巩固应用。
活动注意事项： 第1题是教材中的做一做，注意条件和性质的区别应用；另外，教材中给出了推出符号的形式，应注意让学生理解；第2题是对教材例题的变形，有助于巩固知识，应让学生尽力自己完成。题目综合性很强，在考虑过程中必定要把两者结合起来考虑确实有一定的难度。课堂上速度放慢，给学生充分的讨论与思考的时间，可以启用分组讨论合作的方式，充分发挥学生的作用，让他们之间相互讨论，相互启发，进行合作交流。在争论中发现问题要比盲目的接受知识更有意义，特别是学生之间通过合作学来的知识更能在脑海中留下深刻的印象。
在教学过程中如果时间较紧，可从中选取个别题目来处理。
第七个环节：颗粒归仓
活动内容：师生交流共同总结本节课所学的知识
1．平行线的三个特征
2．直线平行的特征与直线平行的条件的区别。
（1）识别与特征的条件与结论有什么关系？
（2）使用识别时是已知 ___，说明
使用特征时是已知 ，说明_____________
3．几何中的计算往往要说理，要熟悉几何里计算题的格式，学习合情说理。
活动目的：课堂小结并不只是课堂知识点的回顾，要尽量学生畅谈自己的切身感受，教师对于发言进行鼓励，对于两个知识点整合，更要有所思考，达到对所学知识巩固的目的。
活动注意事项：由于学行线的特征和条件两个知识，题目的综合性加强了许多，在解答过程中对学生的辨析能力要求高了，学生肯定有不少疑惑，需要与他人交流，因而在小结时，留出比平时小结稍多一点的时间。在小结中，让学生谈出自己学习的体会，其中有能够掌握的，也有掌握不好的，掌握不好的可以结合相关习题进行点拨。
第八个环节：布置作业
活动内容：1．教材
2．思维拓展：当一个角的两边与另一个角的两边分别平行时，这两个角会是什么关系呢？试探究下列问题：
（1）如图（1）所示， AB∥ED， BC∥EF，那么∠B与∠E的
关系是______
（2）如图（2），AB∥ED， BC∥EF，那么∠B与∠E的关系是_________
总结上面的结论是________________________________
教学设计反思
1．加强与生活的联系
教材只是为教师提供最基本的教学素材，教师完全可以根据学生的实际情况进行适当调整。在本节课中，适当的增加了与生活紧密联系的问题，让学生在用中学，充分体会数学与生活的紧密联系。
2．充分挖掘知识内涵，使学生体会数学知识及间的密切联系
在教学中，有意识、有计划的设计教学活动，引导学生体会平行线特征与两直线平的条件之间的联系与区别，感受数学的整体性,不断丰富学生的解题策略，提高解决问题的能力。
3．需要注意的地方
（1）在小组讨论之前，应该留给学生充分的独立思考的时间，不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考，掩盖了其他学生的疑问。教师应对小组讨论给予适当的指导，包括知识的启发引导、学生交流合作中注意的问题及对困难学生的帮助等，使小组合作学习更具实效性。
（2）本课设计的内容较为丰富，在实际使用时，可根据教学班的实际情况进行选取。
a
b
c
1
7
4
5
6
3
2
8
1
B
C
D
A
D
C
B
A
特征
条件
B
E
1
2
3
4
C
F
D
A
B
E
1
2
3
4
图(1)
图(2)
A
A
B
B
C
C
D
D
E
E
F
F(共25张PPT)
注：本课件请用OFFCE2003以上版本观看，否则将有部分内容无法观看
一、构建本章知识结构
A
B
C
D
E
F
O
A
B
C
D
A
B
D
E
O
相交线
F
E
O
平行线
对顶角、补角、
余角的概念
及性质。
平行的条件；
平行的特征。
两个角的和是_____，称这两个角互为余角。
两个角的和是平角，称这两个角互为_____。
有公共顶点，两边互为反向延长线的两个
角叫做_______。
_________的余角相等；
同角或等角的____相等；
对顶角_____。
直角
补角
对顶角
同角或等角
补角
相等
概念、性质填空：
区别：条件与结论互换，
即：已知平行用特征，探索平行用判定。
平行线的判定方法：
平行线的特征：
两直线平行，同位角相等；
两直线平行，内错角相等；
两直线平行，同旁内角互补。
同位角相等，两直线平行；
内错角相等，两直线平行；
同旁内角互补，两直线平行；
平行于同一直线的两直线平行。
a
b
相交线与平行线
相交线
平行线
补角、余角、对顶角
尺规作图
探索直线平行的条件
探索直线平行的特征
同位角
作一条线段等于已知线段
作一个角等于已知角
内错角
同旁内角
同位角
内错角
同旁内角
活动单元一
1.若∠BOC=2∠1，
则∠1=______，
∠BOC=_______。
O
A
B
C
D
2
1
2. 如图，在电线杆C点处引两根拉线固定电线杆，若∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，那么∠1___∠3 （填 >， =， < ）
理由是_____________。
2
1
3
C
3.（算算看）已知如图，OB⊥OA，直线CD过O，∠BOD=110°，
求∠AOC的度数？
活动单元二
平行线的特征
直线平行的条件
两直线平行，同位角相等
两直线平行，内错角相等
两直线平行，同旁内角互补
同位角相等，两直线平行
内错角相等，两直线平行
同旁内角互补，两直线平行
填写下列表格，并思考二者有何区别和练习：
两直线平行
同位角相等
内错角相等
同旁内角互补
特征
条件
1. 填空
（1）如图，∵AC∥ED（已知）
∴∠A=_________（ ）
（2）如图，∵AC∥ED（已知）
∴∠EDF=_________（ ）
（3）如图，∵AB∥FD（已知）
∴∠A+_______ =1800（ ）
（4）如图，∵AB∥FD（已知）
∴∠EDF+______=1800（ ）
（5）如图，∵BD∥EC（已知）
∴∠DBA=_________（ ）
∵∠C=∠D （已知）
∴∠DBA=_________（ ）
∴FD∥________（ ）
∴∠A=∠F （ ）
A
B
C
D
E
F
F
A
B
C
D
E
前4题图
∠BED
两直线平行，同位角相等
∠DFC
两直线平行，内错角相等
∠DFA
两直线平行，同旁内角互补
∠DEA
两直线平行，同旁内角互补
∠C
两直线平行，同位角相等
∠D
等量代换
AC
内错角相等，两直线平行
两直线平行，内错角相等
（6）如图，AB∥CD ,EG平分∠BEF , ∠EFG=500 ， ∠EGF=____
（7）如图，DC∥AB ,E为AB上一点，AD∥EC，∠A=700，
∠ECB=400，∠BCD=______
（8）如图， AB∥CD , EG⊥ AB于G , ∠CFK=500 ，∠E=_____
A
B
C
D
E
F
G
A
B
C
D
E
F
G
H
K
A
B
C
D
E
第6题
第7题
第8题
650
1100
400
思维拓广
已知AB∥CD , E为平面内一点（E不在AB和CD上），连接AE，CE，探索∠E与∠A，∠C之间的关系。
情况1
E在AB与CD之间且向内凹
∠AEC=∠A+∠C
A
B
C
D
E
情况2
E在AB与CD之间且向外凸
∠AEC+∠A+∠C=3600
A
B
C
D
E
思维拓广
已知AB∥CD , E为平面内一点（E不在AB和CD上），连接AE，CE，探索∠E与∠A，∠C之间的关系。
情况3
E在AB与CD外侧
思维拓广
已知AB∥CD , E为平面内一点（E不在AB和CD上），连接AE，CE，探索∠E与∠A，∠C之间的关系。
B
A
C
D
E
A
B
C
D
E
∠AEC= ∠A-∠C
如图，一条公路修在湖边，需拐弯绕湖而行，如果第一次拐过的角 B是1200，第二次拐过的角C是1500，那么第三次拐过的角D 是多少度时，恰好能使拐弯后的道路和拐弯前的道路平行？为什么？
A
B
C
D
活动单元三

4.（操作与解释）如图，以点B为顶点,射线BC为一边，利用尺规作∠EBC，使得∠EBC=∠A，EB与AD一定平行吗？
A
B
C
D
F
2
E
1
A
B
C
D
F
2
创新应用
潜望镜中的两面镜子是平行放置的，如图所示，光线经镜子反射后， ∠1=∠2，∠3= ∠4。你能从数学的角度解释一下进入潜望镜的光线和离开潜望镜的光线为什么是平行的吗？
1
2
3
4
有一条长方形纸带，按如图所示沿AB折叠时，当∠1=30°求纸带重叠部分中∠CAB的度数。
A
B
C
1
2
3
4
E
F
作业
复习题。
独立完成一份小结，用自己的语言
梳理本章内容，并回顾自己在本章学
习中的收获、困难和需要改进的地方。第二章 平行线与相交线
4．用尺规作线段和角（一）
山东省济南市实验初级中学 贾万峰
学生起点分析
学生的知识技能基础：学生在七年级上册的学习中，教材已经介绍了如何用直尺和圆规作一条线段等于已知线段。学生已经初步理解了作图的步骤，具备了基本的作图能力，为本节课的学习奠定了良好的知识基础。
学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了一些尺规作图的活动，解决了一些简单的问题，感受到尺规作图在数学中的一定作用，获得了从事尺规作图活动的一些数学活动经验；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。
教学任务分析
教科书基于学生在七年级上册已经接触过作一条线段等于已知线段，所以本节课的主要教学任务是：会用尺规作一条线段等于已知线段，并了解它在尺规作图中的简单应用。而这仅是一个近期目标，数学教学是一个循序渐进的过程，所以每一堂课的教学都是具有密切联系的。作一条线段等于已知线段是尺规作图的基础，我们应该更为注意数学教学的远期目标，并注意学生在活动当中所积累的数学经验。为此，本节课的教学目标是：
1．会利用尺规作一条线段等于已知线段，并能了解尺规作图中的简单应用。
2．能利用尺规作线段的和、差。
3．能够通过尺规设计并绘制简单的图案。
4．在尺规作图过程当中，积累数学活动经验，培养动手能力和逻辑分析能力。
教学设计分析
本节课设计了六个教学环节：情境引入，作一条线段等于已知线段，巩固应用，线段的和、差，课堂小结，布置作业。
第一环节 情境引入
活动内容：读一读
尺规作图有着悠久的历史。直尺的功能是：在两点间连接一条线段；将线段向两方向延长。圆规的功能是：以任意一点为圆心，任意长为半径作一个圆；以任意一点为圆心，任意长为半径画一段弧。利用尺规可以作出许多美丽的图案。
在“数学王子”高斯的纪念碑上，就刻着一个正十七边形，
它的尺规作图方法是高斯在青年时代发现的。
活动目的：通过介绍尺规作图的意义和历史，使学生了解直尺和圆规的作用，引入课题，并激发学生的学习兴趣。
实际教学效果：学生直接明确了本节课的主题，同时当提到“数学王子”高斯时，学生的学习兴趣立即被调动了起来，并且看到图案有主动去探索描绘的意愿，学生的学习积极性和主动性被很好的调动了起来。
第二环节 作一条线段等于已知线段
活动内容：利用没有刻度的直尺和圆规可以作出很多几何图形，你还记得我们是如何用圆规和直尺作一条线段等于已知线段的吗？
已知:线段AB
A B
求作:线段A′B′,使得A′B′=AB.
