2020-2021学年度高三下学期四月份月考试卷（第三周）数学试卷（Word含解析）

-1123950339725此卷只装订不密封
班级 姓名 准考证号 考场号 座位号
此卷只装订不密封
班级 姓名 准考证号 考场号 座位号
【月考试卷】
2020-2021学年度高三下学期四月份月考试卷（第三周）数学试卷
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．若复数满足，则复数的共轭复数不可能为（ ）
A． B． C． D．
3．设，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．小学数学在“认识图形”这一章节中，一般从生活实物入手，抽象出数学图形，在学生正确认识图形特征的基础上，通过习题帮助学生辦认所学图形；例如在小学数学课本中有这样一个的方格表（如图所示），它由2个单位小方格组成，其中每个小方格均为正方形；若在这方格表的6个顶点中任取2个顶点，则这2个顶点构成的线段长度不超过的概率为（ ）

A． B． C． D．
5．圆与圆的公切线条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知双曲线（，）的左、右焦点分別为，，过双曲线上的一点作两条渐近线的垂线，垂足分别为，，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．已知中，，，点在线段上除，的位置运动，现沿进行翻折，使得线段上存在一点，满足平面；若恒成立，则实数的最大值为（ ）
A．1 B． C．2 D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．根据国家统计局数据显示，我国2010~2019年研究生在校女生人数及所占比重如图所示，则下列说法正确的是（ ）

A．2010~2019年，我国研究生在校女生人数逐渐增加
B．可以预测2020年，我国研究生在校女生人数将不低于144万
C．2017年我国研究生在校女生人数少于男生人数
D．2019年我国研究生在校总人数不超过285万
10．已知边长为4的正方形的对角线的交点为，以为圆心，6为半径作圆；若点在圆上运动，则（ ）
A．
B．
C．
D．
11．已知函数（）在上有且仅有6个零点，则实数的值可能为（ ）
A． B． C．3 D．
12．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则曲线在处的切线与相互平行
B．函数在上单调递増的必要不充分条件是
C．记函数的最小值为，则
D．若，，使得在恒成立，则的最大值为3

第Ⅱ卷
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．已知函数，则曲线在处的切线方程为__________．
14．已知等差数列的前项和为，若，，则__________．
15．已知点在抛物线上运动，圆过点，，，过点引直线，与圆相切，切点分别为，，则的取值范围为__________．
16．已知正方体的体积为27，点，分别是线段，的中点，点在四边形内运动（含边界），若直线与平面无交点，则正方体的外接球表面积为__________，线段的取值范围为__________．

四、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，求的面积．问题：已知中，角，，所对的边分别为，，，且，， ？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．













18．（12分）已知等比数列的前项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．













19．（12分）已知四棱锥如图所示，其中，均为等边三角形，二面角为直二面角，点为线段的中点，点是线段上靠近的三等分点，平面．
（1）求证：；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．












20．（12分）在某媒体上有这样一句话：买车一时爽，一直养车一直爽，讲的是盲目买车的人最终会成为一个不折不扣的车奴；其实，买车之后的花费主要由加油费、车费、保险费、保养费、维修费等几部分构成；为了了解新车车主5年以来的花费，打破年轻人买车的恐惧感，研究人员在2016年对A地区购买新车的400名车主进行跟踪调查，并将他们5年以来的新车花费统计如下表所示：
5年花费（万元）
人数
60
100
120
40
60
20
（1）求这400名车主5年新车花费的平均数以及方差（同一区间的花费用区间的中点值替代）；
（2）以频率估计概率，假设A地区2016年共有100000名新车车主，若所有车主5年内新车花费可视为服从正态分布，，分别为（1）中的平均数以及方差，试估计2016年新车车主5年以来新车花费在的人数；
（3）以频率估计概率，若从2016年A地区所有的新车车主中随机抽取4人，记花费在的人数为，求的分布列以及数学期望．
参考数据：；若随机变量服从正态分布，则，，．















21．（12分）已知椭圆的右焦点为，过点的直线与椭圆交于，两点．
（1）若直线的倾斜角为，求的值；
（2）记椭圆的右顶点为，若点，分别在直线，上，求证：．


























22．（12分）已知函数，其中．
（1）若函数有2个极值点，求实数的取值范围；
（2）若关于的方程仅有1个实数根，求实数的取值范围．








数 学答 案
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【答案】A
【解析】依题得，，则，故选A．
2．【答案】C
【解析】设复数的共轭复数为，则，
所以由可得，
当，时，显然不满足上式，其它选项检验可知都符合，故选C．
3．【答案】A
【解析】依题意，，，
，
因为，所以，故，故选A．
4．【答案】B
【解析】若从6个顶点中任取2个，则可以构造出条线段，
其中长度超过的线段有4条（AD，BC，AC，BD），
故所求概率为，故选B．