作法 示范
作射线A′C′； A′ C′
（2）以点A′为圆心，以AB的长为半径画弧，交射线A′C′于点B′。A′B′就是所作的线段。 A′ B′ C′
活动目的：在七年级上册中，已经介绍了如何用直尺和圆规作一条线段等于已知线段，教学时，教师可让学生回忆一下作图的过程和方法。同时此处首次正式出现尺规作图的问题，写出了“已知、求作”，并按照程序化的方式呈现了“作法”，教学时应要求学生在原有的基础上按照作图的步骤和要求来进行操作，并尝试说出作法。
实际教学效果：虽然学生在七年级上册接触过作一条线段等于已知线段，但是由于相隔时间比较长，所以有一部分同学遗忘，这时通过小组的交流合作，互帮互助，学生在合作中回忆起了作图的步骤，同时也在其中体会到了交流合作的重要性。而在本节课当中，是课本首次正式的出现尺规作图的问题，所以教师应在学生原有水平的基础上，规范学生的解题步骤，使得学生实现从原来的会按顺序作出图来到按照程序化的方式规范作图的转变。
第三环节 巩固应用
活动内容：1. 做一做（教材p74）
如右图，已知线段a 和两条互相垂直的直线AB，CD。 a
（1）利用圆规，在射线OA，OB，OC，OD上作线段OA’，OB’，
OC’，OD’，使它们分别与线段a 相等。
(2) 依次连接A’，C’ ，B’，D’，A’.
你得到了一个怎样的图形？与同伴进行交流。
2. 用心想一想，马到成功（教材p75随堂练习）
如图，已知线段a和b，直线AB与CD垂直且相交于点O．
利用尺规，按下列要求作图：
（1）在射线OA ， OB ， OC上作线段O A’，OB’ ，OC’，使它们分别与线段a 相等；
(2) 在射线OD上作线段OD’，使OD’ 等于b；
(3) 依次连接A’，C’，B’，D’，A’.
你得到了一个怎样的图形？
与同伴进行交流．
3. 教材题变形，拓展延伸
如图，已知线段a 和两条互相垂直的直线AB，CD。
(1) 利用圆规，在射线OA，OB上分别截取OA’，OB’
等于a，在射线OC，OD上分别截取OC’，OD’等于2a。
(2) 依次连接A’，C’ ，B’，D’，A’.
你得到了一个怎样的图形？
与同伴进行交流。
活动目的：这三个练习都是利用尺规作一条线段等于已知线段的简单应用问题。通过练习使得学生熟练作图步骤，熟练工具的使用。并在实际问题中体会到作一条线段等于已知线段的作用。
实际教学效果：三个练习分别是教材做一做，课后的随堂练习，以及对于课本做一做的变形，都是对于作一条线段等于已知线段的简单应用问题。在作图时，由于学生在相关知识学习中有一定的基础，所以作出图来是不困难的。但是在作图时，还应要求学生能够口头表述作法，并保留作图的痕迹，写清楚结论，从而从刚开始学习尺规作图，就养成严谨的习惯，规范作图。并且练习设置上有一定的层次性，最后一个对于课本题目的变形，其中出现了做一条线段的长度等于原来线段长度的2倍，从而引发学生的思考和探索，经过独立思考和交流合作，学生能够从两种不同的角度解决问题。同时也为接下来要学习的线段的和、差做了铺垫，起到了承上启下的作用。
第四环节 线段的和、差
活动内容：已知线段a，b，求作线段c=a+b
能否作线段c = a – b ？
活动目的：虽然在教材中没有出现有关线段的和、差，但是在课后习题2.5当中出现了有关作线段的2倍的问题，所以学生在此掌握作线段的和、差也是十分有必要的，并且接在上个练习之后，合情合理，适应学生的认知水平，同时活化了教材，对本节知识也是一种拓展延伸和补充。
实际教学效果：有了前面练习中的铺垫，学生很容易的独立解决了有关线段的和、差问题，充分体现了学生的自主学习性，同时通过学生的板演进一步规范，在这其中教师应该注意学生在说作法时语言的规范性，注意从开始就培养学生良好的学习习惯。
第五环节 课堂小结
活动内容：1. 本节课主要学习了用无刻度的直尺和圆规作一线段等于已知线段, 看似简单, 它却是最基本的几何作图的方法.
2. 课外还要加强基本作图工具的使用, 特别是圆规的使用要领与技巧要勤加操练.
3. 练习中还要注意几何语言表述的规范、书写格式的规范训练．
活动目的：课堂小结并不只是课堂知识点的回顾，要尽量让学生畅谈自己的切身感受，教师对于发言进行鼓励，同时在此除了对于知识的总结之外，本节课学生动手操作较多，还应注意学生对于参与活动感受的总结，培养学生严谨的学习习惯。
实际教学效果：由于对于作一条线段等于已知线段的学习学生曾经有所接触，所以在进行课堂小结时更应该注意对于知识的应用，几何语言的规范，工具使用的得当，作图的规范等方面提出要求，为今后的学习打下良好的基础。并且在进行总结时更多的让学生来谈，从学生之间的交流当中教师加以引导总结，使得学生在交流合作当中得以感悟。
第六环节 布置作业
1. 教材习题2.5
2. 利用交叉的“十”字，设计一幅美丽的图案。
教学设计反思
1．要创造性地使用教材
教材只是为教师提供最基本的教学素材，教师完全可以根据学生的实际情况进行适当调整。学生在七年级上就已经学过作一条线段等于已知线段，而且相对难度不大，因此没有必要再以新授课的方式来讲解如何作图。通过学生自己的回顾来获得新知，并在此基础上提出进一步的要求，学生的主体作用充分得以体现，学习的积极性在课堂开始就被充分的调动起来，对于后面内容的开展起到了很好的作用。同时对于有关线段和、差部分内容的补充也是有必要的，对于后面知识的学习起到了铺垫的作用，同时也适合北师大教材螺旋上升的特点。
2．相信学生能力，给学生充分展示的平台。
本节课当中学生动手操作和语言表达的机会非常多，如果教师只是在一味的教给学生作图的过程，按照要求说作法，就剥夺了学生学习的主体地位，同时学生只是一味的被动接受，学习兴趣也不浓厚。而通过学生之间的交流合作，为学生提供展示自己聪明才智的机会，并且在此过程中更利于教师发现学生分析问题解决问题的独到见解，以及思维的误区和不严密的地方，以便指导教学，更加的具有针对性，同时也能大大的提高课堂的效率。课堂上要把激发学生学习热情和获得学习能力放在教学首位，通过运用各种启发、激励的语言，以及组织小组合作学习，帮助学生形成积极主动的求知态度。
3．注意改进的方面
在小组讨论之前，应该留给学生充分的独立思考的时间，不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考，掩盖了其他学生的疑问。教师应对小组讨论给予适当的指导，包括知识的启发引导、学生交流合作中注意的问题及对困难学生的帮助等，使小组合作学习更具实效性。第二章 平行线与相交线
2．探索直线平行的条件（一）
山东省济南第二十七中学 褚爱华
总体说明：
平行线与相交线构成了同一平面内两条直线的基本位置关系。在七年级上册学生已经直观认识了角、平行与垂直，积累了初步的数学活动经验的基础上，本章将进一步探索平行线、相交线的有关事实。教材通过设置观察、操作等探索活动，按照“先探索直线平行的条件、再探索平行线的特征”的顺序呈现有关内容，在带领学生探索性质和解决问题的过程中，以直观认识为基础训练学生进行简单的说理，以加深对平行的理解，并学会借助平行解决一些简单的实际问题，进一步发展学生的空间观念。所以，本章及本节内容无论是在知识、数学思想方法还是对学生能力的培养方面都是非常重要的。
本节“探索直线平行的条件”共分两课时完成，第一课时探索得出判别直线平行的条件一，并初步认识“三线八角”中的同位角，第二课时在进一步认识“三线八角”中的内错角和同旁内角的同时，探索得出判别直线平行的条件二、三。本单元教学设计时将遵循教科书编写思路，在探索直线平行条件的过程中自然引入“三线八角”，使该知识的学习成为解决问题的需要，而不是孤立地处理这些内容。
学生起点分析：
学生的知识技能基础：学生在七年级上册《平面图形及其位置关系》一章中，已经结合丰富的现实情景，直观认识了两条直线的平行关系，了解了平行线的定义，会借助方格纸、利用直尺、三角板用多种方法画平行线，经历了在操作活动中探索图形性质的过程，初步掌握了平行线的有关性质，并用自己的语言加以描述，初步具有了有条理地思考与表达的能力，为本章的深入学习奠定了基础。
学生的活动经验基础：在七年级上册《平面图形及其位置关系》一章中，教材为学生提供了大量生动有趣的现实情境，通过观察、测量、画图、模型操作、拼摆、图案设计等活动，使学生在活动中自觉体会平面图形的性质及位置关系，获得了初步的数学活动经验和体验。同时在活动中也培养了学生良好的情感态度，顺利实现中学、小学过渡，以积极的态度投入初中数学的学习，具备了一定的主动参与、合作意识和初步的观察、分析、抽象概括的能力。
教学任务分析：
在七年级上学生已经直观认识了平行与垂直的基础上，本章将进一步探索平行线、相交线的有关事实，并将直观与简单推理相结合，借助平行的有关结论解决一些现实的实际问题。“探索直线平行的条件”一节主要学习三种常用的判别平行线的方法，这是进一步学习平行线特征的基础。本课时主要教学任务是初步认识同位角并探索出“同位角相等，两直线平行”的结论。本节课的教学目标是：
1．经历探索直线平行条件的过程，掌握利用同位角相等判别直线平行的结论，并能解决一些问题。
2．会识别由“三线八角”构成的同位角，会用三角尺过已知直线外一点画这条直线的平行线。
3．经历观察、操作、想象、推理、交流等活动，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程，进一步发展空间想象、推理能力和有条理表达的能力。
4．使学生在积极参与探索、交流的数学活动中，体验数学与实际生活的密切联系，激发学生的求知欲，感受与他人合作的重要性。
教学设计分析：
本节课共设计了六个环节：巧妙设疑，复习引入、联系实际，积极探索、变式训练，熟练
技能、迁移应用，深化提高、总结反思，情意发展、布置作业，巩固应用。
第一环节：巧妙设疑，复习引入
活动内容：教师通过设置问题串，层层设疑，在引导学生思考、层层释疑的基础上，既复习旧知，做好新知学习的铺垫，同时也不断激活学生思维、生成新问题，引起认知冲突，从而自然引入新课。
问题1：在同一平面内两条直线的位置关系有几种？分别是什么？
学生很容易回答出“在同一平面内两条直线的位置关系有两种，分别是相交和平行”，再进一步针对相交和平行分别提出问题2、3。
问题2：如图，两条直线相交所构成的四个角中分别有何关系？
借助两条直线相交的基本图形复习“两线四角”的关系，为探索“三线八角”
的关系奠定基础。
问题3：什么叫两条直线平行？
复习平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
问题4：观察下面每幅图中的直线a,b，它们分别平行吗？你能验证吗？
三组直线看上去似乎不平行，其实它们分别都是平行的，这是由于背景造成的视觉误差，所以按照平行线的定义仅凭观察来判断直线的平行关系是不够的，这就需要进一步寻求证据，本节课老师将和同学们一起来——探索直线平行的条件，由此引入新课。
活动目的：问题1，2，3抓住了本章学习的重点——平行和相交，从学生已有的知识入手，以问题为载体，自然复习同一平面内两条直线的位置关系以及平行、相交的基本图形和基本知识，承上启下为新课的学习做好铺垫，有利于学生形成完整的知识结构。学生对问题3的回答进一步复行线的定义，但是在利用平行线的定义解决问题4时却遇到了困难，由于背景的干扰，他们仅凭观察无法判断两条直线是否平行，这时老师可以启发学生用推三角板的方法去验证，得出两条直线是平行的，观察所得到的结果与实际结果之间有明显的误差，能够使学生深深的体会到，仅凭观察和实际操作得出的结论是不可靠的，必须学习用更科学的方式来说明，由此引发学生探索的直线平行条件的需求，自然引入新课。这样引入，既符合学生已有的认知基础，又较好的激发了学生探索问题的欲望。
实际教学效果：在处理问题1，2，3的过程中，教师的主要目的是带领学生复习回顾七上学习的相关知识，教学中发现，由于间隔时间较长学生有的遗忘了，有的不能很好的用数学语言表达，教师应有充分的耐心帮助学生理清思路，这将对本节课的学习起到关键作用。在处理问题4时，先让学生观察、猜想，再利用多媒体课件改变背景图形的设置角度，观察直线的位置关系也好像改变了，再让学生利用推三角板的方式进行验证，最后隐去背景图形，进一步验证，在此过程中让学生充分感受观察所得到结果的不确定性，也进一步体会到寻求更科学、准确方法的必要性。实践证明，这样处理能较好的调动学生的积极性，开启了学生的思维，成功的引入了新课。
第二环节：联系实际，积极探索
活动内容：
1．引入实际问题：如课本彩图，装修工人正在向墙上钉木条。如果木条b与墙壁边缘垂直，那么木条a与墙壁边缘所夹角是多少度时，才能使木条a与木条b平行？
学生根据自己的生活经验自然会得到：木条a也与墙壁边缘垂直时，才能使木条a与木条b平行。在此基础上提出两个问题：
问题1：实际问题中在判断两根木条平行时，借助了墙壁作为参照，你能将上述问题抽象为数学问题吗？试着画出图形，并结合图形说明。
学生回答：如图，把墙壁看作直线c,直线b与直线c垂直时，
只有当直线a也与直线c垂直时，才能得到直线a平行于直线b。
问题2：图中的直线b与直线c不垂直，直线a应满足什么条件才能与直线b平行呢？请你利用教具亲自动手操作。
做一做：利用纸条和图钉自己制作学具，如图，三根纸条相交成∠1，∠2，
固定纸条b,c,转动纸条a, 在操作的过程中让学生观察∠2的变化以及它
与∠1的关系，你发现纸条a与纸条b的位置关系发生了什么变化？纸条a
何时与纸条b平行？改变图中∠1的大小再试一试，与同学交流你的发现。
引导学生发现，当图中的∠2满足与∠1相等时，纸条a与纸条b平行。
再利用课件展示，加深学生的认识。
2．由∠1与∠2的位置关系引出对“三线八角”的认识和同位角的概念。
如图，直线AB，CD被直线l所截，构成了八个角，具有∠1与∠2
这样位置关系的角，可以看作是在被截直线的同一侧，在截线的同一旁，
相对位置是相同的，我们把这样的角称为同位角。
问题1：图中还有其他的同位角吗？
问题2：这些角相等也可以得出两直线平行吗？
3．综上探索，引导学生归纳出两直线平行的条件：同位角相等，两直线平行。
活动目的：本环节共经历了三个过程。首先利用课本的实例，使学生认识到平行线在日常生活和生产中广泛存在，探索直线平行的条件是实际的需要，由实例中“木条与墙壁平行”这一特殊情况入手，学生很容易理解。通过问题1巧妙的将实际问题转化为数学问题，较好了建立的数学模型；又通过问题2实现了由特殊到一般的过渡，点击重点。设置了“转动纸条”的活动，让学生亲自动手操作，目的是让学生通过观察、想象、直观认识到“同位角相等，两直线平行”的结论。第二，再次引导学生将转动纸条的实际问题抽象为数学问题，画出“三线八角”的基本图形，并直观的认识同位角的概念，使概念的学习成为解决问题的需要，而没有孤立的处理这部分内容，这样处理能使知识自然纳入学生的学习需求，符合可接受性原则。第三，在较好的处理了前两个环节后，探索得出同位角相等，两直线平行的结论也就水到渠成了。这样由浅入深，充分地让学生经历了解决问题的过程，较好的突出了重点，突破了难点。
实际教学效果：本环节的教学是本课的教学难点，在实现以上教学活动的过程中，学生有较好的参与意识和学习兴趣，实际问题与学生生活密切联系，绝大多数学生能够很快得出结论，并随着老师问题的提出而不断进行更深入的思考。设计的动手实验与课本相比进行了改变，更加简单易操作，实现了让学生通过动手操作，在变化中感受角的大小变化与直线位置关系的联系的教学目标。在得到充分的感性认识的基础上，通过第二个环节从数学的角度来认识三线八角，实现了由感性到理性的上升，这样逐渐提高思维要求，教学效果良好。对于三线八角的变式训练本节课没有涉及，主要是考虑避免喧宾夺主，先让学生有一个初步认识，但是学生在今后的学习中将会遇到各种变式图形，正确识别三线八角也是一个难点，为解决这一问题，本设计将在下一课时对此进行弥补。实际教学证明，如果本节课将三线八角的教学作为重点之一，一是教学时间不够，而是冲淡了对探索直线平行条件这一主要教学目标的完成。
第三环节：变式训练，熟练技能：
活动内容：
练习1 指出下面点阵中互相平行的线段，并说明理由
（点阵中相邻的四个点构成正方形）。
练习2 如图，∠1=∠2=55°, ∠3等于多少度？直线
AB、CD平行吗？说明你的理由。
练习3 议一议：你还记得怎样用移动三角板的方法画两条平行线吗？
你能用这种方法过已知直线AB外一点P画它的平行线吗？
请说出其中的道理。
活动目的：通过形式不同的三个练习，从不同的角度帮助学生进一步加深对利用同位角相等判定两直线平行的认识，形成初步技能。练习1利用网格图呈现基本图形，较简单有趣；练习2难度略有加深，直接呈现三线八角的基本图形，引导学生，帮助学生进一步认识同位角，并判定直线平行；练习3是将上学期所学“推三角板画平行线”的方法与本节课知识相联系，当时学习这种画法的时候，无法给学生说明这样画的道理，留下悬念，学习了本节的知识后，正好为此找到了理论依据。设计成议一议的形式也是为了使学生在实践中学会思考，再利用所得结论来解决新问题：如何过直线外一点画已知直线的平行线？这也是本节课学生要掌握的内容。
实际教学效果：本环节练习采用先让学生独立思考、再小组交流的方式展开。教学中鼓励学生用自己的语言说明理由，并逐步渗透用数学语言进行说理的能力，但不强求每个学生都用严格的语言进行表述。练习1学生有的学生根据以往的经验知道线段EF、GH与线段AB、CD相交所成的锐角都是45 度，由此得到结论；有的学生从直观上得出线段EF、GH与线段AB、CD相交所成的锐角都相等，由此得到结论。至于为什么都是45度或为什么相等，个别学生还不能很好的说明理由，这还有待于今后进一步学习。只要学生有根据角相等来判断直线平行的意识就应该鼓励，也就实现了教学目标。通过练习3学生能够利用“同位角相等，两直线平行”的结论来解释“平移三角板画平行线”方法的合理性，并灵活应用这种方法学会过已知直线外一点画这条直线的平行线，这较好了培养了学生利用所学数学知识解决问题的能力。