5．【答案】B
【解析】依题意，圆的圆心，半径；
圆的圆心，半径，
，故圆与相交，有2条公切线，故选B．
6．【答案】D
【解析】依题意，，，
则，
即，
故，则，故选D．
7．【答案】B
【解析】设，则，即，
故，
故，则，则，
即，故，则，故选B．
8．【答案】A
【解析】易知要满足平面有两个极限状态，
第一是为的角平分线时，此时；
第二是点与点重合时，此时，
故，则实数的最大值为1，故选A．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．【答案】ABC
【解析】对选项A，从2010-2019年，我国研究生在校女生人数逐渐增加，故A正确；
对选项B，由于2010-2019年，我国研究生在校女生人数逐年增加，
且2019年人数为万，故B正确；
对选项C，2017年我国研究生在校女生人数所占比重为，
不足一半，故C正确；
对选项D，，故2019年我国研究生在校总人数超过285万，
故D项错误，
故选ABC．
10．【答案】BC
【解析】作出图形如图所示，以为坐标原点，
线段，的垂直平分线分别为、轴建立平面直角坐标系，
观察可知，，，，，
设，则，
故，，，
故，
故，
，故选BC．

11．【答案】BC
【解析】令，即，故（），
所以第1个零点为，
而第6个零点为，第7个零点为，
故，解得，故选BC．
12．【答案】ABC
【解析】依题意，，，故，
，∴切线方程为，
故曲线在处的切线与相互平行，故A正确；
，令，则，则，
因为，故，
故函数在上单调递增的必要不充分条件，故B正确；
∵，∴，得，
显然，时，，函数单调递减；
时，，函数单调递增，
所以，
令，则，得，
时，，函数单调递增；
时，，函数单调递减，
所以，故C正确；
，等价于，
令，则．
令，，
∴时，，即单调递增，
∵，，
设并记其零点为，故，且，
所以当时，，即，单调递减；
当时，，即，单调递增，
所以，因此，
由于且，即，所以，故D错误，
故选ABC．

第Ⅱ卷
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．【答案】
【解析】因为，所以，
而，故，
故所求切线方程为，即．
故答案为．
14．【答案】
【解析】依题意，，解得，
，解得，故，
，
故答案为．
15．【答案】
【解析】设圆的方程为，将，，分别代入，
可得，解得，
即圆；
如图，连接，，，，易得，，，
所以四边形的面积为；
另外四边形的面积为面积的两倍，所以，
故，
故当最小时，最小，
设，则，
所以当时，，当正无穷大时，趋近圆的直径4，
故的取值范围为，故答案为．

16．【答案】，
【解析】∵正方体的体积为27，
∴，故正方体的外接球表面积为．
分别取线段，的中点，，连接，，，
连接，由三角形中位线定理得，，，
又∵面A1PQ，面A1PQ，∴面A1PQ．
同理可证：面．
又，∴面AEF∥面A1PQ．
故点在线段上运动（含端点位置），
当G与P（或Q）重合时，；
当G在PQ中点R时，，
故．
故答案为，．


四、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【答案】答案见解析．
【解析】因为，，所以．
选①：因为，所以，
又因为，所以．
所以的面积．
选②：若，故，
则，故，
所以的面积．
选③：若，则，
故，解得（舍去），
故．
所以的面积．
18．【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1）设数列的公比为，则，
即，解得或．
若，则；
若，则．
（2）由（1）得，
故，，
两式相减可得，
故．
19．【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）因为平面，平面，平面平面，
所以，
因为为等边三角形，且，故，则．
（2）取的中点，连接，，
因为，均为等边三角形，故，，
因为二面角为直二面角，故平面平面，
因为平面，平面平面，故平面，
故以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示空间直角坐标系，

不妨设，则，，，，
所以，，
所以，，
所以，所以，
所以，，，
设平面的法向量，则，故，
则，令，则为平面的一个法向量，
则直线与平面所成角正弦值．
20．【答案】（1）8，8；（2）81850；（3）分布列见解析，．
【解析】（1）依题意，整理表格数据如下：
5年花费（万元）
人数
60
100
120
40
60
20
频率
依题意，，
．
（2）由（1）可知，，，；
，
故所求人数为．
（3）依题意，，
，，
，，
，
0
1
2
3
4
则．
21．【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】（1）依题意，，直线，
联立，故，
整理得，，
设，，故，，
故．
（2）当直线的斜率不存在时，其方程，，，，
根据，得，得到，同理．
故，的斜率之积为，故；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，
联立，
消去整理得，
故，，
，
由，，共线，得，解得，
由，，共线，得，解得，
故，的斜率之积为
，
故，
综上所述，．
22．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）依题意，，
令，则由可得，则；
当时，，此时，故函数在上单调递增，无极值点，不符合题意；
当时，，，得，
则令，，
则当时，；当，；
当时，，
此时函数有2个极值点，符合题意；
综上所述，实数的取值范围为．
（2）依题意，，记，．
（i）由（1）可知当时，，则函数在上单调递增；
可知当时，；当时，，
故当时，函数恰有1个零点，此时；
（ii）当时，在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，，
则，
所以，
，
因为当时，；当时，，
故只需或，
令，则，
故当时，；当，，
又，，
又，故，故，，
所以，，故，
综上所述，实数的取值范围为．