第四环节：迁移应用，深化提高：
活动内容：
1．带领学生研究课本66页“数学理解”栏目中的两个实际问题：
问题1：你能用一张不规则的纸（如图）折出两条平行的直线吗？
与同伴说说你的折法。
问题2：如图（1）是一种画平行线的工具，在画平行线之前，工人师傅往往要先调整一下工具，如图2，然后画平行线，你能说明这种工具的用法和其中得道理吗？（图见教材）
2．如图，在屋架上要加一根横梁DE，已知∠B=32°,
要使DE∥BC,则∠ADE必须等于多少度？为什么？
活动目的：本环节的三个问题难度较大，联系实际，要求学生具有较高的分析问题和解决问题的能力，设计的目的是进一步激发学生的探究兴趣，学会用所学知识解释和解决实际生活中的问题，提高能力。问题1由于所给纸片是不规则的，给学生构建了探究、创造的空间，要想利用结论，必须构造出于同一条直线相交构成相等同位角的两条直线，方法多样，有较大的探索空间；问题2是进一步培养学生说理的能力，也可以进一步引导学生将实际问题抽象位几何图形，并结合图形说明道理；问题3是一个具有较复杂图形的实际问题，目的是训练学生的识图能力，只要善于从中提取出基本图形，问题就迎刃而解了。
设计本环节对于整节课教学目标的实现也起着非常重要的作用，第一使学生对知识的理解与应用螺旋上升，达到较高要求；第二，整堂课的设计体现了实际——理论——实际的过程，帮助学生形成从实际问题中抽象出数学问题，得出结论，再用来解决实际问题的学习数学的思路，这也符合新课程标准所要求的“实际问题——建立模型———解释、应用与拓展”思路。
实际教学效果：在教学中，学生对于以上三个问题的解决同样有极大的热情，特别是问题1的折纸活动，出现了各种不同的方法：有的折出了两条与纸的边缘垂直的线，得出两条折痕是互相平行的；有的折出了一组相等的同位角，有的还用度量的方法折出了平行四边形，等等，教师对于学生的折法只要合理就给予鼓励，并对他们的解释给以合理的补充和理论上的说明，学生获得了成功的体验。
第五环节：总结反思，情意发展
活动内容：围绕三个问题，师生以谈话交流的形式，共同总结本节课的学习收获。
问题1：本节课你认为自己解决的最好的问题是什么？
问题2：本节课你有哪些收获？
问题3：通过今天的学习，你想进一步探究的问题是什么？
活动目的：通过三个问题引导学生回顾自己的学习过程，畅所欲言，加强反思、提炼及知识的归纳，纳入自己的知识结构。教师将通过对问题1的总结，有目的地引导发现自己在合作学习、解决问题的过程中能否提出有价值的解决方案、能否与他人沟通合作等；通过对问题2的总结主要是帮助学生提炼本节课的重要知识点和必须要掌握的技能；通过问题3要引发学生进一步的思考，是否还有其他的判别直线平行的方法？为下节课进一步学习奠定基础。由于学生的学习基础、、反思归纳能力不同，应该说不同的学生会有不同的想法，但是学生之间的这种差异也是一种学习资源。通过教师为学生提供的交流互动的舞台，使学生在倾听别人的想法、意见、收获的同时，不断完善自己的认识。
实际教学效果：这样设计使得学生在一节课积极、热烈的探究、合作学习之余，有一点时间静下心来默默地反思自己，使自己对知识有一个沉淀、吸收的过程，这样小结显然要比简单的堆积知识点对培养学生能力更有利。实际教学中不同层次的学生都能谈出自己的想法、收获以及自己还存在的困惑，通过生生、师生的交流，帮助他们解决问题，形成完整的知识结构，取得了较好的效果。
第六环节：布置课后作业：
1．习题2.2知识技能。
2．补充练习：如图，是由两块相同的直角三角板拼成的，
（1）请写出图中相等的角；
（2）写出图中平行的线段，并说明理由。
及时作业是巩固课堂学习知识的重要环节，由于课本提供练习较少，因此作适当的补充。由于对学生“说理”的训练应循序渐进，考虑到学生目前书写还有困难，所以练习较多采用填空、选择的形式，逐步过渡到由学生独立完成说理的全过程。
教学设计反思
1．以问题为载体给学生提供探索的空间
数学学习的本质是一种思维活动，发展思维能力是培养学生能力的核心，而“学起于思，思起
于疑”，问题是思维的外衣。本节课的每个环节的设计与展开，都以问题的解决为中心，第一环节以问题作为激活学生思维的刺激因素，激发学生产生合理的认知冲突，激发兴趣，第二、三环节以问题带领学生探究，寻找规律，第四环节在解决问题的过程中练习、巩固知识，第五环节也是以引领学生反思、总结，整节课构建了“以问题研究和学生活动”为中心的课堂学习环境，使教学过程成为在教师指导下学生的一种自主探索的学习活动过程，在探索中形成自己的观点。所以，合理把握问题教学，是保证学生自主、合作、探究的学习方式向纵深发展的关键，要克服以完成教学任务为主要目标、不舍得给学生探究时间的倾向，要给学生提供较为充分的思维、探究的时间和空间。
2．为学生提供多维互动交流的舞台
儿童深层次的认知发展，既需要独立思考，更需要合作交流。现代认知学派认为，在学习过程中，只有经过学习者自己探索和概括的知识，才能真正纳入其自身认知结构，获得深刻的理解，在应用时才易检索。这里的“自己探索和概括”就是独立思考，学生的思维是在自己原有的认知结构上建构的，教师应尽可能多地给学生充分自主思考的空间和时间，即使他们找不到思路，也充分感知了困难、尝试了困难，为进一步探究奠定了基础。通过独立思考领会数学学科的基本原理、基本概念和思想方法，掌握解题（包括解决实际问题）的基本方法和策略，并尝试进行数学创造是数学学习的基本方法和策略，所以要重视让学生独立思考。学生在独立思考的基础上进行合作研究，进行生生之间的对话，在合作中发挥个人的自主性，让学生尝试自己证明猜想，引导他们注意力的求异性、思维的发散性，是培养学生创新精神和实践能力的重要途径，有利于增强学生学习的自信心和克服困难的意志力，有利于培养自主意识和合作精神。
A
B
D
C
O
a
c
b
1
b
a
c
2
A
C
B
D
l
1
2
3
4
6
7
5
8
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
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.
.
.
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.
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.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
A
B
F
E
D
C
G
H
1
2
3
E
F
G
H
B
C
D
A
A
B
P
.
A
D
E
O
C
B
A
E
D
C
B
F(共16张PPT)
　怎样利用没有刻度的直尺和圆规作一条线段等于已知线段
已知线段a,b,c,作一条线段m,使得m=a+b-c
a
c
b
如图2—14，要在长方形木板上截一个平行四边形，使它的一组对边在长方形木板的边缘上，
另一组对边中的一条边为AB。
A
B
(1) 请过C点
C
画出与AB平行的另一条边。
用直尺与三角板你画得出来吗
试一试.
如图2—14，要在长方形木板上截一个平行四边形，使它的一组对边在长方形木板的边缘上，
另一组对边中的一条边为AB。
A
B
(1) 请过C点
C
画出与AB平行的另一条边。
用直尺与三角板你画得出来吗
试一试.
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
D
(2) 如果你只有一个圆规和一把没有刻度的直尺，
你能解决这个问题吗？
A
B
D
C
上述问题:
用尺规(无刻度的直尺和圆规)”
“过直线外一点作已知直线的平行线”
相当于
“过点C作∠ECD
E
等于已知角∠CAB.”
已知： ∠AOB。
“作一个角等于已知角”
做一做
B
O
A
求作： ∠A’O’B’ 使∠A’O’B’=∠AOB。
O’
A’
(2) 以点O为圆心，
任意长为半径
交OA于点C，
(3) 以点O’为圆心，
画弧，
C
D
同样(OC)长为半径
画弧，
C’
(4) 以点C’为圆心，
CD长为半径
画弧，
D’
(5) 过点D’作射线O’B’.
B’
A’
O’
B’
∠A’O’B’就是所求的角.
作 法 示 范
(1) 作射线O’A’;
交OB于点D;
交O’A’于点C’;
交前面的弧于点D’ ，
请用没有刻度的直尺和圆规,
在课本的图2-14 中,
过点C作AB的平行线.
A
B
C
分析:若以点C为顶点作一个角∠FCE
与∠BAC 相等，
则∠FCE的边CF
所在的直线即为所求.
E
G
G’
H
D
F
随堂练习
已知： ∠AOB。
利用尺规作： ∠A’O’B’
使∠A’O’B’=2∠AOB。
B
O
A
独立思考、合作交流；
口述作法、保留作图痕迹。
作法一:
C
A’
B’
∠A’OB’即为所求作的角.
B
O
A
法二:
C
D
C’
E
B’
O’
A’
∠A’O’B’即为所求作的角.
随堂练习
已知： ∠1， ∠2
求作： ∠AOB，使得∠AOB= ∠1+∠2
1
2
你会作两个角的和了吗？
已知： ∠1， ∠2
求作： ∠AOB，使得∠AOB= ∠1-∠2
1
2
你会作两个角的差了吗？
1. 用尺规作一个角等于已知角。
2. 用尺规作一个角等于已知角的和、差、倍。
3. 借助于已经学的用尺规作线段和角来设计图案。
教材习题2.6 。
作业
用尺规作下面的图形：
右面的“邹菊”图案漂亮吗？
你想自己画出它来吗？
那就让我们从最初的步骤开始吧！
4. 继续作下去，
以点O为圆心，
r 为半径作圆O；
1.
以圆O上任意一点为圆心，
r 为半径作圆，与圆O交于两点；
2.
分别以两个交点为圆心，
r 为半径作圆；
3.
在适当的区域涂上颜色，
你作出美丽的“邹菊图案” 吗？(共21张PPT)
注：本课件请用OFFCE1003以上版本观看，否则将有部分内容无法观看
(1)∵ ∠1__∠2 (已知)
∴ a ∥ b ( )
(2)∵ ∠2____∠3 (已知)
∴ a ∥ b ( )
=
同位角相等，两直线平行
=
内错角相等，两直线平行
180°
同旁内角互补，两直线平行
(3)∵ ∠2＋∠4=____(已知)，
∴ a ∥ b ( )
回忆再现
三星堆遗址位于中国四川省广汉市南兴镇，属于古蜀国文明。遗址分布范围达12平方公里，距今4800年至2800年，延续时间近2000年。
　　出土了各种文物：金器、玉器、石器、陶器、青铜器...等数千件。其中有享誉中外的金杖、金面罩、青铜人像、头像、人立像、画具等精品文物1000多件。
三星堆遗址
A
D
C
115
110
B
　　如图，是举世闻名的三星堆考古中发掘出的一个梯形残缺玉片，工作人员从玉片上已经量得∠A=115°，∠D=110°。已知梯形的两底AD//BC，请你求出另外两个角的度数
请同学们任意画出两条平行线a，b，并作一条与两条平行线都相交的直线c，
合作交流一：
请找出图中的同位角，并猜测他们有何关系？你能想办法验证你的猜测吗？
a
b
c
1
7
4
5
6
3
2
8
两直线平行，同位角相等
猜想1
平行线的特征1
合作交流二：
图中还有几组内错角，猜测一下它们又有何关系呢？你能想办法验证你的猜测吗？
a
b
c
1
7
4
5
6
3
2
8
两直线平行，内错角相等
猜想2
平行线的特征2
合作交流三：
图中还有其他位置关系的角吗？它们有何关系呢？说一说你是怎样得到的结论的。
a
b
c
1
7
4
5
6
3
2
8
猜想3
两直线平行，同旁内角互补
平行线的特征3
简记为
两直线平行，同位角相等
两直线平行，内错角相等
两直线平行，同旁内角互补
平行线的特征
两条平行直线被第三条直线所截，
同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。
重 点
牛刀小试
1. ∵ AD//BC (已知)
∴ ∠B=∠1 ( )
2. ∵ AB//CD (已知)
∴ ∠D＝∠1 ( )
3. ∵ AD//BC (已知)
∴ ∠C＋_______＝180 ( )
A
B
C
D
1
两直线平行，同位角相等
两直线平行，内错角相等
∠D
两直线平行，同旁内角互补
如图所示，AB∥CD，AC ∥BD, 分别找出与∠1相等或互补的角.
A
D
C
B
1
6
5
4
3
2
7
8
14
13
15
16
10
9
11
12
如图，与∠1相等的角有：
∠3， ∠5， ∠7， ∠9，
∠11， ∠13， ∠15；
与∠1互补的角有：
∠2， ∠4， ∠6， ∠8，
∠10， ∠12， ∠14， ∠16 .
解：
牛刀小试
A
D
C
115
110
B
　　工作人员从玉片上已经量得∠A=115°，∠D=110°。已知梯形的两底AD//BC，请你求出另外两个角的度数。
∴∠A+∠B=180o
∠C=180o－110o=70o
∴梯形的另外两个角分别是65o和70o。
∠D+∠C=180o
∵ ∠A=115°,∠D=110°（已知）
（等式的性质）
解：∵AD∥BC（已知）
　∴∠B=180o－115o=65o
（两直线平行，同旁内角互补）
著名的比萨斜塔建成于12世纪，从建成之日起就一直在倾斜，目前，它与地面所成的较小的角为85 （如图），它与地面所成的较大的角是多少度？
85

95
0
平行线的特征
直线平行的条件
两直线平行，同位角相等
两直线平行，内错角相等
两直线平行，同旁内角互补
同位角相等，两直线平行
内错角相等，两直线平行
同旁内角互补，两直线平行
填写下列表格，并思考二者有何区别和练习：
两直线平行
同位角相等
内错角相等
同旁内角互补
特征
条件
B
E
1
2
3
4
C
F
D
A
B
E
如图所示，一束平行光线AB与DE射向一个水平镜面后被反射，此时∠1=∠2，∠3= ∠4。
（1）∠1 ，∠3的大小有什么关系？ ∠2与∠4呢？
（2）反射光线BC与EF也平行吗？
小红是这样想的，你能明白她的意思吗 每一步的根据是什么？
（1） AB // DE
∠1 =∠3
∠1 =∠3
∠1 =∠2
∠3 =∠4
∠2=∠4
（2）
∠2=∠4
BC // EF
和同学交流一下，谈谈你的看法
潜望镜中的两面镜子是平行放置的，如图所示，光线经镜子反射后， ∠1=∠2，∠3= ∠4。你能从数学的角度解释一下进入潜望镜的光线和离开潜望镜的光线为什么是平行的吗？
1
2
3
4
1. 本节课学行线的三个特征
两直线平行
同位角相等
内错角相等
同旁内角互补
2. 直线平行的特征与直线平行的条件的区别。
（1）识别与特征的条件与结论有什么关系？
互换。
（2）使用识别时是已知 ___，说明________
角的相等或互补
两直线平行
使用特征时是已知 ，说明_____________
两直线平行
角的相等或互补
3. 几何中的计算往往要说理，要熟悉几何里计算题的格式，学
习合情说理。
作业
1. 习题2.4 知识技能1，2
2. 习题2.4 问题解决
思维拓广
当一个角的两边与另一个角的两边分别平行时，这两个角会是什么关系呢？试探究下列问题：
（1）如图（1）所示， AB∥ED， BC∥EF，那么 ∠B与∠E的
关系是______
（2）如图（2），AB∥ED， BC∥EF，那么∠B与∠E的关系是
_________
总结上面的结论是________________________________
图(1)
图(2)
A
A
B
B
C
C
D
D
E
E
F
F
相等
互补
当一个角的两边与另一个角的两边分别平行时，这两个角相等或互补照镜子
我们每天都要照镜子。
把镜子放在阳光下，就会看到它能反射光线，这时太阳叫光源，光源发出的光叫入射光线，经过镜面反射后的光，叫做反射光线。入射光线的角度（入射角）等于反射光线的角度（反射角）。
同样，人照镜子时，头顶发出的光线经镜面反射后到人眼，人就能看到头顶。那么镜子要多高，才能使你无论站在什么地方，都能看到自己的全身呢？
（答案：只要镜子是你身高的一半）释疑解惑
传统上，学习平行线就是学习逻辑推理证明的开始。本套教材为什么要用“直观操作加说理”的方法？为什么不一开始就进行推理证明呢？
本套教材的几何推理证明的体系安排分三个层次：一是直观推理（主要在第一册）；二是直观推理与简单逻辑推理的结合（主要在二、三、四册）；三是严格的演绎推理（四、五册）。这样做主要是从学生的抽象思维水平考虑的。因此在第二册中，运用直观的方法适当辅助以说理或推理，使学生了解有关平行线以及后面的三角形的有关性质等，等到四册及五册时在一定的公理的基础上再给出严格的证明。
我们知道，学生学习几何不只是学习演绎推理，学生图形思维的发展不只有一个水平，正如M.Atiyah所说，“尽可能广泛地应用各种水平的几何思想。”
几何是数学中视觉思维占主导地位的部分，因此学生学习几何，就要对图形本身的性质进行研究，要对图形之间的位置关系等进行研究。这意味着几何的学习，不仅有从中学习“逻辑”的一面，还有从中发展“直觉”，也就是空间观念的一面，即对几何的学习不仅有演绎推理，还有合情推理。尽管合情推理不严格，但也是几何思想的一个水平。在合情推理的基础上，再进行严格的演绎推理，通常也是人们发现真理的途径。(共15张PPT)
尺规作图有着悠久的历史。直尺的功能是：在两点间连接一条线段；将线段向两方向延长。圆规的功能是：以任意一点为圆心，任意长为半径作一个圆；以任意一点为圆心，任意长为半径画一段弧。利用尺规可以作出许多美丽的图案。
在“数学王子”高斯的纪念碑上，就刻着一个正十七边形，它的尺规作图方法是高斯在青年时代发现的。
　　利用没有刻度的直尺和圆规可以作出很多几何图形，你还记得我们是如何用圆规和直尺作一条线段等于已知线段的吗？
已知：线段AB．
求作：线段A’ B’，使A’ B’＝AB．
A
B
作法与示范：
(1) 作射线A’C’ ；
A’ C’
(2) 以点A’为圆心，
以AB的长为半径
画弧，
交射线A’ C’于点B’，
B’
A’
线段A’B’ 就是所求作的线段。
示 范
作 法
哈哈，是一个正方形，你对了吗？
如图2－13，已知线段a和两条互相垂直的直线AB，CD。
(2) 依次连接A’，C’ ，B’，D’，A’.
a
图2－13
(1) 利用圆规，在射线OA，OB，OC，OD上作线段OA’，OB’，OC’，OD’，使它们分别与线段a 相等。
你得到了一个怎样的图形？
与同伴进行交流。
A
B
C
D
O
A’
B’
C’
D’
利用尺规，按下列要求作图：
(1) 在射线OA ， OB ，
OC上作线段O A’，OB’ ，OC’，
使它们分别与线段a 相等；
a
b
1. 如图，已知线段a和b，直线AB与CD垂直且相交于点O．
(2) 在射线OD上作线段OD’，使OD’ 等于b；
(3) 依次连接A’，C’，
B’，D’，A’.
你得到了一个怎样的图形？
与同伴进行交流．
A
B
C
D
O
A’
C’
B’
D’
如图，已知线段a 和两条互相垂直的直线AB，CD。
(2) 依次连接A’，C’ ，B’，D’，A’.
O
a
A
B
C
D
(1) 利用圆规，在射线OA，OB上分别截取OA’，OB’等于a，在射线OC，OD上分别截取OC’，OD’等于2a。
你得到了一个怎样的图形？
与同伴进行交流。
如何得到长为2a的线段
如图，已知线段a 和两条互相垂直的直线AB，CD。
(2) 依次连接A’，C’ ，B’，D’，A’.
O
a
A
B
C
D
(1) 利用圆规，在射线OA，OB上分别截取OA’，OB’等于a，在射线OC，OD上分别截取OC’，OD’等于2a。
你得到了一个怎样的图形？
与同伴进行交流。
可以先将长为2a的线段做出来后再截取
如图，已知线段a 和两条互相垂直的直线AB，CD。
(2) 依次连接A’，C’ ，B’，D’，A’.
O
a
A
B
C
D
(1) 利用圆规，在射线OA，OB上分别截取OA’，OB’等于a，在射线OC，OD上分别截取OC’，OD’等于2a。
你得到了一个怎样的图形？
与同伴进行交流。
如图，已知线段a 和两条互相垂直的直线AB，CD。
(2) 依次连接A’，C’ ，B’，D’，A’.
O
a
A
B
C
D
(1) 利用圆规，在射线OA，OB上分别截取OA’，OB’等于a，在射线OC，OD上分别截取OC’，OD’等于2a。
你得到了一个怎样的图形？
与同伴进行交流。
还有什么其他方法吗
如图，已知线段a 和两条互相垂直的直线AB，CD。
(2) 依次连接A’，C’ ，B’，D’，A’.
O
a
A
B
C
D
(1) 利用圆规，在射线OA，OB上分别截取OA’，OB’等于a，在射线OC，OD上分别截取OC’，OD’等于2a。
你得到了一个怎样的图形？
与同伴进行交流。
可以先作线段OA’,OB’,线段A’B’长即为2a。
已知线段a，b，求作线段c=a+b
a
b
能否作线段c = a – b ？
1. 本节课主要学习了用无刻度的直尺和圆规作一线段等于已知线段, 看似简单, 它却是最基本的几何作图的方法.
2. 课外还要加强基本作图工具的使用, 特别是圆规的使用要领与技巧要勤加操练.
3. 练习中还要注意几何语言表述的规范、书写格式的规范的训练．
1. 教材习题2.5
作业
利用交叉的“十”字，
设计一幅美丽的图案。1．怎样理解互为余角和互为补角？
余角和补角都是指两个角之间的一种特殊的数量关系。即如果两个角互为余角，则它们的和为90 ；如果两个角互为补角，则它们的和为180 。因此不能说单独一个角为余角，而只能说它是另一个角的余角，或者两个角互为余角。对补角同样如此。
另外，对余角和补角有两个重要且常用的结论：
同角或等角的余角相等。
同角或等角的补角相等。
2．怎样理解对顶角的特点和性质？
特点：（1）有公共顶点；
（2）一个角的两边分别是两一个角的两边的反向延长线。
性质：对顶角相等。(共19张PPT)
问题1：如图，直线 a，b被直线c所截，数一数图中有几个角（不含平角）？
问题2：写出图中的所有同位角，并用自己的语言说明什么样的角是同位角？
a
b
c
1
2
3
4
5
6
7
8
问题3：同位角具备什么关系能够判断直线
a∥b？你的依据是什么？
1. 图中∠3与∠5,∠4与∠6这样位置关系的角有什么特点？说说你的理由。
2. ∠3与∠6,∠4与∠5这样位置关系的角呢？说说你的理由。
a
b
c
1
2
3
4
5
6
7
8
∠3与∠5,∠4与∠6这样位置关系的角，在两条被截直线的内部，在截线的两侧，位置是交错的，
这样的角叫做内错角
∠3与∠6,∠4与∠5这样位置关系的角，在两条被截直线的内部，在截线的同旁，这样的角叫做同旁内角
1. 观察右图并填空：
(1) ∠1 与 是同位角; (2) ∠5 与 是同旁内角;
(3) ∠1 与 是内错角.
∠4
∠3
∠2
b
a
n
m
2
3
1
4
5
4
1
2
3
5
6
7
8
Ｄ
Ｃ
Ｂ
E
Ａ
F
2. 如图，直线AB，CD被EF所截，构成了八个角，你能找出哪些角是同位角、内错角、同旁内角吗？
小明有一块小画板，他想知道它的上下边缘是否平行，你能帮帮他吗？
问题：
小明只有一个量角器，他通过测量某些角的大小就能知道这个画板的上下边缘是否平行，你知道他是怎样做的吗？
能利用同位角相等两直线平行的结论来说明吗？
探索直线平行的条件
㈠ 内错角满足什么关系时？两直线平行？
㈡ 同旁内角满足什么关系时？两直线平行？
内错角相等，两直线平行.
同旁内角互补，两直线平行.
为什么？
为什么？
小明只有一个量角器，他通过测量某些角的大小就能知道这个画板的上下边缘是否平行，你知道他是怎样做的吗？
方案1：用∠1，∠4 ；或∠2，∠3 ；
方案2：用∠1，∠3 ；或∠2，∠4；
1
2
3
4
内错角相等，两直线平行
同旁内角互补，两直线平行

做一做：你能用三块大小相同的三角板（30°，60°，90°）拼接成一个含有平行线段的图形吗 试一试，多拼几个图形，找出平行线段后，说明你的理由。
1. 图中各角分别满足下列条件时，你能判断哪两条
直线平行吗？
（1）∠1＝∠4；（2）∠2＝∠4；（3）∠1+∠3=180°
a
b
l
m
n
1
2
3
4
a∥b.
l∥m.
l∥n .
2. 看图填空：
（1）如右图，∵∠1＝∠2
∴ ∥ ，
∵∠2＝
∴ ∥ ，同位角相等，两直线平行
∵∠3＋∠4＝180°
∴ ∥ ，
∴AC∥FG.
1
2
3
4
A
B
C
D
E
F
G
2. 看图填空：
(2)如右图，∵ ∠2=（ ）
∴DE∥BC ，
∵ ∠B＋ ＝180°，
∴ DB ∥EF
∵ ∠B＋ ∠5 ＝180 °
∴ ∥ .
A
B
C
D
E
F
4
3
2
1
5
4
1
2
3
5
6
7
8
Ｄ
Ｃ
Ｂ
E
Ａ
F
1. 再识“三线八角”：
4对同位角
∠1和∠5,
∠2和∠6,
∠3和∠7,
∠4和∠8.
2对内错角
∠3和∠5,
∠6和∠4.
2对同旁内角
∠5和∠4,
∠3和∠6.
2. 两直线平行的条件
① 同位角相等，两直线平行;
② 内错角相等，两直线平行；
③ 同旁内角互补，两直线平行.
3. 本节课运用了哪些数学思想方法
你有什么收获？
课本习题2.3
探究1：为什么“内错角相等,两直线平行”
∵∠1 = ∠2,
( )
对顶角相等
∠1 = ∠3, ( )
已知
∴ ∠3 = ∠2. ( )
∴ 直线 a∥b. ( )
等量代换
同位角相等,两直线平行
方法一：测量法
方法二：拼接法
方法三：推理法
b
a
c
1
2
3
内错角相等
同位角相等
两直线平行
返 回
c
已知
∠1 ，∠3 , ( )
∴ 直线 a∥b. ( )
互补
∠2
同角的补角相等
内错角相等,两直线平行
∵ ∠1 ，∠2 , ( )
∴ ∠3 = . （ ）
内错角相等,两直线平行.
探究2：为什么“同旁内角互补,两直线平行”
方法一：测量法
方法二：拼接法
方法三：推理法
互补
邻补角定义
b
a
2
3
1
还有其他推理的方法吗？
同旁内角互补
同位角相等
两直线平行
内错角相等
返 回学法指导
本章中涉及的尺规作图的作法对这个年龄段的学生来说都较为复杂，对学生来说有一定的难度。因此在教学的初期，对于较为简单的作图问题（如作一条线段等于已知线段），应当要求学生能够写出作法，而对过程比较多的，如果学生有困难，可暂时不用要求学生写，只要能够按步骤作出并保留作图痕迹、用自己的语言表述出即可，对作法的书写可延迟到以后几个学期的学习中再要求。问题求解
`
如图，AE∥BF，小王沿路线E→A→P1→B→F从E走到F，小李沿路线E→A→P1→P2→B→F从E走到F，小徐沿路线E→A→P1→P2→P3→B→F从E走到F。在走的过程中，小王说他转过的角度最少，小徐说他转过的角度最多，小李说他们三人转过的角度一样多。
你认为他们三人的说法有道理吗？为什么？
A
A
E
E
A
A
E
P1
P1
P2
P1
P2
F
B
P3
F
F
B
B尺规作图
所谓尺规作图，就是只准有限次地使用没有刻度的直尺和圆规进行作图。最早提出几何作图要有尺规限制的是古希腊的哲学家安那萨哥拉斯，他因政治上的纠葛被关进监狱，并被处死刑。传说，在监狱里，他思考化圆为方以及其他有关问题，用来打发令人苦恼的无所事事的生活。他不可能用规范的作图工具，只能用一根绳子画圆，用随便找来的破木棍、竹片之类作直尺，当然这些尺上就不可能有刻度。另外，对他来说，时间是不多了，因此他很自然地想到要有限次地使用尺规解决问题。后来以理论形式具体明确这个规定的是欧几里得，他在《几何原本》中对作图作了三条规定（公设）。由于《几何原本》的巨大影响，希腊人所崇尚的尺规作图也一直被遵守并流传下来。(共19张PPT)
问题1：在同一平面内两条直线的位置关系有 几种？分别是什么？
问题2：如图，两条直线相交所构成的四个角中分别有何关系？
B
D
C
A
O
问题3：什么叫两条直线平行？
观察下面每幅图中的直线a,b，
它们分别平行吗？你能验证吗？
观察下面每幅图中的直线a,b，它们分别平行吗？你能验证吗？
装修工人正在向墙上钉木条。如果木条b与墙壁边缘垂直，那么木条a与墙壁边缘所夹角是多少度时，才能使木条a与木条b平行？
生活中的问题能用数学知识解决吗？
a
c
b
a
c
b
如图，三根木条相交成∠1， ∠2，固定木条b，c，转动木条a
当∠1＞∠2时
当∠1＝∠2时
当∠1＜∠2时
①直线a和b不平行
②直线 a∥b
③直线a和b不平行
两条直线被第三条直线所截，形成“三线八角”，
A
C
B
D
l
1
2
3
4
6
7
5
8
具有∠1与∠2这样位置关系的角称为同位角
认识“三线八角”：
∠1和∠2是同位角
∠3和∠4是同位角
∠5和∠6是同位角
∠7和∠8是同位角
同位角在被截直线的同一侧，在截线的同一方
同位角相等,两直线平行
判定两条直线平行的方法：
∵∠1=∠2
∴ a∥b
如图：
(同位角相等,两直线平行)
c
1
2
a
b
1
2
a
b
c
找出下面点阵中互相平行的线段,并说明理由
(点阵中相邻的四个点构成正方形).
E
G
C
A
B
F
H
D
(2)如图, ∠1=∠2=55 , ∠3等于多少度
直线AB,CD平行吗 说明你的理由.
A
C
E
F
B
D
G
H
1
3
2
你还记得怎样用移动三角尺的方法画两条平行线吗？
同位角相等，两直线平行.
一、放
二、靠
三、推
四、画
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
●
过已知直线外一点画它的平行线.请说出其中的道理。
问题1 你能用一张不规则的纸(比如,如图 所示的四边形的纸)折出两条平行的直线吗 与同伴说说你的折法.
问题2 课本“数学理解”栏目给我们展示了一种画平行线的工具. 在画平行线之前，工人师傅往往要先调整一下工具，然后画平行线，你能说明这种工具的用法和其中的道理吗？
如图，在屋架上要加一根横梁DE，已知∠B=32°,要使DE∥BC,则∠ADE必须等于多少度？为什么？
A
D
E
F
C
B
问题3：通过今天的学习，你想进一步探
究的问题是什么？
问题1：本节课你认为自己解决的最
好的问题是什么？
问题2：本节课你有哪些收获？
1. 习题2.2知识技能
2. 补充练习：如图，是由两块
相同的直角三角板拼成的，
（1）请写出图中相等的角；
（2）写出图中平行的线段，
并说明理由。
A
E
D
C
B
F(共22张PPT)
注：本课件请用OFFCE1003以上版本观看，否则将有部分内容无法观看
窗户
生活中处处可见道路、房屋、山川、桥梁。在大自然的杰作和人类的创造物中，蕴含着无数的相交线和平行线。
在这一章里，我们将发现相交线和平行线的一些特征，并探索两条直线平行的条件。我们还将利用圆规和没有刻度的直尺，尝试着作一些美丽的图案！
让我们一起进入第一节课的学习吧！
反射角=入射角
入射角
反射角
入射光线
反射光线
法线
我们将上述光的反射图形抽象为几何图形。
你能说出图中的各个角与∠3都有怎样的关系吗？与同伴交流一下！
1
4
2
C
3
A
D
B
E
F
如果两个角的和为直角，则这两个角互为余角。
如果两个角的和为平角，则这两个角互为补角。
∠3=∠4
∠3+ ∠1=90
∠3+ ∠ 2 =90
0
0
∠3+ ∠ABF=180
∠3+ ∠CBE=180
0
0
入射角
反射角
3
4
1
2
C
A
B
D
E
F
1. 在本图中，还有哪些角 互
为余角？互为补角？
互余的角有： ∠1与∠3，∠2与∠3，
∠1与∠4，∠2与∠4.
互补的角有： ∠3与∠ABF，∠4与∠CBE，
∠3与∠CBE，∠4与∠ABF.
3
4
1
2
C
A
B
D
E
F
2. 图中都有哪些相等的角？
为什么？由此你能得到什么结论？
答：①∠1=∠2
同角的余角相等
等角的余角相等
同角的补角相等
等角的补角相等
②∠3=∠4
∵∠1= ∠2
∠ 1+∠3=90 , ∠ 2+∠4=90
∴ ∠ 3=∠4
0
0
③∠ABF=∠CBE
∵∠3= ∠4
∠ ABF+∠3=180 ,∠CBE+∠4=180
∴ ∠ABF=∠CBE
0
0
（1）30 ，70 与80 的和为平角，所以这三个角互余（ ）
（2）一个角的余角必为锐角。 （ ）
（3）一个角的补角必为钝角。 （ ）
（4）90 的角为余角。 （ ）
（5）两角是否互补既与其大小有关又与其位置有关（ ）
0
×
√
×
×
×
互余与互补是指两个角之间的数量关系，与它们的位置关系无关。
判断下列说法是否正确
0
0
0
议一议
用剪子剪东西时，哪对角同时变大或变小？你能说明理由吗？
1
2
A
D
C
B
O
在图2中，还有相等的角吗？这几组相等的角在位置上有什么样的关系，你能试着描述一下吗？
像∠ 1与∠2， ∠ AOC与∠BOD一样，两个角有公共的顶点，且一个角的两边是另一角两边的延长线，这两个角互为对顶角。
我发现了
对顶角相等
定义：
性质：
∵∠1+∠AOC=180 ∠2+∠AOC=180 ∴ ∠ 1=∠2(同角的补角相等）
0
0
1.你能举出生活中包含对顶角的例子吗？
巩固练习
2.下图中有对顶角吗？若有，请指出，若没有，请说明理由。
B
O
A
O
C
1
2
C’
O
B
A
C
1
2
C’
B
A
O
C
1
2
A
1
3
2
4
B
D
C
O

如图所示，有一个破损的扇形零件，利用图中的量角器可以量出这个扇形零件的圆心角的度数吗？你能说出所量角是多少度吗？你的根据是什么？
40
0
方法一：可利用对顶角相等得出。
方法二：可利用补角得出。
1. 你玩过“抓老鼠”的游戏吗？游戏是：一个小伙伴将照射到室内的光线（图中DO）用平面镜反射到墙上，另一个小伙伴去抓射到墙上的影子（图中OE），平面镜移动，影子也随之移动，这里的∠1=∠2，它们是对顶角吗？∠1和∠BOC呢？你能说出图中与∠1相等和互补的角吗？
C
墙
镜子
太阳光
反射光线
A
D
O
B
E
1
2
2. 你知道吗？打台球的游戏中，台球击到桌沿又反弹回来的路线，就象光的反射定律中入射光线与反射光线的路线是一样的。
下图中是一个经过改造的台球桌面示意图，图中的阴影为6个袋孔，如果一球按图示方向击出去，最后落入第几个袋孔？
余角、补角、对顶角的概念：
余角、补角、对顶角的性质：
（1） 和为直角的两个角称互为余角；
（2） 和为平角的两个角称互为补角；
（3） 两直线相交有多少对对顶角？
（1） 同角或等角的余角相等；
（2） 同角或等角的补角相等；
（3） 对顶角相等。
互余与互补只与角的数量有关，与位置无关。而对顶角是根据角的位置来判断的
作业
1. 习题2.1 数学理解1，2
2. 习题2.1 问题解决1，2
思维拓广
如图，先找到长方形纸的宽DC的中点E，将∠C过点E折起任意一个角，折痕是EF，再将∠D过点E折起，使DE与HE重合，折痕是GE，请探索下列问题：
（1）∠GEF是直角吗？为什么？
（2）∠FEH与∠GEH互余吗？为什么？
（3) 在上述折纸的图形中，还有哪些角互为余角？还有哪些角
互为补角？
A
D
C
B
F
E
G
H问题背景
1801年，高斯在他的代表作《算术研究》一书中解决了用圆规和直尺对圆周进行17等分的千年难题。欧几里得时代，已经有用圆规和直尺把圆周三等分和五等分的做法，令人不解的是在以后的两千多年当中，几何学家谁也不会用尺规将圆周17等分。而高斯19岁时就用代数方法解决了这一难题，轰动了当时的数学界。高斯逝世后，人们为了缅怀这位“数学家之王”，在他的墓碑上刻了一个正17边形的美丽图案。第二章 平行线与相交线
4．用尺规作线段和角（二）
山东省济南市实验初级中学 贾万峰
学生起点分析
学生的知识技能基础：学生通过上节课的学习，已经掌握了如何用没有刻度的直尺和圆规作一条线段等于已知线段。同时在学习中学生已经初步理解了作图的步骤，具备了基本的作图能力，并能简单的表达作图过程，为本节课的学习奠定了良好的知识基础。
学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了一些尺规作图的活动，解决了一些简单的问题，感受到尺规作图在数学当中的一定作用，获得了从事尺规作图活动的一些数学活动经验；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。
教学任务分析
教科书基于学生在上节课学习了如何作一条线段等于已知线段，并积累了一定的活动经验，提出本节课的主要教学任务是：会用尺规作一个角等于已知角，并了解它在尺规作图中的简单应用。而这仅是一个近期目标，数学教学是一个循序渐进的过程，所以每一堂课的教学都是具有密切联系的。作一条线段等于已知线段和作一个角等于已知角都是尺规作图的基础，这为今后学习更为复杂的尺规作图奠定了基础。我们应该更为注意数学教学的远期目标，并注意学生在活动当中所积累的数学经验。为此，本节课的教学目标是：
1．能按照作图语言来完成作图动作，能用尺规作一个角等于已知角，并了解它在尺规作图中的简单应用。
2．能利用尺规作角的和、差、倍。
3．能够通过尺规设计并绘制简单的图案。
4．在尺规作图过程当中，积累数学活动经验，培养动手能力和逻辑分析能力。
教学设计分析
本节课设计了七个教学环节：回顾与思考，情境引入探索发现，用尺规作一个角等于已知角，角的和、差、倍，课堂小结，布置作业、图案设计。
第一环节 回顾与思考
活动内容：1. 怎样利用没有刻度的直尺和圆规作一条线段等于已知线段
2. 练习：已知线段a,b,c,作一条线段m,使得m=a+b-c
活动目的：通过回顾上节课学习的用尺规作线段，既达到了复习巩固，反馈落实的目的，同时熟练尺规的使用，积累活动经验，也为后面学习用尺规作角起到了铺垫的作用。
活动注意事项：通过课堂提问引起学生对上节课所学知识的回顾，对已学知识得以巩固落实，同时通过一个练习落实到学生的实际动手操作上，适合七年级学生的心理特征，可以调动学生的学习积极性，为后面的学习奠定了良好的基础。
第二环节 情境引入探索发现
活动内容：如图2—14，要在长方形木板上截一个平行四边形，使它的一组对边在长方形木板的边缘上，另一组对边中的一条边为AB。
请过C点画出与AB平行的另一边。
如果你只有一个圆规和一把没有刻度的直尺，你能解决这个问题吗？
活动目的：教科书创设了“作一个角等于已知角”的情境，将平行线的识别与作角的问题比较自然地联系在了一起。其中，要在长方形木板上截一个平行四边形，按图2-14的方式（平行四边形的一组对边在长方形木板的边缘上），只要保证过点C作出与AB平行的另一条线段即可。而要过点C作AB的平行线，可以通过作一个角等于∠BAC得到。
活动注意事项：创设问题情境，用直尺和三角板过直线外一点画已知直线的平行线。既完成了第一个问题，同时在问题解决的过程中使得学生体会到用尺规(无刻度的直尺和圆规)“过直线外一点作已知直线的平行线”相当于“过点C作∠ECD等于已知角∠BAC.”同时也为下一个环节的引入起到铺垫作用，新知识引入水到渠成。
第三环节 用尺规作一个角等于已知角
活动内容：1. 已知： ∠AOB。
求作： ∠A’O’B’ 使∠A’O’B’=∠AOB。
作法与示范：
作法 示范
（1）作射线O’A’
（2）以点O为圆心，以任意长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D；
（3）以点O’为圆心，以OC长为半径画弧，交O’A’于点C’；
（4）以点C’为圆心，以CD长为半径画弧，交前面的弧于点D’；
（5）过点D’作射线 O'B’。∠A'O'B' 就是所求作的角。
2. 请用没有刻度的直尺和圆规,在课本的图2-14 中, 过点C作AB的平行线.
活动目的：使学生学会使用尺规作一个角等于已知角，并独立完成问题情境中的问题。
活动注意事项：作一个角等于已知角的作图过程比较复杂，教学时，一方面应要求学生按照作图步骤亲自操作，同时对于“已知、求作和作法”的书写要求应循序渐进，此时可以只要求学生能看懂步骤，按照步骤进行正确操作。学生只要在本学段完成后会运用自己的语言书写这个作法就可以了。
按照步骤完成作图后，教师应鼓励学生利用测量、比较等方式验证新作的角是否等于已知角。本作法的真正道理在于利用三角形的全等（边边边），这一点学生将在第五章时加以体会。在此实际也为后面的学习起到铺垫作用，应该关注数学学习的长远目标。
第四环节 角的和、差、倍
活动内容：
1. 已知： ∠AOB。
利用尺规作： ∠A’O’B’ ,使∠A’O’B’=2∠AOB。
2. 已知： ∠1， ∠2
求作： ∠AOB，使得∠AOB= ∠1+∠2
3. 已知： ∠1， ∠2
求作： ∠AOB，使得∠AOB= ∠1-∠2
活动目的：虽然在教材中没有出现有关角的和、差、倍，但是在课后习题及随堂练习当中出现了有关作角的和的问题和作角的2倍的问题，所以学生在此掌握作角的和、差、倍也是十分有必要的，同时在上节课中已经介绍了有关线段和、差的作法，此时引入角的和、差、倍也很自然，并且接在上个练习之后，合情合理，适应学生的认知水平，同时活化了教材，对本节知识也是一种拓展延伸和补充。
活动注意事项：有了前面练习中的铺垫，学生很容易接受有关角的和、差、倍问题，同时可以和上节课学习线段的和、差进行类比学习，放给学生独立解决，充分体现了学生的自主学习性，同时通过学生的板演进一步规范，在这其中教师应该注意学生在说作法时语言的规范性，注意从开始就培养学生良好的学习习惯和作图的严谨规范性。
第五环节 课堂小结
活动内容：1.用尺规作一个角等于已知角。
2.用尺规作一个角等于已知角的和、差、倍。
3.借助于已经学的用尺规作线段和角来设计图案。
活动目的：课堂小结并不只是课堂知识点的回顾，要尽量学生畅谈自己的切身感受，教师对于发言进行鼓励，同时在此除了对于知识的总结之外，本节课学生动手操作较多，还应注意学生对于参与活动感受的总结，培养学生严谨的学习习惯。
活动注意事项：通过两个课时的学习，学生能够基本掌握了用没有刻度的直尺和圆规作线段和角的问题，由于是首次正式提出尺规作图的问题，所以在进行课堂小结时更应该注意对于知识的应用，几何语言的规范，工具使用的得当，作图的规范等方面提出严格的要求，为今后的学习打下良好的基础。并且在进行总结时更多的让学生来谈，从学生之间的交流当中教师加以引导总结，使得学生在交流合作当中得以感悟，积累知识经验和活动经验。
第六环节 布置作业
教材习题2.6。
第七环节 图案设计
活动内容：用尺规作下面的图形：
活动目的：通过两个图案设计，一个是让学生独立思考，借助于已经学习的用尺规作线段和角来完成，对本节课的知识进一步巩固应用；另一个是让学生根据作图步骤借助于尺规完成图案，进一步培养学生几何语言表达能力，并积累尺规作图的活动经验。
活动注意事项：根据课堂时间安排，可灵活进行处理，既可以作为本节课的实际应用，也可以作为课下的联系拓广，从而使得不同层次的学生都学到有价值的数学。
教学设计反思
1．利用现实情景引入新课，既能体现数学知识与客观世界的良好结合，又能唤起学生的求知欲望和探求意识。而在了解基础知识以后，将其进行一定的升华，也能使学生明白学以致用的道理、体会知识的渐进发展过程，增强思维能力的培养。同时，在整个探究过程中，怎样团结协作、如何共同寻找解题的突破口，也是学生逐步提高的一个途径。
2. 虽然在教材当中只是提出了如何用尺规来作一个角等于已知角，但是对于教材的适当补充和拓展是十分有必要。教材只是为教师提供了最基本的教学素材，教师完全可以根据学生的实际情况进行适当的调整，要学会创造性的使用教材。对于本节课有关角的和、差、倍的补充，既是对于学生知识的补充，也是对于学生活动经验进一步积累的一种提高。教学中除了要关注本节课的教学目标，同时还应注意本节课在学生整个学习当中的长远目标。刚刚开始学习尺规作图，语言的到位，作图的规范，对于学生今后的学习是至关重要的。潜望镜中的数学
潜望镜在军事、科学、生活中都有着重要的作用。它可以应用于潜水艇内、坦克内、坑道内，用以观察外界的情况。最简单的潜望镜是用两块互相平行的、与水平方向成相同角度的平面镜构成的，用它可以看到高处的、被掩蔽物挡住的物体。如图所示，你能说一说它的工作原理和作用吗？
1
2
3
4释疑解惑
问题1：如图，两条直线AB，CD被第三条直线l所截，共出现了八个角，从位置关系上讲，这八个角可分为几类？各有什么特点？
解答：可分为三类：
（1）同位角——如图，∠1与∠2这样位置关系的角称为同位角，同样∠3与∠4，∠5与∠6，∠7与∠8也是同位角，特点是：①两角在两条直线的“同方”；②两角在第三条直线的“同侧”。
（2）内错角——如图，∠7与∠2这样位置关系的角称为内错角，同样∠5与∠4也是内错角，特点是：①两角在两条直线的“之间”（内）；②两角在第三条直线的“两侧”（交错）。
（3）同旁内角——如图，∠7与∠4这样位置关系的角称为同旁内角，同样∠5与∠2也是同旁内角，特点是：①两角在两条直线的“之间”（内）；②两角在第三条直线的“同侧”（同旁）。
问题2：判断两条直线平行需要哪些条件？
解答：（1）根据平行线的定义可知，在同一平面内的两条直线只要不相交，就一定平行；（2）如果两条直线都和第三条线平行，那么，这两条直线互相平行；
（3）由角的数量关系（相等或互补）判断，如果同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行。
能否正确寻找或识别出同位角、内错角及同旁内角是确定两直线平行的前提。
A
C
B
D
l
1
2
3
4
6
7
5
8